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浙教版2022-2023学年九上数学第3章 圆的基本性质 尖子生测试卷
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图，点A，B，C在⊙O上，∠B＝120°，则∠AOC的度数为（ ）
A．120° B．110° C．130° D．125°
（第1题） （第2题） （第3题） （第4题） （第6题）
2．如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在 上，则∠BPC的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
3．如图， 是 的弦， 交 于点 ，点 是 上一点， ，则 的度数为（ ）．
A．30° B．40° C．50° D．60°
4．如图，六位朋友均匀的围坐在圆桌旁聚会．圆桌的半径为80cm，每人离桌边10cm，又后来两位客人，每人向后挪动了相同距离并左右调整位置，使8个人都坐下，每相邻两人之间的距离与原来相邻两人之间的距离（即在圆周上两人之间的圆弧的长）相等．设每人向后挪动的距离为xcm．则根据题意，可列方程为（ ）
A． B．
C．2π（80+10）×8=2π（80+x）×10 D．2π（80﹣x）×10=2π（80+x）×8
5．下列有关圆的一些结论：①任意三点确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③平分弦的直径垂直于弦；并且平分弦所对的弧，④圆内接四边形对角互补.其中错误的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,AB=5,CD是斜边AB上的中线,以AC为直径作O,设线段CD的中点为P,则点P与O的位置关系是（ ）
A．点P在O外 B．点P在O上 C．点P在O内 D．无法确定
7．如图，△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝4，以点A为圆心，AB为半径作圆，交BC的延长线于点D，则CD长为（ ）
A．10 B．9 C．4 D．8
（第7题） （第8题） （第9题） （第10题）
8．如图，已知⊙O为四边形ABCD的外接圆，O为圆心，若∠BCD=120°，AB=AD=2，则⊙O的半径长为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在半径为3的⊙O中，B是劣弧AC的中点，连接AB并延长到D，使BD＝AB，连接AC、BC、CD，如果AB＝2，那么CD等于（ ）
A．2 B．1 C． D．
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以该三角形的三条边为边向外作正方形，正方形的顶点E，F，G，H，M，N都在同一个圆上.记该圆面积为S1，△ABC面积为S2，则 的值是（ ）
A． B．3π C．5π D．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．已知扇形的弧长为π，半径为1，则该扇形的面积为
12．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD、BC的延长线相交于点E，AB、DC的延长线相交于点F．若∠E+∠F=80°，则∠A= °．
（第12题） （第13题） （第14题） （第15题） （第16题）
13．如图， 内接于 ， ， ， 于点 ，若 的半径为 ，则 的长为 .
14．工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为 mm．
15．如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB=10， ，点E是点D关于AB的对称点，M是AB上的一动点，下列结论：
①∠BOE=60°；②∠CED= ∠AOD；③DM⊥CE；④CM+DM的最小值是10，其中正确的序号是 ．
16．如图，△ABC为⊙O的内接等边三角形，BC＝12，点D为 上一动点，BE⊥OD于E，当点D由点B沿 运动到点C时，线段AE的最大值是 ．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为⊙O直径，AB=12，AD平分∠BAC，交BC于点 E，交⊙O于点D，连接BD.
（1）求证:∠BAD=∠CBD；
（2）若∠AEB=125°，求 的长.
18．如图,在⊙O中,点C是优弧ACB的中点,D、E分别是OA、OB上的点,且AD=BE,弦CM、CN分别过点D、E.
（1）求证：CD=CE.
（2）求证： = .
19．如图， 是 的直径，弦 是 延长线上的一点，连结 交 于点 ，连结 .
（1）若 的度数是40°，求 的度数；
（2）求证： 平分 ；
（3）若 经过圆心，求 的长.
20．已知钝角三角形 内接于 分别为 的中点，连接 .
（1）如图1，当点 在同一条直线上时，求证： ；
（2）如图2，当 不在同一条直线上时，取 的中点 ，连接 交 于点 ，当 时.
①求证： 是等腰三角形；
②如图3，连 并延长交 于点 ，连接 .求证： .
21．如图，已知△ABC内接于⊙O，点D是 的中点，连接OD，交BC于点E.
（1）如图1，当圆心O在AB边上时，求证：OD∥AC；
（2）如图2，当圆心O在△ABC外部时，连接AD和CD，若∠BAC＝36°， 的度数是88°，求∠ACD的度数；
（3）如图3，当圆心O在△ABC内部时，连接BD和CD，若∠ABC＝45°，DE＝2，BC＝4 ，求四边形ACDB的面积.
22．如图1，AB为圆O直径，点D为AB下方圆上一点，点C为弧ABD中点，连结CD，CA．
（1）若∠ABD=70°，求∠BDC的度数；
（2）如图2，过点C作CE⊥AB于点H，交AD于点E，∠CAD=α，求∠ACE（用含α的代数式表示）；
（3）在（2）的条件下，若OH=5，AD=24，求线段DE的长．
23．如图，在 中 ， 是 的弦，连接 、 ， 、 ．
（1）求证：
（2）若 、 交于点 ， ，求证：
（3）在（2）的条件下，若 ， ，求 半径
24．△ABC内接于⊙O，弦CD⊥AB于点E，AF⊥BC于点F交弦CD于点G．
（1）如图1，求证：DE＝EG；
（2）如图2，连接BD、OF，若BD＝ FG，求证：FO平分∠AFC；
（3）如图3，在（2）的条件下，点H在线段CG上，连接FH，若∠CFH＝∠ABD，FH＝4 ，CG＝10，求线段OG的长．
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浙教版2022-2023学年九上数学第3章 圆的基本性质 尖子生测试卷
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图，点A，B，C在⊙O上，∠B＝120°，则∠AOC的度数为（ ）
A．120° B．110° C．130° D．125°
【答案】A
【解析】如图，在优弧AC上取一点D，连接AD，CD.
∵∠B+∠D＝180°，
∴∠D＝180°﹣120°＝60°，
∴∠AOC＝2∠ADC＝120°.
故答案为：A.
2．如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在 上，则∠BPC的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】B
【解析】连接OB、OC，如图，
∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴ 所对的圆心角为90°，
∴∠BOC＝90°，
∴∠BPC＝ ∠BOC＝45°.
故答案为：B.
3．如图， 是 的弦， 交 于点 ，点 是 上一点， ，则 的度数为（ ）．
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】D
【解析】如图，∵ ，
∴ ．
∵ 是 的弦， 交 于点 ，
∴ ．
∴ ．
故答案为：D．
4．如图，六位朋友均匀的围坐在圆桌旁聚会．圆桌的半径为80cm，每人离桌边10cm，又后来两位客人，每人向后挪动了相同距离并左右调整位置，使8个人都坐下，每相邻两人之间的距离与原来相邻两人之间的距离（即在圆周上两人之间的圆弧的长）相等．设每人向后挪动的距离为xcm．则根据题意，可列方程为（ ）
A．
B．
C．2π（80+10）×8=2π（80+x）×10
D．2π（80﹣x）×10=2π（80+x）×8
【答案】A
【解析】设每人向后挪动的距离为xcm，应首先明确弧长公式：l= ．
六位朋友每相邻两人之间的弧长所对的圆心角度数为60°，半径为（80+10）cm，即l= ；
八位朋友每相邻两人之间的弧长所对的圆心角度数为45°，半径为80+10+x，即l= ．
根据距离相等可列方程为 ，
故答案为：A．
5．下列有关圆的一些结论：①任意三点确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③平分弦的直径垂直于弦；并且平分弦所对的弧，④圆内接四边形对角互补.其中错误的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】①不在同一直线上的任意三点确定一个圆，故①错误；
②在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故②错误；
③平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，故③错误；
④圆内接四边形对角互补，故④正确，
故错误的有①②③，
故答案为：C.
6．如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,AB=5,CD是斜边AB上的中线,以AC为直径作O,设线段CD的中点为P,则点P与O的位置关系是（ ）
A．点P在O外 B．点P在O上 C．点P在O内 D．无法确定
【答案】C
【解析】∵CD是斜边AB上的中线，
∴AD= AB= ，
∵点O为AC的中点，P为CD的中点，
∴OP为△CAD的中位线，
∴OP= AD= ，
而AC为⊙O的直径,即半径为 ，
∴点P到圆心O的距离小于圆的半径，
∴点P在⊙O内.
故答案为：C.
7．如图，△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝4，以点A为圆心，AB为半径作圆，交BC的延长线于点D，则CD长为（ ）
A．10 B．9 C．4 D．8
【答案】B
【解析】过A作AE⊥BC于E，如图：
Rt△ABE中，AE2+BE2＝AB2，
而AB＝10，BC＝4，
∴AE2＝102﹣（4+CE）2＝84﹣CE2﹣8CE，
Rt△ACE中，AE2＝AC2﹣CE2，
而AC＝8，
∴AE2＝64﹣CE2，
∴84﹣CE2﹣8CE＝64﹣CE2，
解得CE＝2.5，
∴BE＝6.5，
∴CD＝9.
故答案为：B.
8．如图，已知⊙O为四边形ABCD的外接圆，O为圆心，若∠BCD=120°，AB=AD=2，则⊙O的半径长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 解：如图，连接OB，作OE⊥BD交BD于E，
∵∠BCD=120° ，
∴∠A=60°，
∵AB=AD，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AB=2，
∵OE⊥BD，
∴BE=1，∠OBE=30°，
∴OB=
故答案为：D.
9．如图，在半径为3的⊙O中，B是劣弧AC的中点，连接AB并延长到D，使BD＝AB，连接AC、BC、CD，如果AB＝2，那么CD等于（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】D
【解析】连接OB，OA，
∵点B是的中点，
∴OB垂直平分AC，
∴∠AEO=∠AEB=90°，
∴OA2-OE2=AE2，AB2-BE2=AE2.
∴OA2-OE2=AB2-BE2，
∴32-（3-BE）2=22-BE2，
解之：BE=
∵点B是AD的中点，点E是AC的中点，
∴BE是△ADC的中位线，
∴CD=2BE=.
故答案为：D
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以该三角形的三条边为边向外作正方形，正方形的顶点E，F，G，H，M，N都在同一个圆上.记该圆面积为S1，△ABC面积为S2，则 的值是（ ）
A． B．3π C．5π D．
【答案】C
【解析】如图，取AB的中点为O，AC的中点为D，连接OE，OG，OD，OC，
设AB＝c，AC＝b，BC＝a，
则a2+b2＝c2，①
取AB的中点为O，
∵△ABC是直角三角形，
∴OA＝OB＝OC，
∵圆心在MN和HG的垂直平分线上，
∴O为圆心，
作OD⊥AC，则OG，OE为半径，
由勾股定理得：
，②
由①②得a＝b，
∴ ，
∴ ， ，
∴ .
故答案为：C.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．已知扇形的弧长为π，半径为1，则该扇形的面积为
【答案】
【解析】根据扇形的面积公式： 进行计算即可.
扇形的面积为
故答案为：
如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD、BC的延长线相交于点E，AB、DC的延长线相交于点F．若∠E+∠F=80°，则∠A= °．
【答案】50
【解析】连结EF，如图，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠BCD=180°，
而∠BCD=∠ECF，
∴∠A+∠ECF=180°，
∵∠ECF+∠1+∠2=180°，
∴∠1+∠2=∠A，
∵∠A+∠AEF+∠AFE=180°，
即∠A+∠AEB+∠1+∠2+∠AFD=180°，
∴∠A+80°+∠A=180°，
∴∠A=50°．
故答案为：50．
13．如图， 内接于 ， ， ， 于点 ，若 的半径为 ，则 的长为 .
【答案】
【解析】连接OA，OC，
∵∠COA=2∠CBA=90°，
∴在Rt△AOC中，AC= ，
∵CD⊥AB，
∴在Rt△ACD中，CD=AC·sin∠CAD= ，
故答案为 ： .
14．工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为 mm．
【答案】8
【解析】连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，则AB=2AD，
∵钢珠的直径是10mm，
∴钢珠的半径是5mm，
∵钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，
∴OD=3mm，
在Rt△AOD中，
∵AD= = =4mm，
∴AB=2AD=2×4=8mm．
故答案为：8．
15．如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB=10， ，点E是点D关于AB的对称点，M是AB上的一动点，下列结论：
①∠BOE=60°；②∠CED= ∠AOD；③DM⊥CE；④CM+DM的最小值是10，其中正确的序号是 ．
【答案】①④
【解析】①∵弧AC=弧CD=弧DB，
∴∠BOD=60°；
又∵点E是点D关于AB的对称点，
∴∠BOE=60°；
故①正确；
②∵∠CED=∠COD，
故②错误；
③∵∠BOD=∠BOE=∠MOC=60°，
∴∠BMD=30°，
∴DM⊥CE；
故③正确；
④作C关于AB的对称点F，连接CF交AB于点N，连接DF交AB于点M，此时CM+DM的值最短，即为DF长，连接CD，
∵弧AF=弧AC=弧CD=弧DB，
∴∠D=60°，∠DFC=30°，
∴∠FCD=180°-60°-30°=90°，
∴DF是⊙O的直径，
∵AB=10，
∴DF=10，
∴CM+DM=DF=10，
故④正确.
故答案为：①④.
16．如图，△ABC为⊙O的内接等边三角形，BC＝12，点D为 上一动点，BE⊥OD于E，当点D由点B沿 运动到点C时，线段AE的最大值是 ．
【答案】
【解析】连接 ，取 中点 ，连接 ，如下图：
∵ ， 为 中点
∴
∴点 在以 为圆心，以 为半径的圆上
∴当 共线且点 在 的延长线上时， 最大
延长 交 于点 ，如上图：
∵△ABC为⊙O的内接等边三角形
∴ 垂直平分 ，
∴
∴ ，
∴ ，
∴
∴ 的最大值为
故答案为： .
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为⊙O直径，AB=12，AD平分∠BAC，交BC于点 E，交⊙O于点D，连接BD.
（1）求证:∠BAD=∠CBD；
（2）若∠AEB=125°，求 的长.
【答案】（1）证明:∵AD平分∠BAC.
∴∠CAD=∠BAD
又∠CBD=∠CAD
∴∠BAD=∠CBD
（2）解: 连结OD
∵∠AEB=125°
∴∠AEC=55°
∵AB是直径
∴∠ACE=90°
∴∠CAE=35°，∠DAB=35°，
∴∠DOB=2∠BAD=70°
∴
18．如图,在⊙O中,点C是优弧ACB的中点,D、E分别是OA、OB上的点,且AD=BE,弦CM、CN分别过点D、E.
（1）求证：CD=CE.
（2）求证： = .
【答案】（1）解：连结CO, ∵在⊙O中，点C是优弧ACB的中点， ∴∠AOC=∠BOC， ∵AD=BE，OA=OB， ∴OD=OE， 在△COD和△COE中，
∴△COD≌△COE(SAS)，
∴CD=CE.
（2）解：分别连结OM,ON,过点O作
易证△COG≌△COH(SAS)，
得到
根据垂径定理得到
CD=CE.
△COD≌△COE.
又OD=OE，
△DOM≌△EON(SAS)，
∠AOM=∠BON，
=
19．如图， 是 的直径，弦 是 延长线上的一点，连结 交 于点 ，连结 .
（1）若 的度数是40°，求 的度数；
（2）求证： 平分 ；
（3）若 经过圆心，求 的长.
【答案】（1）解：如图1中，连接OD，AD，设AB交CD于H.
∵ 的度数是40°，
∴∠BOD=40°，
∴∠DAB= ∠DOB=20°，
∵AB⊥CD，
∴∠AHD=90°，
∴∠ADH=90°-∠DAB=70°，
∴∠AFC=∠ADH=70°.
（2）证明：∵AB是直径，AB⊥CD，
∴
∴∠ACD=∠ADC，
∵∠ACD+∠AFD=180°，∠AFD+∠AFE=180°，
∴∠AFE=∠ACD，
∵∠AFC=∠ADC=∠ACD，
∴∠AFC=∠AFE，
即AF平分∠CFE.
（3）如图2中，设AB交CD于H.
∵AB是直径，AB⊥CD，CD=4
∴CH=DH=2，
∵OC= = ，∠OHC=90°，
∴ ，
∴HA=OH+OA=4，
∴ ，
∵CF是直径，
∴∠CDF=∠AHC=90°，
∴AH∥DE，
∵CH=HD，
∴AC=AE，
∴CE=2AC= .
20．已知钝角三角形 内接于 分别为 的中点，连接 .
（1）如图1，当点 在同一条直线上时，求证： ；
（2）如图2，当 不在同一条直线上时，取 的中点 ，连接 交 于点 ，当 时.
①求证： 是等腰三角形；
②如图3，连 并延长交 于点 ，连接 .求证： .
【答案】（1）证明：∵D是BC中点，点 在同一条直线上，
∴OD⊥BC，
∴AB=AC，
∵ 分别为 的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE= AB，
∴DE= AC；
（2）①∵ 分别为 的中点，
∴AB=2DE，AC=2AE，
∵ ，
∴2AE+2DE=2AG，
∴AE+DE=AG，
∵AE+EG=AG，
∴DE=EG，
∴ 是等腰三角形；
②延长HO交圆与点N，连接OB，OC，BN，CN，
∵DE=EG，
∴∠EDG=EGD，
∴∠AED=∠EDG+EGD =2∠EGD，
∴∠EGD= ∠AED，
∵DE//AB，
∴∠BAC+∠AED=180°，
∵∠BAC+∠BNC=180°，
∴∠AED=∠BNC，
∵HO⊥BC，
∴∠BOC=2∠COH，
∵∠BOC=2∠BNC，
∴∠COH=∠BNC，
∵∠CAH= ∠COH= ∠BNC，
∴∠CAH=∠EGD，
∴ .
21．如图，已知△ABC内接于⊙O，点D是 的中点，连接OD，交BC于点E.
（1）如图1，当圆心O在AB边上时，求证：OD∥AC；
（2）如图2，当圆心O在△ABC外部时，连接AD和CD，若∠BAC＝36°， 的度数是88°，求∠ACD的度数；
（3）如图3，当圆心O在△ABC内部时，连接BD和CD，若∠ABC＝45°，DE＝2，BC＝4 ，求四边形ACDB的面积.
【答案】（1）证明：如图1，连接OC，
∵D是 的中点，
∴ ，
∴∠BOD＝∠COD，
∵OB＝OC，
∴OD垂直平分BC，
∴BE＝CE，
又∵BO＝AO，
∴OD∥AC；
（2）∵ 的度数是88°，
∴∠B＝44°，
∵ ，
∴∠ADC＝∠B＝44°，
∵ ，
∴∠DAC＝∠BAD＝ ∠BAC＝ ×36°＝18°，
∴在△ACD中，
∠ACD＝180°﹣∠DAC﹣∠ADC＝180°﹣18°﹣44°＝118°，
∴∠ACD的度数为118°；
（3）如图3，连接OB，OC，OA，过点C作CH⊥AB于H，
由（1）知，OD垂直平分BC，
∴BE＝CE＝ BC＝2 ，
∴在Rt△BDE中，
BD＝ ＝4，
＝ ，
∴∠BDE＝60°，
又OB＝OD，
∴△OBD是等边三角形，
∴r＝OB＝BD＝4，
在Rt△CBH中，
∴∠ABC＝45°，
∴∠HCB＝45°，
∴HB＝HC＝ BC＝2 ，
∵∠ABC＝45°，
∴∠AOC＝90°，
∵OA＝OC，
∴AC＝ CO＝4 ，
在Rt△AHC中，
AH＝＝2 ，
∴S四边形ACDB＝S△BCD+S△BCH+S△ACH
＝ ×4 ×2+×2 ×2 + ×2 ×2
＝12+8 ，
∴四边形ACDB的面积为12+8 .
22．如图1，AB为圆O直径，点D为AB下方圆上一点，点C为弧ABD中点，连结CD，CA．
（1）若∠ABD=70°，求∠BDC的度数；
（2）如图2，过点C作CE⊥AB于点H，交AD于点E，∠CAD=α，求∠ACE（用含α的代数式表示）；
（3）在（2）的条件下，若OH=5，AD=24，求线段DE的长．
【答案】（1）解：连结AD、BC，
BC∵∠ABD＝70°，
∴∠ACD＝70°，
∵C为弧ABD中点，
∴AC=DC
∴∠ABC=∠ADC＝55°，
∴∠BDC＝∠CAB=35°
（2）解：连BC，
∴∠ABC=∠ADC=∠CAD=α，
∴∠CAB＝90-α，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°
又∵CE⊥AB
∴∠ACE=∠B=α
（3）解：连CO并延长交AD于F，
∵C为弧ABD中点，
∴CF⊥AD， .
由（2）∠ACE=∠B=ADC=∠CAD=α∴AE=CE
由∵∴AH=CF，
∵AO=CO，∴OH=OF=5 ∴AO=13
相似法：
∵∠ACE=∠B=∠ADC=α，∠CAD=∠CAE，∴△ACE∽△ADC，
∴ 即
∴
勾股定理法：设CE=x，CF=AH=AO+OH=18,EF=EH=CE-CH=CE-AF=x-12,CF2+EF2=CE2
182+(x-12)2=x2,得x=19.5，∴
23．如图，在 中 ， 是 的弦，连接 、 ， 、 ．
（1）求证：
（2）若 、 交于点 ， ，求证：
（3）在（2）的条件下，若 ， ，求 半径
【答案】（1）证明：
因为 ，所以 所以
（2） 连接QC，
因为 ，
所以 ，
因为
所以
因为
所以
所以
（3）如图 ，
连接OH，OP，OC，OA，过O作 于N，交圆于M，
所以
因为 ，
所以
因为
所以
因为 ，
所以
所以
在直角三角形AON中：
所以
解得： ，即圆的半径为6．
24．△ABC内接于⊙O，弦CD⊥AB于点E，AF⊥BC于点F交弦CD于点G．
（1）如图1，求证：DE＝EG；
（2）如图2，连接BD、OF，若BD＝ FG，求证：FO平分∠AFC；
（3）如图3，在（2）的条件下，点H在线段CG上，连接FH，若∠CFH＝∠ABD，FH＝4 ，CG＝10，求线段OG的长．
【答案】（1）证明：连接 ，如图，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
（2）证明：连接 ， ，如图，
由（1）可得 ，
，
BD＝ FG，
，
，
，
，
，
， ，
， ，
，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
平分 ，
（3）解：如图，过 点作 于点 ，
，
，
，
，
，
，
由（2）可得 ，
，
FH＝4 ，
∴FL＝4
设FG=a，FC=b.
有勾股定理得：a2+b2=CG2=100①,
有等面积得：ab=CG·FL=40②
有①②得a+b=，a-b=
过点 分别作 的垂线，垂足为 ，如图，
，
平分 ，
，
，
，
，
四边形 是正方形，
，
，
，
中，
，
．
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