第3章 圆的基本性质 单元检测卷（含解析）

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浙教版2022年九年级上册第3章 圆的基本性质 单元检测卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．已知⊙O的半径长7cm，P为线段OA的中点，若点P在⊙O上，则OA的长是（　　）
A．等于7cm B．等于14cm C．小于7cm D．大于14cm
2．如图，C是圆O劣弧AB上一点，∠ACB＝130°，则∠AOB的度数是（　　）
A．100° B．110° C．120° D．130°
3．下列说法中正确的是（　　）
A．平分弦的直径垂直于弦
B．三角形的外心到三角形各定点的距离相等
C．同圆中等弦所对的圆周角相等
D．圆是轴对称图形，对称轴是圆的直径
4．如图，在正方形网格中，线段AB绕点O旋转一定的角度后与线段CD重合（C、D均为格点，A的对应点是点C），若点A的坐标为（﹣1，5），点B的坐标为（3，3），则旋转中心O点的坐标为（　　）
A．（1，1） B．（4，4）
C．（2，1） D．（1，1）或（4，4）
5．在⊙O中，弦AB等于圆的半径，则它所对应的圆心角的度数为（　　）
A．120° B．75° C．60° D．30°
6．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P．若CD＝AP＝8，则⊙O的半径为（　　）
A．10 B．8 C．5 D．3
7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，DE是⊙O的直径，连接BD．若∠BCD＝2∠BAD，则∠BDE的度数是（　　）
A．25° B．30° C．32.5° D．35°
8．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC，OC，若AB＝6，∠A＝30°，则的长为（　　）
A．6π B．2π C．π D．π
9．如图，已知正六边形P1P2P3P4P5P6边长为2，在正六边形的边上距离P1最远的点到P1的距离为（　　）
A．3 B．4 C． D．2
10．如图，边长为4的正方形ABCD内接于⊙O，点E是上的一动点（不与A，B重合），点F是上的一点，连接OE，OF，分别与AB，BC交于点G，H，且∠EOF＝90°，有以下结论：①AE＝BF；②△OGH是等腰三角形；③四边形OGBH的面积随着点E位置的变化而变化；④△GBH周长的最小值为4+．其中正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分）
11．如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果它的一个外角∠DCE＝68°，那么∠BOD＝　 　．
12．已知一个扇形的半径为2cm，弧长是，则它的面积为 　 　cm2．
13．如图，在⊙O中、三条劣弧AB、BC、CD的长都相等，弦AC与BD相交于点E，弦BA与CD的延长线相交于点F，且∠F＝40°，则∠AED的度数为 　 　．
14．如图，正方形ABCD的边长是4，F点是BC边的中点，点H是CD边上的一个动点，以CH为直径作⊙O，连接HF交⊙O于E点，连接DE，则线段DE的最小值为 　 　．
15．如图，直线l为y＝x，过点A1（1，0）作A1B1⊥x轴，与直线l交于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画圆弧交x轴于点A2；再作A2B2⊥x轴，交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画圆弧交x轴于点A3；…，按此作法进行下去，则点A2022的坐标为 　 　．
三．解答题（共8小题，满分70分）
16．（6分）定理证明：圆周角的度数等于它所对弧上圆心角度数的一半．
已知：如图，所对的圆周角是∠ABC，圆心角是∠AOC．求证：∠ABC＝∠AOC．
证明：
17．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，点B的坐标分别为（0，2），（﹣1，0），将△AOB绕点O顺时针旋转90°得到△A1OB1．
（1）画出△A1OB1；
（2）直接写出点A1和点B1的坐标．
18．（8分）如图所示，某地有一座圆弧形的拱桥，桥下的水面宽度AB为7.2m，拱顶高出水面（CD）2.4m，现有一艘宽EF为3m且船舱顶部为长方形并高出水面1.5m的货船要经过这里，则货船能顺利通过这座拱桥吗？请作出判断并说明理由．
19．（8分）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦．
（1）若∠BCD＝32°，求∠ABD的度数．
（2）若∠BCD＝30°，⊙O的半径r＝4，求BD的长．
20．（9分）如图1，在⊙O中，AC＝BD，且AC⊥BD，垂足为点E．
（1）求∠ABD的度数；
（2）如图2，连接OA，当OA＝2，∠OAB＝20°，求的长．
21．（9分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点F是CD延长线上的一点，且AD平分∠BDF，AE⊥CD于点E．
（1）求证：AB＝AC．
（2）若BD＝18，DE＝2，求CD的长．
22．（12分）如图，四边形ABCD是正方形，点E在AB的延长线上，连接EC，EC绕点E逆时针旋转90°得到EF，连接CF、AF，CF与对角线BD交于点G．
（1）若BE＝2，求AF的长度；
（2）求证：AF+2BG＝AD．
23．（12分）如图，△ABC内接于⊙O，AE⊥BC于点E，BD⊥AC于点D，延长BD交⊙O于点G，连接AG．
（1）求证：AF＝AG；
（2）连接DE，若DE＝，∠FAG＝105°，求⊙O的半径．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．【解答】解：根据点和圆的位置关系，得OP＝7cm，
再根据线段的中点的概念，得OA＝2OP＝14cm．
故选：B．
2．【解答】解：作劣弧AB所对的圆周角∠ACB，如图，
根据圆内接四边形的性质得∠APB＝180°﹣∠ACB＝180°﹣130°＝50°，
∴∠AOB＝2∠APB＝100°．
故选：A．
3．【解答】解：A、平分弦（表示直径）的直径垂直于弦，故不符合题意；
B、三角形的外心到三角形各顶点的距离相等，故不符合题意；
C、同圆中等弦所对的圆周角相等，故符合题意；
D、圆是轴对称图形，对称轴是圆的直径所在的直线，故不符合题意；
故选：C．
4．【解答】解：作AC、BD的垂直平分线交于点E，
点E即为旋转中心，E（1，1），
故选：A．
5．【解答】解：连接OA、OB，如图，
∵OA＝OB＝AB，
∴△OAB为等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
即弦AB所对应的圆心角的度数为60°．
故选：C．
6．【解答】解：连接OC，
∵AB⊥CD，AB过圆心O，CD＝8，
∴CP＝DP＝4，
设⊙O的半径为R，
∵AP＝8，
∴OP＝8﹣R，
在Rt△COP中，由勾股定理得：CP2+OP2＝OC2，
即（8﹣R）2+42＝R2，
解得：R＝5，
∴⊙O的半径为5，
故选：C．
7．【解答】解：连接BE，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BCD+∠BAD＝180°，
∵∠BCD＝2∠BAD，
∴∠BAD＝60°，
由圆周角定理得：∠BED＝∠BAD＝60°，
∵DE是⊙O的直径，
∴∠EBD＝90°，
∴∠BDE＝90°﹣60°＝30°，
故选：B．
8．【解答】解：∵直径AB＝6，
∴半径OB＝3，
∵圆周角∠A＝30°，
∴圆心角∠BOC＝2∠A＝60°，
∴的长是＝π，
故选：D．
9．【解答】解：如图，连接P1P4，P2P5交于点O．
在正六边形的边上距离P1最远的点是P4，
∵△OP1P2，△OP4P5都是等边三角形，
∴OP1＝OP2＝P1P1＝2，
∴P1P2＝4，
故选：B．
10．【解答】解：如图，
∵∠AOB＝∠EOF＝90°，
∴∠AOE＝∠BOF，
∴＝，
∴AE＝BF，
故①正确，
∵∠EOF+∠ABC＝180°，
∴点O、G、B、H共圆，
∴∠OHG＝∠ABO＝45°，∠OGH＝∠CBO＝45°，
∴OG＝OH，
故②正确；
∵OA＝OB，OG＝OH，∠AOG＝∠BOH，
∴△AOG≌△BOH（SAS），
∴四边形OGBH的面积等于三角形AOB的面积，
故③错误，
∵△GOH是等腰直角三角形，
∴当OG最小时，△GOH的周长最小，
∴当OH⊥BC时，周长最小是：2OK+OK＝4+2，
故④错误，
故选：B．
二．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分）
11．【解答】解：∵∠A+∠BCD＝180°，∠DCE+∠BCD＝180°，
∴∠A＝∠DCE＝68°，
∴∠BOD＝2∠A＝136°．
故答案为：136°．
12．【解答】解：扇形的面积＝××2＝（cm2）．
故答案为：．
13．【解答】解：连接BC，
∵弧AB、BC、CD的长相等，
∴∠BAC＝∠BDC＝∠BCA＝∠DBC，
设∠ACD＝∠ABD＝x，
∵∠F＝40°，
∴∠BAC＝x+40°，
∴∠BDC＝∠BCA＝∠DBC＝x+40°，
在△ABC中，x+40°+x+x+x+40°+40°＝180°，
解得x＝15°，
∴∠DBC＝∠BCA＝55°，
∴∠AED＝∠BEC＝70°．
故答案为：70°．
14．【解答】解：连接CE，
∵CH是⊙O的直径，
∴∠CEH＝90°，
∴∠CEF＝180°﹣90°＝90°，
∴点E在以CF为直径的⊙M上，
连接EM、DM，
∵正方形ABCD的边长是4，F点是BC边的中点，
∴BC＝CD＝4，∠BCD＝90°，CF＝BC＝2，
∴FM＝MC＝EM＝1，
在Rt△DMC中，DM＝＝＝，
∵DE≥DM﹣EM，
∴当且仅当D、E、M三点共线时，线段DE取得最小值，
∴线段DE的最小值为﹣1，
故答案为：﹣1．
15．【解答】解：∵A1（1，0）作A1B1⊥x轴，与直线y＝x交于点B1，
∴OA1＝1，B1（1，1），
∵以原点O为圆心，OB1长为半径画圆弧交x轴于点A2，
∴OA2＝OB1＝OA1＝，
∵以原点O为圆心，OB2长为半径画圆弧交x轴于点A3，
∴OA3＝OB2＝OA2＝×＝（）2，
同理可得OA4＝（）3，

∴OA2022＝（）2021，
∴点A2022的坐标为（（）2021，0）．
故答案为：（（）2021，0）．
三．解答题（共8小题，满分70分）
16．【解答】证明：在图①中，
∵OA＝OB，
∴∠A＝∠B，
又∵∠AOC＝∠A+∠B，
∴∠ABC＝∠AOC；
在图②中，作直径BD，
同①可得∠ABD＝∠AOD，∠CBD＝∠COD，
∴∠ABD+∠CBD＝（∠AOD+∠COD），
则∠ABC＝∠AOC；
在图③中，作直径BD．
同理∠CBD＝∠COD，∠ABD＝∠AOD，
∴∠ABC＝∠CBD﹣∠ABD＝∠COD﹣∠AOD＝（∠COD﹣∠AOD）＝∠AOC．
17．【解答】解：（1）如图，△A1OB1即为所求．
（2）由图可得，点A1的坐标为（2，0），点B1的坐标为（0，1）．
18．【解答】解：货船能顺利通过这座拱桥，理由如下：
如图，连接ON、OA．
∵OC⊥AB，AB＝7.2m，
∴AD＝AB＝3.6（m），
设OB＝OC＝ON＝rm，则OD＝（r﹣2.4）m，
在Rt△AOD中，根据勾股定理得：r2＝（r﹣2.4）2+3.62，
解得：r＝3.9．
∵CD＝2.4m，船舱顶部为正方形并高出水面1.5m，
∴CH＝2.4﹣1.5＝0.9（m），
∴OH＝3.9﹣0.9＝3（m），
在Rt△OHN中，HN2＝ON2﹣OH2＝3.92﹣32＝6.21（m2），
∴HN＝（m），
∴MN＝2HN＝2（m）＞3m，
∴货船能顺利通过这座拱桥．
19．【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠BAD＝∠BCD＝32°，
∴∠ABD＝90°﹣∠BAD＝90°﹣32°＝58°；
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠BAD＝∠BCD＝30°，r＝4，
∴BD＝AB＝4．
20．【解答】解：（1）如图1，∵AC＝BD，
∴＝，
∴＝，
∴∠A＝∠B，
∵AC⊥BD，
∴∠∠AEB＝90°
∴∠ABD＝45°；
（2）如图2，连接OB、OC、OD，
∵OA＝OB，∠OAB＝20°，
∴∠AOB＝180°﹣20°﹣20°＝140°，
∵∠ABD＝∠BAC＝45°，
∴∠AOD＝∠BOC＝45°×2＝90°，
∴∠COD＝360°﹣140°﹣90°﹣90°＝40°，
∴的长＝．
21．【解答】（1）证明：∵AD平分∠BDF，
∴∠ADF＝∠ADB，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADF＝180°，
∴∠ADF＝∠ABC，
∵∠ACB＝∠ADB，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC；
（2）解：过点A作AG⊥BD，垂足为点G．
∵AD平分∠BDF，AE⊥CF，AG⊥BD，
∴AG＝AE，∠AGB＝∠AEC＝90°，
在Rt△AED和Rt△AGD中，
，
∴Rt△AED≌Rt△AGD，
∴GD＝ED＝2，
在Rt△AEC和Rt△AGB中，
，
∴Rt△AEC≌Rt△AGB（HL），
∴BG＝CE，
∵BD＝18，
∴BG＝BD﹣GD＝18﹣2＝16，
∴CE＝BG＝16，
∴CD＝CE﹣DE＝16﹣2＝14．
22．【解答】（1）解：连接AC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠EBC＝90°，AC2＝AB2+BC2＝2BC2，
∴CE2＝BE2+BC2，
∵EC绕点E逆时旋转90°得到EF，
∴EF＝EC，∠FEC＝90°，
∴∠EFC＝∠ECF＝45°，CF2＝EF2+CE2＝2CE2＝2BE2+2BC2，
∴∠EFC＝∠EAC＝45°，
∴∠FAE＝∠FCE＝45°，
∴∠FAC＝90°，
∴CF2＝AF2+AC2＝AF2+2BC2，
∴AF2+2BC2＝2BE2+2BC2，
即AF2＝2BE2，
∵BE＝2，
∴AF2＝2×22＝8，
解得AF＝；
（2）证明：连接AC，延长AF，CB交于点H，
∵∠FAE＝∠ABD＝45°，
∴AF∥BD，
又∵AD∥BC，
∴四边形ADBH是平行四边形，
∴AD＝BH＝BC＝AB，
∴AH＝AB＝CD，
∵AH∥BG，
∴CG＝FG，
∴BG是△CBF的中位线，
∴HF＝2BG，
∵AH＝AF+FH，
∴AD＝AF+2BG，
即AF+2BG＝AD．
23．【解答】（1）证明：∵AE⊥BC于点E，BD⊥AC于点D，
∴∠ACB+∠EFD＝180°，
∵∠AFD+∠EFD＝180°，
∴∠AFD＝∠ACB，
∵∠AGD＝∠ACB，
∴∠AFD＝∠AGD，
∴AF＝AG；
（2）解：延长AE交⊙O于M，连接BM，GM，GC，MC，MO，作直径GN，作MH⊥GN于H，
∵AF＝AG，AC⊥FG，
∴FD＝DG，
同理，FE＝EM，
∴MG＝2DE＝2（+），
∵∠MAG+∠MCG＝180°，
∴∠MCG＝180°﹣∠MAG＝180°﹣105°＝75°，
∴∠MOG＝2∠MCG＝150°，
∴∠MOH＝30°，
设MH＝x，
∴OM＝OG＝2x，OH＝x，
∵MH2+GH2＝GM2，
∴x2+（2+）2x2＝22（+）2，
∴（8+4）x2＝4（8+4），
∴x2＝4，
∴x＝2，
∴⊙O半径长为2x＝4．