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浙教版2022-2023学年八上数学第2章 特殊三角形 培优测试卷
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA， OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定， ，点D，E可在槽中滑动，若 ，则 的度数是（ ）
A．84 B．82 C．81 D．78
【答案】A
【解析】∵OC=CD=DE，
∴∠O=∠ODC，∠DCE=∠DEC，
∴∠DCE=∠O+∠ODC=2∠ODC，
∵∠O+∠OED=3∠ODC=∠BDE=72°，
∴∠ODC=24°，
∵∠CDE+∠ODC=180°-∠BDE=108°，
∴∠CDE=108°-∠ODC=84°．
故答案为：A．
2．如图，在△ABC中，AB＝20 cm，AC＝12 cm，点P从点B出发以每秒3 cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2 cm的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当△APQ是以A为顶点的等腰三角形时，运动的时间是（ ）
A．2.5秒 B．3秒 C．3.5秒 D．4秒
【答案】D
【解析】设运动时间是x秒，
由题意可得BP=3xcm，AQ=2xcm，
∴AP=(20-3x)cm，
∵△APQ是以A为顶点的等腰三角形，
∴AP=AQ，
∴20-3x=2x，
解得x=4，
故答案为：D.
3．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，若 cm， cm，则S△ABC为（ ）．
A．24cm2 B．36cm2 C．48cm2 D．60cm2
【答案】A
【解析】根据直角三角形的勾股定理可得： =100，根据完全平方公式可得： ，即 +2ab=196，则ab=48，根据三角形的面积计算公式可得：S= ab=24.
4．如图，∠AOB=120°，OP平分∠AOB，且OP=2．若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个
【答案】D
【解析】如图，
在OA、OB上截取OE=OF=OP，作∠MPN=60°，
∵OP平分∠AOB，
∴∠EOP=∠POF=60°，
∵OP=OE=OF，
∴△OPE，△OPF是等边三角形，
∴EP=OP，∠EPO=∠OEP=∠PON=∠MPN=60°，
∴∠EPM=∠OPN，
在△PEM和△PON中，∠PEM=∠PON，PE=PO，∠EPM=∠OPN，
∴△PEM≌△PON，
∴PM=PN，
∴△PMN是等边三角形，
∴满足条件的△PMN有无数个，
故答案为：D.
5．如图，在△ABC中，AB=AC=5，P是BC边上除B、C点外的任意一点，则代数式AP2+PB PC等于（ ）
A．25 B．15 C．20 D．30
【答案】A
【解析】过点A作AD⊥BC于D，
∵AB=AC=5，∠ADP=∠ADB=90°，
∴BD=CD，根据勾股定理得：PA2=PD2+AD2，AD2+BD2=AB2，
∴AP2+PB PC=AP2+（BD+PD）（CD﹣PD）=AP2+（BD+PD）（BD﹣PD）=AP2+BD2﹣PD2=AP2﹣PD2+BD2=AD2+BD2=AB2=25．
故选A
6．如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，∠ABC=2∠C，BE 平分∠ABC 交 AC 于 E，AD⊥BE 于 D，下列结论：①AC﹣BE=AE；②点 E 在线段 BC 的垂直平分线上；③∠DAE=∠C；④BC=4AD，其中正确的个数有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【答案】D
【解析】①∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE= ∠ABC，
∵∠ABC=2∠C，
∴∠EBC=∠C，
∴BE=CE，
∴AC-BE=AC-CE=AE；（①正确）
②∵BE=CE，
∴点E在线段BC的垂直平分线上；（②正确）
③∵∠BAC=90°，∠ABC=2∠C，
∴∠ABC=60°，∠C=30°，
∵BE=CE，
∴∠EBC=∠C=30°，
∴∠BEA=∠EBC+∠C=60°，
又∵∠BAC=90°，AD⊥BE，
∴∠DAE=∠ABE=30°，
∴∠DAE=∠C；（③正确）
④∠ABE=30°，AD⊥BE，
∴AB=2AD，
∵∠BAC=90°，∠C=30°，
∴BC=2AB，
∴BC=4AD.（④正确）
综上，正确的结论有4个，故答案为：D.
7．如图所示，将 沿 所在直线折叠，使点 与点 重合，下列说法：① 是 边上的中线；② 平分 ；③ ；④ 是等腰三角形.其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③④ D．②③④
【答案】C
【解析】由折叠可知：BE=CE，BD=DC,DE⊥BC，因此①③④正确.
故答案为：C.
8．如图，在 中， ， ，斜边 的两个端点分别在相互垂直的射线 、 上滑动，下列结论：①若 、 两点关于 对称，则 ；② 、 两点距离的最大值为 ；③若 平分 ，则 ；④ 四边形 的面积为 ．其中正确结论的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在 中， ， ，∴ ， ，∴若 、 两点关于 对称，如图 ，
∴ 为 的垂直平分线，∴ ，∴①正确；
②如图 ，取 的中点为 ，连接 、 ．
∵ ，∴ ．
当 经过点 时， 最大且 、 两点距离的最大值为 ，∴②正确；
③如图 ，
当 ， ，∴四边形 是矩形，∴ 与 相互平分，但 与 的夹角为 、 ，不垂直，∴③不正确；
④如图 ，此时四边形 的面积， ，∴④不正确．
综上所述：正确的有①②， 个结论．故答案为： ．
9．如图，等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，∠ABC的平分线分别交AC、AD于E、F两点，M为EF的中点，延长AM交BC于点N，连接DM．下列结论：①AE=AF；②AM⊥EF；③AF=DF；④DF=DN，其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】∵∠BAC=90°，AC=AB，AD⊥BC，
∴∠ABC=∠C=45°，AD=BD=CD，∠ADN=∠ADB=90°，
∴∠BAD=45°=∠CAD，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE= ∠ABC=22.5°，
∴∠BFD=∠AEB=90°-22.5°=67.5°，
∴∠AFE=∠BFD=∠AEB=67.5°，
∴AF=AE，故①正确；
∵M为EF的中点，
∴AM⊥EF，故②正确；
过点F作FH⊥AB于点H，
∵BE平分∠ABC，且AD⊥BC，
∴FD=FH＜FA，故③错误；
∵AM⊥EF，
∴∠AMF=∠AME=90°，
∴∠DAN=90°-67.5°=22.5°=∠MBN，
在△FBD和△NAD中
∴△FBD≌△NAD，
∴DF=DN，故④正确；
故答案为：C．
10．如图，Rt△ABC，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，将边Ac沿CE翻折，使点A落在AB上的D处，再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点F处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段BF的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据折叠的性质可知CD=AC=3，B′C=BC=4，∠ACE=∠DCE，∠BCF=∠B′CF，CE⊥AB，
∴B′D=4﹣3=1，∠DCE+∠B′CF=∠ACE+∠BCF，
∵∠ACB=90°，
∴∠ECF=45°，
∴△ECF是等腰直角三角形，
∴EF=CE，∠EFC=45°，
∴∠BFC=∠B′FC=135°，
∴∠B′FD=90°，
∵S△ABC= AC×BC= AB×CE，
∴AC×BC=AB×CE，
∵根据勾股定理求得AB=5，
∴CE= ，
∴EF= ，ED=AE= ，
∴DF=EF﹣ED= ，
∴B′F= ．
∴BF=B'F= ，
故答案为：B．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，中，于，是的中点．若，，则的长等于 ．
【答案】8
【解析】中，于，是的中点，，
，
．
在直角中，，，，则根据勾股定理，得
.
故答案为：8.
12．在中，，，作边上的垂线交于点，交的延长线于点，连接，若刚好， ．
【答案】
【解析】，
，
，
，
，，
∴△ABC≌△EFC（AAS），
，
在中
，
故答案为：．
13．如图，在 ABC中，AB＝20，AC＝15，BC＝7，则点A到BC的距离是 .
【答案】12
【解析】过A作AD⊥BC交BC的延长线于D，
∴∠D=90°，
∴AB2 BD2=AD2=AC2 CD2，
∵AB=20，AC=15，BC=7，
∴202 （7+CD）2=152 CD2，
∴CD=9，
∴ ，
∴点A到BC的距离是12；
故答案为：12.
14．如图，△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝24，点D在BC上（BD＞CD），△AED与△ACD关于直线AD轴对称，点C的对称点是点E，AE交BC于点F，连结BE，CE.当DE⊥BC时，∠ADE的度数为 ，CE的长为 .
【答案】135°；
【解析】过A作AH⊥BC于H，
∵AB＝AC＝13，BC＝24，
∴BH＝CH＝12，
∴AH＝ ＝5，
∵△AED与△ACD关于直线AD轴对称，
∴∠ADC＝∠ADE，CD＝DE，
∵DE⊥BC，
∴∠BDE＝90°，
∴∠ADE＝90°+∠ADB＝∠ADC，
∴90°+∠ADB＝180°﹣∠ADB，
∴∠ADB＝45°，
∵∠AHC＝90°，
∴∠ADB＝∠HAD＝45°，
∴AH＝HD＝5，∠ADE＝∠ADB+∠BDE＝135°，
∴BD＝12+5＝17，
∴CD＝DE＝24﹣17＝7，
∴CE＝ ＝7.
故答案为：135°，7 .
15．如图，在等边△ABC中，点D是AC上的一点，在BC上取一点E，使BE=CD，连接AE交BD于点P，在BD的延长线上取一点Q，使AP=PQ，连接AQ、CQ，点G为PQ的中点，DG=PE，若CQ= ，则BQ= ．
【答案】
【解析】如下图，连接CG，∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABE=∠BCD=60°，
∵BE=CD，
∴△ABE≌△BCD，
∴∠BAE=∠CBD，
∴∠APQ=∠BAE+∠ABD=∠CBD+∠ABD=∠ABC=60°，
∵AP=PQ，
∴△APQ是等边三角形，
∴∠PAQ=∠BAC=60°，AP=AQ，
∴∠BAC-∠EAC=∠PAQ-∠EAC，即∠BAP=∠CAQ，
∴△BAP≌△CAQ，
∴BP=CQ= ，
∵∠BEP=∠ACB+∠CAE=60°+∠CAE，∠CDG=∠APQ+∠CAE=60°+∠CAE，
∴∠BEP=∠CDG，
又∵BE=CD，PE=DG，
∴△BEP≌△CDG，
∴CG=BP=CQ，∠PBE=∠GCD，
∴∠DGC=∠PBE+∠GCB=∠GCD+∠GCB=∠DCB=60°，
∴△GCD是等边三角形，
∴GQ=CQ= ，
又∵点G是PQ的中点，
∴PQ=2GQ= ，
∴BQ=BP+PQ= .
故答案为： .
16．如图 与 都是以 为直角顶点的等腰直角三角形， 交 于点 ，若 ， ，当 是直角三角形时，则 的长为 ．
【答案】 或
【解析】∵△ABC、△ADE都是以A为直角顶点的等腰直角三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE，
∴在△ABD和△ACE中： ，
∴△ABD≌△ACE，
∴BD=CE.
①如图 ，
当∠CFE=90°时，AF⊥DE，
∴AF=EF= AE= ，
∴CF=AC-AF=5-3=2，
∴在Rt△CEF中，CE= ，
∴BD=CE= .
②如图 ：当∠CEF=90°时，∠AEC=90°+45°=135°，
∵△ABD≌△ACE，
∴∠ADB=∠AEC=135°，
∴∠ADB+∠ADE=135°+45°=180°，
∴点B、D、F三点共线，
过点A作AG⊥DE于点G，
则AG=DG= AD= ，
∴在Rt△ABG中，BG= ，
∴BD=BG-DG=4-3=1.
综上所述，BD= 或 .
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图， 是 的 边上的一点， ．
（1）求 的度数；
（2）若 ，求证： 是等腰三角形．
【答案】（1）解：∵在△ABD中，AD=BD，
∴∠B=∠BAD ，
∵∠ADC=∠B+∠BAD，∠ADC=80°，
∴∠B= ∠ADC=40°；
（2）证明：∵∠B=40°，∠BAC=70°，
∴∠C=180°﹣∠B﹣∠BAC=70°，
∴∠C=∠BAC，
∴BA=BC，
∴△ABC是等腰三角形．
18．已知等腰直角 中， ， ，点 为 边上动点，连接 ，过点 作 ，交 于点 ，拖动点 .
（1）若 ，垂足为点 ，求证：
（2）若 且 ，求 的长度
【答案】（1）解：∵
∴
∵
∴
∴
∵等腰直角 中，
∴
∵
∴
∴ ，
∴
∴ ；
（2）解：如图，过D作 交AC于点G
设
∵ ，
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴ ，即
∴
∴
∵
∴
∴ 或 （舍去）
∴ 的长度为 .
19．如图，在△ABC中，D、E为BC上的点，AD平分∠BAE，CA=CD.
（1）求证：∠CAE＝∠B；
（2）若∠B＝50°，∠C＝3∠DAB，求∠C的大小.
【答案】（1）证明：∵CA＝CD，
∴∠CAD＝∠CDA，
∵AD平分∠BAE，
∴∠EAD＝∠BAD，
∵∠B＝∠CDA﹣∠BAD，∠CAE＝∠CAD﹣∠DAE，
∴∠CAE＝∠B
（2）解：设∠DAB＝x，
∵∠C＝∠3∠DAB，
∴∠C＝3x，
∵∠CAE＝∠B，∠B＝50°，
∴∠CAE＝50°，
∵AD平分∠BAE，
∴∠EAB＝2∠DAB＝2x，
∴∠CAB＝∠CAE+∠EAB＝50°+2x，
∵∠CAB+∠B+∠C＝180°，
∴50°+2x+50°+3x＝180°，
∴x＝16°，
∴∠C＝3×16°＝48°
20．如图， 和 都是正三角形， 和 交于点 .
（1）求证： ；
（2）求证： 平分 .
【答案】（1）解：∵ 和 都是正三角形，
∴ ， ， ，
∴ ，即 ，
∴ .
（2）解：过点 作 交 于点 ，过点 作 交 于点 ，
由（1）可得 ，
∴ ， ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ 平分 .
21．如图，在外作两个大小不同的等腰直角三角形，其中，，连接、交于点．
（1）求证：≌．
（2）直线、是否互相垂直，请说明理由．
（3）求证：平分．
【答案】（1）证明： ，
，即 ，
又 ， ，
在 与 中
≌ ；
（2）解： ．
理由是：
如图，作 于 ，
≌
（3）证明：如图， 作 于 ，
≌
， ，
，
，
平分 ．
22．已知Rt△ABC，AB＝AC，点D在△ABC的外部，且∠DAC＜90°，
（1）如图1，若AD＝AC，求∠BDC；
（2）如图2，点E在线段AC上，线段DE的垂直平分线交BC的延长线于点P.当点D正好和点B关于线段AC的中点对称时，
①证明：△PDE为直角三角形；
②连接BE、AD，若 ，直接写出 ＝ .
【答案】（1）设∠DAC＝x，则∠BAD＝90°+x，
∵AD＝AC＝AB，
∴∠ADB＝45°﹣ ，∠ADC＝90°﹣ ，
∴∠BDC＝∠ADC﹣∠ADB＝45°；
（2）如图2，过点P作PH⊥CD，PG⊥AC ∵线段DE的垂直平分线交BC的延长线于点P. ∴EP＝DP， ∵点D正好和点B关于线段AC的中点O对称， ∴AO＝CO，BO＝DO，且∠AOB＝∠COD， ∴△AOB≌△COD（SAS） ∴AB＝CD，∠BAC＝∠ACD＝90°， ∵AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴∠ACB＝45°，且∠ACD＝90°， ∴∠PCG＝∠PCH＝45°，且PC＝PC，∠PGC＝∠PHC＝90°， ∴△PHC≌△PGC（AAS） ∴PH＝PG，且EP＝DP， ∴Rt△PEG≌Rt△PDH（HL）， ∴∠EPG＝∠HPD， ∵∠HCG＝∠HCP+∠GCP＝90°，PH⊥CD，PG⊥AC， ∴∠HPG＝90°， ∴∠EPG+∠EPH＝90°， ∴∠DPH+∠EPH＝90°即∠DPE＝90° ∴△PDE为直角三角形；；8
【解析】（2）②如图2，
∵ ，
∴设BC＝8a，BP＝11a，则CP＝3a，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，BC＝8a，
∴AB＝AC＝4 a，
∴CD＝4 a，
∵∠PCH＝∠PCG＝45°，PH⊥CD，PG⊥AC，
∴∠PCH＝∠PCG＝∠HPC＝∠GCP＝45°，
∴CH＝HP，CG＝GP，且CP＝3a，PH⊥CD，PG⊥AC，
∴CH＝HP＝CG＝GP＝ a，
∴DH＝CD﹣CH＝ a，
∵Rt△PEG≌Rt△PDH，
∴EG＝DH＝ a，
∴EC＝EG﹣CG＝ a，
∴AE＝ a，
∴ ＝ ＝8，
故答案为8.
23．在等腰△ABC中，AB=AC，点D是AC上一动点，点E在BD的延长线上，且AB=AE，AF平分∠CAE交DE于点F，连接FC．
（1）如图1，求证：∠ABE=∠ACF；
（2）如图2，当∠ABC=60°时，在BE上取点M，使BM=EF，连接AM．求证：△AFM是等边三角形；
（3）如图3，当∠ABC=45°，且AEBC时，求证：BD=2EF．
【答案】（1）证明：∵AF平分∠CAE，
∴∠EAF=∠CAF，
∵AB=AC，AB=AE，
∴AE=AC，
在△ACF和△AEF中，
∵AE=AC，∠EAF=∠CAF，AF=AF，
∴△ACF≌△AEF（SAS），
∴∠E=∠ACF，
∵AB=AE，
∴∠E=∠ABE，
∴∠ABE=∠ACF；
（2）解：如图，在BF上截取BM=CF，连接AM，
∵△ACF≌△AEF，
∴EF=CF，∠E=∠ACF=∠ABM，
在△ABM和△ACF中，
∵AB=AC，∠ABM=∠ACF，BM=CF，
∴△ABM≌△ACF（SAS），
∴AM=AF，∠BAM=∠CAF，
∵AB=AC，∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∴∠MAF=∠MAC+∠CAF=∠MAC+∠BAM=∠BAC=60°，
∵AM=AF，
∴△AMF为等边三角形；
（3）解：如图3，延长BA、CF交于N，
∵AE∥BC，
∴∠E=∠EBC，
∵AB=AE，
∴∠ABE=∠E，
∴∠ABF=∠CBF，
∵∠ABC=45°，
∴∠ABF=∠CBF=22.5°，∠ACB=45°，
∴∠BAC=180°-45°-45°=90°，
∴∠ACF=∠ABF=22.5°，
∴∠BFC=180°-22.5°-45°-22.5°=90°，
∴∠BFN=∠BFC=90°，
在△BFN和△BFC中，
∵∠NBF=∠CBF，BF=BF，∠BFN=∠BFC，
∴△BFN≌△BFC（ASA），
∴CF=FN，即CN=2CF=2EF，
∵∠BAC=90°，
∴∠NAC=∠BAD=90°，
在△BAD和△CAN中，
∵∠ABD=∠ACN ，AB=AC，∠BAD=∠CAN，
∴△BAD≌△CAN（ASA），
∴BD=CN，
∴BD=2EF．
24．已知，△ABC是边长为3cm的等边三角形，动点P以1cm/s的速度从点A出发，沿线段AB向点B运动．请分别解决下面四种情况：
（1）如图1，设点P的运动时间为t(s)，那么t= s时，△PBC是直角三角形；
（2）如图2，若另一动点Q从点B出发，沿线段BC向点C运动，如果动点P、Q都以1cm／s的速度同时出发，设运动时间为t(s)，那么t为何值时，△PBQ是直角三角形
（3）如图3，若另一动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动．连接PQ交AC于D，如果动点P、Q都以1cm／s的速度同时出发，设运动时间为t(s)，那么t为何值时，△DCQ是等腰三角形
（4）如图4，若另一动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动，连接PQ交AC于D，连接PC，如果动点P、Q都以1cm/s的速度同时出发．请你猜想：在点P、Q的运动过程中，△PCD和△QCD的面积有什么关系 并说明理由．
【答案】（1）1.5
（2）解：∵∠B=60°，
∴当∠PQB为直角时，PB=2QB，
则AB-AP=2BQ，
3-t=2t，
解得t=1，
当∠BPQ为直角时，
BQ=2PB，
则BQ=2(AB-AP)
即t=2(3-t)，
解得x=2.
∴当t 为 2s 或 1s 时，△PBQ 为直角三角形.
（3）解：当△DCQ为等腰三角形时，
∵∠DCQ=120°，
∴CD=CQ，
∴∠CQD=∠ACB=30°，
∴∠BPQ=90°，
∴BQ=2BP，
∴3+t=2(3-t)，
解得t=1.
（4）解：如图，过P作PE∥BC，
∵△ABC为等边三角形，
∴△APE为等边三角形，
∴PE=AP=t，
∵CQ=t，
∴PE=CQ，
∴△PED≌△QCD
∴PD=QD，
∵△PCD和△QCD等底同高，
∴ S△PCD=S△QCD .
【解析】（1）∵△ABC是等边三角形，
∴当P为AB的中点时，CP⊥AB，
∴AP=1.5，
∴t=1.5÷1=1.5(s).
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浙教版2022-2023学年八上数学第2章 特殊三角形 培优测试卷
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA， OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定， ，点D，E可在槽中滑动，若 ，则 的度数是（ ）
A．84 B．82 C．81 D．78
（第1题） （第2题） （第4题）
2．如图，在△ABC中，AB＝20 cm，AC＝12 cm，点P从点B出发以每秒3 cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2 cm的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当△APQ是以A为顶点的等腰三角形时，运动的时间是（ ）
A．2.5秒 B．3秒 C．3.5秒 D．4秒
3．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，若 cm， cm，则S△ABC为（ ）．
A．24cm2 B．36cm2 C．48cm2 D．60cm2
4．如图，∠AOB=120°，OP平分∠AOB，且OP=2．若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个
5．如图，在△ABC中，AB=AC=5，P是BC边上除B、C点外的任意一点，则代数式AP2+PB PC等于（ ）
A．25 B．15 C．20 D．30
（第5题） （第6题） （第7题） （第8题） （第9题）
6．如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，∠ABC=2∠C，BE 平分∠ABC 交 AC 于 E，AD⊥BE 于 D，下列结论：①AC﹣BE=AE；②点 E 在线段 BC 的垂直平分线上；③∠DAE=∠C；④BC=4AD，其中正确的个数有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
7．如图所示，将 沿 所在直线折叠，使点 与点 重合，下列说法：① 是 边上的中线；② 平分 ；③ ；④ 是等腰三角形.其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③④ D．②③④
8．如图，在 中， ， ，斜边 的两个端点分别在相互垂直的射线 、 上滑动，下列结论：①若 、 两点关于 对称，则 ；② 、 两点距离的最大值为 ；③若 平分 ，则 ；④ 四边形 的面积为 ．其中正确结论的个数是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，∠ABC的平分线分别交AC、AD于E、F两点，M为EF的中点，延长AM交BC于点N，连接DM．下列结论：①AE=AF；②AM⊥EF；③AF=DF；④DF=DN，其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，Rt△ABC，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，将边Ac沿CE翻折，使点A落在AB上的D处，再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点F处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段BF的长为（ ）
A． B． C． D．
（第10题） （第11题） （第12题） （第13题） （第14题）
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，中，于，是的中点．若，，则的长等于 ．
12．在中，，，作边上的垂线交于点，交的延长线于点，连接，若刚好， ．
13．如图，在 ABC中，AB＝20，AC＝15，BC＝7，则点A到BC的距离是 .
14．如图，△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝24，点D在BC上（BD＞CD），△AED与△ACD关于直线AD轴对称，点C的对称点是点E，AE交BC于点F，连结BE，CE.当DE⊥BC时，∠ADE的度数为 ，CE的长为 .
15．如图，在等边△ABC中，点D是AC上的一点，在BC上取一点E，使BE=CD，连接AE交BD于点P，在BD的延长线上取一点Q，使AP=PQ，连接AQ、CQ，点G为PQ的中点，DG=PE，若CQ= ，则BQ= ．
（第15题） （第16题）
16．如图 与 都是以 为直角顶点的等腰直角三角形， 交 于点 ，若 ， ，当 是直角三角形时，则 的长为 ．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图， 是 的 边上的一点， ．
（1）求 的度数；
（2）若 ，求证： 是等腰三角形．
18．已知等腰直角 中， ， ，点 为 边上动点，连接 ，过点 作 ，交 于点 ，拖动点 .
（1）若 ，垂足为点 ，求证：
（2）若 且 ，求 的长度
19．如图，在△ABC中，D、E为BC上的点，AD平分∠BAE，CA=CD.
（1）求证：∠CAE＝∠B；
（2）若∠B＝50°，∠C＝3∠DAB，求∠C的大小.
20．如图， 和 都是正三角形， 和 交于点 .
（1）求证： ；
（2）求证： 平分 .
21．如图，在外作两个大小不同的等腰直角三角形，其中，，连接、交于点．
（1）求证：≌．
（2）直线、是否互相垂直，请说明理由．
（3）求证：平分．
22．已知Rt△ABC，AB＝AC，点D在△ABC的外部，且∠DAC＜90°，
（1）如图1，若AD＝AC，求∠BDC；
（2）如图2，点E在线段AC上，线段DE的垂直平分线交BC的延长线于点P.当点D正好和点B关于线段AC的中点对称时，
①证明：△PDE为直角三角形；
②连接BE、AD，若 ，直接写出 ＝ .
23．在等腰△ABC中，AB=AC，点D是AC上一动点，点E在BD的延长线上，且AB=AE，AF平分∠CAE交DE于点F，连接FC．
（1）如图1，求证：∠ABE=∠ACF；
（2）如图2，当∠ABC=60°时，在BE上取点M，使BM=EF，连接AM．求证：△AFM是等边三角形；
（3）如图3，当∠ABC=45°，且AEBC时，求证：BD=2EF．
24．已知，△ABC是边长为3cm的等边三角形，动点P以1cm/s的速度从点A出发，沿线段AB向点B运动．请分别解决下面四种情况：
（1）如图1，设点P的运动时间为t(s)，那么t= s时，△PBC是直角三角形；
（2）如图2，若另一动点Q从点B出发，沿线段BC向点C运动，如果动点P、Q都以1cm／s的速度同时出发，设运动时间为t(s)，那么t为何值时，△PBQ是直角三角形
（3）如图3，若另一动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动．连接PQ交AC于D，如果动点P、Q都以1cm／s的速度同时出发，设运动时间为t(s)，那么t为何值时，△DCQ是等腰三角形
（4）如图4，若另一动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动，连接PQ交AC于D，连接PC，如果动点P、Q都以1cm/s的速度同时出发．请你猜想：在点P、Q的运动过程中，△PCD和△QCD的面积有什么关系 并说明理由．
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