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浙教版2022-2023学年八上数学第2章 特殊三角形 尖子生测试卷
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图， 与 关于直线 对称，点 为 上任一点，下列结论中错误的是（ ）
A． 是等腰三角形 B． 垂直平分
C． 与 面积相等 D．直线 ， 的交点不一定在 上
（第1题） （第2题） （第3题） （第4题）
2．如图，已知 ， 点 在 边上， ，点 、 在边 上， ，若 ，则 为（ ）
A． B．3cm C． D．
3．在如图的网格中，在网格上找到点C，使△ABC为等腰三角形，这样的点有几个（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
4．如图，已知AB=A1B，A1B1=A1A2，A2B2=A2A3，A3B3=A3A4…，若∠A=70°，则∠An﹣1AnBn﹣1（n＞2）的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，已知平分，于，，则下列结论：；；；；其中正确结论的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（第5题） （第6题） （第7题） （第8题） （第9题）
6．如图， 中， ， ， ，点 是 的中点，将 沿 翻折得到 ，连 ，则线段 的长等于（ ）
A． B． C． D．
7．如图， 是等边三角形， 是等腰直角三角形，∠BAD=90°，AE⊥BD于点E．连CD分别交AE，AB于点F，G，过点A做AH⊥CD交BD于点H，则下列结论：①∠ADC=15°；②AF=AG；③AH=DF；④△ADF≌△BAH；⑤DF=2EH.其中正确结论的个数为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
8．如图， 中， ， 于D，BE平分 ，且 于E，与CD相交于点F， 于H，交BE于G，下列结论：① ；② ；③ ；④ ．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
9．如图，P为△ABC边BC上的一点，且PC=2PB，已知∠ABC=45°，∠APC=60°，那么∠ACB的度数是 （ ）
A．45° B．75° C．90° D．60°
10．如图，将三角形纸片ABC沿AD折叠，使点C落在BD边上的点E处.若BC＝8，BE＝2.则AB2﹣AC2的值为（ ）
A．4 B．6 C．10 D．16
（第10题） （第13题） （第14题） （第15题） （第16题）
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．“等腰三角形底边上的高线与中线互相重合”的逆命题是 ．这个逆命题是 命题．（真、假）
12．已知等边△ABC的边长为2，点D在射线CB上，点E在射线AC上，且AD=AE，∠EDC=15°，则线段CD= .
13．如图， 和 都是等腰直角三角形， ，连接 交 与 ，连接 交 于点 ，连接 ，下列结论：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ．正确的有 ．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，D为AC中点，过点A作AE∥BC，连结BE，∠EBD=∠CBD，BD=5，则BE的长为 .
15．如图,△ABC中，∠A=90°，AB=AC= ，点P为BC上一动点，以PA为腰作等腰直角△APQ,则AQ+BQ的最小值为 .
16．如图△ABC中，∠BAC=78°，AB=AC，P为△ABC内一点，连BP，CP，使∠PBC=9°，∠PCB=30°，连PA，则∠BAP的度数为 ．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，在AB上取一点E，使得EA=ED.
（1）求证：DE∥AC；
（2）若ED=EB，BD=2，EA=3，求AD的长.
18．如图，等腰 中， ，点 是 上一动点，点 在 的延长线上，且 ， 平分 交 于 ，连 .
（1）如图1，求证： ；
（2）如图2，当 时，求证： .
19．如图，在 中，点 在 上， ， ， 交 于点 ，过点 作 的垂线交 于点 ，连接 ．
（1）求证： ；
（2）连接 交 于点 ，已知 ，求证： ．
20．已知等边△ABC，D是BC上一点，E是平面上一点，且DE＝AD，∠ADE＝60°，连接CE．
（1）当点D是线段BC的中点时，如图1．判断线段BD与CE的数量关系，并说明理由；
（2）当点D是线段BC上任意一点时，如图2．请找出线段AB，CE，CD三者之间的数量关系，并说明理由；
（3）当点D在线段BC的延长线上时，如图3，若△ABC边长为6，设CD＝x，则线段CE＝ （用含x的代数式表示）．
21．在 中， ， ， 是 的角平分线， 于点 ．
（1）如图 ，连接 ，求证： 是等边三角形；
（2）点 是线段 上的一点（不与点 重合），以 为一边，在 的下方作 ， 交 延长线于点 ，请你在图 中画出完整图形，并直接写出 与 之间的数量关系；
（3）如图 ，点 是线段 上的一点，以 为一边，在 的下方作 ， 交 延长线于点 ，试探究 与 数量之间的关系，并说明理由．
22．如图，AD⊥BC于D，BE⊥AC于F，BE交AD于F，BF＝AC，
（1）求证：FD＝CD；
（2）连DE，求证：ED平分∠BEC；
（3）在（2）条件下，点P在AC上，连BP、DP，BP交AD于Q， BP平分∠EBC，∠BPD＝ ∠BFD，△APQ的面积为4，求线段PD的长．
23．如图，在 中， ， 为角平分线.
图1 图2
（1）如图1，已知 ， .求 的面积；
（2）在（1）的条件下， 垂直平分线与 交于点 ，画图并求 的长.
（3）如图2，若 为等边三角形， ， 分别为边 ， 上的动点，且满足 .设 ， ， ，请用等式表示 ， ， 之间的数量关系，并说明理由.
24．从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，若分得的两个小三角形中一个三角形为等腰三角形，另一个三角形的三个内角与原来三角形的三个内角分别相等，则称这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．
例如，等腰直角三角形斜边上的高就是这个等腰直角三角形的一条“等角分割线”．
（1）如图1，在△ABC中，D是边BC上一点，若∠B=30°，∠BAD=∠C=40°，求证： AD为△ABC的“等角分割线”；
（2）如图2，△ABC中，∠C=90°，∠B=30°；
①画出△ABC的“等角分割线”，写出画法并说明理由；
②若BC=3，求出①中画出的“等角分割线”的长度．
（3）在△ABC中，∠A=24°，若△ABC存在“等角分割线”CD，直接写出所有符合要求的∠B的度数．
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浙教版2022-2023学年八上数学第2章 特殊三角形 尖子生测试卷
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图， 与 关于直线 对称，点 为 上任一点，下列结论中错误的是（ ）
A． 是等腰三角形 B． 垂直平分
C． 与 面积相等 D．直线 ， 的交点不一定在 上
【答案】D
【解析】∵△ABC与 关于直线MN对称，P为MN上任意一点，
∴△A P是等腰三角形，MN垂直平分A ，C ，这两个三角形的面积相等，故A、B、C选项不符合题意，
直线AB， 关于直线MN对称，因此交点一定在MN上，故D符合题意，
故答案为：D．
2．如图，已知 ， 点 在 边上， ，点 、 在边 上， ，若 ，则 为（ ）
A． B．3cm C． D．
【答案】B
【解析】过P作PC⊥MN，
∵PM=PN，
∴C为MN中点，即MC=NC= MN=1，
在Rt△OPC中，∠AOB=60°，
∴∠OPC=30°，
∴OC= OP=4，
则OM=OC-MC=4-1=3cm，
故答案为：B．
3．在如图的网格中，在网格上找到点C，使△ABC为等腰三角形，这样的点有几个（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】C
【解析】如图，
∵AB==2，
∴①若BA=BC，则符合要求的有：C1，C2共2个点；
②若AB=AC，则符合要求的有：C3，C4共2个点；
③若CA=CB，则符合要求的有：C5，C6，C7，C8，C9，C10共6个点．
∴这样的C点有10个．
故选：C．
4．如图，已知AB=A1B，A1B1=A1A2，A2B2=A2A3，A3B3=A3A4…，若∠A=70°，则∠An﹣1AnBn﹣1（n＞2）的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵在 △ABA1 中，
∠A=70°，AB=A1B，
∴∠BA1A=70°，
∵A1A2=A1B1， ∠BA1A 是 △A1A2B1 的外角，
∴∠B1A2A1===35°.
同理可得，
∠B2A3A2==17.5°，∠B3A4A3==.
∴∠An-1AnBn-1=
故答案为：C.
5．如图，已知平分，于，，则下列结论：；；；；其中正确结论的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】①在AE取点F，使EF=BE ，
， ，
，
，
，
故①正确；
②在AB上取点F ，使BE=EF，连接CF ．
在△ACD与△ACF中，
， ， ，
≌ ，
．
垂直平分 ，
，
．
又 ，
，
，故②正确；
③由②知， ≌ ，
，
又 ，
，故③正确；
④延长AD，过C做辅助线 ，
易得 ≌ ，
故AD ，
又 ，即可得 ， ，故④不正确.
故答案为：C.
6．如图， 中， ， ， ，点 是 的中点，将 沿 翻折得到 ，连 ，则线段 的长等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，连接 交 于 ，作 于 ．
在 中，∵ ， ，∴ ，∴ ，∴ ．又∵ ，∴ ．
又∵ ， ， ∴ 垂直平分线 ， 是直角三角形．
∵ ，∴ ，∴ ．
在 中， ．
故答案为： ．
7．如图， 是等边三角形， 是等腰直角三角形，∠BAD=90°，AE⊥BD于点E．连CD分别交AE，AB于点F，G，过点A做AH⊥CD交BD于点H，则下列结论：①∠ADC=15°；②AF=AG；③AH=DF；④△ADF≌△BAH；⑤DF=2EH.其中正确结论的个数为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【解析】①符合题意：∵ 是等边三角形，
∴ ，∴ ．
∵ 是等腰直角三角形，∴ ．
又∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ；
②不符合题意：∵∠EDF=∠ADB-∠ADC=30°
∴∠DFE=90°-∠EDF=90°-30°=60°=∠AFG
∵∠AGD=90°-∠ADG=90°-15°=75°
∠AFG≠∠AGD
∴AF≠AG
③，④符合题意，由题意可得 ， ，
∵ ， ．∴ ．
又∵ ，∴ ，
在 和 中
∴ ≌ ．∴ ．
⑤符合题意：∵ ， ，
∴ ，又∵ ，∴
又∵ ，∴ ，又∵ ，∴
8．如图， 中， ， 于D，BE平分 ，且 于E，与CD相交于点F， 于H，交BE于G，下列结论：① ；② ；③ ；④ ．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【解析】∵CD⊥AB，∠ABC＝45°，
∴△BCD是等腰直角三角形．
∴BD＝CD．故①符合题意；
连接CG．
∵△BCD是等腰直角三角形，
∴BD＝CD
又DH⊥BC，
∴DH垂直平分BC．∴BG＝CG
在Rt△CEG中，
∵CG是斜边，CE是直角边，
∴CE＜CG．
∵CE＝AE，
∴AE＜BG．故②不符合题意．
在Rt△BEA和Rt△BEC中
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE．
又∵BE＝BE，∠BEA＝∠BEC＝90°，
∴Rt△BEA≌Rt△BEC．
∴CE＝AE＝ AC．
在Rt△DFB和Rt△DAC中，
∵∠DBF＝90°﹣∠BFD，∠DCA＝90°﹣∠EFC，且∠BFD＝∠EFC，
∴∠DBF＝∠DCA．
又∵∠BDF＝∠CDA＝90°，BD＝CD，
∴△DFB≌△DAC．
∴BF＝AC，
∴CE＝ AC＝ BF，
∴2CE＝BF；
故③符合题意；
由③可得△DFB≌△DAC．
∴BF＝AC；DF＝AD．
∵CD＝CF+DF，
∴AD+CF＝BD；故④符合题意；
故答案为：B．
9．如图，P为△ABC边BC上的一点，且PC=2PB，已知∠ABC=45°，∠APC=60°，那么∠ACB的度数是 （ ）
A．45° B．75° C．90° D．60°
【答案】B
【解析】过C作AP的垂线CD，垂足为点D．连接BD；
∵△PCD中，∠APC=60°，
∴∠DCP=30°，PC=2PD，
∵PC=2PB，
∴BP=PD，
∴△BPD是等腰三角形，∠BDP=∠DBP=30°，
∵∠ABP=45°，
∴∠ABD=15°，
∵∠BAP=∠APC-∠ABC=60°-45°=15°，
∴∠ABD=∠BAD=15°，
∴BD=AD，
∵∠DBP=45°-15°=30°，∠DCP=30°，
∴BD=DC，
∴△BDC是等腰三角形，
∵BD=AD，
∴AD=DC，
∵∠CDA=90°，
∴∠ACD=45°，
∴∠ACB=∠DCP+∠ACD=75°，
答案为：B.
10．如图，将三角形纸片ABC沿AD折叠，使点C落在BD边上的点E处.若BC＝8，BE＝2.则AB2﹣AC2的值为（ ）
A．4 B．6 C．10 D．16
【答案】D
【解析】∵将三角形纸片ABC沿AD折叠，使点C落在BD边上的点E处，
∴AE＝AC，DE＝CD，AD⊥BC，
∴AB2＝AD2+BD2，AC2＝AD2+CD2，
∴AB2﹣AC2＝AD2+BD2﹣AD2﹣CD2＝BD2﹣CD2＝（BD+CD）（BD﹣CD）＝BC BE，
∵BC＝8，BE＝2，
∴AB2﹣AC2＝8×2＝16。
故答案为：D。
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．“等腰三角形底边上的高线与中线互相重合”的逆命题是 ．这个逆命题是 命题．（真、假）
【答案】一边上的中线与高线重合的三角形是等腰三角形；真
【解析】等腰三角形底边上的高线与中线互相重合”的逆命题是一边上的中线与高线重合的三角形是等腰三角形，这个逆命题是命题.
故答案为：一边上的中线与高线重合的三角形是等腰三角形，真.
12．已知等边△ABC的边长为2，点D在射线CB上，点E在射线AC上，且AD=AE，∠EDC=15°，则线段CD= .
【答案】1或4
【解析】（1）如图1，当点D、点E分别在线段CB和AC上时，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠C=∠BAC=60°，
∵∠CDE=15°，
∴∠AED=∠CDE+∠C=15°+60°=75°，
∵AD=AE，
∴∠AED=∠AED=75°，
∴∠DAE=180°-75°-75°=30°，
∴∠BAD=60°-30°=30°=∠CAD，
∴AD是等边三角形BC边上的中线，
∴CD= BC=1；
（ 2 ）如图2，当点D、点E分别在CB的延长线和AC的延长线上时，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB =60°，
∵∠CDE=15°，
∴∠E=∠ACB-∠CDE=60°-15°=45°，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠E=45°，
∴∠DAE=180°-45°-45°=90°，
∴∠ADC=180°-∠DAE-∠ACB=30°，
∴CD=2AC=4.
综合（1）（2）可得：CD=1或4.
故答案为：1或4.
13．如图， 和 都是等腰直角三角形， ，连接 交 与 ，连接 交 于点 ，连接 ，下列结论：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ．正确的有 ．
【答案】①②④⑤
【解析】①由题知： ， ，
，
∴ ，
∴ ≌ ，
∴ ，①正确．
②又∵ （已证），
，
∴
②正确．
③ ≌ 无法证明，
∴ 无法判断，③错误．
④∵ ，
，
，
，
即 ，
④正确．
⑤∵ （已证），
∴ ，
，
，
，
，
，
即 ，
⑤正确．故答案为：①②④⑤.
14．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，D为AC中点，过点A作AE∥BC，连结BE，∠EBD=∠CBD，BD=5，则BE的长为 .
【答案】
【解析】如图，连接ED并延长交BC于点F，过点D分别作DP⊥BE，垂足为P；作DQ⊥BC，垂足为Q，
在Rt△ABC中，∵D是斜边AC的中点，
∴AD=CD=BD=5，AC=2BD=10，
∴ ，
∵AE//BC，
∴∠EAD=∠FCD，∠AED=∠CFD，
又∵AD=CD，
∴△ADE≌△CDF，
∴DE=DF，AE=CF，
又∵∠EBD=∠CBD， DP⊥BE， DQ⊥BC，
∴DP=DQ，
又∵BD=BD，DE=DF，
∴Rt△BDP≌Rt△BDQ（HL），Rt△PDE≌Rt△QDF（HL），
∴BP=BQ，PE=QF，
∴BF=BE，
∴BE+AE=BF+CF=BC=8，
设BE=x，则AE=8-x，
在Rt△ABE中，
由勾股定理得
得 ，
解得x= ，
即BE= .
故答案为：
15．如图,△ABC中，∠A=90°，AB=AC= ，点P为BC上一动点，以PA为腰作等腰直角△APQ,则AQ+BQ的最小值为 .
【答案】
【解析】如图，
△APQ为等腰直角三角形，
AP=AQ，∠PAQ=90°
在△ABP和△ACQ中:
∴△ABP≌△ACQ（SAS）
以CQ所在直线为对称轴作A点的对称点 ,连接 ,与CQ所在直线所交的点即为题目所求最小值的点
作
△ABC为等腰直角三角形
点A到直线CQ的距离为1
点 到直线CQ的距离为1
延长BC，作
16．如图△ABC中，∠BAC=78°，AB=AC，P为△ABC内一点，连BP，CP，使∠PBC=9°，∠PCB=30°，连PA，则∠BAP的度数为 ．
【答案】69°
【解析】在BC下方取一点D，使得三角形ABD为等边三角形，连接DP、DC
∴AD=AB=AC，
∠DAC=∠BAC-∠BAD=18°，
∴∠ACD=∠ADC=81°，
∵AB=AC，∠BAC=78°，
∴∠ABC=∠ACB=51°，
∴∠CDB=141°=∠BPC，
又∵∠DCB=30°=∠PCB，BC=CB，
∴△BDC≌△BPC，
∴PC=DC，
又∵∠PCD=60°，
∴△DPC是等边三角形，
∴△APD≌△APC，
∴∠DAP=∠CAP=9°，
∴∠PAB=∠DAP+∠DAB=9°+60°=69°．
故答案为：69°
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，在AB上取一点E，使得EA=ED.
（1）求证：DE∥AC；
（2）若ED=EB，BD=2，EA=3，求AD的长.
【答案】（1）证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2.
∵EA=ED,
∴∠1=∠3.
∴∠2=∠3.
∴DE∥AC.
（2）解：∵ED=EB，ED=EA,
∴∠B=∠4，ED=EB=EA=3.
∴AB=6.
在△ABD中，∠B+∠4+∠3+∠1=180°，
∵∠1=∠3，∠B=∠4，
∴∠B+∠4+∠3+∠1=2∠3+2∠4=180°.
∴∠ADB=∠3+∠4=90°.
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
18．如图，等腰 中， ，点 是 上一动点，点 在 的延长线上，且 ， 平分 交 于 ，连 .
（1）如图1，求证： ；
（2）如图2，当 时，求证： .
【答案】（1）证明：∵AF平分∠CAE，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ .
∵ ，
∴ ，
∴
（2）证明：如下图，在FB上截取 ，连接AM.
∵ ，
∴ ， ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ， .
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 .
19．如图，在 中，点 在 上， ， ， 交 于点 ，过点 作 的垂线交 于点 ，连接 ．
（1）求证： ；
（2）连接 交 于点 ，已知 ，求证： ．
【答案】（1）证明：∵CN∥AB，
∴∠B=∠BCN，∠BMD=∠CND，且BM=CN，
∴△BMD≌△CND（ASA）
∴BD=CD，且PD⊥BC，
∴PB=PC
（2）证明：如图，在PC上取点F，使CF=CN，连接EF，
∵PB=PC，
∴∠PCB=∠B，
∴∠PCB=∠NCB，且CF=CN，CE=CE，
∴△CEN≌△CEF（SAS），
∴EN=EF，∠CNP=∠CFE，
∵∠CFE=∠CPN＋∠PEF，∠CNP=2∠CPN，
∴∠CPE=∠PEF，
∴PF=EF，
∴EN=EF=PF，
∵BP=PC，BM=CN=CF，
∴PM=PF=EN．
20．已知等边△ABC，D是BC上一点，E是平面上一点，且DE＝AD，∠ADE＝60°，连接CE．
（1）当点D是线段BC的中点时，如图1．判断线段BD与CE的数量关系，并说明理由；
（2）当点D是线段BC上任意一点时，如图2．请找出线段AB，CE，CD三者之间的数量关系，并说明理由；
（3）当点D在线段BC的延长线上时，如图3，若△ABC边长为6，设CD＝x，则线段CE＝ （用含x的代数式表示）．
【答案】（1）解：BD＝CE，
证明：如图1，连接AE，
∵DE＝AD，∠ADE＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠DAE＝60°，
∵△ABC是等边三角形，D是BC的中点，
∴AD平分∠BAC，
∴∠DAC＝30°，
∵∠DAE＝60°，
∴AC平分∠DAE，
∵△ADE是等边三角形，
∴AC垂直平分DE，
∴CE＝CD，
∵BD＝CD，
∴CE＝BD；
（2）解：AB＝CE+CD，
证明：如图2，连接AE，
∵DE＝AD，∠ADE＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴AD＝AE，∠DAE＝60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE（SAS）
∴BD＝CE，
∴AB＝BC＝BD+CD＝CE+CD；
（3）x+6
【解析】（3）如图3，连接AE，
∵DE＝AD，∠ADE＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴AD＝AE，∠DAE＝60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
,
∴△ABD≌△ACE（SAS）
∴BD＝CE，
∴CE＝BD＝BC+CD＝x+6，
故答案为：x+6．
21．在 中， ， ， 是 的角平分线， 于点 ．
（1）如图 ，连接 ，求证： 是等边三角形；
（2）点 是线段 上的一点（不与点 重合），以 为一边，在 的下方作 ， 交 延长线于点 ，请你在图 中画出完整图形，并直接写出 与 之间的数量关系；
（3）如图 ，点 是线段 上的一点，以 为一边，在 的下方作 ， 交 延长线于点 ，试探究 与 数量之间的关系，并说明理由．
【答案】（1）证明：如图1所示：
在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°，
∴∠ABC=60°,BC=
∵BD平分∠ABC，
∴∠1=∠DBA=∠A=30°．
∴DA=DB．
∵DE⊥AB于点E．
∴AE=BE=
∴BC=BE．
∴△EBC是等边三角形
（2）解：作图如下，结论：AD=DG+DM．理由如下
延长ED至W，使得DW=DM，连接WM．
由(1)得DA=DB,∠A=30°．
∵DE⊥AB于点E．
∴∠2=∠3=60°．
∴∠4=∠2=60°，∠5=180°－∠2－∠3=60°
∴△WDM是等边三角形．
∴WD=DM=WM,∠W=∠WMD=60°
∴∠W =∠5．
∴∠WMD+∠DMG=∠BMG+∠DMG
即∠WMG=∠DMB．
在△WMG和△DMB中
∴△WMG≌△DMB (ASA)．
∴WG=DB．
∵WG= DG + WD = DG + DM，
∴DB= DG + DM．
∴AD= DG + DM
（3）解：结论：AD=DG DN．
证明：延长BD至H，使得DH=DN，连接HN．
由(1)得DA=DB,∠A=30°．
∵DE⊥AB于点E．
∴∠2=∠3=60°．
∴∠4=∠5=60°
∴△NDH是等边三角形．
∴NH=ND,∠H=∠6=60°
∴∠H=∠2．
∵∠BNG=60°
∴∠BNG+∠7=∠6+∠7
即∠DNG=∠HNB．
在△DNG和△HNB中
∴△DNG≌△HNB(ASA)．
∴DG=HB．
∵HB=HD+DB=ND+AD，
∴DG=ND+AD．
∴AD=DG ND．
22．如图，AD⊥BC于D，BE⊥AC于F，BE交AD于F，BF＝AC，
（1）求证：FD＝CD；
（2）连DE，求证：ED平分∠BEC；
（3）在（2）条件下，点P在AC上，连BP、DP，BP交AD于Q， BP平分∠EBC，∠BPD＝ ∠BFD，△APQ的面积为4，求线段PD的长．
【答案】（1）证明：∵AD⊥BC于D，BE⊥AC于F，
∴∠BDA=∠CDA=90°，∠FEA=90°，
∵∠BFD=∠AFE，∠BFD+∠FBD=90°，∠AFE+∠FAE=90°，
∴∠FBD=∠FAE=∠CAD，
∵∠DAC+∠ACD=90°，∠BFD=∠AFE，∠AFE+∠FAE=90°，
∴∠BFD=∠ACD，
在△BFD和△ACD中，
∴△BFD △ACD，
∴FD＝CD；
（2）证明：如图1，过D作DG⊥BE于G，DH⊥AC于H，
∵△BFD △ACD，
∴∠B=∠A，BD=AD，
∴△BDG △ADH，
∴DG=DH，且DG⊥BE，DH⊥AC，
∴ED平分∠BEC；
（3）解：如图，过点P作PH⊥CD于H，PN⊥AD于N，延长PN交BE于点G，
∵BP平分∠EBC，PH⊥BC，∠PEB=90°，PE=PH，
∴∠EBP=∠PBD，
∵∠PDC=∠PBD+∠BPD= ，
∴∠PDC= =45°，且∠ADC=90°，
∴∠ADP=∠PDC=45°，且PH⊥DC，PN⊥AD，
∴PH=PN，
∴PH=PN=PE，且∠APN=∠GPE，∠ANP=∠GEP=90°，
∴△APN △GPE，
∴AP=GP，
∴AE=GQ，
∵PH⊥CD，PN⊥AD，AD⊥CB，
∴四边形DHPN是矩形，且PH=PN，
∴四边形DHPN是正方形，
∴PH=QD=DH=NP，且FD=CD，
∴FN=CH，
∵∠A+∠C=90°，∠A+∠AFE=90°
∴∠C=∠AFE=∠GFN，且FN=CH，∠PHC=∠GNF，
∴△GNF △PHC，
∴PH=GN，
∴PH=AE=PE，
∵∠APB=∠PBC+∠C，∠AQP=∠GFN+∠EBP，
∴∠APB=∠AQP，
∴AP=AQ=2PH，
∵△APQ的面积为4，
∴ ，
∴ ，
∴PH=2，
∴PH=DH=2，且PH⊥CD，
∴ ；
23．如图，在 中， ， 为角平分线.
图1 图2
（1）如图1，已知 ， .求 的面积；
（2）在（1）的条件下， 垂直平分线与 交于点 ，画图并求 的长.
（3）如图2，若 为等边三角形， ， 分别为边 ， 上的动点，且满足 .设 ， ， ，请用等式表示 ， ， 之间的数量关系，并说明理由.
【答案】（1）解： ， 为角平分线，
，且 ，
由勾股定理得： ，
（2）解：画图如图所示，
垂直平分线与 交于点 ，
，
设 ，则 ，
在Rt△CDE中，CE2＝DE2＋CD2， ，
解得： ，
即AE= ；
（3）解：延长 至 ，使 ，连结 ， ，延长 ，过 作 于 ，
在△BDM和△CDG中， ，
∴△BDM≌△CDG（SAS），
∴CG＝BM＝a，∠BCD＝∠B＝60°，
∴∠GCH＝60°，
∴∠CGH＝30°，
∴CH＝ a，
由勾股定理得，GH＝ ＝ a，
∵MD＝DG，ND⊥MG，
∴GN＝MN＝c，
在Rt△NGH中，GN2＝GH2＋NH2，即c2＝（ a）2＋（b＋ a）2，
整理得，a2＋ab＋b2＝c2.
24．从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，若分得的两个小三角形中一个三角形为等腰三角形，另一个三角形的三个内角与原来三角形的三个内角分别相等，则称这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．
例如，等腰直角三角形斜边上的高就是这个等腰直角三角形的一条“等角分割线”．
（1）如图1，在△ABC中，D是边BC上一点，若∠B=30°，∠BAD=∠C=40°，求证： AD为△ABC的“等角分割线”；
（2）如图2，△ABC中，∠C=90°，∠B=30°；
①画出△ABC的“等角分割线”，写出画法并说明理由；
②若BC=3，求出①中画出的“等角分割线”的长度．
（3）在△ABC中，∠A=24°，若△ABC存在“等角分割线”CD，直接写出所有符合要求的∠B的度数．
【答案】（1）证明：∵∠B=30°，∠BAD=∠C=40°
∴∠ADB=∠BAC=110°
又∠B=∠B，
∴△ABD的三个内角与△ABC的三个内角的度数分别相等，
∵∠B=30°,∠BAD=40°，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=70°
又∵∠C=40°
∴∠DAC=70°=∠ADC
∴AC=CD
∴△ADC是等腰三角形，
∴AD为△ABC的“等角分割线”
（2）解：①画法：如图2，画∠BAC的角平分线，交BC于点D，线段AD即为所求，
理由如下：
∵∠C=90°，∠B=30°
∴∠BAC=60°
∵AD平分∠BAC
∴∠DAC =∠BAD =30°=∠B
∴∠ADC=60°=∠BAC
又∵∠C=∠C=90°
∴△ADC的三个内角与△ABC的三个内角的度数分别相等，
∵∠BAD=∠B
∴AD=BD
∴△ABD是等腰三角形，
∴AD为△ABC△ABC的“等角分割线”
②设CD=x
∵△ADC中，∠C=90°，∠DAC=30°，
∴AD=2x，
∴BD=AD=2x
∵BC=3
∴x+2x=3
∴x=1
∴AD=2x=2；
（3）解： ①当△BCD为等腰三角形，DB=BC时，如下图
∵DB=BC，△ABC∽△ACD
∴ ∠2=∠3，∠1=∠B
∵∠2=∠A+∠1，∠2+∠3+∠B=180°
∴ 2(∠A+∠1)+∠B=180°
∴ 2(24°+∠B)+∠B=180°
∴ ∠B=44°
②当△BCD是等腰三角形，DB=DC时，如下图
∵DB=DC，△ABC∽△ACD
∴∠B=∠2,∠1=∠B
∵ ∠3=∠2+∠B，∠A+∠1+∠3=180°
∴ ∠A+∠1+∠3=24°+∠B+∠B+∠B=180°
∴ ∠B=52°
③当△ACD为等腰三角形，DA=CA时，如下图
∠2+∠3=180°-∠A=180°-24°=156°
∠2=∠3=78°
∵△ABC∽△CBD
∴∠A=∠4=24°
∵ ∠B+∠4=∠3
∴∠B=54°
当△ACD为等腰三角形，DA=DC时，如下图
∵ DA=DC
∴ ∠A=∠1=24°
∴ ∠2=∠A+∠1=48°
∵△ABC∽△CBD
∴ ∠B=∠2+∠3=∠2＋∠A=108°
44°， 52°， 54°， 108°
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