2022年秋季浙教版数学九年级上册第四章 《相似三角形》单元检测A
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022八上·惠州开学考）给出四个命题：
①三边对应成比例的两个三角形相似；②两边对应成比例，且有一个角对应相等的两个三角形相似；③一个锐角对应相等的两个直角三角形相似；④一个角对应相等的两个等腰三角形相似．
其中正确的命题有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2021九上·历下期中）如图，两条直线被三条平行线所截，若AC＝4，CE＝6，BD＝2，则DF＝（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2022·衢州）西周数学家商高总结了用“矩”（如图1）测量物高的方法：把矩的两边放置成如图2的位置，从矩的一端A（人眼）望点E，使视线通过点C，记人站立的位置为点B，量出BG长，即可算得物高EG．令BG=x（m）， EG=y（m），若a=30cm，b=60cm，AB=1.6m，则y关于x的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·徐州）如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积为（ ）
A．5 B．6 C． D．
5．（2022·巴中）如图，在平面直角坐标系中，为的边上一点，，过作交于点，、两点纵坐标分别为1、3，则点的纵坐标为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
6．（2022九上·灞桥开学考）如图，如果，那么添加下列一个条件后，仍不能确定∽的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022九上·鄞州开学考）如图，在平行四边形中，对角线、交于点，为中点，连接交于点，则：（ ）
A．1：3 B．1：5 C．2：3 D．1：6
8．（2022·扬州）如图，在中，，将以点为中心逆时针旋转得到，点在边上，交于点.下列结论：①；②平分；③，其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
9．（2022·云南）如图，在 △ABC中，D、E分别为线段BC、BA的中点，设△ABC的面积为S1， △EBD的面积为S2．则 =（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·遂宁）如图，正方形ABCD与正方形BEFG有公共顶点B，连接EC、GA，交于点O，GA与BC交于点P，连接OD、OB，则下列结论一定正确的是（ ）
①EC⊥AG；②△OBP∽△CAP；③OB平分∠CBG；④∠AOD＝45°；
A．①③ B．①②③ C．②③ D．①②④
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2022·锦州）如图，在正方形中，E为的中点，连接交于点F．若，则的面积为 ．
12．（2022·包头）如图，反比例函数在第一象限的图象上有，两点，直线与x轴相交于点C，D是线段上一点．若，连接，记的面积分别为，则的值为 ．
13．（2022·毕节）如图，在中，，点P为边上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则长度的最小值为 .
14．（2021·郴州）如图是一架梯子的示意图，其中AA1∥BB1∥CC1∥DD1，且AB＝BC＝CD.为使其更稳固，在A，D1间加绑一条安全绳（线段AD1）量得AE＝0.4m，则AD1＝ m.
15．（2022·深圳）已知是直角三角形，连接以为底作直角三角形且是边上的一点，连接和且则长为 ．
16．（2021·雅安）如图，在矩形 中， 和 相交于点O，过点B作 于点M，交 于点F，过点D作DE∥BF交AC于点N.交AB于点E，连接 ， .有下列结论：①四边形 为平行四边形，② ；③ 为等边三角形；④当 时，四边形DEBF是菱形.正确结论的序号 .
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2022·盐城）如图，在与中，点、分别在边、上，且，若 ▲ ，则．请从①；②；③这三个选项中选择一个作为条件（写序号），并加以证明．
18．（2022·仙桃）如图，正方形内接于，点E为的中点，连接交于点F，延长交于点G，连接.
（1）求证：；
（2）若.求和的长.
19．（2022·江西）如图，四边形为菱形，点E在的延长线上，．
（1）求证：；
（2）当时，求的长．
20．（2022·贵港）已知：点C，D均在直线l的上方，与都是直线l的垂线段，且在的右侧，，与相交于点O.
（1）如图1，若连接，则的形状为 ，的值为 ；
（2）若将沿直线l平移，并以为一边在直线l的上方作等边.
①如图2，当与重合时，连接，若，求的长；
②如图3，当时，连接并延长交直线l于点F，连接.求证：.
21．（2022·吉林）下面是王倩同学的作业及自主探究笔记，请认真阅读并补充完整．
【作业】如图①，直线，与的面积相等吗？为什么？
解：相等．理由如下：
设与之间的距离为，则，．
∴．
【探究】
（1）如图②，当点在，之间时，设点，到直线的距离分别为，，则．
证明：∵ ▲
▲
▲
（2）如图③，当点在，之间时，连接并延长交于点，则．
证明：过点作，垂足为，过点作，垂足为，则，
∴ ▲ ．
∴ ▲ ．
∴．
由【探究】（1）可知 ▲ ，
∴．
（3）如图④，当点在下方时，连接交于点．若点，，所对应的刻度值分别为5，1.5，0，的值为 ．
22．（2022·包头）如图，在平行四边形中，是一条对角线，且，，，是边上两点，点在点的右侧，，连接，的延长线与的延长线相交于点．
（1）如图1，是边上一点，连接，，与相交于点．
①若，求的长；
②在满足①的条件下，若，求证：；
（2）如图2，连接，是上一点，连接．若，且，求的长．
23．（2022·长沙）如图，四边形ABCD内接于，对角线AC，BD相交于点E，点F在边AD上，连接EF.
（1）求证：；
（2）当时，则 ； ； .（直接将结果填写在相应的横线上）
（3）①记四边形ABCD，的面积依次为，若满足，试判断，的形状，并说明理由.
②当，时，试用含m，n，p的式子表示.
24．（2022·乐山）华师版八年级下册数学教材第121页习题19.3第2小题及参考答案.
2.如图，在正方形ABCD中，.求证：. 证明：设CE与DF交于点O， ∵四边形ABCD是正方形， ∴，. ∴. ∵， ∴. ∴. ∴. ∴. ∴.
某数学兴趣小组在完成了以上解答后，决定对该问题进一步探究
（1）【问题探究】如图，在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别在线段AB、BC、CD、DA上，且.试猜想的值，并证明你的猜想.
（2）【知识迁移】如图，在矩形ABCD中，，，点E、F、G、H分别在线段AB、BC、CD、DA上，且.则 .
（3）【拓展应用】如图，在四边形ABCD中，，，，点E、F分别在线段AB、AD上，且.求的值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：① 三边对应成比例的两个三角形相似，故①是正确的命题；
②两边对应成比例，且两边的夹角对应相等的两个三角形相似，故②不是正确的命题；
③一个锐角对应相等的两个直角三角形相似，故③是正确的命题；
④顶角对应相等的两个等腰三角形相似，故④不是正确的命题．
故答案为：B.
【分析】根据相似三角形的判定定理逐项进行判断，即可得出答案.
2．【答案】C
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵ABCDEF，
∴，
即，
∴DF＝3，
故答案为：C．
【分析】利用平行线分线段成比例的性质可得，再将数据代入求出DF的长即可。
3．【答案】B
【知识点】一次函数的实际应用；矩形的判定与性质；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵CD⊥AF，EG⊥AF，
∴CD∥EF，∠AFG=∠G=∠B=90°，
∴四边形ABGF是矩形，
∴AB=GF=1.6，BG=AF=x
∴△ACD∽△AEF，
∴，
解之：.
故答案为：B.
【分析】利用垂直的定义可证得∠AFG=∠G=∠B=90°，可推出四边形ABGF是矩形，路矩形的性质可得到GF，AF的长；同时可证得CD∥EF，由此可证得△ACD∽△AEF，利用相似三角形的对应边成比例可得到关于x，y的方程，解方程用含x的代数式表示出y.
4．【答案】C
【知识点】三角形的面积；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图：
∵CD∥AB，
∴△ABE∽△CDE，
∴=2，
∴.
故答案为：C.
【分析】对图形进行点标注，易证△ABE∽△CDE，根据相似三角形的性质可得=2，根据同高三角形的面积之比等于底之比得S阴影=S△ABC，然后结合三角形的面积公式进行计算.
5．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，
∴△ADC∽△ABO
∴，
∵，
∴，
∵C、D两点纵坐标分别为1、3，
∴，
∴，
解得：，
∴B点的纵坐标为6，故C正确.
故答案为：6.
【分析】易证△ADC∽△ABO，根据相似三角形的性质可得，由已知条件可得，根据C、D两点的纵坐标可得CD=2，求出OB，得到点B的纵坐标，据此判断.
6．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解： ，
，
，
添加∠B=∠D或∠C=∠AED，根据两角对应相等判定△ABC∽△ADE ，故A、C选项不符合题意；
添加，根据两边成比例夹角相等判定△ABC∽△ADE ，故D选项不符合题意；
添加 不是夹∠DAE=∠BAC的两边，所以不能判定△ABC∽△ADE ，故B选项符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据角的和差关系可得∠DAE=∠BAC，然后根据相似三角形的判定定理（两角对应相等的两个三角形相似）可以添加∠B=∠D或∠C=∠AED；根据（两边成比例夹角相等的两个三角形相似）可以添加，据此一一判断得出答案.
7．【答案】D
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，
，，
点M是AD中点，
，
，
∽，
，
，，
，，
，
：.
故答案为：D.
【分析】根据平行四边形的性质可得AD∥BC，AD=BC，由中点的概念可得MD=AD=BC，易证△MDN∽△CBN，根据相似三角形的对应边成比例可得BN=2DN，CN=2MN，根据同高三角形的面积之比等于底之比得S△CDN=2S△MDN，S△BNC=2S△CDN，推出S△BCD=6S△MDN ，据此求解.
8．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质；旋转的性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：∵将△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE，
∴，
，
，
，故①正确；
，
，
，
，
平分，故②正确；
，
，
，
，
，
，
故③正确
故答案为：D.
【分析】根据旋转的性质可得△ADE≌△ABC，则∠E=∠C，根据对顶角的性质可得∠AFE=∠DFC，然后根据相似三角形的判定定理可判断①；根据全等三角形的性质可得AB=AD，∠ADE=∠ABC，由等腰三角形的性质可得∠ABD=∠ADB，则∠ADB=∠ADE，据此判断②；根据全等三角形的性质可得∠BAC=∠DAE，则∠BAD=∠CAE，根据相似三角形的性质可得∠CAE=∠CDF，据此判断③.
9．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D、E分别为线段BC、BA的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=AC，DE∥AC，
∴△BED∽△BAC，
∴，
故答案为：B.
【分析】根据中位线定理得出DE=AC，DE∥AC，则可证明△BED∽△BAC，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可解答.
10．【答案】D
【知识点】正方形的性质；圆周角定理；相似三角形的判定；三角形全等的判定（SAS）；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD、四边形BEFG是正方形，
∴AB＝BC，BG＝BE，∠ABC＝90°＝∠GBE，
∴∠ABC+∠CBG＝∠GBE+∠CBG，即∠ABG＝∠EBC，
∴△ABG≌△CBE（SAS），
∴∠BAG＝∠BCE，
∵∠BAG+∠APB＝90°，
∴∠BCE+∠APB＝90°，
∴∠BCE+∠OPC＝90°，
∴∠POC＝90°，
∴EC⊥AG，故①正确；
取AC的中点K，如图：
在Rt△AOC中，K为斜边AC上的中点，
∴AK＝CK＝OK，
在Rt△ABC中，K为斜边AC上的中点，
∴AK＝CK＝BK，
∴AK＝CK＝OK＝BK，
∴A、B、O、C四点共圆，
∴∠BOA＝∠BCA，
∵∠BPO＝∠CPA，
∴△OBP∽△CAP，故②正确，
∵∠AOC＝∠ADC＝90°，
∴∠AOC+∠ADC＝180°，
∴A、O、C、D四点共圆，
∵AD＝CD，
∴∠AOD＝∠DOC＝45°，故④正确，
由已知不能证明OB平分∠CBG，故③错误，
故正确的有：①②④.
故答案为：D.
【分析】根据正方形的性质可得AB＝BC，BG＝BE，∠ABC＝90°＝∠GBE，由角的和差关系可得∠ABG＝∠EBC，证明△ABG≌△CBE，得到∠BAG＝∠BCE，结合∠BAG+∠APB＝90°可得∠POC＝90°，据此判断①；取AC的中点K，根据直角三角形斜边上中线的性质可得AK＝CK＝OK，AK＝CK＝BK，推出A、B、O、C四点共圆，根据圆周角定理可得∠BOA＝∠BCA，然后利用相似三角形的判定定理可判断②；易得A、O、C、D四点共圆，根据等弦所对的圆周角相等可得∠AOD＝∠DOC＝45°，据此判断④.
11．【答案】3
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，，
∴，，
∴，
∴，
∵E为的中点，
∴，
∴，，
∴，
∴；
故答案为3．
【分析】先证明可得，再结合，，可得，从而求出即可。
12．【答案】4
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数的性质；反比例函数与一次函数的交点问题；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，连结BD，
，
而
在反比例函数图象上，
即反比例函数为：，
在反比例函数图象上，
即
设直线AB为：
解得：
∴直线AB为：
当时，
故答案为：4
【分析】连结BD，先证利用待定系数法求出反比例函数和直线AB的解析式， 再求出C点坐标，根据 可得 。
13．【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵四边形APCQ是平行四边形，
∴PO＝QO，CO＝AO，
∵PQ最短也就是PO最短，
∴过O作BC的垂线，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴则PQ的最小值为.
故答案为：.
【分析】首先利用勾股定理可得AC的值，根据平行四边形的性质可得PO＝QO，CO＝AO，过O作BC的垂线OP′，易证△CAB∽△CP′O，根据相似三角形的性质可得OP′，据此解答.
14．【答案】1.2
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵BB1∥CC1，
∴ ＝ ，
∵AB＝BC，
∴AE＝EF，
同理可得：AE＝EF＝FD1，
∵AE＝0.4m，
∴AD1＝0.4×＝1.2（m），
故答案为：1.2.
【分析】由平行线分线段成比例的性质可得 ＝ ，由AB=BC可得AE＝EF，同理可得：AE＝EF＝FD1，据此求解.
15．【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：过点D作DH⊥BD交BF延长线与点H，连接EH，
∵
是等腰直角三角形，
又是等腰直角三角形，
，，，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】利用全等三角形的判定与性质，三角形的判定与性质计算求解即可。
16．【答案】①②④
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AD∥BC，CD∥AB
∴∠DAN=∠BCM，
∵BF⊥AC，DE∥BF，
∴DE⊥AC，
∴∠DNA=∠BMC=90°，
在△ADN和△CBM中，
∴△ADN≌△CBM，
∴DN=BM，
又∵DF∥BE，DE∥BF，
∴四边形DFBE是平行四边形，
∴DE=BF，
∴DE-DN=BF-BM，即EN=FM，
∵NE∥FM，
∴四边形NEMF是平行四边形，故①正确，
∵△ADN≌△CBM，
∴AN=CM，
∴CN=AM，
∵∠AMB=∠BMC=∠ABC=90°，
∴∠ABM+∠CBM=90°，∠CBM+∠BCM=90°，
∴∠ABM=∠BCM，
∴△AMB∽△BMC，
∴ ，
∵DN=BM，AM=CN，
∴DN2=CM CN，故②正确，
若△DNF是等边三角形，则∠CDN=60°，
即∠ACD=30°，不符合题意，故③错误，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OD，
∵AO=AD，
∴AO=AD=OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠ADO=∠DAN=60°，
∴∠ABD=90°-∠ADO=30°，
∵DE⊥AC，
∴∠ADN=ODN=30°，
∴∠ODN=∠ABD，
∴DE=BE，
∵四边形DEBF是平行四边形，
∴四边形DEBF是菱形；故④正确.
故答案为：①②④.
【分析】证明△ADN≌△CBM，可得DN=BM，再证四边形DFBE是平行四边形，可得DE=BF，从而可得EN=FM，由NE∥FM，利用一组对边平行且相等可证四边形NEMF是平行四边形，据此判断①；证明
△AMB∽△BMC，可得 ，由DN=BM，AM=CN，可得DN2=CM CN，据此判断②；
若△DNF是等边三角形，则∠CDN=60°，从而求出∠ACD=30°，不符合题意，据此判断③；先求出
∠ODN=∠ABD，利用等角对等边可得DE=BE，由（1）知四边形DEBF是平行四边形，利用邻边相等的四边形是菱形即证结论，据此判断④.
17．【答案】解：若选①；
证明：∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，
∴．
选择②；，不能证明．
若选③；，
证明：∵，
∴，∴，
又∵，
∴．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】若选择①，根据相似三角形的性质可得∠ADC=∠A′D′C′，，结合邻补角的性质可得∠ADB=∠A′D′B′，根据条件①得，则，然后结合相似三角形的判定定理进行证明；若选择③，根据相似三角形的性质得∠ADC=∠A′D′C′，结合邻补角的性质得∠ADB=∠A′D′B′，然后结合条件③即可证明.
18．【答案】（1）证明：正方形内接于，
∴AD=BC，
∴，
∴∠ABD=∠CGB，
又∵∠EFB=∠BFG，
∴△BFE∽△GFB，
∴，
即；
（2）解：∵点E为AB中点，
∴AE=BE=3，
∵四边形ABCD为正方形，
∴CD=AB=AD=6，BD=，CE=，
∵CD∥BE，
∴△CDF∽△EBF，
∴，
∴DF=2BF，CF=2EF，
∴3BF=BD=，3EF=，
∴BF=，EF=，
由（1）得FG=.
【知识点】勾股定理；正方形的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据题意可得AD=BC，则，由圆周角定理可得∠ABD=∠CGB，证明△BFE∽△GFB，然后根据相似三角形的性质进行证明；
（2）根据中点的概念可得AE=BE=3，根据正方形的性质可得CD=AB=AD=6，利用勾股定理可得BD、CE，证明△CDF∽△EBF，根据相似三角形的性质可得DF=2BF，CF=2EF，据此可求出BF、EF，然后结合（1）的结论就可求出FG.
19．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴，，
，，
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
即，
解得：．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用两组角相等的三角形相似的判定方法求解即可；
（2）根据相似三角形的性质可得，再把数据代入可得，最后求出即可。
20．【答案】（1）等腰三角形；
（2）解：①过点E作于点H，如图所示：
∵AC，BD均是直线l的垂线段，
∴，
∵是等边三角形，且与重合，
∴∠EAD=60°，
∴，
∴，
∴在中，，，
又∵，，
∴，
∴，
又，
∴，
又由（1）知，
∴，则，
∴在中，由勾股定理得：.
②连接，如图3所示：
∵，
∴，
∵是等腰三角形，
∴是等边三角形，
又∵是等边三角形，
∴绕点D顺时针旋转后与重合，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴.
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：（1）过点C作CH⊥BD于H，如图所示：
∵AC⊥l，DB⊥l，CH⊥BD，
∴∠CAB=∠ABD=∠CHB=90°，
∴四边形ABHC是矩形，
∴AC=BH，
又∵BD=2AC，
∴AC=BH=DH，且CH⊥BD，
∴的形状为等腰三角形，
∵AC、BD都垂直于l，
∴△AOC∽△BOD，
，即，
.
故答案为：等腰三角形，；
【分析】（1）过点C作CH⊥BD于H，则四边形ABHC是矩形，得到AC=BH，结合BD=2AC可得AC=BH=DH，且CH⊥BD，推出△BCD为等腰三角形，证明△AOC∽△BOD，根据相似三角形的性质可得OD=2AO，据此求解；
（2）①过点E作EF⊥AD于点H，则AC∥BD，易得∠EAD=60°，则∠BAD=30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得AD=2BD，利用勾股定理可得AB=BD，结合BD=2AC以及AC的值可得AB、AD、AH的值，由勾股定理可得EH，结合（1）的结论可得OH的值，然后在Rt△EOH中，根据勾股定理计算即可；
②连接CD，根据平行线的性质可得∠CBD=∠ACB=60°，推出△BCD是等边三角形，根据旋转的性质可得∠ECD=∠ABD=90°，易得∠ACF=∠FCB=∠FBC=30°，则FC=FB=2AF，证明△AOF∽△ADB，根据相似三角形的性质可得∠AFO=∠ABD=90°，据此证明.
21．【答案】（1）证明：，，
．
（2）解：证明：过点作，垂足为，过点作，垂足为，则，
．
．
．
由【探究】（1）可知，
．
（3）
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】 (3)解：过点作于点，过点作于点，则，
，
，
，
点所对应的刻度值分别为5，，0，
，，
，
又，，
，
故答案为：．
【分析】（1）由 ，即可证明；
（2） 过点作，垂足为，过点作，垂足为， 由AEDF可得 ，．由【探究】（1）可知；
（3）过点作于点，过点作于点，由探究（1）（2）可得。
22．【答案】（1）解：①解：如图，
∵四边形是平行四边形，，，
∴，，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的长为．
②证明：∵，
∴，
∵，
在和中，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）解：如图，连接，
∵，，
∴，
∴，
∵，
在和中，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴．
∴的长为2．
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的性质；平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）①根据平行四边形的性质和相似三角形的判定定理解答即可；②根据全等三角形的判定定理和等腰三角形的性质解答即可；
（2）连接CF，通过相似三角形的判断定理和方程思想解答即可。
23．【答案】（1）证明：，
，
即，
又，
（2）0；1；0
（3）解：①记的面积为，
则，
，
①
，
即，
②
由①②可得，
即，
，
，
即，
，
，
，
，
都为等腰三角形；
②，
，
，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
则，
，
【知识点】平行线的判定与性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（2），
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：0，1，0；
【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等得∠ACD=∠ABD，即∠ABE=∠DCE，由对顶角的性质可得∠DEC=∠AEB，然后根据相似三角形的判定定理进行证明；
（2）根据相似三角形的性质可得AE·CE=BE·DE，对进行通分可得可得第一空的答案；根据内角和定理、圆内接四边形的性质可得∠CDB+∠CBD=180°-∠BCD=∠DAB=2∠CDB，结合已知条件可得∠DFE=∠DAB，推出EF∥AB，由平行线的性质可得∠FEA=∠EAB，根据圆周角定理可得∠DAC=∠BAC，进而得到FA=FE，证明△DFE∽△DAB，根据相似三角形的性质可得，据此可得第二空的答案；根据可得，据此可得第三空的答案；
（3）①记△ADE、△EBC的面积为S3、S4，则S=S1+S2+S3+S4，易得S1S2=S3S4，根据已知条件可得S3+S4=，则可推出S3=S4，结合面积间的和差关系可得S△ABD=S△ADC，推出CD∥AB，结合平行线的性质以及圆周角定理可得∠EDC=∠ECD=∠EBA=∠EAB，据此证明；
②根据圆周角定理可得∠DAC=∠EAB，∠DCA=∠EBA，证明△DAC∽△EAB，△DCE∽△ACD，根据相似三角形的性质可得EA·AC=DA·AB=mn，CE·CA=CD2=p2，然后表示出AC、EC，由AE=AC-CE可得AE，据此求解.
24．【答案】（1）解：，理由为：
过点A作AM∥HF交BC于点M，作AN∥EG交CD的延长线于点N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形AMFH是平行四边形，四边形AEGN是平行四边形，
∴AM＝HF，AN＝EG，
在正方形ABCD中，AB＝AD，∠ABM＝∠BAD＝∠ADN＝90°
∵EG⊥FH，
∴∠NAM＝90°，
∴∠BAM＝∠DAN，
在△ABM和△ADN中，∠BAM＝∠DAN，AB＝AD，∠ABM＝∠ADN
∴△ABM≌△ADN
∴AM＝AN，即EG＝FH，
∴；
（2）
（3）解：∵，，
∴是等边三角形，
∴设，
过点，垂足为，交于点，
则，
在中，，
∵，，
∴，，
又∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即.
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：（2）过点A作AM∥HF交BC于点M，作AN∥EC交CD的延长线于点N，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形AMFH是平行四边形，四边形AEGN是平行四边形，
∴AM＝HF，AN＝EG，
在矩形ABCD中，BC＝AD，∠ABM＝∠BAD＝∠ADN＝90°，
∵EG⊥FH，
∴∠NAM＝90°，
∴∠BAM＝∠DAN.
∴△ABM∽△ADN，
∴，
∵，，AM＝HF，AN＝EG，
∴，
∴；
故答案为：；
【分析】（1）过点A作AM∥HF交BC于点M，作AN∥EG交CD的延长线于点N，根据正方形的性质可得AB∥CD，AD∥BC，推出四边形AMFH、AEGN是平行四边形，得到AM＝HF，AN＝EG，根据同角的余角相等可得∠BAM＝∠DAN，证明△ABM≌△ADN，据此求解；
（2）过点A作AM∥HF交BC于点M，作AN∥EC交CD的延长线于点N，根据矩形的对边平行可得AB∥CD，AD∥BC，推出四边形AMFH、AEGN是平行四边形，得到AM＝HF，AN＝EG，根据同角的余角相等可得∠BAM＝∠DAN，证明△ABM∽△ADN，然后根据相似三角形的性质进行求解；
（3）易得△ABC是等边三角形，设AB=BC=AC=a，作CN⊥AB，垂足为N，交BF于点M，根据等边三角形的性质可得AN=BN=a，利用勾股定理可得CN，根据等角的余角相等可得∠ABF=∠ECN，证明△NCE∽△ABF，然后根据相似三角形的性质进行求解.
1 / 12022年秋季浙教版数学九年级上册第四章 《相似三角形》单元检测A
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022八上·惠州开学考）给出四个命题：
①三边对应成比例的两个三角形相似；②两边对应成比例，且有一个角对应相等的两个三角形相似；③一个锐角对应相等的两个直角三角形相似；④一个角对应相等的两个等腰三角形相似．
其中正确的命题有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：① 三边对应成比例的两个三角形相似，故①是正确的命题；
②两边对应成比例，且两边的夹角对应相等的两个三角形相似，故②不是正确的命题；
③一个锐角对应相等的两个直角三角形相似，故③是正确的命题；
④顶角对应相等的两个等腰三角形相似，故④不是正确的命题．
故答案为：B.
【分析】根据相似三角形的判定定理逐项进行判断，即可得出答案.
2．（2021九上·历下期中）如图，两条直线被三条平行线所截，若AC＝4，CE＝6，BD＝2，则DF＝（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵ABCDEF，
∴，
即，
∴DF＝3，
故答案为：C．
【分析】利用平行线分线段成比例的性质可得，再将数据代入求出DF的长即可。
3．（2022·衢州）西周数学家商高总结了用“矩”（如图1）测量物高的方法：把矩的两边放置成如图2的位置，从矩的一端A（人眼）望点E，使视线通过点C，记人站立的位置为点B，量出BG长，即可算得物高EG．令BG=x（m）， EG=y（m），若a=30cm，b=60cm，AB=1.6m，则y关于x的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数的实际应用；矩形的判定与性质；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵CD⊥AF，EG⊥AF，
∴CD∥EF，∠AFG=∠G=∠B=90°，
∴四边形ABGF是矩形，
∴AB=GF=1.6，BG=AF=x
∴△ACD∽△AEF，
∴，
解之：.
故答案为：B.
【分析】利用垂直的定义可证得∠AFG=∠G=∠B=90°，可推出四边形ABGF是矩形，路矩形的性质可得到GF，AF的长；同时可证得CD∥EF，由此可证得△ACD∽△AEF，利用相似三角形的对应边成比例可得到关于x，y的方程，解方程用含x的代数式表示出y.
4．（2022·徐州）如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积为（ ）
A．5 B．6 C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的面积；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图：
∵CD∥AB，
∴△ABE∽△CDE，
∴=2，
∴.
故答案为：C.
【分析】对图形进行点标注，易证△ABE∽△CDE，根据相似三角形的性质可得=2，根据同高三角形的面积之比等于底之比得S阴影=S△ABC，然后结合三角形的面积公式进行计算.
5．（2022·巴中）如图，在平面直角坐标系中，为的边上一点，，过作交于点，、两点纵坐标分别为1、3，则点的纵坐标为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，
∴△ADC∽△ABO
∴，
∵，
∴，
∵C、D两点纵坐标分别为1、3，
∴，
∴，
解得：，
∴B点的纵坐标为6，故C正确.
故答案为：6.
【分析】易证△ADC∽△ABO，根据相似三角形的性质可得，由已知条件可得，根据C、D两点的纵坐标可得CD=2，求出OB，得到点B的纵坐标，据此判断.
6．（2022九上·灞桥开学考）如图，如果，那么添加下列一个条件后，仍不能确定∽的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解： ，
，
，
添加∠B=∠D或∠C=∠AED，根据两角对应相等判定△ABC∽△ADE ，故A、C选项不符合题意；
添加，根据两边成比例夹角相等判定△ABC∽△ADE ，故D选项不符合题意；
添加 不是夹∠DAE=∠BAC的两边，所以不能判定△ABC∽△ADE ，故B选项符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据角的和差关系可得∠DAE=∠BAC，然后根据相似三角形的判定定理（两角对应相等的两个三角形相似）可以添加∠B=∠D或∠C=∠AED；根据（两边成比例夹角相等的两个三角形相似）可以添加，据此一一判断得出答案.
7．（2022九上·鄞州开学考）如图，在平行四边形中，对角线、交于点，为中点，连接交于点，则：（ ）
A．1：3 B．1：5 C．2：3 D．1：6
【答案】D
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，
，，
点M是AD中点，
，
，
∽，
，
，，
，，
，
：.
故答案为：D.
【分析】根据平行四边形的性质可得AD∥BC，AD=BC，由中点的概念可得MD=AD=BC，易证△MDN∽△CBN，根据相似三角形的对应边成比例可得BN=2DN，CN=2MN，根据同高三角形的面积之比等于底之比得S△CDN=2S△MDN，S△BNC=2S△CDN，推出S△BCD=6S△MDN ，据此求解.
8．（2022·扬州）如图，在中，，将以点为中心逆时针旋转得到，点在边上，交于点.下列结论：①；②平分；③，其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质；旋转的性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：∵将△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE，
∴，
，
，
，故①正确；
，
，
，
，
平分，故②正确；
，
，
，
，
，
，
故③正确
故答案为：D.
【分析】根据旋转的性质可得△ADE≌△ABC，则∠E=∠C，根据对顶角的性质可得∠AFE=∠DFC，然后根据相似三角形的判定定理可判断①；根据全等三角形的性质可得AB=AD，∠ADE=∠ABC，由等腰三角形的性质可得∠ABD=∠ADB，则∠ADB=∠ADE，据此判断②；根据全等三角形的性质可得∠BAC=∠DAE，则∠BAD=∠CAE，根据相似三角形的性质可得∠CAE=∠CDF，据此判断③.
9．（2022·云南）如图，在 △ABC中，D、E分别为线段BC、BA的中点，设△ABC的面积为S1， △EBD的面积为S2．则 =（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D、E分别为线段BC、BA的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=AC，DE∥AC，
∴△BED∽△BAC，
∴，
故答案为：B.
【分析】根据中位线定理得出DE=AC，DE∥AC，则可证明△BED∽△BAC，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可解答.
10．（2022·遂宁）如图，正方形ABCD与正方形BEFG有公共顶点B，连接EC、GA，交于点O，GA与BC交于点P，连接OD、OB，则下列结论一定正确的是（ ）
①EC⊥AG；②△OBP∽△CAP；③OB平分∠CBG；④∠AOD＝45°；
A．①③ B．①②③ C．②③ D．①②④
【答案】D
【知识点】正方形的性质；圆周角定理；相似三角形的判定；三角形全等的判定（SAS）；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD、四边形BEFG是正方形，
∴AB＝BC，BG＝BE，∠ABC＝90°＝∠GBE，
∴∠ABC+∠CBG＝∠GBE+∠CBG，即∠ABG＝∠EBC，
∴△ABG≌△CBE（SAS），
∴∠BAG＝∠BCE，
∵∠BAG+∠APB＝90°，
∴∠BCE+∠APB＝90°，
∴∠BCE+∠OPC＝90°，
∴∠POC＝90°，
∴EC⊥AG，故①正确；
取AC的中点K，如图：
在Rt△AOC中，K为斜边AC上的中点，
∴AK＝CK＝OK，
在Rt△ABC中，K为斜边AC上的中点，
∴AK＝CK＝BK，
∴AK＝CK＝OK＝BK，
∴A、B、O、C四点共圆，
∴∠BOA＝∠BCA，
∵∠BPO＝∠CPA，
∴△OBP∽△CAP，故②正确，
∵∠AOC＝∠ADC＝90°，
∴∠AOC+∠ADC＝180°，
∴A、O、C、D四点共圆，
∵AD＝CD，
∴∠AOD＝∠DOC＝45°，故④正确，
由已知不能证明OB平分∠CBG，故③错误，
故正确的有：①②④.
故答案为：D.
【分析】根据正方形的性质可得AB＝BC，BG＝BE，∠ABC＝90°＝∠GBE，由角的和差关系可得∠ABG＝∠EBC，证明△ABG≌△CBE，得到∠BAG＝∠BCE，结合∠BAG+∠APB＝90°可得∠POC＝90°，据此判断①；取AC的中点K，根据直角三角形斜边上中线的性质可得AK＝CK＝OK，AK＝CK＝BK，推出A、B、O、C四点共圆，根据圆周角定理可得∠BOA＝∠BCA，然后利用相似三角形的判定定理可判断②；易得A、O、C、D四点共圆，根据等弦所对的圆周角相等可得∠AOD＝∠DOC＝45°，据此判断④.
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2022·锦州）如图，在正方形中，E为的中点，连接交于点F．若，则的面积为 ．
【答案】3
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，，
∴，，
∴，
∴，
∵E为的中点，
∴，
∴，，
∴，
∴；
故答案为3．
【分析】先证明可得，再结合，，可得，从而求出即可。
12．（2022·包头）如图，反比例函数在第一象限的图象上有，两点，直线与x轴相交于点C，D是线段上一点．若，连接，记的面积分别为，则的值为 ．
【答案】4
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数的性质；反比例函数与一次函数的交点问题；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，连结BD，
，
而
在反比例函数图象上，
即反比例函数为：，
在反比例函数图象上，
即
设直线AB为：
解得：
∴直线AB为：
当时，
故答案为：4
【分析】连结BD，先证利用待定系数法求出反比例函数和直线AB的解析式， 再求出C点坐标，根据 可得 。
13．（2022·毕节）如图，在中，，点P为边上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则长度的最小值为 .
【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵四边形APCQ是平行四边形，
∴PO＝QO，CO＝AO，
∵PQ最短也就是PO最短，
∴过O作BC的垂线，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴则PQ的最小值为.
故答案为：.
【分析】首先利用勾股定理可得AC的值，根据平行四边形的性质可得PO＝QO，CO＝AO，过O作BC的垂线OP′，易证△CAB∽△CP′O，根据相似三角形的性质可得OP′，据此解答.
14．（2021·郴州）如图是一架梯子的示意图，其中AA1∥BB1∥CC1∥DD1，且AB＝BC＝CD.为使其更稳固，在A，D1间加绑一条安全绳（线段AD1）量得AE＝0.4m，则AD1＝ m.
【答案】1.2
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵BB1∥CC1，
∴ ＝ ，
∵AB＝BC，
∴AE＝EF，
同理可得：AE＝EF＝FD1，
∵AE＝0.4m，
∴AD1＝0.4×＝1.2（m），
故答案为：1.2.
【分析】由平行线分线段成比例的性质可得 ＝ ，由AB=BC可得AE＝EF，同理可得：AE＝EF＝FD1，据此求解.
15．（2022·深圳）已知是直角三角形，连接以为底作直角三角形且是边上的一点，连接和且则长为 ．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：过点D作DH⊥BD交BF延长线与点H，连接EH，
∵
是等腰直角三角形，
又是等腰直角三角形，
，，，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】利用全等三角形的判定与性质，三角形的判定与性质计算求解即可。
16．（2021·雅安）如图，在矩形 中， 和 相交于点O，过点B作 于点M，交 于点F，过点D作DE∥BF交AC于点N.交AB于点E，连接 ， .有下列结论：①四边形 为平行四边形，② ；③ 为等边三角形；④当 时，四边形DEBF是菱形.正确结论的序号 .
【答案】①②④
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AD∥BC，CD∥AB
∴∠DAN=∠BCM，
∵BF⊥AC，DE∥BF，
∴DE⊥AC，
∴∠DNA=∠BMC=90°，
在△ADN和△CBM中，
∴△ADN≌△CBM，
∴DN=BM，
又∵DF∥BE，DE∥BF，
∴四边形DFBE是平行四边形，
∴DE=BF，
∴DE-DN=BF-BM，即EN=FM，
∵NE∥FM，
∴四边形NEMF是平行四边形，故①正确，
∵△ADN≌△CBM，
∴AN=CM，
∴CN=AM，
∵∠AMB=∠BMC=∠ABC=90°，
∴∠ABM+∠CBM=90°，∠CBM+∠BCM=90°，
∴∠ABM=∠BCM，
∴△AMB∽△BMC，
∴ ，
∵DN=BM，AM=CN，
∴DN2=CM CN，故②正确，
若△DNF是等边三角形，则∠CDN=60°，
即∠ACD=30°，不符合题意，故③错误，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OD，
∵AO=AD，
∴AO=AD=OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠ADO=∠DAN=60°，
∴∠ABD=90°-∠ADO=30°，
∵DE⊥AC，
∴∠ADN=ODN=30°，
∴∠ODN=∠ABD，
∴DE=BE，
∵四边形DEBF是平行四边形，
∴四边形DEBF是菱形；故④正确.
故答案为：①②④.
【分析】证明△ADN≌△CBM，可得DN=BM，再证四边形DFBE是平行四边形，可得DE=BF，从而可得EN=FM，由NE∥FM，利用一组对边平行且相等可证四边形NEMF是平行四边形，据此判断①；证明
△AMB∽△BMC，可得 ，由DN=BM，AM=CN，可得DN2=CM CN，据此判断②；
若△DNF是等边三角形，则∠CDN=60°，从而求出∠ACD=30°，不符合题意，据此判断③；先求出
∠ODN=∠ABD，利用等角对等边可得DE=BE，由（1）知四边形DEBF是平行四边形，利用邻边相等的四边形是菱形即证结论，据此判断④.
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2022·盐城）如图，在与中，点、分别在边、上，且，若 ▲ ，则．请从①；②；③这三个选项中选择一个作为条件（写序号），并加以证明．
【答案】解：若选①；
证明：∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，
∴．
选择②；，不能证明．
若选③；，
证明：∵，
∴，∴，
又∵，
∴．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】若选择①，根据相似三角形的性质可得∠ADC=∠A′D′C′，，结合邻补角的性质可得∠ADB=∠A′D′B′，根据条件①得，则，然后结合相似三角形的判定定理进行证明；若选择③，根据相似三角形的性质得∠ADC=∠A′D′C′，结合邻补角的性质得∠ADB=∠A′D′B′，然后结合条件③即可证明.
18．（2022·仙桃）如图，正方形内接于，点E为的中点，连接交于点F，延长交于点G，连接.
（1）求证：；
（2）若.求和的长.
【答案】（1）证明：正方形内接于，
∴AD=BC，
∴，
∴∠ABD=∠CGB，
又∵∠EFB=∠BFG，
∴△BFE∽△GFB，
∴，
即；
（2）解：∵点E为AB中点，
∴AE=BE=3，
∵四边形ABCD为正方形，
∴CD=AB=AD=6，BD=，CE=，
∵CD∥BE，
∴△CDF∽△EBF，
∴，
∴DF=2BF，CF=2EF，
∴3BF=BD=，3EF=，
∴BF=，EF=，
由（1）得FG=.
【知识点】勾股定理；正方形的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据题意可得AD=BC，则，由圆周角定理可得∠ABD=∠CGB，证明△BFE∽△GFB，然后根据相似三角形的性质进行证明；
（2）根据中点的概念可得AE=BE=3，根据正方形的性质可得CD=AB=AD=6，利用勾股定理可得BD、CE，证明△CDF∽△EBF，根据相似三角形的性质可得DF=2BF，CF=2EF，据此可求出BF、EF，然后结合（1）的结论就可求出FG.
19．（2022·江西）如图，四边形为菱形，点E在的延长线上，．
（1）求证：；
（2）当时，求的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴，，
，，
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
即，
解得：．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用两组角相等的三角形相似的判定方法求解即可；
（2）根据相似三角形的性质可得，再把数据代入可得，最后求出即可。
20．（2022·贵港）已知：点C，D均在直线l的上方，与都是直线l的垂线段，且在的右侧，，与相交于点O.
（1）如图1，若连接，则的形状为 ，的值为 ；
（2）若将沿直线l平移，并以为一边在直线l的上方作等边.
①如图2，当与重合时，连接，若，求的长；
②如图3，当时，连接并延长交直线l于点F，连接.求证：.
【答案】（1）等腰三角形；
（2）解：①过点E作于点H，如图所示：
∵AC，BD均是直线l的垂线段，
∴，
∵是等边三角形，且与重合，
∴∠EAD=60°，
∴，
∴，
∴在中，，，
又∵，，
∴，
∴，
又，
∴，
又由（1）知，
∴，则，
∴在中，由勾股定理得：.
②连接，如图3所示：
∵，
∴，
∵是等腰三角形，
∴是等边三角形，
又∵是等边三角形，
∴绕点D顺时针旋转后与重合，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴.
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：（1）过点C作CH⊥BD于H，如图所示：
∵AC⊥l，DB⊥l，CH⊥BD，
∴∠CAB=∠ABD=∠CHB=90°，
∴四边形ABHC是矩形，
∴AC=BH，
又∵BD=2AC，
∴AC=BH=DH，且CH⊥BD，
∴的形状为等腰三角形，
∵AC、BD都垂直于l，
∴△AOC∽△BOD，
，即，
.
故答案为：等腰三角形，；
【分析】（1）过点C作CH⊥BD于H，则四边形ABHC是矩形，得到AC=BH，结合BD=2AC可得AC=BH=DH，且CH⊥BD，推出△BCD为等腰三角形，证明△AOC∽△BOD，根据相似三角形的性质可得OD=2AO，据此求解；
（2）①过点E作EF⊥AD于点H，则AC∥BD，易得∠EAD=60°，则∠BAD=30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得AD=2BD，利用勾股定理可得AB=BD，结合BD=2AC以及AC的值可得AB、AD、AH的值，由勾股定理可得EH，结合（1）的结论可得OH的值，然后在Rt△EOH中，根据勾股定理计算即可；
②连接CD，根据平行线的性质可得∠CBD=∠ACB=60°，推出△BCD是等边三角形，根据旋转的性质可得∠ECD=∠ABD=90°，易得∠ACF=∠FCB=∠FBC=30°，则FC=FB=2AF，证明△AOF∽△ADB，根据相似三角形的性质可得∠AFO=∠ABD=90°，据此证明.
21．（2022·吉林）下面是王倩同学的作业及自主探究笔记，请认真阅读并补充完整．
【作业】如图①，直线，与的面积相等吗？为什么？
解：相等．理由如下：
设与之间的距离为，则，．
∴．
【探究】
（1）如图②，当点在，之间时，设点，到直线的距离分别为，，则．
证明：∵ ▲
▲
▲
（2）如图③，当点在，之间时，连接并延长交于点，则．
证明：过点作，垂足为，过点作，垂足为，则，
∴ ▲ ．
∴ ▲ ．
∴．
由【探究】（1）可知 ▲ ，
∴．
（3）如图④，当点在下方时，连接交于点．若点，，所对应的刻度值分别为5，1.5，0，的值为 ．
【答案】（1）证明：，，
．
（2）解：证明：过点作，垂足为，过点作，垂足为，则，
．
．
．
由【探究】（1）可知，
．
（3）
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】 (3)解：过点作于点，过点作于点，则，
，
，
，
点所对应的刻度值分别为5，，0，
，，
，
又，，
，
故答案为：．
【分析】（1）由 ，即可证明；
（2） 过点作，垂足为，过点作，垂足为， 由AEDF可得 ，．由【探究】（1）可知；
（3）过点作于点，过点作于点，由探究（1）（2）可得。
22．（2022·包头）如图，在平行四边形中，是一条对角线，且，，，是边上两点，点在点的右侧，，连接，的延长线与的延长线相交于点．
（1）如图1，是边上一点，连接，，与相交于点．
①若，求的长；
②在满足①的条件下，若，求证：；
（2）如图2，连接，是上一点，连接．若，且，求的长．
【答案】（1）解：①解：如图，
∵四边形是平行四边形，，，
∴，，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的长为．
②证明：∵，
∴，
∵，
在和中，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）解：如图，连接，
∵，，
∴，
∴，
∵，
在和中，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴．
∴的长为2．
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的性质；平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）①根据平行四边形的性质和相似三角形的判定定理解答即可；②根据全等三角形的判定定理和等腰三角形的性质解答即可；
（2）连接CF，通过相似三角形的判断定理和方程思想解答即可。
23．（2022·长沙）如图，四边形ABCD内接于，对角线AC，BD相交于点E，点F在边AD上，连接EF.
（1）求证：；
（2）当时，则 ； ； .（直接将结果填写在相应的横线上）
（3）①记四边形ABCD，的面积依次为，若满足，试判断，的形状，并说明理由.
②当，时，试用含m，n，p的式子表示.
【答案】（1）证明：，
，
即，
又，
（2）0；1；0
（3）解：①记的面积为，
则，
，
①
，
即，
②
由①②可得，
即，
，
，
即，
，
，
，
，
都为等腰三角形；
②，
，
，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
则，
，
【知识点】平行线的判定与性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（2），
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：0，1，0；
【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等得∠ACD=∠ABD，即∠ABE=∠DCE，由对顶角的性质可得∠DEC=∠AEB，然后根据相似三角形的判定定理进行证明；
（2）根据相似三角形的性质可得AE·CE=BE·DE，对进行通分可得可得第一空的答案；根据内角和定理、圆内接四边形的性质可得∠CDB+∠CBD=180°-∠BCD=∠DAB=2∠CDB，结合已知条件可得∠DFE=∠DAB，推出EF∥AB，由平行线的性质可得∠FEA=∠EAB，根据圆周角定理可得∠DAC=∠BAC，进而得到FA=FE，证明△DFE∽△DAB，根据相似三角形的性质可得，据此可得第二空的答案；根据可得，据此可得第三空的答案；
（3）①记△ADE、△EBC的面积为S3、S4，则S=S1+S2+S3+S4，易得S1S2=S3S4，根据已知条件可得S3+S4=，则可推出S3=S4，结合面积间的和差关系可得S△ABD=S△ADC，推出CD∥AB，结合平行线的性质以及圆周角定理可得∠EDC=∠ECD=∠EBA=∠EAB，据此证明；
②根据圆周角定理可得∠DAC=∠EAB，∠DCA=∠EBA，证明△DAC∽△EAB，△DCE∽△ACD，根据相似三角形的性质可得EA·AC=DA·AB=mn，CE·CA=CD2=p2，然后表示出AC、EC，由AE=AC-CE可得AE，据此求解.
24．（2022·乐山）华师版八年级下册数学教材第121页习题19.3第2小题及参考答案.
2.如图，在正方形ABCD中，.求证：. 证明：设CE与DF交于点O， ∵四边形ABCD是正方形， ∴，. ∴. ∵， ∴. ∴. ∴. ∴. ∴.
某数学兴趣小组在完成了以上解答后，决定对该问题进一步探究
（1）【问题探究】如图，在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别在线段AB、BC、CD、DA上，且.试猜想的值，并证明你的猜想.
（2）【知识迁移】如图，在矩形ABCD中，，，点E、F、G、H分别在线段AB、BC、CD、DA上，且.则 .
（3）【拓展应用】如图，在四边形ABCD中，，，，点E、F分别在线段AB、AD上，且.求的值.
【答案】（1）解：，理由为：
过点A作AM∥HF交BC于点M，作AN∥EG交CD的延长线于点N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形AMFH是平行四边形，四边形AEGN是平行四边形，
∴AM＝HF，AN＝EG，
在正方形ABCD中，AB＝AD，∠ABM＝∠BAD＝∠ADN＝90°
∵EG⊥FH，
∴∠NAM＝90°，
∴∠BAM＝∠DAN，
在△ABM和△ADN中，∠BAM＝∠DAN，AB＝AD，∠ABM＝∠ADN
∴△ABM≌△ADN
∴AM＝AN，即EG＝FH，
∴；
（2）
（3）解：∵，，
∴是等边三角形，
∴设，
过点，垂足为，交于点，
则，
在中，，
∵，，
∴，，
又∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即.
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：（2）过点A作AM∥HF交BC于点M，作AN∥EC交CD的延长线于点N，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形AMFH是平行四边形，四边形AEGN是平行四边形，
∴AM＝HF，AN＝EG，
在矩形ABCD中，BC＝AD，∠ABM＝∠BAD＝∠ADN＝90°，
∵EG⊥FH，
∴∠NAM＝90°，
∴∠BAM＝∠DAN.
∴△ABM∽△ADN，
∴，
∵，，AM＝HF，AN＝EG，
∴，
∴；
故答案为：；
【分析】（1）过点A作AM∥HF交BC于点M，作AN∥EG交CD的延长线于点N，根据正方形的性质可得AB∥CD，AD∥BC，推出四边形AMFH、AEGN是平行四边形，得到AM＝HF，AN＝EG，根据同角的余角相等可得∠BAM＝∠DAN，证明△ABM≌△ADN，据此求解；
（2）过点A作AM∥HF交BC于点M，作AN∥EC交CD的延长线于点N，根据矩形的对边平行可得AB∥CD，AD∥BC，推出四边形AMFH、AEGN是平行四边形，得到AM＝HF，AN＝EG，根据同角的余角相等可得∠BAM＝∠DAN，证明△ABM∽△ADN，然后根据相似三角形的性质进行求解；
（3）易得△ABC是等边三角形，设AB=BC=AC=a，作CN⊥AB，垂足为N，交BF于点M，根据等边三角形的性质可得AN=BN=a，利用勾股定理可得CN，根据等角的余角相等可得∠ABF=∠ECN，证明△NCE∽△ABF，然后根据相似三角形的性质进行求解.
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