2022年秋季浙教版数学九年级上册第四章 《相似三角形》单元检测B
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022·贺州）如图，在 中， ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·遂宁）如图，D，E，F分别是△ABC三边上的点，其中BC＝8，BC边上的高为6，且DE∥BC，则△DEF面积的最大值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
3．（2022·衢州）西周数学家商高总结了用“矩”（如图1）测量物高的方法：把矩的两边放置成如图2的位置，从矩的一端A（人眼）望点E，使视线通过点C，记人站立的位置为点B，量出BG长，即可算得物高EG．令BG=x（m）， EG=y（m），若a=30cm，b=60cm，AB=1.6m，则y关于x的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·东营）如图，点D为边上任一点，交于点E，连接相交于点F，则下列等式中不成立的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·遂宁）如图，正方形ABCD与正方形BEFG有公共顶点B，连接EC、GA，交于点O，GA与BC交于点P，连接OD、OB，则下列结论一定正确的是（ ）
①EC⊥AG；②△OBP∽△CAP；③OB平分∠CBG；④∠AOD＝45°；
A．①③ B．①②③ C．②③ D．①②④
6．（2021·锦州）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，D为⊙O上一点（位于AB下方），CD交AB于点E，若∠BDC＝45°，BC＝6 ，CE＝2DE，则CE的长为（ ）
A．2 B．4 C．3 D．4
7．（2022·海南）如图，点，将线段平移得到线段，若，则点D的坐标是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·舟山）如图，在Rt△ABC和Rt△BDE中，∠ABC=∠BDE=90°，点A在边DE的中点上，若AB=BC，DB=DE=2，连结CE，则CE的长为（ ）
A． B． C．4 D．
9．（2022·达州）如图，点E在矩形 的 边上，将 沿 翻折，点A恰好落在 边上的点F处，若 ， ，则 的长为（ ）
A．9 B．12 C．15 D．18
10．（2022·东营）如图，已知菱形的边长为2，对角线相交于点O，点M，N分别是边上的动点，，连接.以下四个结论正确的是（ ）
①是等边三角形；②的最小值是；③当最小时；④当时，.
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2021·内江）如图，矩形 中， ， ，对角线 的垂直平分线 交 于点 、交 于点 ，则线段 的长为 .
12．（2022·毕节）如图，在中，，点P为边上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则长度的最小值为 .
13．（2022·绥化）如图，，点在射线上，且，过点作交射线于，在射线上截取，使；过点作交射线于，在射线上截取，使.按照此规律，线段的长为 ．
14．（2022·绵阳）如图，四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AC⊥BC，∠ABC＝45°，AC与BD交于点E，若AB＝，CD＝2，则△ABE的面积为 ．
15．（2022·常州）如图，在中，，，.在中，，，.用一条始终绷直的弹性染色线连接，从起始位置（点与点重合）平移至终止位置（点与点重合），且斜边始终在线段上，则的外部被染色的区域面积是 .
16．（2022·龙东）在矩形ABCD中，，，点E在边CD上，且，点P是直线BC上的一个动点．若是直角三角形，则BP的长为 ．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2022·怀化）如图，点A，B，C，D在⊙O上，＝.求证：
（1）AC＝BD；
（2）△ABE∽△DCE.
18．（2022八下·广饶期末）如图所示，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．
（1）画出位似中心点O；
（2）直接写出△ABC与△A′B′C′的位似比；
（3）以位似中心O为坐标原点，以格线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，并直接写出△A′B′C′各顶点的坐标．
19．（2021·玉林）如图，在 中，D在 上， ， .
（1）求证： ∽ ；
（2）若 ，求 的值.
20．（2021·黄冈）如图，在 和 中， ， .
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长.
21．（2021·乐山）在等腰 中， ，点D是 边上一点（不与点B、C重合），连结 .
（1）如图1，若 ，点D关于直线 的对称点为点E，结 ， ，则 ；
（2）若 ，将线段 绕点A顺时针旋转 得到线段 ，连结 .
①在图2中补全图形；
②探究 与 的数量关系，并证明；
（3）如图3，若 ，且 ，试探究 、 、 之间满足的数量关系，并证明.
22．（2021·嘉兴）小王在学习浙教版九上课本第72页例2后，进一步开展探究活动：将一个矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α≤90°），得到矩形AB′C′D′，连结BD．
[探究1]如图1，当α＝90°时，点C′恰好在DB延长线上．若AB＝1，求BC的长．
[探究2]如图2，连结AC′，过点D′作D′M∥AC′交BD于点M．线段D′M与DM相等吗？请说明理由．
[探究3]在探究2的条件下，射线DB分别交AD′，AC′于点P，N（如图3），发现线段DN，MN，PN存在一定的数量关系，请写出这个关系式，并加以证明．
23．（2022·武汉）如图
问题提出：如图（1），中，，是的中点，延长至点，使，延长交于点，探究的值.
（1）问题探究：
先将问题特殊化.如图（2），当时，直接写出的值；
（2）再探究一般情形.如图（1），证明（1）中的结论仍然成立.
（3）问题拓展：
如图（3），在中，，是的中点，是边上一点，，延长至点，使，延长交于点.直接写出的值（用含的式子表示）.
24．（2020·营口）如图，在矩形ABCD中，AD＝kAB（k＞0），点E是线段CB延长线上的一个动点，连接AE，过点A作AF⊥AE交射线DC于点F.
（1）如图1，若k＝1，则AF与AE之间的数量关系是 ；
（2）如图2，若k≠1，试判断AF与AE之间的数量关系，写出结论并证明；（用含k的式子表示）
（3）若AD＝2AB＝4，连接BD交AF于点G，连接EG，当CF＝1时，求EG的长.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：
∴ ，
∴ ，
故答案为：B.
【分析】易证△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行解答.
2．【答案】A
【知识点】平行线的性质；三角形的面积；相似三角形的判定与性质；偶次方的非负性
【解析】【解答】解：如图，过点A作AM⊥BC于M，交DE于点N，则AN⊥DE，
设AN＝a，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，
∴△ADE∽△ABC，
∴
∴
∴DE＝ a，
∴△DEF面积S＝ ×DE×MN
＝ × a （6﹣a）
＝﹣ a2+4a
＝﹣ （a﹣3）2+6，
∴当a＝3时，S有最大值，最大值为6.
故答案为：A.
【分析】过点A作AM⊥BC于M，交DE于点N，设AN＝a，根据平行线的性质可得∠ADE=∠B，∠AED=∠C，证明△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质可得DE＝a，然后根据三角形的面积公式以及偶次幂的非负性进行解答.
3．【答案】B
【知识点】一次函数的实际应用；矩形的判定与性质；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵CD⊥AF，EG⊥AF，
∴CD∥EF，∠AFG=∠G=∠B=90°，
∴四边形ABGF是矩形，
∴AB=GF=1.6，BG=AF=x
∴△ACD∽△AEF，
∴，
解之：.
故答案为：B.
【分析】利用垂直的定义可证得∠AFG=∠G=∠B=90°，可推出四边形ABGF是矩形，路矩形的性质可得到GF，AF的长；同时可证得CD∥EF，由此可证得△ACD∽△AEF，利用相似三角形的对应边成比例可得到关于x，y的方程，解方程用含x的代数式表示出y.
4．【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵，
∴，△DEF∽△CBF，△ADE∽△ABC，故A不符合题意；
∴，，故B不符合题意，C符合题意；
∴，故D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用平行线分线段成比例的性质逐项判断即可。
5．【答案】D
【知识点】正方形的性质；圆周角定理；相似三角形的判定；三角形全等的判定-SAS；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD、四边形BEFG是正方形，
∴AB＝BC，BG＝BE，∠ABC＝90°＝∠GBE，
∴∠ABC+∠CBG＝∠GBE+∠CBG，即∠ABG＝∠EBC，
∴△ABG≌△CBE（SAS），
∴∠BAG＝∠BCE，
∵∠BAG+∠APB＝90°，
∴∠BCE+∠APB＝90°，
∴∠BCE+∠OPC＝90°，
∴∠POC＝90°，
∴EC⊥AG，故①正确；
取AC的中点K，如图：
在Rt△AOC中，K为斜边AC上的中点，
∴AK＝CK＝OK，
在Rt△ABC中，K为斜边AC上的中点，
∴AK＝CK＝BK，
∴AK＝CK＝OK＝BK，
∴A、B、O、C四点共圆，
∴∠BOA＝∠BCA，
∵∠BPO＝∠CPA，
∴△OBP∽△CAP，故②正确，
∵∠AOC＝∠ADC＝90°，
∴∠AOC+∠ADC＝180°，
∴A、O、C、D四点共圆，
∵AD＝CD，
∴∠AOD＝∠DOC＝45°，故④正确，
由已知不能证明OB平分∠CBG，故③错误，
故正确的有：①②④.
故答案为：D.
【分析】根据正方形的性质可得AB＝BC，BG＝BE，∠ABC＝90°＝∠GBE，由角的和差关系可得∠ABG＝∠EBC，证明△ABG≌△CBE，得到∠BAG＝∠BCE，结合∠BAG+∠APB＝90°可得∠POC＝90°，据此判断①；取AC的中点K，根据直角三角形斜边上中线的性质可得AK＝CK＝OK，AK＝CK＝BK，推出A、B、O、C四点共圆，根据圆周角定理可得∠BOA＝∠BCA，然后利用相似三角形的判定定理可判断②；易得A、O、C、D四点共圆，根据等弦所对的圆周角相等可得∠AOD＝∠DOC＝45°，据此判断④.
6．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接CO，过点D作DG⊥AB于点G，连接AD，
∵∠BDC＝45°，
∴∠CAO＝∠CDB＝45°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，
∵BC＝6 ，
∴AB＝ BC＝12，
∵OA＝OB，
∴CO⊥AB，
∴∠COA＝∠DGE＝90°，
∵∠DEG＝∠CEO，
∴△DGE∽△COE，
∴ ＝ ，
∵CE＝2DE，
设GE＝x，则OE＝2x，DG＝3，
∴AG＝6﹣3x，BG＝6＋3x，
∵∠ADB＝∠AGD＝90°，
∠DAG＝∠BAD，
∴△AGD∽△ADB，
∴DG2＝AG BG，
∴9＝（6﹣3x）（6＋3x），
∵x＞0，
∴x＝ ，
∴OE＝2 ，
在Rt△OCE中，由勾股定理得：
CE＝ ，
故答案为：D．
【分析】连接CO，过点D作DG⊥AB于点G，连接AD，因为CE=2DE，构造△DGE∽△COE，求出DG=3，设GE=x，则OE=2x，DG=3，则AG=6-3x，BG=6+3x，再利用△AGD∽△ADB，列出方程即可求解。
7．【答案】D
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质；图形的平移；用坐标表示平移
【解析】【解答】如图过点C作轴垂线，垂足为点E，
∵
∴
∵
∴
在和中，
，
∴，
∴ ，
则 ，
∵点C是由点B向右平移6个单位，向上平移2个单位得到，
∴点D同样是由点A向右平移6个单位，向上平移2个单位得到，
∵点A坐标为(0，3)，
∴点D坐标为(6，5)，选项D符合题意，
故答案为：D
【分析】过点C作x轴垂线，垂足为点E，利用余角的性质可证得∠ABO=∠BCE，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△ABO∽△BCE，利用相似三角形的性质可求出BE，EC的长利用点的坐标平移规律可知点D同样是由点A向右平移6个单位，向上平移2个单位得到即可得到点D的坐标.
8．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，过点E作EF⊥CB的延长线于点F，过点E作BC的平行线交BA延长线于点G，
∴∠F=∠ABF=∠EGA=∠GEF=90°，
∴四边形BGEF为矩形，
∴EG=BF，
由题意得，Rt△ABC和Rt△BDE都为等腰直角三角形，
∵点A在边DE的中点上，若AB=BC，DB=DE=2，
∴BE=DE=2，DA=AE=DE=1，
∴AB=BC==，
∵S△AEB=AE·BD=AB·EG，
∴1×2=·EG，
∴EG=，
∴BF=，
∴在Rt△EBF中，由勾股定理得EF==，
∴CF=BF+BC=+=，
∴在Rt△EFC中，由勾股定理得EC==.
故答案为：D.
【分析】如图，过点E作EF⊥CB的延长线于点F，过点E作BC的平行线交BA延长线于点G，从而得∠F= ∠ABF=∠EGA=∠GEF=90°，可证得四边形BGEF为矩形，即得EG=BF，易知Rt△ABC和Rt△BDE都为等腰直角三角形，由等腰三角性质求得BE=2，DA=AE=1，AB=BC=，根据△AEB的面积，可列=AE·BD=AB·EG，代入数据求得EG=，从而得BF=，再在Rt△EBF中，由勾股定理求得EF=，从而得CF=，最后在Rt△EFC中，由勾股定理求得EC的长即可.
9．【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD，
∴∠B=∠C=∠A=90°，BC=AD，AB=CD，
∵△ADE沿DE翻折，点A恰好落在BC边上的点F处，
∴AE=EF，∠A=∠DFE=90°，
∴∠BEF=∠DFC，
∴△FCD∽△EBF，
∴CD：BF=FC：EB，
又∵CD=3BF，
∴FC：EB=3：1，
∵BE=4，
∴FC=12，
设AE=EF=a，则AB=CD=a+4，
∴BF=，
在Rt△EBF中，BF2+BE2=EF2，
∴（）2+42=a2，
整理，解得：a=-4（舍去）或a=5，
∴BF=3，
∴AD=BC=BF+FC=3+12=15.
故答案为：C.
【分析】由矩形性质得∠B=∠C=∠A=90°，BC=AD，AB=CD，由折叠得AE=EF，∠A=∠DFE=90°，可得∠BEF=∠DFC，继而证出△FCD∽△EBF，由相似三角形对应比比例关系结合CD=3BF求得FC=12，设AE=EF=a，则AB=CD=a+4，从而得BF=，由勾股定理得到a的方程（）2+42=a2，解得a=5，求得BF的长，进而求出AD的长.
10．【答案】D
【知识点】菱形的性质；相似三角形的判定与性质；四边形的综合
【解析】【解答】解：如图：在菱形ABCD中，AB=BC=AD=CD，，OA=OC，
∵，
∴，与为等边三角形，
又，
，
∴，
在与中
∴，
∴AM=AN，
即为等边三角形，
故①符合题意；
∵，
当MN最小值时，即AM为最小值，当时，AM值最小，
∵，
∴
即，
故②符合题意；
当MN最小时，点M、N分别为BC、CD中点，
∴，
∴，
在中，
，
∴，
而菱形ABCD的面积为：，
∴，
故③符合题意，
当时，
∴
∴
∴
∴
故④符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用菱形的性质，等边三角形的判定、三角形全等的判定和性质及三角形相似的判定和性质逐项判断即可。
11．【答案】
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：如图：
四边形 是矩形，
，又 ， ，
，
是 的垂直平分线，
， ，又 ，
，
，
，
解得， ，
四边形 是矩形，
， ，
，
是 的垂直平分线，
， ，
在 和 中，
，
，
，
.
故答案为： .
【分析】利用矩形的性质可得到∠A=90°，利用勾股定理求出BD的长；利用垂直平分线的定义可得到OB的长；再证明△BOF∽△BCD，利用相似三角形的对应边成比例可求出OF的长；利用矩形的性质可证得∠A=90°，AD∥BC，利用平行线的性质可得到∠EDO=∠FBO；再利用ASA证明△DEO≌△BFO，利用全等三角形的性质可得到OE=OF；然后根据EF=2OF，代入计算可求出EF的长.
12．【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵四边形APCQ是平行四边形，
∴PO＝QO，CO＝AO，
∵PQ最短也就是PO最短，
∴过O作BC的垂线，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴则PQ的最小值为.
故答案为：.
【分析】首先利用勾股定理可得AC的值，根据平行四边形的性质可得PO＝QO，CO＝AO，过O作BC的垂线OP′，易证△CAB∽△CP′O，根据相似三角形的性质可得OP′，据此解答.
13．【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：，
是直角三角形，
在中，，，
，
，，
，
，
，
，
，
同理可得：，，……，
，
，
故答案为：．
【分析】先求出，，，…可得，再将n=2023代入计算即可。
14．【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：过点D作DF⊥AC于点F，
∵AC⊥BC，∠ABC=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=BC，
∴2AC2=AB2
∴；
∴，
∴即
解之：；
∴
∴；
∵DF⊥AC，AC⊥BC，
∴DF∥BC，
∴△DEF∽△BEC，
∴即
解之：
，
∴.
故答案为：.
【分析】过点D作DF⊥AC于点F，利用已知易证△ABC是等腰直角三角形，利用勾股定理求出AC，AD的长；再利用直角三角形的两个面积公式可求出DF的长；利用勾股定理求出AF的长，根据CF=AC-AF，代入计算求出CF的长；利用同垂直于一条直线的直线平行，可证得DF∥BC，可推出△DEF∽△BEC，利用相似三角形的对应边成比例可求出EF的长；根据AE=AF+EF，代入计算求出AE的长；然后利用三角形的面积公式求出△ABE的面积.
15．【答案】21
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点F作AB的垂线交于G，同时在图上标出M、N、F'如下图：
，，，
，
在中，，，.
，
，
，
四边形为平行四边形，
，
，
解得：，
，
，
，
，
，
，
同理可证：，
，
，
，
的外部被染色的区域面积为，
故答案为：21.
【分析】过点F作AB的垂线交于G，同时在图上标出M、N、F′，利用勾股定理可得AB、DE，由AE=AB-DE可得AE，推出四边形AEFF′为平行四边形，得到AE=FF′=10，根据三角形的面积公式可得GF，证明△DFM∽△ACM，△ANF′∽△DNC，根据相似三角形的性质可得DM、DN，由MN=DN-DM可得MN，然后根据Rt△ABC的外部被染色的区域面积为S梯形MNF′F结合梯形的面积公式进行计算.
16．【答案】或或6
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质；四边形的综合
【解析】【解答】解：在矩形ABCD中，，，∠BAD=∠B=∠BCD=∠ADC=90°，
如图，当∠APE=90°时，
∴∠APB+∠CPE=90°，
∵∠BAP+∠APB=90°，
∴∠BAP=∠CPE，
∵∠B=∠C=90°，
∴△ABP∽△PCE，
∴，即，
解得：BP=6；
如图，当∠AEP=90°时，
∴∠AED+∠PEC=90°，
∵∠DAE+∠AED=90°，
∴∠DAE=∠PEC，
∵∠C=∠D=90°，
∴△ADE∽△ECP，
∴，即，
解得：，
∴；
如图，当∠PAE=90°时，过点P作PF⊥DA交DA延长线于点F，
根据题意得∠BAF=∠ABP=∠F=90°，
∴四边形ABPF为矩形，
∴PF=AB=9，AF=PB，
∵∠PAF+∠DAE=90°，∠PAF+∠APF=90°，
∴∠DAE=∠APF，
∵∠F=∠D=90°，
∴△APF∽△EAD，
∴，即，
解得：，即；
综上所述，BP的长为或或6．
故答案为：或或6
【分析】分三种情况：①当∠APE=90°时，②当∠AEP=90°时，③当∠PAE=90°时，过点P作PF⊥DA交DA延长线于点F，分别画出图象并利用相似三角形的判定和性质求解即可。
17．【答案】（1）证明：∵＝
∴＝
∴
∴BD=AC
（2）证明：∵∠B=∠C；∠AEB=∠DEC
∴△ABE∽△DCE
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；相似三角形的判定；对顶角及其性质
【解析】【分析】（1）根据＝可得，然后根据弧、弦的关系进行证明；
（2） 根据同弧所对的圆周角相等可得∠B=∠C，根据对顶角的性质可得∠AEB=∠DEC，然后根据有两组角对应相等的两个三角形相似进行证明.
18．【答案】（1）解：连接对应顶点，并同向延长，得到交点O，画图如下：．
（2）2：1
（3）坐标系见解析，A′（﹣6，0），B′（﹣3，2），C′（﹣4，4）
【知识点】位似变换；作图﹣位似变换
【解析】【解答】解：（2）根据题意，得BC=，，故△ABC与△A′B′C′的位似比为=2：1．
（3）根据题意，建立坐标系如上图，结合坐标系，可得到A′（﹣6，0），B′（﹣3，2），C′（﹣4，4）．
【分析】（1）根据题意作图求解即可；
（2）利用勾股定理求出BC和B'C'的值，再求解即可；
（3）根据平面直角坐标系求点的坐标即可。
19．【答案】（1）证明：∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：由（1）可知 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据 可得 ，根据 可得 可得结果；
（2）由（1）可得 ， ，根据相似三角形面积比=相似比的平方可得 ，即可得结果.
20．【答案】（1）证明： ，
，即 ，
在 和 中， ，
（2）解：由（1）已证： ，
，
， ，
，
解得 或 （不符题意，舍去），
则 的长为9
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用已知条件可证得∠ACB=∠DCE，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△ABC∽△DEC.
（2）利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出EC的长.
21．【答案】（1）30°
（2）解：①补全图如图2所示；
② 与 的数量关系为： ；
证明：∵ ， .
∴ 为正三角形，
又∵ 绕点A顺时针旋转 ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
（3）解：连接 .
∵ ， ，∴ .
∴ .
又∵ ，
∴ ，
∴ .∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， .
∵ ，
∴ .
又∵ ，
∴ .
【知识点】等边三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（1）∵ ，
∴△ABC是等边三角形
∴∠B=60°
∵点D关于直线 的对称点为点E
∴AB⊥DE，
∴
故答案为： ；
【分析】（1）利用有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，可证得△ABC是等边三角形，可得到∠B=60°，利用轴对称的性质可证得AB⊥DE，即可求出∠BDE的度数.
（2）①根据题意补全图形，②利用有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，可证得△ABC是等边三角形，利用旋转的性质可证得AD=AE，∠EAD=60°，再证明∠BAE=∠DAC，利用SAS可证得△AEB≌△ADC，利用全等三角形的对应边相等，可证得结论.
（3）连接AE，利用有两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似，可证得△ACB∽△ADE，可推出∠BAC=∠EAD；再证明∠DAC=∠BAE，利用SAS证明△AEB≌△ADC，可证得DC=BE，由此可推出BD+BE=BC；然后根据AC与BC的比值为k，可证得BE，BD，AC之间的数量关系.
22．【答案】[探究1]如图1，设BC=x，
∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转°得到矩形AB'C'D'，点A，B，D'在同一直线上，
∴AD'= AD=BC=x，D'C'=AB'= AB=1，
∴D'B=AD'- AB=x-1，
∴∠BAD=∠D'=90，D'C‘∥DA，
又∵点C'在DB延长线上，
∴△D'C'B∽△ADB，
∴，即，
解得x1=，x2=(不合题意，舍去)；
[探究2] D'M= DM，理由如下：
证明：如图2，连结DD'，
∵D'M∥AC'，∴∠AD'M=∠D'AC'，
∴AD'= AD，∠AD'C'=∠DAB=90°， D'C'= AB，
∴△AC'D'≌△DBA(SAS)，
∴∠D'AC'=∠ADB，∴∠ADB=∠AD'M，
∵ AD’=AD，∴∠ADD'=∠AD'D，
∴∠MDD'=∠MD'D，
∴D'M=DM；
[探究3]关系式为：MN2=PN·DN，理由如下：
证明：如图3，连结AM，
∵D'M=DM，AD'=AD，AM=AM，
∴△AD'M≌△ADM(SSS)，
∴∠MAD'=∠MAD，
∴∠AMN=∠MAD+∠NDA，∠NAM=∠MAD'+∠NAP，
∴∠AMN=∠NAM，
∴MN= AN，
在△NAP与△NDA中，
∠ANP=∠DNA，∠NAP=∠NDA，
∴△NAP∽△NDA，
∴，
∴AN2=PN·DN，
∴MN2=PN·DN.
【知识点】三角形全等的判定；矩形的性质；相似三角形的判定与性质；旋转的性质；四边形的综合
【解析】【分析】（1）设BC=x，根据旋转的性质和矩形的性质把有关线段用x表示出来，证明△D'C'B∽△ADB，然后列比例式构建关于x的方程求解即可；
（2）连结DD'，利用边角边定理证明△AC'D'≌△DBA，得出∠D'AC'=∠ADB，再结合平行线的性质，得出∠ADB=∠AD'M，最后利用旋转性质，根据角的和差关系推出∠MDD'=∠MD'D，则可得出D'M=DM；
（3）连接AM，根据旋转的性质和矩形的性质，利用边边边定理证明△AD'M≌△ADM，得出∠MAD'=∠MAD，再根据角的和差关系求出∠AMN=∠NAM，得出MN=AN，然后证明△NAP∽△NDA，列比例式得出AN2=PN·DN，则可得出结论.
23．【答案】（1）解：
（2）证明：取的中点，连接.
∵是的中点，∴，.
∵，∴，∴.
∵，∴.
∴.
∴.
∴.∴.
∵，∴.
∴.
∴.
∴.
另解1：证明，得也可求解.
另解2：取的中点，证明也可以求解.
（3）解：
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理
【解析】【解答】（1）取AB的中点G，连接DG，
∵点D是AC的中点，
∴DG是△ABC的中位线，
∴DG∥BC，
∵AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵点D是AC的中点，
∴BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝30°，
∵BD＝CD，
∴∠E＝∠DBC＝30°，
∴∠BFE=180°-∠ABC-∠E=180°-60°-30°=90°，
∴DF⊥AB，
∵∠AGD＝∠ADG＝60°，
∴△ADG是等边三角形，
∴AF＝AG，
∵AG＝AB，
∴AF＝AB，
∴.
（3）取BC的中点H，连接DH，
由（2）同理可证明△DGH≌△DEC（ASA），
∴GH＝CE，
∴HE＝CG，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵DH∥BF，
∴△EDH∽△EFB，
∴，
∵DH＝AB，
∴，
∴．
【分析】（1）取AB的中点G，连接DG，易得DG为△ABC的中位线，则DG∥BC，易得△ABC为等边三角形，∠DBC=30°，根据等腰三角形的性质可得∠E=∠DBC=30°，进而推出△ADG为等边三角形，得到AF=AG，然后结合AG=AB进行计算即可；
（2）取BC的中点H，连接DH，同理可得DH∥AB，DH=AB，根据等腰三角形的性质可得∠DHC=∠DCH，∠DBH=∠DEC，结合外角的性质可得∠BDH=∠EDC，证明△DBH≌△DEC，得到BH=EC，证明△EDH∽△EFB，然后根据相似三角形的性质进行计算；
（3）取BC的中点H，连接DH，易证△DGH≌△DEC，利用全等三角形的性质可证得GH=CE；利用已知条件可得到HE和BE的比值，利用DH∥BF，可证得△EDH∽△EFB，利用相似三角形的对应边成比例可得比例式，结合DH＝AB，可求出AF与AB的比值.
24．【答案】（1）AF＝AE
（2）解：AF＝kAE.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠ABC＝∠ADF＝90°，
∴∠FAD+∠FAB＝90°，
∵AF⊥AE，
∴∠EAF＝90°，
∴∠EAB+∠FAB＝90°，
∴∠EAB＝∠FAD，
∵∠ABE+∠ABC＝180°，
∴∠ABE＝180°﹣∠ABC＝180°﹣90°＝90°，
∴∠ABE＝∠ADF.
∴△ABE∽△ADF，
∴ ，
∵AD＝kAB，
∴ ，
∴ ，
∴AF＝kAE.
（3）解：①如图1，当点F在DA上时，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∵AD＝2AB＝4，
∴AB＝2，
∴CD＝2，
∵CF＝1，
∴DF＝CD﹣CF＝2﹣1＝1.
在Rt△ADF中，∠ADF＝90°，
∴AF＝ ，
∵DF∥AB，
∴∠GDF＝∠GBA，∠GFD＝∠GAB，
∴△GDF∽△GBA，
∴
∵AF＝GF+AG，
∴AG＝
∵△ABE∽△ADF，
∴ ，
∴AE＝ ＝
在Rt△EAG中，∠EAG＝90°，
∴EG＝ ，
②如图2，当点F在DC的延长线上时，DF＝CD+CF＝2+1＝3，
在Rt△ADF中，∠ADF＝90°，
∴AF＝ .
∵DF∥AB，
∵∠GAB＝∠GFD，∠GBA＝∠GDF，
∴△AGB∽△FGD，
∴ ，
∵GF+AG＝AF＝5，
∴AG＝2，
∵△ABE∽△ADF，
∴ ，
∴ ，
在Rt△EAG中，∠EAG＝90°，
∴EG＝ .
综上所述，EG的长为 或 .
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）AE＝AF.
∵AD＝AB，四边形ABCD矩形，
∴四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，
∵AF⊥AE，
∴∠EAF＝90°，
∴∠EAB＝∠FAD，
∴△EAB≌△FAD（AAS），
∴AF＝AE；
故答案为：AF＝AE.
【分析】（1）证明△EAB≌△FAD（AAS），由全等三角形的性质得出AF＝AE；
（2）证明△ABE∽△ADF，由相似三角形的性质得出 ，则可得出结论；
（3）①如图1，当点F在DA上时，证得△GDF∽△GBA，得出 ，求出AG＝ .由△ABE∽△ADF可得出 ，求出AE＝ .则可得出答案；②如图2，当点F在DC的延长线上时，同理可求出EG的长.
1 / 12022年秋季浙教版数学九年级上册第四章 《相似三角形》单元检测B
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022·贺州）如图，在 中， ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：
∴ ，
∴ ，
故答案为：B.
【分析】易证△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行解答.
2．（2022·遂宁）如图，D，E，F分别是△ABC三边上的点，其中BC＝8，BC边上的高为6，且DE∥BC，则△DEF面积的最大值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】A
【知识点】平行线的性质；三角形的面积；相似三角形的判定与性质；偶次方的非负性
【解析】【解答】解：如图，过点A作AM⊥BC于M，交DE于点N，则AN⊥DE，
设AN＝a，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，
∴△ADE∽△ABC，
∴
∴
∴DE＝ a，
∴△DEF面积S＝ ×DE×MN
＝ × a （6﹣a）
＝﹣ a2+4a
＝﹣ （a﹣3）2+6，
∴当a＝3时，S有最大值，最大值为6.
故答案为：A.
【分析】过点A作AM⊥BC于M，交DE于点N，设AN＝a，根据平行线的性质可得∠ADE=∠B，∠AED=∠C，证明△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质可得DE＝a，然后根据三角形的面积公式以及偶次幂的非负性进行解答.
3．（2022·衢州）西周数学家商高总结了用“矩”（如图1）测量物高的方法：把矩的两边放置成如图2的位置，从矩的一端A（人眼）望点E，使视线通过点C，记人站立的位置为点B，量出BG长，即可算得物高EG．令BG=x（m）， EG=y（m），若a=30cm，b=60cm，AB=1.6m，则y关于x的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数的实际应用；矩形的判定与性质；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵CD⊥AF，EG⊥AF，
∴CD∥EF，∠AFG=∠G=∠B=90°，
∴四边形ABGF是矩形，
∴AB=GF=1.6，BG=AF=x
∴△ACD∽△AEF，
∴，
解之：.
故答案为：B.
【分析】利用垂直的定义可证得∠AFG=∠G=∠B=90°，可推出四边形ABGF是矩形，路矩形的性质可得到GF，AF的长；同时可证得CD∥EF，由此可证得△ACD∽△AEF，利用相似三角形的对应边成比例可得到关于x，y的方程，解方程用含x的代数式表示出y.
4．（2022·东营）如图，点D为边上任一点，交于点E，连接相交于点F，则下列等式中不成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵，
∴，△DEF∽△CBF，△ADE∽△ABC，故A不符合题意；
∴，，故B不符合题意，C符合题意；
∴，故D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用平行线分线段成比例的性质逐项判断即可。
5．（2022·遂宁）如图，正方形ABCD与正方形BEFG有公共顶点B，连接EC、GA，交于点O，GA与BC交于点P，连接OD、OB，则下列结论一定正确的是（ ）
①EC⊥AG；②△OBP∽△CAP；③OB平分∠CBG；④∠AOD＝45°；
A．①③ B．①②③ C．②③ D．①②④
【答案】D
【知识点】正方形的性质；圆周角定理；相似三角形的判定；三角形全等的判定-SAS；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD、四边形BEFG是正方形，
∴AB＝BC，BG＝BE，∠ABC＝90°＝∠GBE，
∴∠ABC+∠CBG＝∠GBE+∠CBG，即∠ABG＝∠EBC，
∴△ABG≌△CBE（SAS），
∴∠BAG＝∠BCE，
∵∠BAG+∠APB＝90°，
∴∠BCE+∠APB＝90°，
∴∠BCE+∠OPC＝90°，
∴∠POC＝90°，
∴EC⊥AG，故①正确；
取AC的中点K，如图：
在Rt△AOC中，K为斜边AC上的中点，
∴AK＝CK＝OK，
在Rt△ABC中，K为斜边AC上的中点，
∴AK＝CK＝BK，
∴AK＝CK＝OK＝BK，
∴A、B、O、C四点共圆，
∴∠BOA＝∠BCA，
∵∠BPO＝∠CPA，
∴△OBP∽△CAP，故②正确，
∵∠AOC＝∠ADC＝90°，
∴∠AOC+∠ADC＝180°，
∴A、O、C、D四点共圆，
∵AD＝CD，
∴∠AOD＝∠DOC＝45°，故④正确，
由已知不能证明OB平分∠CBG，故③错误，
故正确的有：①②④.
故答案为：D.
【分析】根据正方形的性质可得AB＝BC，BG＝BE，∠ABC＝90°＝∠GBE，由角的和差关系可得∠ABG＝∠EBC，证明△ABG≌△CBE，得到∠BAG＝∠BCE，结合∠BAG+∠APB＝90°可得∠POC＝90°，据此判断①；取AC的中点K，根据直角三角形斜边上中线的性质可得AK＝CK＝OK，AK＝CK＝BK，推出A、B、O、C四点共圆，根据圆周角定理可得∠BOA＝∠BCA，然后利用相似三角形的判定定理可判断②；易得A、O、C、D四点共圆，根据等弦所对的圆周角相等可得∠AOD＝∠DOC＝45°，据此判断④.
6．（2021·锦州）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，D为⊙O上一点（位于AB下方），CD交AB于点E，若∠BDC＝45°，BC＝6 ，CE＝2DE，则CE的长为（ ）
A．2 B．4 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接CO，过点D作DG⊥AB于点G，连接AD，
∵∠BDC＝45°，
∴∠CAO＝∠CDB＝45°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，
∵BC＝6 ，
∴AB＝ BC＝12，
∵OA＝OB，
∴CO⊥AB，
∴∠COA＝∠DGE＝90°，
∵∠DEG＝∠CEO，
∴△DGE∽△COE，
∴ ＝ ，
∵CE＝2DE，
设GE＝x，则OE＝2x，DG＝3，
∴AG＝6﹣3x，BG＝6＋3x，
∵∠ADB＝∠AGD＝90°，
∠DAG＝∠BAD，
∴△AGD∽△ADB，
∴DG2＝AG BG，
∴9＝（6﹣3x）（6＋3x），
∵x＞0，
∴x＝ ，
∴OE＝2 ，
在Rt△OCE中，由勾股定理得：
CE＝ ，
故答案为：D．
【分析】连接CO，过点D作DG⊥AB于点G，连接AD，因为CE=2DE，构造△DGE∽△COE，求出DG=3，设GE=x，则OE=2x，DG=3，则AG=6-3x，BG=6+3x，再利用△AGD∽△ADB，列出方程即可求解。
7．（2022·海南）如图，点，将线段平移得到线段，若，则点D的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质；图形的平移；用坐标表示平移
【解析】【解答】如图过点C作轴垂线，垂足为点E，
∵
∴
∵
∴
在和中，
，
∴，
∴ ，
则 ，
∵点C是由点B向右平移6个单位，向上平移2个单位得到，
∴点D同样是由点A向右平移6个单位，向上平移2个单位得到，
∵点A坐标为(0，3)，
∴点D坐标为(6，5)，选项D符合题意，
故答案为：D
【分析】过点C作x轴垂线，垂足为点E，利用余角的性质可证得∠ABO=∠BCE，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△ABO∽△BCE，利用相似三角形的性质可求出BE，EC的长利用点的坐标平移规律可知点D同样是由点A向右平移6个单位，向上平移2个单位得到即可得到点D的坐标.
8．（2022·舟山）如图，在Rt△ABC和Rt△BDE中，∠ABC=∠BDE=90°，点A在边DE的中点上，若AB=BC，DB=DE=2，连结CE，则CE的长为（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，过点E作EF⊥CB的延长线于点F，过点E作BC的平行线交BA延长线于点G，
∴∠F=∠ABF=∠EGA=∠GEF=90°，
∴四边形BGEF为矩形，
∴EG=BF，
由题意得，Rt△ABC和Rt△BDE都为等腰直角三角形，
∵点A在边DE的中点上，若AB=BC，DB=DE=2，
∴BE=DE=2，DA=AE=DE=1，
∴AB=BC==，
∵S△AEB=AE·BD=AB·EG，
∴1×2=·EG，
∴EG=，
∴BF=，
∴在Rt△EBF中，由勾股定理得EF==，
∴CF=BF+BC=+=，
∴在Rt△EFC中，由勾股定理得EC==.
故答案为：D.
【分析】如图，过点E作EF⊥CB的延长线于点F，过点E作BC的平行线交BA延长线于点G，从而得∠F= ∠ABF=∠EGA=∠GEF=90°，可证得四边形BGEF为矩形，即得EG=BF，易知Rt△ABC和Rt△BDE都为等腰直角三角形，由等腰三角性质求得BE=2，DA=AE=1，AB=BC=，根据△AEB的面积，可列=AE·BD=AB·EG，代入数据求得EG=，从而得BF=，再在Rt△EBF中，由勾股定理求得EF=，从而得CF=，最后在Rt△EFC中，由勾股定理求得EC的长即可.
9．（2022·达州）如图，点E在矩形 的 边上，将 沿 翻折，点A恰好落在 边上的点F处，若 ， ，则 的长为（ ）
A．9 B．12 C．15 D．18
【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD，
∴∠B=∠C=∠A=90°，BC=AD，AB=CD，
∵△ADE沿DE翻折，点A恰好落在BC边上的点F处，
∴AE=EF，∠A=∠DFE=90°，
∴∠BEF=∠DFC，
∴△FCD∽△EBF，
∴CD：BF=FC：EB，
又∵CD=3BF，
∴FC：EB=3：1，
∵BE=4，
∴FC=12，
设AE=EF=a，则AB=CD=a+4，
∴BF=，
在Rt△EBF中，BF2+BE2=EF2，
∴（）2+42=a2，
整理，解得：a=-4（舍去）或a=5，
∴BF=3，
∴AD=BC=BF+FC=3+12=15.
故答案为：C.
【分析】由矩形性质得∠B=∠C=∠A=90°，BC=AD，AB=CD，由折叠得AE=EF，∠A=∠DFE=90°，可得∠BEF=∠DFC，继而证出△FCD∽△EBF，由相似三角形对应比比例关系结合CD=3BF求得FC=12，设AE=EF=a，则AB=CD=a+4，从而得BF=，由勾股定理得到a的方程（）2+42=a2，解得a=5，求得BF的长，进而求出AD的长.
10．（2022·东营）如图，已知菱形的边长为2，对角线相交于点O，点M，N分别是边上的动点，，连接.以下四个结论正确的是（ ）
①是等边三角形；②的最小值是；③当最小时；④当时，.
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】D
【知识点】菱形的性质；相似三角形的判定与性质；四边形的综合
【解析】【解答】解：如图：在菱形ABCD中，AB=BC=AD=CD，，OA=OC，
∵，
∴，与为等边三角形，
又，
，
∴，
在与中
∴，
∴AM=AN，
即为等边三角形，
故①符合题意；
∵，
当MN最小值时，即AM为最小值，当时，AM值最小，
∵，
∴
即，
故②符合题意；
当MN最小时，点M、N分别为BC、CD中点，
∴，
∴，
在中，
，
∴，
而菱形ABCD的面积为：，
∴，
故③符合题意，
当时，
∴
∴
∴
∴
故④符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用菱形的性质，等边三角形的判定、三角形全等的判定和性质及三角形相似的判定和性质逐项判断即可。
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2021·内江）如图，矩形 中， ， ，对角线 的垂直平分线 交 于点 、交 于点 ，则线段 的长为 .
【答案】
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：如图：
四边形 是矩形，
，又 ， ，
，
是 的垂直平分线，
， ，又 ，
，
，
，
解得， ，
四边形 是矩形，
， ，
，
是 的垂直平分线，
， ，
在 和 中，
，
，
，
.
故答案为： .
【分析】利用矩形的性质可得到∠A=90°，利用勾股定理求出BD的长；利用垂直平分线的定义可得到OB的长；再证明△BOF∽△BCD，利用相似三角形的对应边成比例可求出OF的长；利用矩形的性质可证得∠A=90°，AD∥BC，利用平行线的性质可得到∠EDO=∠FBO；再利用ASA证明△DEO≌△BFO，利用全等三角形的性质可得到OE=OF；然后根据EF=2OF，代入计算可求出EF的长.
12．（2022·毕节）如图，在中，，点P为边上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则长度的最小值为 .
【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵四边形APCQ是平行四边形，
∴PO＝QO，CO＝AO，
∵PQ最短也就是PO最短，
∴过O作BC的垂线，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴则PQ的最小值为.
故答案为：.
【分析】首先利用勾股定理可得AC的值，根据平行四边形的性质可得PO＝QO，CO＝AO，过O作BC的垂线OP′，易证△CAB∽△CP′O，根据相似三角形的性质可得OP′，据此解答.
13．（2022·绥化）如图，，点在射线上，且，过点作交射线于，在射线上截取，使；过点作交射线于，在射线上截取，使.按照此规律，线段的长为 ．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：，
是直角三角形，
在中，，，
，
，，
，
，
，
，
，
同理可得：，，……，
，
，
故答案为：．
【分析】先求出，，，…可得，再将n=2023代入计算即可。
14．（2022·绵阳）如图，四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AC⊥BC，∠ABC＝45°，AC与BD交于点E，若AB＝，CD＝2，则△ABE的面积为 ．
【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：过点D作DF⊥AC于点F，
∵AC⊥BC，∠ABC=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=BC，
∴2AC2=AB2
∴；
∴，
∴即
解之：；
∴
∴；
∵DF⊥AC，AC⊥BC，
∴DF∥BC，
∴△DEF∽△BEC，
∴即
解之：
，
∴.
故答案为：.
【分析】过点D作DF⊥AC于点F，利用已知易证△ABC是等腰直角三角形，利用勾股定理求出AC，AD的长；再利用直角三角形的两个面积公式可求出DF的长；利用勾股定理求出AF的长，根据CF=AC-AF，代入计算求出CF的长；利用同垂直于一条直线的直线平行，可证得DF∥BC，可推出△DEF∽△BEC，利用相似三角形的对应边成比例可求出EF的长；根据AE=AF+EF，代入计算求出AE的长；然后利用三角形的面积公式求出△ABE的面积.
15．（2022·常州）如图，在中，，，.在中，，，.用一条始终绷直的弹性染色线连接，从起始位置（点与点重合）平移至终止位置（点与点重合），且斜边始终在线段上，则的外部被染色的区域面积是 .
【答案】21
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点F作AB的垂线交于G，同时在图上标出M、N、F'如下图：
，，，
，
在中，，，.
，
，
，
四边形为平行四边形，
，
，
解得：，
，
，
，
，
，
，
同理可证：，
，
，
，
的外部被染色的区域面积为，
故答案为：21.
【分析】过点F作AB的垂线交于G，同时在图上标出M、N、F′，利用勾股定理可得AB、DE，由AE=AB-DE可得AE，推出四边形AEFF′为平行四边形，得到AE=FF′=10，根据三角形的面积公式可得GF，证明△DFM∽△ACM，△ANF′∽△DNC，根据相似三角形的性质可得DM、DN，由MN=DN-DM可得MN，然后根据Rt△ABC的外部被染色的区域面积为S梯形MNF′F结合梯形的面积公式进行计算.
16．（2022·龙东）在矩形ABCD中，，，点E在边CD上，且，点P是直线BC上的一个动点．若是直角三角形，则BP的长为 ．
【答案】或或6
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质；四边形的综合
【解析】【解答】解：在矩形ABCD中，，，∠BAD=∠B=∠BCD=∠ADC=90°，
如图，当∠APE=90°时，
∴∠APB+∠CPE=90°，
∵∠BAP+∠APB=90°，
∴∠BAP=∠CPE，
∵∠B=∠C=90°，
∴△ABP∽△PCE，
∴，即，
解得：BP=6；
如图，当∠AEP=90°时，
∴∠AED+∠PEC=90°，
∵∠DAE+∠AED=90°，
∴∠DAE=∠PEC，
∵∠C=∠D=90°，
∴△ADE∽△ECP，
∴，即，
解得：，
∴；
如图，当∠PAE=90°时，过点P作PF⊥DA交DA延长线于点F，
根据题意得∠BAF=∠ABP=∠F=90°，
∴四边形ABPF为矩形，
∴PF=AB=9，AF=PB，
∵∠PAF+∠DAE=90°，∠PAF+∠APF=90°，
∴∠DAE=∠APF，
∵∠F=∠D=90°，
∴△APF∽△EAD，
∴，即，
解得：，即；
综上所述，BP的长为或或6．
故答案为：或或6
【分析】分三种情况：①当∠APE=90°时，②当∠AEP=90°时，③当∠PAE=90°时，过点P作PF⊥DA交DA延长线于点F，分别画出图象并利用相似三角形的判定和性质求解即可。
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2022·怀化）如图，点A，B，C，D在⊙O上，＝.求证：
（1）AC＝BD；
（2）△ABE∽△DCE.
【答案】（1）证明：∵＝
∴＝
∴
∴BD=AC
（2）证明：∵∠B=∠C；∠AEB=∠DEC
∴△ABE∽△DCE
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；相似三角形的判定；对顶角及其性质
【解析】【分析】（1）根据＝可得，然后根据弧、弦的关系进行证明；
（2） 根据同弧所对的圆周角相等可得∠B=∠C，根据对顶角的性质可得∠AEB=∠DEC，然后根据有两组角对应相等的两个三角形相似进行证明.
18．（2022八下·广饶期末）如图所示，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．
（1）画出位似中心点O；
（2）直接写出△ABC与△A′B′C′的位似比；
（3）以位似中心O为坐标原点，以格线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，并直接写出△A′B′C′各顶点的坐标．
【答案】（1）解：连接对应顶点，并同向延长，得到交点O，画图如下：．
（2）2：1
（3）坐标系见解析，A′（﹣6，0），B′（﹣3，2），C′（﹣4，4）
【知识点】位似变换；作图﹣位似变换
【解析】【解答】解：（2）根据题意，得BC=，，故△ABC与△A′B′C′的位似比为=2：1．
（3）根据题意，建立坐标系如上图，结合坐标系，可得到A′（﹣6，0），B′（﹣3，2），C′（﹣4，4）．
【分析】（1）根据题意作图求解即可；
（2）利用勾股定理求出BC和B'C'的值，再求解即可；
（3）根据平面直角坐标系求点的坐标即可。
19．（2021·玉林）如图，在 中，D在 上， ， .
（1）求证： ∽ ；
（2）若 ，求 的值.
【答案】（1）证明：∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：由（1）可知 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据 可得 ，根据 可得 可得结果；
（2）由（1）可得 ， ，根据相似三角形面积比=相似比的平方可得 ，即可得结果.
20．（2021·黄冈）如图，在 和 中， ， .
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长.
【答案】（1）证明： ，
，即 ，
在 和 中， ，
（2）解：由（1）已证： ，
，
， ，
，
解得 或 （不符题意，舍去），
则 的长为9
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用已知条件可证得∠ACB=∠DCE，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△ABC∽△DEC.
（2）利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出EC的长.
21．（2021·乐山）在等腰 中， ，点D是 边上一点（不与点B、C重合），连结 .
（1）如图1，若 ，点D关于直线 的对称点为点E，结 ， ，则 ；
（2）若 ，将线段 绕点A顺时针旋转 得到线段 ，连结 .
①在图2中补全图形；
②探究 与 的数量关系，并证明；
（3）如图3，若 ，且 ，试探究 、 、 之间满足的数量关系，并证明.
【答案】（1）30°
（2）解：①补全图如图2所示；
② 与 的数量关系为： ；
证明：∵ ， .
∴ 为正三角形，
又∵ 绕点A顺时针旋转 ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
（3）解：连接 .
∵ ， ，∴ .
∴ .
又∵ ，
∴ ，
∴ .∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， .
∵ ，
∴ .
又∵ ，
∴ .
【知识点】等边三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（1）∵ ，
∴△ABC是等边三角形
∴∠B=60°
∵点D关于直线 的对称点为点E
∴AB⊥DE，
∴
故答案为： ；
【分析】（1）利用有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，可证得△ABC是等边三角形，可得到∠B=60°，利用轴对称的性质可证得AB⊥DE，即可求出∠BDE的度数.
（2）①根据题意补全图形，②利用有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，可证得△ABC是等边三角形，利用旋转的性质可证得AD=AE，∠EAD=60°，再证明∠BAE=∠DAC，利用SAS可证得△AEB≌△ADC，利用全等三角形的对应边相等，可证得结论.
（3）连接AE，利用有两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似，可证得△ACB∽△ADE，可推出∠BAC=∠EAD；再证明∠DAC=∠BAE，利用SAS证明△AEB≌△ADC，可证得DC=BE，由此可推出BD+BE=BC；然后根据AC与BC的比值为k，可证得BE，BD，AC之间的数量关系.
22．（2021·嘉兴）小王在学习浙教版九上课本第72页例2后，进一步开展探究活动：将一个矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α≤90°），得到矩形AB′C′D′，连结BD．
[探究1]如图1，当α＝90°时，点C′恰好在DB延长线上．若AB＝1，求BC的长．
[探究2]如图2，连结AC′，过点D′作D′M∥AC′交BD于点M．线段D′M与DM相等吗？请说明理由．
[探究3]在探究2的条件下，射线DB分别交AD′，AC′于点P，N（如图3），发现线段DN，MN，PN存在一定的数量关系，请写出这个关系式，并加以证明．
【答案】[探究1]如图1，设BC=x，
∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转°得到矩形AB'C'D'，点A，B，D'在同一直线上，
∴AD'= AD=BC=x，D'C'=AB'= AB=1，
∴D'B=AD'- AB=x-1，
∴∠BAD=∠D'=90，D'C‘∥DA，
又∵点C'在DB延长线上，
∴△D'C'B∽△ADB，
∴，即，
解得x1=，x2=(不合题意，舍去)；
[探究2] D'M= DM，理由如下：
证明：如图2，连结DD'，
∵D'M∥AC'，∴∠AD'M=∠D'AC'，
∴AD'= AD，∠AD'C'=∠DAB=90°， D'C'= AB，
∴△AC'D'≌△DBA(SAS)，
∴∠D'AC'=∠ADB，∴∠ADB=∠AD'M，
∵ AD’=AD，∴∠ADD'=∠AD'D，
∴∠MDD'=∠MD'D，
∴D'M=DM；
[探究3]关系式为：MN2=PN·DN，理由如下：
证明：如图3，连结AM，
∵D'M=DM，AD'=AD，AM=AM，
∴△AD'M≌△ADM(SSS)，
∴∠MAD'=∠MAD，
∴∠AMN=∠MAD+∠NDA，∠NAM=∠MAD'+∠NAP，
∴∠AMN=∠NAM，
∴MN= AN，
在△NAP与△NDA中，
∠ANP=∠DNA，∠NAP=∠NDA，
∴△NAP∽△NDA，
∴，
∴AN2=PN·DN，
∴MN2=PN·DN.
【知识点】三角形全等的判定；矩形的性质；相似三角形的判定与性质；旋转的性质；四边形的综合
【解析】【分析】（1）设BC=x，根据旋转的性质和矩形的性质把有关线段用x表示出来，证明△D'C'B∽△ADB，然后列比例式构建关于x的方程求解即可；
（2）连结DD'，利用边角边定理证明△AC'D'≌△DBA，得出∠D'AC'=∠ADB，再结合平行线的性质，得出∠ADB=∠AD'M，最后利用旋转性质，根据角的和差关系推出∠MDD'=∠MD'D，则可得出D'M=DM；
（3）连接AM，根据旋转的性质和矩形的性质，利用边边边定理证明△AD'M≌△ADM，得出∠MAD'=∠MAD，再根据角的和差关系求出∠AMN=∠NAM，得出MN=AN，然后证明△NAP∽△NDA，列比例式得出AN2=PN·DN，则可得出结论.
23．（2022·武汉）如图
问题提出：如图（1），中，，是的中点，延长至点，使，延长交于点，探究的值.
（1）问题探究：
先将问题特殊化.如图（2），当时，直接写出的值；
（2）再探究一般情形.如图（1），证明（1）中的结论仍然成立.
（3）问题拓展：
如图（3），在中，，是的中点，是边上一点，，延长至点，使，延长交于点.直接写出的值（用含的式子表示）.
【答案】（1）解：
（2）证明：取的中点，连接.
∵是的中点，∴，.
∵，∴，∴.
∵，∴.
∴.
∴.
∴.∴.
∵，∴.
∴.
∴.
∴.
另解1：证明，得也可求解.
另解2：取的中点，证明也可以求解.
（3）解：
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理
【解析】【解答】（1）取AB的中点G，连接DG，
∵点D是AC的中点，
∴DG是△ABC的中位线，
∴DG∥BC，
∵AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵点D是AC的中点，
∴BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝30°，
∵BD＝CD，
∴∠E＝∠DBC＝30°，
∴∠BFE=180°-∠ABC-∠E=180°-60°-30°=90°，
∴DF⊥AB，
∵∠AGD＝∠ADG＝60°，
∴△ADG是等边三角形，
∴AF＝AG，
∵AG＝AB，
∴AF＝AB，
∴.
（3）取BC的中点H，连接DH，
由（2）同理可证明△DGH≌△DEC（ASA），
∴GH＝CE，
∴HE＝CG，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵DH∥BF，
∴△EDH∽△EFB，
∴，
∵DH＝AB，
∴，
∴．
【分析】（1）取AB的中点G，连接DG，易得DG为△ABC的中位线，则DG∥BC，易得△ABC为等边三角形，∠DBC=30°，根据等腰三角形的性质可得∠E=∠DBC=30°，进而推出△ADG为等边三角形，得到AF=AG，然后结合AG=AB进行计算即可；
（2）取BC的中点H，连接DH，同理可得DH∥AB，DH=AB，根据等腰三角形的性质可得∠DHC=∠DCH，∠DBH=∠DEC，结合外角的性质可得∠BDH=∠EDC，证明△DBH≌△DEC，得到BH=EC，证明△EDH∽△EFB，然后根据相似三角形的性质进行计算；
（3）取BC的中点H，连接DH，易证△DGH≌△DEC，利用全等三角形的性质可证得GH=CE；利用已知条件可得到HE和BE的比值，利用DH∥BF，可证得△EDH∽△EFB，利用相似三角形的对应边成比例可得比例式，结合DH＝AB，可求出AF与AB的比值.
24．（2020·营口）如图，在矩形ABCD中，AD＝kAB（k＞0），点E是线段CB延长线上的一个动点，连接AE，过点A作AF⊥AE交射线DC于点F.
（1）如图1，若k＝1，则AF与AE之间的数量关系是 ；
（2）如图2，若k≠1，试判断AF与AE之间的数量关系，写出结论并证明；（用含k的式子表示）
（3）若AD＝2AB＝4，连接BD交AF于点G，连接EG，当CF＝1时，求EG的长.
【答案】（1）AF＝AE
（2）解：AF＝kAE.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠ABC＝∠ADF＝90°，
∴∠FAD+∠FAB＝90°，
∵AF⊥AE，
∴∠EAF＝90°，
∴∠EAB+∠FAB＝90°，
∴∠EAB＝∠FAD，
∵∠ABE+∠ABC＝180°，
∴∠ABE＝180°﹣∠ABC＝180°﹣90°＝90°，
∴∠ABE＝∠ADF.
∴△ABE∽△ADF，
∴ ，
∵AD＝kAB，
∴ ，
∴ ，
∴AF＝kAE.
（3）解：①如图1，当点F在DA上时，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∵AD＝2AB＝4，
∴AB＝2，
∴CD＝2，
∵CF＝1，
∴DF＝CD﹣CF＝2﹣1＝1.
在Rt△ADF中，∠ADF＝90°，
∴AF＝ ，
∵DF∥AB，
∴∠GDF＝∠GBA，∠GFD＝∠GAB，
∴△GDF∽△GBA，
∴
∵AF＝GF+AG，
∴AG＝
∵△ABE∽△ADF，
∴ ，
∴AE＝ ＝
在Rt△EAG中，∠EAG＝90°，
∴EG＝ ，
②如图2，当点F在DC的延长线上时，DF＝CD+CF＝2+1＝3，
在Rt△ADF中，∠ADF＝90°，
∴AF＝ .
∵DF∥AB，
∵∠GAB＝∠GFD，∠GBA＝∠GDF，
∴△AGB∽△FGD，
∴ ，
∵GF+AG＝AF＝5，
∴AG＝2，
∵△ABE∽△ADF，
∴ ，
∴ ，
在Rt△EAG中，∠EAG＝90°，
∴EG＝ .
综上所述，EG的长为 或 .
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）AE＝AF.
∵AD＝AB，四边形ABCD矩形，
∴四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，
∵AF⊥AE，
∴∠EAF＝90°，
∴∠EAB＝∠FAD，
∴△EAB≌△FAD（AAS），
∴AF＝AE；
故答案为：AF＝AE.
【分析】（1）证明△EAB≌△FAD（AAS），由全等三角形的性质得出AF＝AE；
（2）证明△ABE∽△ADF，由相似三角形的性质得出 ，则可得出结论；
（3）①如图1，当点F在DA上时，证得△GDF∽△GBA，得出 ，求出AG＝ .由△ABE∽△ADF可得出 ，求出AE＝ .则可得出答案；②如图2，当点F在DC的延长线上时，同理可求出EG的长.
1 / 1
