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浙教版2022-2023学年七上数学第3章 实数 培优测试卷
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．下列计算结果是负数的是（ ）
A．3﹣2 B．3×（﹣2） C．3﹣2 D．
【答案】B
【解析】∵3﹣2=1，计算结果是正数，
∴选项A不正确；
∵3×（﹣2）=﹣6，计算结果是负数，
∴选项B正确；
∵3﹣2=，计算结果是正数，
∴选项C不正确；
∵是一个正数，
∴选项D不正确．
故选：B．
2．定义运算a b=a（b﹣1），下面给出了关于这种运算的四个结论：①2 （﹣1）=﹣4；②a b=b a；③若a+b=1，则a a=b b；④若b a=0，则a=0或b=1．其中正确结论的序号是（ ）
A．②④ B．②③ C．①④ D．①③
【答案】D
【解析】①根据题意得：原式=2×（﹣1﹣1）=2×（﹣2）=﹣4，正确；
②根据题意得：a b=a（b﹣1），b a=b（a﹣1），不相等，错误；
③由a+b=1，得到b=1﹣a，a=1﹣b，
则a a=a（a﹣1）=﹣ab，b b=b（b﹣1）=﹣ab，即a a=b b，正确；
④b a=b（a﹣1）=0，得到b=0或a=1，错误，
则正确结论的序号是①③，
故选D．
3．下列不是无理数的是（ ）
A． B．3.141141114…
C． D．π
【答案】A
【解析】A、是有理数，故A错误；
B、3.141141114…是无理数，故B正确；
C、 是无理数，故C正确；
D、π是无理数，故D正确；
故选：A．
4．在算式（﹣）□（﹣）□中填上运算符号，使结果最大，这个运算符号是（ ）
A．加号 B．减号 C．乘号 D．除号
【答案】D
【解析】（﹣）+（﹣）=﹣ ；（﹣）﹣（﹣）=0；（﹣）×（﹣）=0.3；（﹣）÷（﹣）=1，
则使结果最大，这个运算符号为除号．
故选D．
5．设6-的整数部分为a，小数部分为b，那么2a﹣b的值是（ ）
A．3- B．4- C． D．4+
【答案】C
【解析】∵3<＜4，
∴﹣4<-＜﹣3，
∴2<6-＜3，
∴a=2，b=4-，
∴2a﹣b=2×2﹣（4﹣）=，
故选C．
6．若|a|=4，=3，且a+b＜0，则a﹣b的值是（ ）
A．1，7 B．-1，7
C．1，-7 D．-1，-7
【答案】D
【解析】∵|a|=4，=3，且a+b＜0，
∴a=﹣4，a=﹣3；a=﹣4，b=3，
则a﹣b=﹣1或﹣7．
故选D
7．实数a在数轴上的位置如图所示，则下列说法不正确的是（ ）
A．a的相反数大于2 B．a的相反数是2
C．|a|＞2 D．2a＜0
【答案】B
【解析】由数轴可知，a＜﹣2，
A、a的相反数＞2，故本选项正确，不符合题意；
B、a的相反数≠2，故本选项错误，符合题意；
C、a的绝对值＞2，故本选项正确，不符合题意；
D、2a＜0，故本选项正确，不符合题意．
故选：B．
8．一个正偶数的算术平方根是a，那么与这个正偶数相邻的下一个正偶数的算术平方根是（ ）
A．a+2 B．a2+2 C． D．
【答案】C
【解析】一个正偶数的算术平方根是a，得到这个正偶数为a2，
所以与这个正偶数相邻的下一个正偶数为a2+2，
从而与这个正偶数相邻的下一个正偶数的算术平方根是 .
故选C．
9．已知0A．x2【答案】A
【解析】已知x的取值范围，可运用取特殊值的方法，选取一个符合条件的实数代入选项求得答案．
【解答】∵0＜x＜1，
∴可假设x=0.1，
则 x2=（0.1)2=，==10，
∵＜0.1＜10，
∴x2＜x＜．
故选A．
10．如图，数轴上C，B两点表示的数分别是2， ，且点C是AB的中点，则点A表示的数是（ ）
A． ﹣4 B．3﹣ C．4﹣ D． ﹣3
【答案】C
【解析】设点A表示的数是x，
点C是AB的中点，
，
，
解得 ，
故答案为：C.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如果 ，那么 ，最小正整数与最大负整数的积等于 ．
【答案】±2；-1
【解析】∵x2=64，
∴x=±8
∴，；
最小正整数与最大负整数的积等于1×（-1）=-1.
故答案为：±2，-1.
12．3是m的一个平方根，则m的另一个平方根是 ，m＝ ．
【答案】－3；9
【解析】∵3是m的一个平方根，
∴m的另一个平方根为-3，且m=32=9.
所以答案为-3,9.
13．如果一个正数x的平方根是2a﹣3和5﹣a，那么x的值是 ．
【答案】49
【解析】∵一个正数x的平方根是2a﹣3和5﹣a，
∴2a﹣3+5﹣a=0，
解得a =-2，
当a =-2时2a﹣3=-2×2-3=-7，
∴x=（-7）2=49．
故答案为：49．
【分析】根据平方根的性质可得2a﹣3+5﹣a=0，求出a的值，再将a的值代入计算即可。
14．对于有理数 ，b，定义min{ ，b}的含义为：当 ＜b时，min{ ，b}＝ ，当 >b时，min{ ，b}＝ .例如：min{1，－2}＝－2，min{3，－1}＝-1.已知min{ ， }＝ ，min{ ，b}＝b，且 和b为两个连续正整数，则 +b的平方根为__ __.
【答案】
【解析】∵，a，b为两个连续的正整数，
∴
∴a=4，b=5
∴a+b=4+5=9，
∴a+b的平方根为±3.
故答案为：±3.
15．给出下列判断：①若 ，则 ；②有理数包括整数、0和分数；③任何正数都大于它的倒数；④代数式 的值永远是正的；⑤ ；其中判断正确的有 （填写序号即可）
【答案】④⑤
【解析】①若 ，则 ，本说法错误；
②有理数包括整数和分数，本说法错误；
③小于1的正数都大于它的倒数，本说法错误；
④ ，
代数式 的值永远是正的，本说法正确；
⑤ ，
，
，本说法正确；
故答案为：④⑤．
16．我们知道，无限循环小数都可以转化为分数.例如：将 转化为分数时，可设 ，则 ，解得 ，即 .仿此方法，将 化成分数是 .
【答案】
【解析】设 ，则
，
解得： ,
故答案为：
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．下列8个实数：①－3； ②0 ；③ ； ④ ； ⑤ ； ⑥－2.4 ；⑦ ； ⑧ ．
属于无理数的有： ．(填序号)
属于负数的有： ．(填序号)
【答案】③④⑧；①⑥⑦
【解析】属于无理数的是： ， 和 ，
属于负数的是：-3，-2.4，- .
故答案为： ③④⑧ ， ①⑥⑦ .
18．求下列各数的平方根．
（1） ；
（2） ；
（3）( )2．
【答案】（1）解：±4
（2）解：±
（3）解：±9
【解析】（1）∵ =16，∴的平方根为；
（2），
（3）∵( )2=81，∴( )2=的平方根为
19．计算：
（1）4-3.3+（-1.7）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）解：4-3.3+（-1.7）
=4-3.3-1.7
=4-5
=-1；
（2）解： = ；
（3）解： = ；
（4）解： = -3+6- + =3.
20．如图，用两个边长为15 cm的小正方形拼成一个大的正方形.
（1）求大正方形的边长？
（2）若沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为4：3且面积为720cm2.若能，试求出剪出的长方形纸片的长与宽；若不能，试说明理由？
【答案】（1）解：大正方形的边长是 30（cm）
（2）解：设长方形纸片的长为4xcm，宽为3xcm，则4x 3x=720，解得：x ，4x 30，所以沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，不能使剪出的长方形纸片的长宽之比为4：3，且面积为720cm2
21．对于数轴上的A,B,C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”.
例如数轴上点A,B,C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A, C的“联盟点”.
（1）若点A表示数-2,点B表示的数2，下列各数 ，0，4，6所对应的点分别C1，C2，C3，C4，其中是点A,B的“联盟点”的是 ；
（2）点A表示数-10,点B表示的数30，P在为数轴上一个动点：
①若点P在点B的左侧，且点P是点A, B的“联盟点”，求此时点P表示的数；
【答案】（1） ，
（2）①设点P表示的数为x，
如图，当点 在点A左侧时， ，
则30－x＝2（－10－x），
解得x＝－50.
所以点 表示的数为－50；
如图，当点 在线段AB上且 时，
则30－x＝2（x＋10），
解得x＝ .
所以点 表示的数为 ；
如图，当点 在线段AB上且 时，
则x＋10＝2（30－x），
解得x＝ .
所以点 表示的数为 .
综上所述，当点P在点B的左侧时，点P表示的数为－50或 或 .
②若点P在点B的右侧，点P，A, B中，有一个点恰好是其它两个点的“联盟点”，写出此时点P表示的数_____________.
50或70或110
22．我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题，求 的立方根.华罗庚脱口而出,你知道怎样迅速准确地计算出结果的吗？请按照下面的问题试一试：
（1）由 ,确定 的立方根是 位数；
（2）由 的个位数是 确定 的立方根的个位数是 ；
（3）如果划去 后面的三位 得到数 ,而 ,由此能确定 的立方根的十位数是 ；所以 的立方根是 ；
（4）用类似的方法，请说出 的立方根是 .
【答案】（1）两
（2）9
（3）3；39
（4）
【解析】（1）∵1000＜59319＜1000000，
∴ ，
∴ 的立方根是两位数，
故答案为：两；（2）只有个位数是9的立方数的个位数依然是9，
∴ 的立方根的个位数是9，
故答案为：9；（3）∵27＜59＜64，
∴ ，
∴ 的十位数是3，
∴ ，
故答案为：3，39；（4）根据上述知识可知，
∴ 是个负两位数，十位上的数是4，个位上的数是8，则
，
故答案为： ；
23．先阅读下面的文字，再回答问题：
大家知道 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此 的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用 -1来表示、 的小数部分，你同意小明的表示方法吗？
事实上，小明的表示方法是有道理的．因为 的整数部分是1，所以将 减去其整数部分，所得的差就是 的小数部分．
例如： < < ，即2< <3．
的整数部分为2，小数部分为 -2．
（1）如果 的小数部分为a， 的整数部分为b，求a+b- 的值；
（2）已知10+ =x+y，其中x是整数，且0【答案】（1）解：4<5<9．.2< <3，
的小数部分a= -2．
9<13<16，
3< <4，
的整数部分b=3．
∴a+6- = -2+3- =1
（2）解：∵1<3<4．∴1< <2，
∵的整数部分是1，小数部分是 -1，
∴x+y= 10+ = 10+1+( -1)= 11+( -1)．
又∵x是整数，且0∴x-y=11-( -1)=12- ，
∴x-y的相反数为 - 12．
24．如图，已知 是数轴上的三点，点C表示的数是6， .
（1）写出数轴上点A，点B表示的数；
（2）点M为线段 的中点， ，求 的长；
（3）动点 分别从 同时出发，点P以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，求t为何值时，原点O恰好为线段 的中点.
【答案】（1）解：∵点C表示的数是6，
∴点B表示的数为 ∴点A表示的数为
∴A表示的数是-10，B表示的数是2 .
（2）解：∵AB＝12，M是AB的中点.
∴AM=BM=6，
∵CN=3
当点N在点C的左侧时，BN=BC-CN=1，此时MN=BM+BN=6+1=7
当点N在点C的右侧时，BN=BC+CN=7，此时MN=BM+BN=6+9=13
综上所述，MN的值为7或13
（3）解：∵A表示的数是-10，即OA=10
C表示的数是6，即OC=6
又∵点P、点Q同时出发，且运动的时间为t
∴AP=6t，CQ=3t，
∴OP=OA-AP=10-6t，OQ=OC-CQ=6-3t
当原点O为PQ的中点时，OP=OQ
∴ 10-6t=6-3t.
解得t=
∴当t= 时，原点O为PQ的中点.
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浙教版2022-2023学年七上数学第3章 实数 培优测试卷
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．下列计算结果是负数的是（ ）
A．3﹣2 B．3×（﹣2） C．3﹣2 D．
2．定义运算a b=a（b﹣1），下面给出了关于这种运算的四个结论：①2 （﹣1）=﹣4；②a b=b a；③若a+b=1，则a a=b b；④若b a=0，则a=0或b=1．其中正确结论的序号是（ ）
A．②④ B．②③ C．①④ D．①③
3．下列不是无理数的是（ ）
A． B．3.141141114…
C． D．π
4．在算式（﹣）□（﹣）□中填上运算符号，使结果最大，这个运算符号是（ ）
A．加号 B．减号 C．乘号 D．除号
5．设6-的整数部分为a，小数部分为b，那么2a﹣b的值是（ ）
A．3- B．4- C． D．4+
6．若|a|=4，=3，且a+b＜0，则a﹣b的值是（ ）
A．1，7 B．-1，7
C．1，-7 D．-1，-7
7．实数a在数轴上的位置如图所示，则下列说法不正确的是（ ）
A．a的相反数大于2 B．a的相反数是2
C．|a|＞2 D．2a＜0
8．一个正偶数的算术平方根是a，那么与这个正偶数相邻的下一个正偶数的算术平方根是（ ）
A．a+2 B．a2+2 C． D．
9．已知0A．x210．如图，数轴上C，B两点表示的数分别是2， ，且点C是AB的中点，则点A表示的数是（ ）
A． ﹣4 B．3﹣ C．4﹣ D． ﹣3
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如果 ，那么 ，最小正整数与最大负整数的积等于 ．
12．3是m的一个平方根，则m的另一个平方根是 ，m＝ ．
13．如果一个正数x的平方根是2a﹣3和5﹣a，那么x的值是 ．
14．对于有理数 ，b，定义min{ ，b}的含义为：当 ＜b时，min{ ，b}＝ ，当 >b时，min{ ，b}＝ .例如：min{1，－2}＝－2，min{3，－1}＝-1.已知min{ ， }＝ ，min{ ，b}＝b，且 和b为两个连续正整数，则 +b的平方根为__ __.
15．给出下列判断：①若 ，则 ；②有理数包括整数、0和分数；③任何正数都大于它的倒数；④代数式 的值永远是正的；⑤ ；其中判断正确的有 （填写序号即可）
16．我们知道，无限循环小数都可以转化为分数.例如：将 转化为分数时，可设 ，则 ，解得 ，即 .仿此方法，将 化成分数是 .
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．下列8个实数：①－3； ②0 ；③ ； ④ ； ⑤ ； ⑥－2.4 ；⑦ ； ⑧ ．
属于无理数的有： ．(填序号)
属于负数的有： ．(填序号)
18．求下列各数的平方根．
（1） ；
（2） ；
（3）( )2．
19．计算：
（1）4-3.3+（-1.7）
（2）
（3） （4）
20．如图，用两个边长为15 cm的小正方形拼成一个大的正方形.
（1）求大正方形的边长？
（2）若沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为4：3且面积为720cm2.若能，试求出剪出的长方形纸片的长与宽；若不能，试说明理由？
21．对于数轴上的A,B,C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”.
例如数轴上点A,B,C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A, C的“联盟点”.
（1）若点A表示数-2,点B表示的数2，下列各数 ，0，4，6所对应的点分别C1，C2，C3，C4，其中是点A,B的“联盟点”的是 ；
（2）点A表示数-10,点B表示的数30，P在为数轴上一个动点：
①若点P在点B的左侧，且点P是点A, B的“联盟点”，求此时点P表示的数；
22．我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题，求 的立方根.华罗庚脱口而出,你知道怎样迅速准确地计算出结果的吗？请按照下面的问题试一试：
（1）由 ,确定 的立方根是 位数；
（2）由 的个位数是 确定 的立方根的个位数是 ；
（3）如果划去 后面的三位 得到数 ,而 ,由此能确定 的立方根的十位数是 ；所以 的立方根是 ；
（4）用类似的方法，请说出 的立方根是 .
23．先阅读下面的文字，再回答问题：
大家知道 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此 的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用 -1来表示、 的小数部分，你同意小明的表示方法吗？
事实上，小明的表示方法是有道理的．因为 的整数部分是1，所以将 减去其整数部分，所得的差就是 的小数部分．
例如： < < ，即2< <3．
的整数部分为2，小数部分为 -2．
（1）如果 的小数部分为a， 的整数部分为b，求a+b- 的值；
（2）已知10+ =x+y，其中x是整数，且024．如图，已知 是数轴上的三点，点C表示的数是6， .
（1）写出数轴上点A，点B表示的数；
（2）点M为线段 的中点， ，求 的长；
（3）动点 分别从 同时出发，点P以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，求t为何值时，原点O恰好为线段 的中点.
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