浙教版数学九年级下册1.1锐角三角函数 同步训练
一、单选题
1．（2022九下·磐安期中）实数 ， ， ， ， ， ， （相邻两个3之间依次多一个 1） ，其中无理数的个数是（ ）
A．4 B．2 C．1 D．3
2．（2022九下·泾阳月考）计算sin 45°+cos45°的值为（ ）
A．1 B．2
C． D．2
3．（2021九下·福州开学考）如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（ ）
A． B．1 C． D．
4．（2022九下·锦江开学考）如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，cosA＝，AE＝3，则tan∠DBE的值是（ ）
A． B．2 C． D．
5．（2021九下·三江期中）已知正三角形外接圆半径为，这个正三角形的边长是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022九下·汕头期末）如图，直线y= x+3与x轴，y轴分别相交于A、B两点，则cos∠BAO的值是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022九下·利通期中）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，且∠BCD＝30°，CD＝4．则图中阴影部分的面积S阴影＝（ ）
A．2π B．π C．π D．π
8．（2022九下·铁岭月考）如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠ABC＝（ ）
A． B． C． D．
9．（2021九下·平果期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝3cm，点D为△ABC内一点，∠CAD＝15°，AD＝4cm，连接CD，将△ACD绕点A顺时针旋转，使AC与AB重合，点D的对应点为点E，连接DE交AB于点F，则BF的长为（ ）
A． B． C． D．
10．（2021九下·南海月考）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，点E是BC的中点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点F处，连接FC，则sin∠ECF＝（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2022九下·莱山期中）如图，正方形网格中，点A，O，B，E均在格点上．⊙O过点A，E且与AB交于点C，点D是⊙O上一点，则 ．
12．（2022九下·福州期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB= 90°，CD⊥AB于点D， AD=， BD= ，则sinB= .
13．（2022九下·诸暨月考）△ABC内接于圆 ，且 ，圆 的直径为 ， ，则 .
14．（2021九下·三江期中）规定： ，，据此判断下列等式成立的是： .（写出所有正确的序号）
①cos（﹣60 ）＝ ，②sin75 ＝，③，④
15．（2022九下·黄石月考）如图，正方形ABCD中，点E，F分别为CD，DA延长线上的点，连接EF，BF，BE，BE交AD于点P，过点F作FK⊥BE垂足为G，FK与AB，CD分别交于点H，K，若DC=DE，∠EFB=∠FBC.则下列结论中：①BP＝HK；②∠ABF+∠FEB＝45°；③PG：GB：PE＝1：2：3；④ ；⑤若连接AG，则 ；⑥HF2+HK2＝2HB2.结论正确的有 （只填序号）.
三、综合题
16．（2022九下·汕头期末）已知：在Rt△ABC 中，∠C=90°，sinA=，AC=10，求△ABC的面积。
17．（2022九下·义乌月考）如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AE＝BC，DF⊥AE，垂足为F，连接DE．
（1）求证：△ABE≌△DFA；
（2）如果AD＝10，AB＝6，求sin∠EDF的值．
18．（2021九下·三江期中）如图，已知反比例函数与一次函数相交于、两点，轴于点.若的面积为，且.
（1）求出反比例函数与一次函数的解析式；
（2）请直接写出点的坐标，并指出当在什么范围取值时，使
19．（2022九下·雨花期中）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为N.
（1）若此抛物线过点A（，1），求抛物线的解析式；
（2）在（1）的条件下，若抛物线与y轴交于点B，连接AB，C为抛物线上一点，且满足CA=CB，求点C的坐标；
（3）已知点M（，0），且无论k取何值，抛物线都经过定点H，当∠MHN=60°时，求抛物线的解析式.
20．（2022九下·义乌期中）如图1，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，动点P沿着边AB从点A运动到点B，同时动点Q沿着边BC，CD从点B运动到点D，它们同时到达终点，BD与PQ交于点E．若记点Q的运动路程为x，线段BP的长记为y．
（1）求y关于x的函数表达式．
（2）如图2，当点Q在CD上时，求 ．
（3）将矩形沿着PQ折叠，点B的对应点为点F，连结EF，当EF所在直线与△BCD的一边垂直时，求BP的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】算术平方根；立方根及开立方；特殊角的三角函数值；无理数的认识
【解析】【解答】解： 、 、0、 是整数，属于有理数；
是分数，属于有理数；
无理数有 ， （相邻两个3之间依次多一个1)，共有2个.
故答案为：B.
【分析】根据特殊角的三角函数值可得tan45°=1，根据立方根的概念可得=4，根据算术平方根的概念可得=3，然后根据无限不循环小数叫做无理数进行判断.
2．【答案】C
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】 解：
.
故答案为：C.
【分析】直接代入特殊角的三角函数值，然后再合并同类二次根式即可得出答案.
3．【答案】B
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：如图，连接BC，
由网格可得AB=BC= ，AC= ，即AB2+BC2=AC2，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠BAC=45°，
则tan∠BAC=1，
故答案为：B.
【分析】连接BC，利用勾股定理及逆定理可得出△ABC为等腰直角三角形，即得∠BAC=45°，求出∠BAC的正切值即可.
4．【答案】B
【知识点】勾股定理；菱形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵DE⊥AB，cosA＝
，AE＝3，
∴，解得：AD＝5.
∴DE＝
＝4，
∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB=5，
∴BE＝5﹣3＝2，
∴tan∠DBE＝
＝2.
故答案为：B.
【分析】根据余弦函数的概念可得AD的值，利用勾股定理求出DE，根据菱形的性质可得AD=AB=5，然后求出BE的值，再根据正切函数的概念进行计算.
5．【答案】B
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；三角形的外接圆与外心；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图， 为正三角形ABC的外接圆，过点O作OD⊥AB于点D，连接OA，
根据题意得：OA= ，∠OAB=30°，，
在中，
，
∴AB=3，即这个正三角形的边长是3.
故答案为：B.
【分析】画出示意图，过点O作OD⊥AB于点D，连接OA，根据题意可得OA=，∠OAB=30°，AD=AB，然后利用三角函数的概念可得AD，进而可得AB.
6．【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：令x=0，则y=3，
令y=0，则x=-4，
∴A（-4，0），B（0，3），
∴OA=4，OB=3，
∴AB=5，
∴cos∠BAO=.
故答案为：A.
【分析】先求出点A、B的坐标，从而得出OA=4，OB=3，AB=5，再利用锐角三角函数的定义即可得出cos∠BAO=.
7．【答案】B
【知识点】三角形的面积；垂径定理；圆周角定理；扇形面积的计算；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CE＝ED＝2，
又∵∠DCB＝30°，
∴∠DOE＝2∠BCD＝60°，
∴OE＝22，OD＝4，
∴S阴影＝S扇形BOD﹣S△DOE+S△BEC2×2．
故答案为：B.
【分析】根据垂径定理可得CE＝ED＝2，由圆周角定理可得∠DOE＝2∠BCD＝60°，根据三角函数的概念求出OE、OD，然后根据S阴影＝S扇形BOD-S△DOE+S△BEC结合扇形、三角形的面积公式进行计算.
8．【答案】B
【知识点】三角形的面积；勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过点C作CD⊥AB，如图，
AB＝＝3，BC＝＝，
根据题意可得，
S△ABC＝＝，
即＝，
解得：CD＝，
在Rt△BCD中，
sin∠ABC＝＝＝．
故答案为：B．
【分析】过点C作CD⊥AB，先利用勾股定理求出AB和BC的长，再利用等面积法求出CD＝，最后利用正弦的定义可得sin∠ABC＝＝＝。
9．【答案】D
【知识点】锐角三角函数的定义；旋转的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，过点作于点，
由旋转的性质得：，，，
是等腰直角三角形，
∴，
∴，
，
∴，
，
.
故答案为：D.
【分析】过点A作AG⊥DE于点G，由旋转的性质得：AE=AD=4，∠DAE=∠BAC=90°，∠BAE=∠CAD=15°，推出△ADE为等腰直角三角形，得到∠AED=45°，利用三角函数的概念可得AG、AF，然后根据BF=AB-AF进行计算.
10．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过E作EH⊥CF于H．
由折叠的性质得：BE=EF，∠BEA=∠FEA．∵点E是BC的中点，
∴CE=BE，∴EF=CE，∴∠FEH=∠CEH，∴∠AEB+∠CEH=90°．
在矩形ABCD中，∵∠B=90°，∴∠BAE+∠BEA=90°，∴∠BAE=∠CEH，∠B=∠EHC，∴△ABE∽△EHC，∴ ．∵AE= =10，∴EH= ，
∴sin∠ECF= = ．
故答案为：D．
【分析】先求出∠FEH=∠CEH，再求出△ABE∽△EHC，最后利用勾股定理和锐角三角函数计算求解即可。
11．【答案】
【知识点】圆周角定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由题意可得：∠CDE＝∠EAC，
则tan∠CDE＝tan∠EAC＝．
故答案为：．
【分析】根据同弧所对的圆周角相等可得∠CDE＝∠EAC，从而得出tan∠CDE＝tan∠EAC，由tan∠EAC=即可求解．
12．【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】由AD=， BD= 得出AB=AD+BD=5，
由题意可知：∠ACB= 90°，CD⊥AB于点D，
由射影定理，
得出：
故答案为
【分析】利用已知条件求出AB的长，再利用射影定理求出AC的长，然后利用锐角三角函数的定义求出sinB的值.
13．【答案】 或
【知识点】勾股定理；垂径定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图1，延长AO交BC于D ，连接OB ，
， ，
， ，
在 中， ，
，
，
；
如图2， ，
，
，
综上所述： 的值为 或 .
故答案为： 或 .
【分析】当△ABC为锐角三角形时，延长AO交BC于D，连接OB，由垂径定理得AD⊥BC，BD=CD，利用勾股定理可得OD，根据AD=AO+OD可得AD，然后利用勾股定理求出AB，再根据三角函数的概念进行计算即可；当△ABC为钝角三角形时，利用勾股定理求出AB，然后根据三角函数的概念进行计算.
14．【答案】②③④
【知识点】同角三角函数的关系；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：，等式①不成立；
，
，
，
，等式②成立；
，
，
，等式③成立；
，
，
，等式④成立；
综上，等式成立的是②③④.
故答案为：②③④.
【分析】根据cos(-α)=cosα结合特殊角的三角函数值可判断①；根据sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ结合特殊角的三角函数值可判断②；sin2α=sin(α+α)=sinαcosα+cosαsinα，据此判断③；sin(α-β)=sin[α+(-β)]，据此判断④.
15．【答案】①②③④⑤⑥
【知识点】三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；平行四边形的判定与性质；正方形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过点A作AL⊥BE交CD于点L，
∴四边形AHKL是平行四边形，
∴AL＝HK，
∵AB＝AD，∠ADL＝∠BAP＝90°，
∵∠DAJ＋∠APB＝∠DAL＋∠ALD＝90°，
∴∠APB＝∠ALD，
∴△ADL≌△BAP（AAS），
∴BP＝AL＝HK，故①正确；
延长EF、CB相交于点N，过点B作BM⊥EN于点M，连接BK，
∵∠EFB＝∠FBC，
∴∠BFN＝∠FBN＝∠BFA，
∴BM＝BA＝BC，
∴∠FEG＝∠KEG，
∴△EFG≌△EKG（ASA），
∴FG＝KG，
∴BE垂直平分FK，
∴BF＝BK，
∵BA＝BC，
∴Rt△ABF≌Rt△CBK（HL），
∴∠ABF＝∠CBK，
∴∠FBK＝∠ABF＋∠ABK＝∠CBK＋∠ABK＝90°，
∴∠FBE＝∠KBE＝45°，
∴∠ABF＋∠FEB＝∠ABF＋∠BED＝∠ABF＋∠ABP＝∠FBE＝45°，故②正确；
∵∠DFK＝90° ∠EKG＝∠BEC，
∴tan∠DFK＝tan∠BEC＝ ＝ ，
∴BG＝FG＝2PG，
∴PE＝PB＝PG＋BG＝3PG，
∴PG：BG：PE＝1：2：3，故③正确；
设正方形边长为a，由 ＝tan∠DFK＝ ，
∴DF＝2DK，
即：a＋AF＝2（a CK），
∴AF＝CK＝ a，
∴BF＝ = a，
∴sin∠ABF＝ = ，故④正确；
过点G作GQ⊥AG交AB于点Q，
∵∠PGF＝∠HGB，FG＝BG，∠PFG＝∠HBG，
∴△FPG≌△BHG（ASA），
∴PF＝BH，PG＝HG，
∵∠AGQ＝∠FGB＝90°，
∴∠AGQ ∠FGQ=∠BGF ∠FGQ，
∴∠AGF＝∠BGQ，
∵∠AFG＝∠QBG，FG＝BG，
∴△AFG≌△BHG（ASA），
∴AG＝QG，AF＝BQ，
∴HQ＝BH BQ＝PF AF＝AP，
∴ AG＝AQ＝AH＋HQ＝AH＋AP，故⑤正确；
在BC上截取BI＝BH，连接KI，HI，则AH＝CI，
∴△AFH≌△CKI（SAS），
∴∠AFH＝∠CKI，
∴KI＝FH，
∴∠HKI＝180° ∠FKD ∠AFH＝180° ∠FKD ∠CKI＝90°，
∴HF2＋HK2＝KI2＋HK2＝HI2＝2BH2，故⑥正确；
故答案为：①②③④⑤⑥.
【分析】过点A作AL⊥BE交CD于点L，根据平行四边形的性质可得AL＝HK，根据同角的余角相等可得∠APB＝∠ALD，证明△ADL≌△BAP，据此判断①；延长EF、CB相交于点N，过点B作BM⊥EN于点M，连接BK，由等腰三角形的性质可得∠FEG＝∠KEG，证明△EFG≌△EKG，得到FG＝KG，由垂直平分线的性质可得BF＝BK，证明Rt△ABF≌Rt△CBK，得到∠ABF＝∠CBK，易得∠FBE＝∠KBE＝45°，进而判断②；根据三角函数的概念可得BG＝FG＝2PG，则PE＝PB＝3PG，据此判断③；设正方形边长为a，由三角函数的概念得DF＝2DK，则AF＝CK＝a，由勾股定理得BF，然后根据三角函数的概念可判断④；过点G作GQ⊥AG交AB于点Q，证明△FPG≌△BHG，得到PF＝BH，PG＝HG，根据角的和差关系可推出∠AGF＝∠BGQ，证△AFG≌△BHG，得到AG＝QG，AF＝BQ，则HQ＝BH-BQ＝PF-AF＝AP，据此判断⑤；在BC上截取BI＝BH，连接KI，HI，则AH=CI，证△AFH≌△CKI，得到∠AFH＝∠CKI，根据内角和定理可得∠HKI＝90°，结合勾股定理可判断⑥.
16．【答案】解：∵，
设BC=2x，AB=3x
∴
解得x1= （舍去），x2=
∴BC= AB=
∴S△ABC=
【知识点】三角形的面积；勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】 设BC=2x，AB=3x，根据勾股定理列出方程，解方程求出x的值，从而得出BC的长，再根据三角形的面积公式进行计算，即可得出答案.
17．【答案】（1）证明：在矩形ABCD中，BC＝AD，AD∥BC，∠B＝90°，
∴∠DAF＝∠AEB．
∵DF⊥AE，AE＝BC，
∴∠AFD＝90°，AE＝AD．
∴△ABE≌△DFA．
（2）解：由（1）知△ABE≌△DFA．
∴AB＝DF＝6
在直角 中， ，
在直角 中， ，
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质得出BC＝AD，AD∥BC，∠B＝90°， 从而得出∠DAF＝∠AEB，AE＝AD，根据垂直的定义得出∠AFD＝90°，利于AAS即可证出△ABE≌△DFA；
（2）根据全等三角形的性质得出AB＝DF＝6，根据勾股定理求出AF=8，从而求出EF=2，再根据勾股定理求出DE=，再根据锐角三角函数的定义即可得出答案.
18．【答案】（1）解：设点的坐标为，则，
的面积为，且，
，
解得或（不符题意，舍去），
，
将点代入得：，
则反比例函数的解析式为；
将点代入得：，解得，
则一次函数的解析式为；
（2）解：联立，
解得或，
则点的坐标是，
表示的是反比例函数的图象位于一次函数的图象的上方，
则或.
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）设A（m，n），则OC=m，AC=n，根据三角形的面积公式以及三角函数的概念可得关于m、n的方程，求出m、n的值，得到点A的坐标，然后代入y=中求出k1的值，进而可得反比例函数的解析式；将点A的坐标代入y=k2x+1中求出k2，据此可得一次函数的解析式；
（2）联立反比例函数解析式以及一次函数的解析式求出x、y的值，得到点B的坐标，然后找出反比例函数的图象位于一次函数的图象的上方部分所对应的x的范围即可.
19．【答案】（1）解：把A（，1）代入，得，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：把代入得：，
∴点B的坐标为（0，4），
设直线AB的解析式为，把A、B两个点的坐标代入得：
，解得：，
∴直线AB的解析式为，
∵CA=CB，
∴点C在AB的垂直平分线上，作AB的垂直平分线，交AB于点M，与抛物线的交点即为点C，如图所示：
∵点M为AB的中点，
∴点M的坐标为，即，
设CM的解析式为：，把代入得：
，解得：，
∴CM的解析式为：，
联立，
解得：，，
∴点C的坐标为或；
（3）解：由y＝ x2＋kx 2k＝k（x 2） x2，
当x 2＝0时，x＝2，y＝ 4，
∴无论k取何值，抛物线都经过定点H（2， 4），
二次函数的顶点N，
①如图所示，过点H作HI⊥x轴于I，分别过H，N作y轴，x轴的垂线交于点G，连接HN，若时，则k＞4，
，H（2， 4），
，，
，
∴∠MHI＝30°，
∵∠MHN＝60°，
∴∠NHI＝30°，
即∠GNH＝30°，
由图可知，，
解得：或（不合题意舍去）；
②如图所示，过点H作HI⊥x轴于I，分别过H，N作y轴，x轴的垂线交于点G，若时，则k＜4，
同理可得，∠MHI＝30°，
∵∠MHN＝60°，
∴NH⊥HI，
即，
解得k＝4（不符合题意舍弃）；
③若＝2，则N，H重合，不符合题意舍弃，
综上所述，抛物线的解析式为：.
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；锐角三角函数的定义；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出B点的坐标，求出直线AB的解析式，由题意易知点C在AB的垂直平分线上，作AB的垂直平分线，交AB于点M，与抛物线的交点即为点C， 再利用中点坐标公式表示出M点坐标，利用待定系数法求出CM的关系式， 与抛物线的关系式联立方程组，即可求解；
（3）先求出定点H的坐标，过H点做HI⊥x轴，根据题意求出∠MHI= 30°，然后分 ①若时，则k＜4，②若时，则k＜4，③若＝2，三种情况讨论，即可解决问题.
20．【答案】（1）解：设点P的速度为a，点Q的速度为b，
∵它们同时到达终点，
∴
解之：；
设两点的运动时间为t，则AP=at，x=BQ=bt=
∴at=x，
∴y=AB-AP，
∴.
（2）解：∵矩形ABCD，
∴AB∥CD，
∴△BEF∽△DQE，
∴
∴.
（3）解：如图1，当点Q在BC上时，EF⊥DC，过点E作EG⊥BC于点G，
∵矩形ABCD，CB⊥DC，
∴EF∥BQ，
∴∠BQE=∠FEQ，
∵ 矩形沿着PQ折叠，点B的对应点为点F ，
∴∠BEQ=∠FEQ=∠BQE，
∴BE=BQ=m，
∵EG∥BC，
∴∠BEG=∠BDC，
∴
∴，
∴
∵EG∥BP，
∴即
解之：
当时
∴；
点Q在DC上时，EF⊥BC，·
∴EF∥AB，
∴∠BPE=∠FEP，
∵折叠，
∴∠FEP=∠BEP=∠BPE，
∴；
当点Q在DC上时，EF⊥BD，
∵折叠，
∴∠FEP=∠BEP=45°，
由题意得
QD=14-x，BP=，
∵AB∥CD，
∴△BPE∽△DQE，
∴
解之：
在Rt△ADB中
，
在Rt△PMB中
，
设PM=3m，BM=4m，PB=5m，
∴
解之：，
∴；
当点Q在DC上时，EF⊥CD，
∵矩形ABCD，AB∥CD，
∴EF⊥AB，
∵折叠
∴，
设PB=PF=m，
∵EF∥AD，
∴△BME∽△BAD，
∴，
∴，
∴FM=
在Rt△FMP中
解之：
当EF⊥BD时，过点E作EH⊥CB于点H，
∴，
∴，
∵△EHQ∽△PBQ，
∴，
∴BP=7x，
∴，
解之：
∴.
BP的长为 或 或 或 或.
【知识点】翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；四边形-动点问题
【解析】【分析】（1）设点P的速度为a，点Q的速度为b，利用它们同时到达终点，可得到关于a，b的方程，解方程表示出b；设两点的运动时间为t，点Q的运动路程为x，可知AP=at，可分别表示出BQ，BP的长，可表示出at，然后根据y=AB-AP，可得到y与x之间的函数解析式.
（2）利用矩形的性质可得到AB∥CD，可推出△BEF∽△DQE，利用相似三角形的对应边成比例，可求出BE与DE的比值.
（3）分情况讨论：如图1，当点Q在BC上时，EF⊥DC，过点E作EG⊥BC于点G，利用矩形和平行线的性质可证得∠BQE=∠FEQ，利用折叠的性质可推出∠BEQ=∠FEQ=∠BQE，利用等角对等边可证得BE=BQ=m，可表示出PB的长；利用平行线的性质可得到∠BEG=∠BDC，利用锐角三角函数的定义可表示出BG，EG的长，从而可表示出QC的长；由EG∥BP，可证得△EGQ∽△PBQ，利用相似三角形的对应边成比例，可得到关于m的方程，解方程求出m的值；然后求出PB的长；点Q在DC上时，EF⊥BC，利用平行线的性质和折叠的性质可证得∠FEP=∠BEP=∠BPE，从而可得到BP=BE，即可求出BP的长；当点Q在DC上时，EF⊥BD，分别用含x的代数式表示出QD，由AB∥CD，可证得△BPE∽△DQE，利用相似三角形的对应边成比例可得关于x的方程，解方程求出BE的长再利用锐角三角函数的定义可得到PM与BM的比值，设PM=3m，BM=4m，PB=5m，利用BE的长建立关于m的方程，解方程求出m的值；即可得到PB的长；当点Q在DC上时，EF⊥CD，利用折叠的性质易证EBE，设PB=PF=m，再证明△BME∽△BAD，利用相似三角形的对应边成比例，可求出FM的长，利用勾股定理可得到关于m的方程，解方程取出m的值，即可得到PB的长；当EF⊥BD时，过点E作EH⊥CB于点H，用含x的代数式表示出BH，EH，HQ的长，同时可得到QH与EH的比值；再证明△EHQ∽△PBQ，利用相似三角形的对应边成比例可得到BP的长，据此可得到关于x的方程，解方程求出x的值，即可求出PB的长；综上所述可得到符合题意的PB的长.
1 / 1浙教版数学九年级下册1.1锐角三角函数 同步训练
一、单选题
1．（2022九下·磐安期中）实数 ， ， ， ， ， ， （相邻两个3之间依次多一个 1） ，其中无理数的个数是（ ）
A．4 B．2 C．1 D．3
【答案】B
【知识点】算术平方根；立方根及开立方；特殊角的三角函数值；无理数的认识
【解析】【解答】解： 、 、0、 是整数，属于有理数；
是分数，属于有理数；
无理数有 ， （相邻两个3之间依次多一个1)，共有2个.
故答案为：B.
【分析】根据特殊角的三角函数值可得tan45°=1，根据立方根的概念可得=4，根据算术平方根的概念可得=3，然后根据无限不循环小数叫做无理数进行判断.
2．（2022九下·泾阳月考）计算sin 45°+cos45°的值为（ ）
A．1 B．2
C． D．2
【答案】C
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】 解：
.
故答案为：C.
【分析】直接代入特殊角的三角函数值，然后再合并同类二次根式即可得出答案.
3．（2021九下·福州开学考）如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：如图，连接BC，
由网格可得AB=BC= ，AC= ，即AB2+BC2=AC2，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠BAC=45°，
则tan∠BAC=1，
故答案为：B.
【分析】连接BC，利用勾股定理及逆定理可得出△ABC为等腰直角三角形，即得∠BAC=45°，求出∠BAC的正切值即可.
4．（2022九下·锦江开学考）如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，cosA＝，AE＝3，则tan∠DBE的值是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；菱形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵DE⊥AB，cosA＝
，AE＝3，
∴，解得：AD＝5.
∴DE＝
＝4，
∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB=5，
∴BE＝5﹣3＝2，
∴tan∠DBE＝
＝2.
故答案为：B.
【分析】根据余弦函数的概念可得AD的值，利用勾股定理求出DE，根据菱形的性质可得AD=AB=5，然后求出BE的值，再根据正切函数的概念进行计算.
5．（2021九下·三江期中）已知正三角形外接圆半径为，这个正三角形的边长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；三角形的外接圆与外心；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图， 为正三角形ABC的外接圆，过点O作OD⊥AB于点D，连接OA，
根据题意得：OA= ，∠OAB=30°，，
在中，
，
∴AB=3，即这个正三角形的边长是3.
故答案为：B.
【分析】画出示意图，过点O作OD⊥AB于点D，连接OA，根据题意可得OA=，∠OAB=30°，AD=AB，然后利用三角函数的概念可得AD，进而可得AB.
6．（2022九下·汕头期末）如图，直线y= x+3与x轴，y轴分别相交于A、B两点，则cos∠BAO的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：令x=0，则y=3，
令y=0，则x=-4，
∴A（-4，0），B（0，3），
∴OA=4，OB=3，
∴AB=5，
∴cos∠BAO=.
故答案为：A.
【分析】先求出点A、B的坐标，从而得出OA=4，OB=3，AB=5，再利用锐角三角函数的定义即可得出cos∠BAO=.
7．（2022九下·利通期中）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，且∠BCD＝30°，CD＝4．则图中阴影部分的面积S阴影＝（ ）
A．2π B．π C．π D．π
【答案】B
【知识点】三角形的面积；垂径定理；圆周角定理；扇形面积的计算；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CE＝ED＝2，
又∵∠DCB＝30°，
∴∠DOE＝2∠BCD＝60°，
∴OE＝22，OD＝4，
∴S阴影＝S扇形BOD﹣S△DOE+S△BEC2×2．
故答案为：B.
【分析】根据垂径定理可得CE＝ED＝2，由圆周角定理可得∠DOE＝2∠BCD＝60°，根据三角函数的概念求出OE、OD，然后根据S阴影＝S扇形BOD-S△DOE+S△BEC结合扇形、三角形的面积公式进行计算.
8．（2022九下·铁岭月考）如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠ABC＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的面积；勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过点C作CD⊥AB，如图，
AB＝＝3，BC＝＝，
根据题意可得，
S△ABC＝＝，
即＝，
解得：CD＝，
在Rt△BCD中，
sin∠ABC＝＝＝．
故答案为：B．
【分析】过点C作CD⊥AB，先利用勾股定理求出AB和BC的长，再利用等面积法求出CD＝，最后利用正弦的定义可得sin∠ABC＝＝＝。
9．（2021九下·平果期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝3cm，点D为△ABC内一点，∠CAD＝15°，AD＝4cm，连接CD，将△ACD绕点A顺时针旋转，使AC与AB重合，点D的对应点为点E，连接DE交AB于点F，则BF的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】锐角三角函数的定义；旋转的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，过点作于点，
由旋转的性质得：，，，
是等腰直角三角形，
∴，
∴，
，
∴，
，
.
故答案为：D.
【分析】过点A作AG⊥DE于点G，由旋转的性质得：AE=AD=4，∠DAE=∠BAC=90°，∠BAE=∠CAD=15°，推出△ADE为等腰直角三角形，得到∠AED=45°，利用三角函数的概念可得AG、AF，然后根据BF=AB-AF进行计算.
10．（2021九下·南海月考）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，点E是BC的中点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点F处，连接FC，则sin∠ECF＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过E作EH⊥CF于H．
由折叠的性质得：BE=EF，∠BEA=∠FEA．∵点E是BC的中点，
∴CE=BE，∴EF=CE，∴∠FEH=∠CEH，∴∠AEB+∠CEH=90°．
在矩形ABCD中，∵∠B=90°，∴∠BAE+∠BEA=90°，∴∠BAE=∠CEH，∠B=∠EHC，∴△ABE∽△EHC，∴ ．∵AE= =10，∴EH= ，
∴sin∠ECF= = ．
故答案为：D．
【分析】先求出∠FEH=∠CEH，再求出△ABE∽△EHC，最后利用勾股定理和锐角三角函数计算求解即可。
二、填空题
11．（2022九下·莱山期中）如图，正方形网格中，点A，O，B，E均在格点上．⊙O过点A，E且与AB交于点C，点D是⊙O上一点，则 ．
【答案】
【知识点】圆周角定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由题意可得：∠CDE＝∠EAC，
则tan∠CDE＝tan∠EAC＝．
故答案为：．
【分析】根据同弧所对的圆周角相等可得∠CDE＝∠EAC，从而得出tan∠CDE＝tan∠EAC，由tan∠EAC=即可求解．
12．（2022九下·福州期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB= 90°，CD⊥AB于点D， AD=， BD= ，则sinB= .
【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】由AD=， BD= 得出AB=AD+BD=5，
由题意可知：∠ACB= 90°，CD⊥AB于点D，
由射影定理，
得出：
故答案为
【分析】利用已知条件求出AB的长，再利用射影定理求出AC的长，然后利用锐角三角函数的定义求出sinB的值.
13．（2022九下·诸暨月考）△ABC内接于圆 ，且 ，圆 的直径为 ， ，则 .
【答案】 或
【知识点】勾股定理；垂径定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图1，延长AO交BC于D ，连接OB ，
， ，
， ，
在 中， ，
，
，
；
如图2， ，
，
，
综上所述： 的值为 或 .
故答案为： 或 .
【分析】当△ABC为锐角三角形时，延长AO交BC于D，连接OB，由垂径定理得AD⊥BC，BD=CD，利用勾股定理可得OD，根据AD=AO+OD可得AD，然后利用勾股定理求出AB，再根据三角函数的概念进行计算即可；当△ABC为钝角三角形时，利用勾股定理求出AB，然后根据三角函数的概念进行计算.
14．（2021九下·三江期中）规定： ，，据此判断下列等式成立的是： .（写出所有正确的序号）
①cos（﹣60 ）＝ ，②sin75 ＝，③，④
【答案】②③④
【知识点】同角三角函数的关系；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：，等式①不成立；
，
，
，
，等式②成立；
，
，
，等式③成立；
，
，
，等式④成立；
综上，等式成立的是②③④.
故答案为：②③④.
【分析】根据cos(-α)=cosα结合特殊角的三角函数值可判断①；根据sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ结合特殊角的三角函数值可判断②；sin2α=sin(α+α)=sinαcosα+cosαsinα，据此判断③；sin(α-β)=sin[α+(-β)]，据此判断④.
15．（2022九下·黄石月考）如图，正方形ABCD中，点E，F分别为CD，DA延长线上的点，连接EF，BF，BE，BE交AD于点P，过点F作FK⊥BE垂足为G，FK与AB，CD分别交于点H，K，若DC=DE，∠EFB=∠FBC.则下列结论中：①BP＝HK；②∠ABF+∠FEB＝45°；③PG：GB：PE＝1：2：3；④ ；⑤若连接AG，则 ；⑥HF2+HK2＝2HB2.结论正确的有 （只填序号）.
【答案】①②③④⑤⑥
【知识点】三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；平行四边形的判定与性质；正方形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过点A作AL⊥BE交CD于点L，
∴四边形AHKL是平行四边形，
∴AL＝HK，
∵AB＝AD，∠ADL＝∠BAP＝90°，
∵∠DAJ＋∠APB＝∠DAL＋∠ALD＝90°，
∴∠APB＝∠ALD，
∴△ADL≌△BAP（AAS），
∴BP＝AL＝HK，故①正确；
延长EF、CB相交于点N，过点B作BM⊥EN于点M，连接BK，
∵∠EFB＝∠FBC，
∴∠BFN＝∠FBN＝∠BFA，
∴BM＝BA＝BC，
∴∠FEG＝∠KEG，
∴△EFG≌△EKG（ASA），
∴FG＝KG，
∴BE垂直平分FK，
∴BF＝BK，
∵BA＝BC，
∴Rt△ABF≌Rt△CBK（HL），
∴∠ABF＝∠CBK，
∴∠FBK＝∠ABF＋∠ABK＝∠CBK＋∠ABK＝90°，
∴∠FBE＝∠KBE＝45°，
∴∠ABF＋∠FEB＝∠ABF＋∠BED＝∠ABF＋∠ABP＝∠FBE＝45°，故②正确；
∵∠DFK＝90° ∠EKG＝∠BEC，
∴tan∠DFK＝tan∠BEC＝ ＝ ，
∴BG＝FG＝2PG，
∴PE＝PB＝PG＋BG＝3PG，
∴PG：BG：PE＝1：2：3，故③正确；
设正方形边长为a，由 ＝tan∠DFK＝ ，
∴DF＝2DK，
即：a＋AF＝2（a CK），
∴AF＝CK＝ a，
∴BF＝ = a，
∴sin∠ABF＝ = ，故④正确；
过点G作GQ⊥AG交AB于点Q，
∵∠PGF＝∠HGB，FG＝BG，∠PFG＝∠HBG，
∴△FPG≌△BHG（ASA），
∴PF＝BH，PG＝HG，
∵∠AGQ＝∠FGB＝90°，
∴∠AGQ ∠FGQ=∠BGF ∠FGQ，
∴∠AGF＝∠BGQ，
∵∠AFG＝∠QBG，FG＝BG，
∴△AFG≌△BHG（ASA），
∴AG＝QG，AF＝BQ，
∴HQ＝BH BQ＝PF AF＝AP，
∴ AG＝AQ＝AH＋HQ＝AH＋AP，故⑤正确；
在BC上截取BI＝BH，连接KI，HI，则AH＝CI，
∴△AFH≌△CKI（SAS），
∴∠AFH＝∠CKI，
∴KI＝FH，
∴∠HKI＝180° ∠FKD ∠AFH＝180° ∠FKD ∠CKI＝90°，
∴HF2＋HK2＝KI2＋HK2＝HI2＝2BH2，故⑥正确；
故答案为：①②③④⑤⑥.
【分析】过点A作AL⊥BE交CD于点L，根据平行四边形的性质可得AL＝HK，根据同角的余角相等可得∠APB＝∠ALD，证明△ADL≌△BAP，据此判断①；延长EF、CB相交于点N，过点B作BM⊥EN于点M，连接BK，由等腰三角形的性质可得∠FEG＝∠KEG，证明△EFG≌△EKG，得到FG＝KG，由垂直平分线的性质可得BF＝BK，证明Rt△ABF≌Rt△CBK，得到∠ABF＝∠CBK，易得∠FBE＝∠KBE＝45°，进而判断②；根据三角函数的概念可得BG＝FG＝2PG，则PE＝PB＝3PG，据此判断③；设正方形边长为a，由三角函数的概念得DF＝2DK，则AF＝CK＝a，由勾股定理得BF，然后根据三角函数的概念可判断④；过点G作GQ⊥AG交AB于点Q，证明△FPG≌△BHG，得到PF＝BH，PG＝HG，根据角的和差关系可推出∠AGF＝∠BGQ，证△AFG≌△BHG，得到AG＝QG，AF＝BQ，则HQ＝BH-BQ＝PF-AF＝AP，据此判断⑤；在BC上截取BI＝BH，连接KI，HI，则AH=CI，证△AFH≌△CKI，得到∠AFH＝∠CKI，根据内角和定理可得∠HKI＝90°，结合勾股定理可判断⑥.
三、综合题
16．（2022九下·汕头期末）已知：在Rt△ABC 中，∠C=90°，sinA=，AC=10，求△ABC的面积。
【答案】解：∵，
设BC=2x，AB=3x
∴
解得x1= （舍去），x2=
∴BC= AB=
∴S△ABC=
【知识点】三角形的面积；勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】 设BC=2x，AB=3x，根据勾股定理列出方程，解方程求出x的值，从而得出BC的长，再根据三角形的面积公式进行计算，即可得出答案.
17．（2022九下·义乌月考）如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AE＝BC，DF⊥AE，垂足为F，连接DE．
（1）求证：△ABE≌△DFA；
（2）如果AD＝10，AB＝6，求sin∠EDF的值．
【答案】（1）证明：在矩形ABCD中，BC＝AD，AD∥BC，∠B＝90°，
∴∠DAF＝∠AEB．
∵DF⊥AE，AE＝BC，
∴∠AFD＝90°，AE＝AD．
∴△ABE≌△DFA．
（2）解：由（1）知△ABE≌△DFA．
∴AB＝DF＝6
在直角 中， ，
在直角 中， ，
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质得出BC＝AD，AD∥BC，∠B＝90°， 从而得出∠DAF＝∠AEB，AE＝AD，根据垂直的定义得出∠AFD＝90°，利于AAS即可证出△ABE≌△DFA；
（2）根据全等三角形的性质得出AB＝DF＝6，根据勾股定理求出AF=8，从而求出EF=2，再根据勾股定理求出DE=，再根据锐角三角函数的定义即可得出答案.
18．（2021九下·三江期中）如图，已知反比例函数与一次函数相交于、两点，轴于点.若的面积为，且.
（1）求出反比例函数与一次函数的解析式；
（2）请直接写出点的坐标，并指出当在什么范围取值时，使
【答案】（1）解：设点的坐标为，则，
的面积为，且，
，
解得或（不符题意，舍去），
，
将点代入得：，
则反比例函数的解析式为；
将点代入得：，解得，
则一次函数的解析式为；
（2）解：联立，
解得或，
则点的坐标是，
表示的是反比例函数的图象位于一次函数的图象的上方，
则或.
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）设A（m，n），则OC=m，AC=n，根据三角形的面积公式以及三角函数的概念可得关于m、n的方程，求出m、n的值，得到点A的坐标，然后代入y=中求出k1的值，进而可得反比例函数的解析式；将点A的坐标代入y=k2x+1中求出k2，据此可得一次函数的解析式；
（2）联立反比例函数解析式以及一次函数的解析式求出x、y的值，得到点B的坐标，然后找出反比例函数的图象位于一次函数的图象的上方部分所对应的x的范围即可.
19．（2022九下·雨花期中）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为N.
（1）若此抛物线过点A（，1），求抛物线的解析式；
（2）在（1）的条件下，若抛物线与y轴交于点B，连接AB，C为抛物线上一点，且满足CA=CB，求点C的坐标；
（3）已知点M（，0），且无论k取何值，抛物线都经过定点H，当∠MHN=60°时，求抛物线的解析式.
【答案】（1）解：把A（，1）代入，得，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：把代入得：，
∴点B的坐标为（0，4），
设直线AB的解析式为，把A、B两个点的坐标代入得：
，解得：，
∴直线AB的解析式为，
∵CA=CB，
∴点C在AB的垂直平分线上，作AB的垂直平分线，交AB于点M，与抛物线的交点即为点C，如图所示：
∵点M为AB的中点，
∴点M的坐标为，即，
设CM的解析式为：，把代入得：
，解得：，
∴CM的解析式为：，
联立，
解得：，，
∴点C的坐标为或；
（3）解：由y＝ x2＋kx 2k＝k（x 2） x2，
当x 2＝0时，x＝2，y＝ 4，
∴无论k取何值，抛物线都经过定点H（2， 4），
二次函数的顶点N，
①如图所示，过点H作HI⊥x轴于I，分别过H，N作y轴，x轴的垂线交于点G，连接HN，若时，则k＞4，
，H（2， 4），
，，
，
∴∠MHI＝30°，
∵∠MHN＝60°，
∴∠NHI＝30°，
即∠GNH＝30°，
由图可知，，
解得：或（不合题意舍去）；
②如图所示，过点H作HI⊥x轴于I，分别过H，N作y轴，x轴的垂线交于点G，若时，则k＜4，
同理可得，∠MHI＝30°，
∵∠MHN＝60°，
∴NH⊥HI，
即，
解得k＝4（不符合题意舍弃）；
③若＝2，则N，H重合，不符合题意舍弃，
综上所述，抛物线的解析式为：.
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；锐角三角函数的定义；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出B点的坐标，求出直线AB的解析式，由题意易知点C在AB的垂直平分线上，作AB的垂直平分线，交AB于点M，与抛物线的交点即为点C， 再利用中点坐标公式表示出M点坐标，利用待定系数法求出CM的关系式， 与抛物线的关系式联立方程组，即可求解；
（3）先求出定点H的坐标，过H点做HI⊥x轴，根据题意求出∠MHI= 30°，然后分 ①若时，则k＜4，②若时，则k＜4，③若＝2，三种情况讨论，即可解决问题.
20．（2022九下·义乌期中）如图1，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，动点P沿着边AB从点A运动到点B，同时动点Q沿着边BC，CD从点B运动到点D，它们同时到达终点，BD与PQ交于点E．若记点Q的运动路程为x，线段BP的长记为y．
（1）求y关于x的函数表达式．
（2）如图2，当点Q在CD上时，求 ．
（3）将矩形沿着PQ折叠，点B的对应点为点F，连结EF，当EF所在直线与△BCD的一边垂直时，求BP的长．
【答案】（1）解：设点P的速度为a，点Q的速度为b，
∵它们同时到达终点，
∴
解之：；
设两点的运动时间为t，则AP=at，x=BQ=bt=
∴at=x，
∴y=AB-AP，
∴.
（2）解：∵矩形ABCD，
∴AB∥CD，
∴△BEF∽△DQE，
∴
∴.
（3）解：如图1，当点Q在BC上时，EF⊥DC，过点E作EG⊥BC于点G，
∵矩形ABCD，CB⊥DC，
∴EF∥BQ，
∴∠BQE=∠FEQ，
∵ 矩形沿着PQ折叠，点B的对应点为点F ，
∴∠BEQ=∠FEQ=∠BQE，
∴BE=BQ=m，
∵EG∥BC，
∴∠BEG=∠BDC，
∴
∴，
∴
∵EG∥BP，
∴即
解之：
当时
∴；
点Q在DC上时，EF⊥BC，·
∴EF∥AB，
∴∠BPE=∠FEP，
∵折叠，
∴∠FEP=∠BEP=∠BPE，
∴；
当点Q在DC上时，EF⊥BD，
∵折叠，
∴∠FEP=∠BEP=45°，
由题意得
QD=14-x，BP=，
∵AB∥CD，
∴△BPE∽△DQE，
∴
解之：
在Rt△ADB中
，
在Rt△PMB中
，
设PM=3m，BM=4m，PB=5m，
∴
解之：，
∴；
当点Q在DC上时，EF⊥CD，
∵矩形ABCD，AB∥CD，
∴EF⊥AB，
∵折叠
∴，
设PB=PF=m，
∵EF∥AD，
∴△BME∽△BAD，
∴，
∴，
∴FM=
在Rt△FMP中
解之：
当EF⊥BD时，过点E作EH⊥CB于点H，
∴，
∴，
∵△EHQ∽△PBQ，
∴，
∴BP=7x，
∴，
解之：
∴.
BP的长为 或 或 或 或.
【知识点】翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；四边形-动点问题
【解析】【分析】（1）设点P的速度为a，点Q的速度为b，利用它们同时到达终点，可得到关于a，b的方程，解方程表示出b；设两点的运动时间为t，点Q的运动路程为x，可知AP=at，可分别表示出BQ，BP的长，可表示出at，然后根据y=AB-AP，可得到y与x之间的函数解析式.
（2）利用矩形的性质可得到AB∥CD，可推出△BEF∽△DQE，利用相似三角形的对应边成比例，可求出BE与DE的比值.
（3）分情况讨论：如图1，当点Q在BC上时，EF⊥DC，过点E作EG⊥BC于点G，利用矩形和平行线的性质可证得∠BQE=∠FEQ，利用折叠的性质可推出∠BEQ=∠FEQ=∠BQE，利用等角对等边可证得BE=BQ=m，可表示出PB的长；利用平行线的性质可得到∠BEG=∠BDC，利用锐角三角函数的定义可表示出BG，EG的长，从而可表示出QC的长；由EG∥BP，可证得△EGQ∽△PBQ，利用相似三角形的对应边成比例，可得到关于m的方程，解方程求出m的值；然后求出PB的长；点Q在DC上时，EF⊥BC，利用平行线的性质和折叠的性质可证得∠FEP=∠BEP=∠BPE，从而可得到BP=BE，即可求出BP的长；当点Q在DC上时，EF⊥BD，分别用含x的代数式表示出QD，由AB∥CD，可证得△BPE∽△DQE，利用相似三角形的对应边成比例可得关于x的方程，解方程求出BE的长再利用锐角三角函数的定义可得到PM与BM的比值，设PM=3m，BM=4m，PB=5m，利用BE的长建立关于m的方程，解方程求出m的值；即可得到PB的长；当点Q在DC上时，EF⊥CD，利用折叠的性质易证EBE，设PB=PF=m，再证明△BME∽△BAD，利用相似三角形的对应边成比例，可求出FM的长，利用勾股定理可得到关于m的方程，解方程取出m的值，即可得到PB的长；当EF⊥BD时，过点E作EH⊥CB于点H，用含x的代数式表示出BH，EH，HQ的长，同时可得到QH与EH的比值；再证明△EHQ∽△PBQ，利用相似三角形的对应边成比例可得到BP的长，据此可得到关于x的方程，解方程求出x的值，即可求出PB的长；综上所述可得到符合题意的PB的长.
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