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浙教版2022-2023学年九上数学第4章 相似三角形
专题1相似三角形与存在性问题
考试时间：120分钟 满分：120分
解答题（本题有10小题，每题12分，共120分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
1．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm．点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/秒的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/秒的速度移动，如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间（0≤t≤6），那么：
（1）点Q运动多少秒时，△APQ的面积为5cm2；
（2）当t为何值时，△QAP与△ABC相似？
2．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c交x轴于A(-1，0)，B两点，交y轴于点C(0，3)，顶点D的横坐标为1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在y轴的负半轴上是否存在点P使∠APB＋∠ACB＝180°．若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）过点C作直线l与y轴垂直，与抛物线的另一个交点为E，连接AD，AE，DE，在直线l下方的抛物线上是否存在一点M，过点M作MF⊥l，垂足为F，使以M，F，E三点为顶点的三角形与ΔADE相似？若存在，请求出M点的坐标，若不存在，请说明理由．
3．如图，已知抛物线经过和两点，直线与x轴相交于点C，P是直线上方的抛物线上的一个动点，轴交于点D.
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若轴交于点E，求的最大值；
（3）若以A，P，D为顶点的三角形与相似，请直接写出所有满足条件的点P，点D的坐标.
4．在平面直角坐标系中，直线与x轴交于A，与y轴交于点B，抛物线过点A和点B，且与x轴交于另一点C，点D为抛物线的顶点，点P是抛物线上一动点，过点P作PE⊥x轴于点E，设点P的横坐标为m.
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，连接DA，当点P在直线DA右上方的抛物线上时，PE交DA于点M，过点M作MQ⊥AB于点Q，若MQ=，求m的值；
（3）连接CB，当点P在第四象限的抛物线上时，以OB，OE为边作矩形BOEF，点H在线段OE上，过点H作HG∥EF交直线BF于点G，过点F作FK⊥BC交射线CB于点K，连接KG，KH，若△KGF和△KGH相似，直接写出m的值．
5．如图，已知AC＝6cm，∠GAC＝90°，AD是∠GAC的平分线.动点N从点C出发，以1cm/s的速度沿CA水平向左作匀速运动，与此同时，动点M从点A出发，也以1cm/s的速度沿AG竖直向上作匀速运动.连接MN，交OD于点E.经过A，M，N三点作圆，交AD于点F，连接FM、FN.设运动时间为t（s），其中0＜t＜6.
（1）用含t的代数式表示线段MN的长，并求MN的最小值.
（2）求四边形AMFN的面积.
（3）是否存在实数t，使得线段AE的长度最大？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由.
6．如图1，，，，点从点出发以每秒1个单位长度的速度向点运动，点同时从点出发以每秒2个单位长度的速度向点运动，当一点到达终点时，另一点也停止运动．
（1）求的长；
（2）当以点、、为顶点的三角形与相似时，求的值；
（3）若四边形的面积为，试写出与的函数关系式，并求出取何值时，四边形的面积最小？
（4）如图2，将本题改为点从点出发以每秒3个单位长度的速度在上向点运动，点同时从点出发向点运动，其速度是每秒2个单位长度，其它条件不变，求当为何值时，为等腰三角形．
7．已知，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，，.延长BC至点E，使，连接ED，点F从点E出发，沿ED方向向点D运动，速度为，过点F作垂足为点F交CE于点G；点H从点A出发，沿AD方向向点D运动，速度为，过点H作，交BD于点P，当F点停止运动时，点H也停止运动.设运动时间为，解答下列问题：
（1）求证：；
（2）是否存在某一时刻，使G点在ED的垂直平分线上 若存在，求出值；若不存在，请说明理由.
（3）设六边形PCGFDH的面积为，求与的函数关系式；
（4）连接HG，是否存在某一时刻，使 若存在，求出值；若不存在，请说明理由.
8．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝8cm，直线EF从点A出发沿AD方向匀速运动，速度是2cm/s，运动过程中始终保持EF∥AC，F交AD于E，交DC于点F，同时，点P从点C出发沿CB方向匀速运动，速度是1cm/s，连接PE、PF，设运动时间t（s）（0＜t＜4）．
（1）求t为何值时，四边形EPCD为矩形；
（2）设△PEF的面积为S（cm2），求出面积S关于时间t的表达式；
（3）在运动过程中，是否存在某一时刻使S△PCF：S矩形ABCD＝1：16？若存在，求出t的值；
（4）是否存在某一时刻，使P在EF的垂直平分线上，若存在，求出t的值：若不存在，请说明理由．
9．如图，在平面直角坐标系中，以直线x=1为对称轴的抛物线与直线交于A(4，1)，B两点，与y轴交于C(0，－1)，直线与抛物线对称轴l交于点D．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）若AD：BD=3：5，求直线AB的关系式；
（3）在（2）的条件下，在直线AB下方的抛物线上求点P的坐标，使△ABP的面积等于4；
（4）在（2）的条件下，在对称轴上求点Q，使得△ABQ是直角三角形．
10．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，∠B＝30°．动点P从点B出发，沿BA方向运动；同时动点E从点A出发，沿AC方向运动. PF⊥BC，垂足为F，EF与PC相交于点D． 如果P，E的运动速度均为2cm/s，设运动的时间为t s（0＜t＜5）．
（1）当t为何值时，PE∥BC
（2）设△PEF的面积为S cm2，求S与t的关系式；
（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使△EFC与△PEF的面积比为？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；
（4）当PC经过EF的中点时，求t的值．
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浙教版2022-2023学年九上数学第4章 相似三角形
专题1相似三角形与存在性问题
解答题（本题有10小题，每题12分，共120分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
1．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm．点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/秒的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/秒的速度移动，如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间（0≤t≤6），那么：
（1）点Q运动多少秒时，△APQ的面积为5cm2；
（2）当t为何值时，△QAP与△ABC相似？
【答案】（1）解：当Q运动时间为ts时，，，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
答：当t为1或5时，的面积等于；
（2）解：∵，，，，
∴，
∵，
∴①当时，即，
∴，
解得：；
②当时，即，
∴，
解得：．
∴当或时，与相似．
2．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c交x轴于A(-1，0)，B两点，交y轴于点C(0，3)，顶点D的横坐标为1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在y轴的负半轴上是否存在点P使∠APB＋∠ACB＝180°．若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）过点C作直线l与y轴垂直，与抛物线的另一个交点为E，连接AD，AE，DE，在直线l下方的抛物线上是否存在一点M，过点M作MF⊥l，垂足为F，使以M，F，E三点为顶点的三角形与ΔADE相似？若存在，请求出M点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵顶点D的横坐标为1，∴抛物线的对称轴为直线x=1，∵A（-1，0），∴B（3，0），设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x-3），把C（0，3）代入抛物线的解析式得：-3a=3，解得a=-1，∴抛物线的解析式为：y=-（x+1）（x-3）=-x2+2x+3；
（2）解：存在，P（0，-1），理由如下：∵∠APB+∠ACB=180°，∴∠CAP+∠CBP=180°，∴点A，C，B，P四点共圆，如图所示，
∵点A（0，-1），B（3，0），C（0，3），∴OB=OC=3，∴∠OCB=∠OBC=45°，∴∠APC=∠ABC=45°，∴△AOP是等腰直角三角形，∴OP=OA=1，∴P（0，-1）；
（3）解：存在，理由如下：∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，∴D（1，4），由抛物线的对称性得：E（2，3），∵A（-1，0），∴，∴，∴△ADE是直角三角形，且∠AED=90°，DE∶AE=1∶3，∵点M在直线l下方的抛物线上，
设，则t＞2或t＜0，∵MF⊥l，∴点F（t，3），∴，，∵以M，F，E三点为顶点的三角形与ΔADE相似，∴或，∴或，解得t=2（舍去） 或t=3或t=-3或（舍去）或，∴点M的坐标为（3，0）或（-3，-12）或，综上所述，存在点M，使以M，F，E三点为顶点的三角形与ΔADE相似，此时点M的坐标为（3，0）或（-3，-12）或．
3．如图，已知抛物线经过和两点，直线与x轴相交于点C，P是直线上方的抛物线上的一个动点，轴交于点D.
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若轴交于点E，求的最大值；
（3）若以A，P，D为顶点的三角形与相似，请直接写出所有满足条件的点P，点D的坐标.
【答案】（1）解：∵抛物线经过和两点，
∴
解得：，，
∴抛物线的表达式为
（2）解：∵，
∴直线表达式为，
∵直线与x轴交于点C，
∴点C的坐标为，
∵轴，轴，
∴，
∴，
∴，
则，
设点P的坐标为，其中，
则点D的坐标为，
∵，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，且最大值为.
（3）解：或，
【解析】（3）解：根据题意，
在一次函数中，令，则，
∴点C的坐标为（2，0）；
当∽时，如图
此时点D与点C重合，
∴点D的坐标为（2，0）；
∵轴，
∴点P的横坐标为2，
∴点P的纵坐标为：，
∴点P的坐标为（2，3）；
当∽时，如图，则，
设点，则点P为，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴点D的坐标为，点P的坐标为；
∴满足条件的点P，点D的坐标为或，.
4．在平面直角坐标系中，直线与x轴交于A，与y轴交于点B，抛物线过点A和点B，且与x轴交于另一点C，点D为抛物线的顶点，点P是抛物线上一动点，过点P作PE⊥x轴于点E，设点P的横坐标为m.
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，连接DA，当点P在直线DA右上方的抛物线上时，PE交DA于点M，过点M作MQ⊥AB于点Q，若MQ=，求m的值；
（3）连接CB，当点P在第四象限的抛物线上时，以OB，OE为边作矩形BOEF，点H在线段OE上，过点H作HG∥EF交直线BF于点G，过点F作FK⊥BC交射线CB于点K，连接KG，KH，若△KGF和△KGH相似，直接写出m的值．
【答案】（1）解：对于直线，
令，可得，解得，即点A（3，0），
令，可得，即点B（0，3），
将点A（3，0）、点B（0，3）代入到抛物线中，
可得 ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：由（1）可知，点A（3，0）、点B（0，3），
∴，
∴，
∵抛物线，
∴点D（1，4），
设直线AD的解析式为，将点D（1，4）、点A（3，0）代入，
可得，
解得，
∴直线AD的解析式为，
设点P（m，），
∴点M（m，），点N（m，），
∴，
∵，
∴，
∴，
∵MQ⊥AB，即
∴，即，
解得，
经检验，为原方程的解，
∴；
（3）
【解析】：(3)如下图，
∵为钝角，当与相似时，
则为钝角三角形，即为钝角，
当时，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
由可知，当时，或，
可知点C（-1，0），
又∵点B（0，3），
∴，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，，
过点K作轴于点N，
∴，，
∴，
在中，有，
∴，
解得．
5．如图，已知AC＝6cm，∠GAC＝90°，AD是∠GAC的平分线.动点N从点C出发，以1cm/s的速度沿CA水平向左作匀速运动，与此同时，动点M从点A出发，也以1cm/s的速度沿AG竖直向上作匀速运动.连接MN，交OD于点E.经过A，M，N三点作圆，交AD于点F，连接FM、FN.设运动时间为t（s），其中0＜t＜6.
（1）用含t的代数式表示线段MN的长，并求MN的最小值.
（2）求四边形AMFN的面积.
（3）是否存在实数t，使得线段AE的长度最大？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）解：由题意得：CN＝AM＝tcm，AN＝（6﹣t）cm，
∴MN .
∵2＞0，
∴当＝3时，MN有最小值为 3
（2）解：连接FC，如图，
由题意得：CN＝AM.
∵四边形AMFN是圆的内接四边形，
∴∠FNC＝∠FMA.
∵∠GAC＝90°，
∴MN为圆的直径.
∴∠MFN＝90°.
∵AF为∠GAC的平分线，
∴∠GAF＝∠CAF＝45°.
∵∠FMN＝∠FAN，
∴∠FAN＝45°.
∴△FMN为等腰直角三角形.
∴FM＝FN.
在△FNC和△FMA中，
，
∴△FNC≌△FMA（SAS）.
∴S△FNC＝S△FMA，∠NFC＝∠MFA.
∵S四边形FMAN＝S△FMA+S△FAN，
∴S四边形FMAN＝S△FNC+S△FAN＝S△FAC.
∵∠MFA+∠AFN＝90°，
∴∠NFC+∠AFN＝90°.
即∠AFC＝90°.
∵∠FAN＝45°，
∴△AFC为等腰直角三角形.
∴AF＝FC AC＝3 .
∴ AF FC＝9.
∴四边形AMFN的面积为9cm2；
（3）解：存在实数t，使得线段AE的长度最大，理由：
过点E作EH⊥AC于点H，如图，
则△AEH为等腰直角三角形.
∵EH⊥AC，MA⊥AC，
∴EH∥MA.
∴△NEH∽△NMA.
∴ .
设EH＝x，则AH＝x，NH＝6﹣t﹣x，
∴ .
解得：x .
∴AE EH （t﹣3）2 .
∵ ，
∴当t＝3时，AE长度的最大值为 .
6．如图1，，，，点从点出发以每秒1个单位长度的速度向点运动，点同时从点出发以每秒2个单位长度的速度向点运动，当一点到达终点时，另一点也停止运动．
（1）求的长；
（2）当以点、、为顶点的三角形与相似时，求的值；
（3）若四边形的面积为，试写出与的函数关系式，并求出取何值时，四边形的面积最小？
（4）如图2，将本题改为点从点出发以每秒3个单位长度的速度在上向点运动，点同时从点出发向点运动，其速度是每秒2个单位长度，其它条件不变，求当为何值时，为等腰三角形．
【答案】（1）解：∵，，，
∴，∴
（2）解：①当时，
∴，，解得（符合题意）；
②当时，
，即，解得（符合题意），
综上所述，当秒或秒时，以点、、为顶点的三角形与相似
（3）解：∵M到达C点要6秒，N到达A点要4秒，∴0＜t≤4，
，
∴当秒时，有最小值为15
（4）解：∵M到达A点要秒，N到达C点要4秒，∴0＜t≤，
①如图，当时，，解得（符合题意）；
②如图，当时，过点作于，
则，，，
∵，
∴，
∴，
∴，即，解得（符合题意）；
③如图，当时，过点作于，
则，，
∵，
∴，
∴，即，解得（符合题意）；
综上所述，当的值为2秒或秒或秒时，能成为等腰三角形．
7．已知，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，，.延长BC至点E，使，连接ED，点F从点E出发，沿ED方向向点D运动，速度为，过点F作垂足为点F交CE于点G；点H从点A出发，沿AD方向向点D运动，速度为，过点H作，交BD于点P，当F点停止运动时，点H也停止运动.设运动时间为，解答下列问题：
（1）求证：；
（2）是否存在某一时刻，使G点在ED的垂直平分线上 若存在，求出值；若不存在，请说明理由.
（3）设六边形PCGFDH的面积为，求与的函数关系式；
（4）连接HG，是否存在某一时刻，使 若存在，求出值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明：∵菱形ABCD，
∴，，，，，
∴， ，
∵，
∴， ，
∴四边形为平行四边形， ，
∴ ，
∴，
∴，即；
（2）解：∵四边形为平行四边形，
∴ ，
∵，
∴当时，使G点在ED的垂直平分线上，
∴；
（3）解：∵点F从点E出发，沿ED方向向点D运动，速度为，点H从点A出发，沿AD方向向点D运动，速度为，
∴ ，
∵，，，，，
∴cm，
∴ ，
∵菱形ABCD，
∴ ，
∵，
∴ ，
∴，
∴ ，
如图，延长CP，交AD于点M，
∵，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴， ，
∴，
∴ ，
∴ ，
设和的距离为 ，
∴ ，
∴ ，
∵，，
∴ ，
∴ ，
∴六边形PCGFDH的面积，
cm，
∴；
（4）解：∵，
∴ ，
∴ ，
∵，
当时，得，
∴ ，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴ ，
∵，
∴，
∴当时，．
8．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝8cm，直线EF从点A出发沿AD方向匀速运动，速度是2cm/s，运动过程中始终保持EF∥AC，F交AD于E，交DC于点F，同时，点P从点C出发沿CB方向匀速运动，速度是1cm/s，连接PE、PF，设运动时间t（s）（0＜t＜4）．
（1）求t为何值时，四边形EPCD为矩形；
（2）设△PEF的面积为S（cm2），求出面积S关于时间t的表达式；
（3）在运动过程中，是否存在某一时刻使S△PCF：S矩形ABCD＝1：16？若存在，求出t的值；
（4）是否存在某一时刻，使P在EF的垂直平分线上，若存在，求出t的值：若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：由题意知AE＝2tcm，CP＝tcm，
则DE＝（8﹣2t）cm，
∵四边形EPCD是矩形，
∴DE＝CP，即8﹣2t＝t，
解得t＝，
故当t＝时，四边形EPCD为矩形；
（2）解：∵EF∥AC，
∴△DEF∽△DAC，
∴＝，即＝，
解得：DF＝6﹣t，
则CF＝CD﹣DF＝6﹣（6﹣t）＝tcm，
则△PEF的面积＝S梯形DEPC﹣S△DEF﹣S△PCF＝×（8﹣2t+t）×6﹣×（8﹣2t）×（6﹣t）﹣×t×t＝﹣t2+9t，
即S＝﹣t2+9t（0＜t＜4）；
（3）解：存在，
∵矩形ABCD面积＝6×8＝48（cm2），
∴△PCF的面积＝×48＝3（cm2），
由（2）得，S△PCF＝×t×t
∴t2＝3，
解得：t＝2或-2（舍去），
∴当t＝2时，S△PCF：S矩形ABCD＝1：16．
（4）解：不存在．
理由：当P在EF的垂直平分线上时，PE＝PF，
则有（8﹣2t﹣t）2+62＝（t）2+t2，
解得，t＝4或，
∵0＜t＜4
∴不存在．
9．如图，在平面直角坐标系中，以直线x=1为对称轴的抛物线与直线交于A(4，1)，B两点，与y轴交于C(0，－1)，直线与抛物线对称轴l交于点D．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）若AD：BD=3：5，求直线AB的关系式；
（3）在（2）的条件下，在直线AB下方的抛物线上求点P的坐标，使△ABP的面积等于4；
（4）在（2）的条件下，在对称轴上求点Q，使得△ABQ是直角三角形．
【答案】（1）解：由题意列方程组
解得：，，
∴抛物线的函数关系式为
（2）解：作AE⊥l于点E，BF⊥l于点F
由题意，AE＝4－1＝3
∵AD：BD＝3：5
∴AE：BF＝3：5
∴BF＝5
∴点B的横坐标为1－5＝－4
把x＝－4代入，得y＝5
∴B(－4，5)
将A(4，1)，B(－4，5)代入得
解得，m＝3
∴直线AB的关系式为…
（3）解：设P(x，)
作PM∥y轴交直线AB于点M，则M(x，)
∴PM＝
△ABP的面积＝
＝＝4
解得，，
将，分别代入，
解得，
∴(，)，(，)…
（4）解：设
第一种情况：当，过点B作y轴的平行线，过点Q、点A作x轴平行线，分别相交于点G、点N如下图：
易知
∴，即
解得：
∴
第二种情况：当，过点A作y轴的平行线，过点B、点Q作x轴平行线，分别相交于点G、点N，如下图：
∵
∴，即
解得：
∴
第三种情况：当时，过点Q作x轴平行线，过点B、点A作y轴平行线，分别相交于点G、点N，如下图：
∵
∴，即
化简得：
解得：，
∴，．
综上，满足题意的Q点坐标有4个，分别是：，，，．
10．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，∠B＝30°．动点P从点B出发，沿BA方向运动；同时动点E从点A出发，沿AC方向运动. PF⊥BC，垂足为F，EF与PC相交于点D． 如果P，E的运动速度均为2cm/s，设运动的时间为t s（0＜t＜5）．
（1）当t为何值时，PE∥BC
（2）设△PEF的面积为S cm2，求S与t的关系式；
（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使△EFC与△PEF的面积比为？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；
（4）当PC经过EF的中点时，求t的值．
【答案】（1）解：根据题意得：BP=AE=2t，则AP=CE=10-2t，
∵∠A＝∠A，
∴当，△APE∽△ABC，
∴∠APE=∠B，
∴PE∥BC，
由得，
，
解得：t=2.5，
当t=2.5 s时，PE∥BC；
（2）解：过点A作AN⊥BC于点N，过点E作EM⊥BC于点M，交PC于点Q，
在Rt△ABN中，
BN=10cos30°=，
∴BC=；
在Rt△BPF中，
PF＝2tsin30°=t，BF=2tcos30°=t，
在Rt△ECM中，EM= (10－2t)sin30°=5-t，CM= (10－2t)cos30°=5-t，
∴FM＝，
S＝；
（3）解：假设存在时刻t，使△EFC与△PEF的面积比为，
∴，
解得：t1＝4，t2＝12.5（舍去），
∴t＝4时，△EFC与△PEF的面积比为 ；
（4）解：∵PC经过EF的中点，
∴DF＝DE，
∵PF⊥BC，EM⊥BC，
∴PF∥EQ，
∴∠PFD=∠QED，
∵∠PDF=∠QDE，DF＝DE，
∴△PFD≌△QED，
∴QE＝PF＝t，
QM＝5-t-t＝5-2t，
∵PF∥EQ，
∴△QMC∽△PFC，
∴，
∴，
3t2－30t＋50＝0，
解得：t1＝，t2＝（舍去）．
.
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