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专题01 有理数及其运算 高频考点（17个）（精讲）
高频考点1. 正负数意义及应用
【解题技巧】如果正数表示某种意义，那么负数表示它的相反意义，反之亦然．“相反意义的量”包括两个方面的含意：一是相反意义；二是要有量。解决此类问题关键是明确正负数在题目中的实际意义从而进一步求解.
例1．（2022·浙江杭州·七年级期中）下列选项中，具有相反意义的量是（ ）
A．胜2局与负3局 B．前进与后退
C．盈利3万元与支出3万元 D．向东行30米与向北行30米
【答案】A
【分析】根据正数和负数表示相反意义的量，可得答案．
【详解】解：A、胜2局与负3局具有相反意义的量，符合题意；
B、前进与后退具有相反意义，但没有量，故不符合题意；
C、盈利与支出不具有相反意义，故不符合题意；
D、东和北不具有相反意义，故不符合题意；故选：A．
【点睛】本题考查了正数和负数的定义．解本题的根据是掌握正数和负数是互为相反意义的量．
变式1．（2022·山东菏泽·三模）中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数，用正、负数来表示只有相反意义的量．一次数学测试，以80分为基准简记，90分记作+10分，那么70分应记作( )
A．+10分 B．0分 C．－10分 D．－20分
【答案】C
【分析】以80分为基准，高于80分的记为正数，相反低于80分的记负数，再看距80分的距离，进而确定这个数．
【详解】解：以80分为基准，70-80=-10， 故选C．
【点睛】考查正数、负数、绝对值的意义，理解具有相反意义的量，一个量用正数表示，而另一个量则用负数表示．
变式2．（2022·河北廊坊·七年级期末）如图所示的是某用户微信支付情况，表示的意思是（ ）
A．发出100元红包 B．收入100元
C．余额100元 D．抢到100元红包
【答案】A
【分析】根据用正负数表示两种具有相反意义的量解答即可．
【详解】解：如图某用户微信支付情况， 100表示的意思是发出100元红包故选：A．
【点睛】本题考查了正数和负数，解题的关键是明确用正负数表示两种具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量．
变式3．（2022·山东德州·七年级期末）某种零件质量标准是(20±0.2)g，下列零件质量不符合标准的是（ ）
A．19.7g B．19.9g C．20g D．20.1g
【答案】A
【分析】根据正负数可以表示具有相反意义的量即可得出答案．
【详解】解：∵零件质量标准是：20g±0.2g，
∴质量最低为19.8g，质量最高为20.2g，
∴不符合标准的为19.7g，故选：A．
【点睛】本题主要考查正负数的意义，关键是要牢记正负数可以表示具有相反意义的量．
高频考点2 有理数的相关概念
【解题技巧】解决此类问题需理解并熟记有理数相关概念：
1）整数：正整数、、负整数统称为整数．
所有的正整数组成正整数集合，所有的负整数组成负整数集合．
2）分数：正分数、负分数统称为分数．
有限小数和无限循环小数可以化为分数，所以我们也把它们看成分数．
3）有理数：整数和分数统称为有理数．
4）常用数学概念的含义：
1）正整数：既是正数，又是整数 2）负整数：既是负数，又是整数
3）正分数：既是整数，又是分数 4）负分数：既是负数，又是分数
5）非正数：负数和0 6）非负数：正数和0
7）非正整数：负整数和0 8）非负整数：正整数和0
例1．（2022·河南南阳·七年级期末）下列说法中正确的是（ ）
A．正分数和负分数统称为分数 B．正整数、负整数统称为整数
C．零既可以是正整数，也可以是负整数 D．一个有理数不是正数就是负数
【答案】A
【分析】按照正负，有理数分为正数、0、负数；按照整数分数，有理数分为整数、分数；以此查看选项作答即可．
【详解】A．正分数和负分数统称为分数，说法正确，故本选项符合题意；
B．正整数、零和负整数统称为整数，原说法错误，故本选项不符合题意；
C．零既不是正整数，也不是负整数，原说法错误，故本选项不符合题意；
D．零是有理数，但零既不是正数，也不是负数，原说法错误，故本选项不符合题意；故选：A．
【点睛】本意考查有理数的分类，解决本题的关键是不能混淆整数和正数，注意0的划分范围．
变式1．（2022·广东·七年级期中）现有以下六个结论：①有理数不是整数就是分数；②若两个数（0除外）互为相反数，则它们相除的商等于-1；③正整数、负整数统称为整数；④最大的负有理数是-1；⑤几个有理数相乘，负因数个数为奇数则乘积为负数．⑥不是有理数．其中正确的有（ ）
A．3个 B．1个 C．2个 D．4个
【答案】C
【分析】据有理数的分类、整数的概念、有理数的乘法、除法法则及相反数和有理数的概念求解可得．
【详解】解：①整数和分数统称为有理数，此结论正确；
②若两个非0数互为相反数，则它们相除的商等于，此结论正确；
③正整数、零、负整数统称为整数，原结论错误；
④最大的负整数是-1，最大的负有理数不是-1，原结论错误；
⑤几个有理数相乘，负因数个数为奇数，则乘积为负数，也有可能是0，此结论错误．
⑥是有理数，原结论错误；正确的有①②共2个．故选：C．
【点睛】本题主要考查了有理数的分类，整数的概念、有理数的乘法、除法法则及相反数概念，解题的关键是理解相应的知识点的概念．
变式2.（2022·浙江七年级月考）下列说法正确的是（ ）
A．整数分为正整数和负整数 B．正分数、负分数统称有理数
C．零既可以是正整数，也可以是负分数 D．所有的分数都是有理数
【答案】D
【分析】按有理数的分类解答即可．
【详解】解：、正整数、0、负整数统称为整数，故本选项错误；
、正分数、负分数统称为分数，故本选项错误；、零既不是正数也不是负数，故本选项错误；
、所有的分数都是有理数，故本选项正确；故选：D．
【点睛】此题考查了有理数，掌握有理数的分类是本题的关键，是一道基础题．
变式3.（2022 长乐区校级月考）下列说法错误的是（ ）
A．有理数是指整数、分数、正有理数、零、负有理数这五类数
B．一个有理数不是整数就是分数
C．0既不是正数，也不是负数
D．负整数、负分数统称为负有理数
【分析】利用有理数的分类判断即可．
【解答】解：A、有理数包括整数和分数，可以分为正有理数、零、负有理数，故本选项符合题意；
B、有理数分为整数和分数，正确，故本选项不符合题意；
C、0既不是正数，也不是负数，正确，故本选项不符合题意；
D、负整数、负分数统称为负有理数，正确，故本选项不符合题意．故选：A．
【点评】此题主要考查了有理数的定义及分类，解题时熟练掌握有理数的定义及不同的分类标准即可解决问题．
高频考点3 数集问题（有理数的分类）
【解题技巧】此类题型是有理数分类题型的拓展，一般用框图表示数据分类的集合关系，多会出现有重合甚至包含逻辑的框图。此时，先填写有重合和被包含部分的框图，再填写单一框图部分的数据。
有理数的分类：
注意：1）会对整数和分数进行简单分类；
2）整数与分数都是有理数的范畴，有限小数、无限循环小数是有理数；
例1．（2022·广西南宁·七年级期中）把下列各数分别填入相应的集合里．
－3，，0，，－3.14，20，－（+5），＋1.88
(1)正数集合：｛ …｝；
(2)负数集合：｛ …｝；
(3)整数集合：｛ …｝；
(4)分数集合：｛ …｝；
【答案】(1)(2)
(3)(4)
【分析】（1）根据正数的概念即可得；（2）根据负数的概念即可得；
（3）根据整数的概念即可得；（4）根据分数的概念即可得．
（1）解：，，正数集合：．
（2）解：负数集合：．
（3）解：整数集合：．
（4）解：分数集合：．
【点睛】本题考查了正数与负数、整数与分数、化简绝对值，熟记各概念和绝对值的性质是解题关键．
变式1．（2022·浙江杭州市·七年级期末）在下列各数中，负分数有（ ）
，，2，，13，0，，，
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据负分数的意义，可得答案．
【详解】解：负分数有：，，，共3个，故选：C．
【点睛】本题考查了有理数，熟记有理数的分类是解题关键．
变式2．（2022·海南省直辖县级单位·七年级期中）把下列各数填入相应的大括号里：－3，3．14，－0．1，80，－25%，0，正确的是（ ）
A．正数有：{80，，……} B．整数有：{－3，80，……}
C．负数有：{－3，－0．1，－25%，……} D．正分数有：{，……}
【答案】C
【分析】根据正数，负数，整数，正分数的意义逐个进行判断即可．
【详解】A，正数有：{80，，……} 也是正数，故此选项不符合题意．
B，整数有：{－3，80，……}0也是整数，故此选项不符合题意．
C，负数有：{－3，－0．1，－25%，……}，故此选项符合题意．
D，正分数有：{，……}也是正分数，故此选项不符合题意．故选：C．
【点睛】本题考查有理数的意义，理解有理数的意义和分类方法是正确判断的前提．
变式3．（2022·广西南宁市·七年级期中）将下列各数填入适当的括号内：
，，，2020，0，，，66．
（1）整数集合{______…}；（2）负分数集合{______…}；（3）非负整数集合{______…}．
【答案】（1），2020，0，66；（2）；（3）2020，0，66．
【分析】根据整数、负分数、非负整数的意义，逐个进行判断即可．
【详解】解：（1）整数有：，2020，0，66，故答案为：，2020，0，66；
（2）负分数有：，故答案为：；
（3）非负整数有：2020，0，66，故答案为：2020，0，66．
【点睛】本题考查整数集合，负分数集合，非负整数集合，掌握有理数的分类是解题关键．
高频考点4 利用数轴求两点间距离
【解题技巧】根据题干要求，先找出参考点位置；某点到参考点的距离为a，意味着这个点可以在参考点左边距离为a的位置，也可在参考点右边距离为a的位置。因此，此类题型一般有多解情况，请注意。最后根据画出的数轴，读出两点之间的距离。
注：距离没有方向性，所以到某点的距离为a的点一般有两个
例1．（2021·浙江杭州市·七年级期末）数轴上有两点M、N，点M到点E的距离为2，点N到点E距离为6，则M、N之间的距离为________．
【答案】8或4
【分析】分类讨论：E在线段MN上，E在线段MN的反向延长线上，根据线段的差，可得答案．
【详解】解：当E在线段MN上时，MN=ME+NE=2+6=8．
当E在线段MN的反向延长线上时，MN=NE-ME=6-2=4，
综上所述：MN=8或MN=4，故答案为：8或4．
【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离，分类讨论是解题关键．
变式1.（2022满城区期末）如图，在数轴上有5个点A，B，C，D，E，每两个相邻点之间的距离如图所示，如果点C表示的数是﹣1，则点E表示的数是（ ）
A．﹣5 B．0 C．1 D．2
【分析】先确定原点，根据D和E的距离可得结论．
【解答】解：如果点C表示的数是﹣1，则点D表示原点，所以E表示的数是2，故选：D．
【点评】本题考查了数轴的性质和数轴上两点的距离，熟练掌握数轴的性质是解决本题的关键．
变式2.（2022.绵阳市七年级期中）已知点O，A，B，C，D在数轴上的位置如图所示，O为原点，，，点B所对应的数为m，则下列结论错误的是（ ）
A．点A所对应的数为 B．点C所对应的数为
C．点D所对应的数为 D．点A与点D间的距离为
【答案】D
【分析】根据，点B所对应的数为m，先得到点A所表示的数，进而求出B，C，D表示的数，进而即可判断．
【详解】∵，点B所对应的数为m，∴点A所对应的数为，
∵，∴点C所对应的数为，
∴点D所对应的数为，点A与点D间的距离为，∴D选项错误，故选D．
【点睛】本题主要考查数轴上点表示的数，两点间的距离，熟练掌握数轴上两点间的距离公式，是解题的关键．
变式3.（2022·广东广州市·七年级期末）如图，已知数轴上A、B两点所表示的数分别为﹣2和6
（1）求线段AB的长；（2）已知点P为数轴上点A左侧的一个动点，且M为PA的中点，N为PB的中点．请你画出图形，并探究MN的长度是否发生改变？若不变，求出线段MN的长；若改变，请说明理由．
【答案】（1）8；（2）见解析；MN的长度不会发生改变，线段MN＝4．
【分析】（1）数轴上两点之间的距离等于较大数与较小数的差；
（2）根据中点的意义，利用线段的和差可得出答案．
【详解】解：（1）AB＝|﹣2﹣6|＝8，答：AB的长为8；
（2）MN的长度不会发生改变，线段MN＝4，理由如下：
如图，因为M为PA的中点，N为PB的中点，所以MA＝MP＝PA，NP＝NB＝PB，
所以MN＝NP﹣MP＝PB﹣PA＝（PB﹣PA）＝AB＝×8＝4．
【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离，数轴上线段中点的意义，熟练掌握两点间距离计算方法，灵活运用中点的意义是解题的关键．
高频考点5 有理数的大小比较
【解题技巧】（1）正数与正数比较，易于比较；（2）正数与负数比较，正数＞0＞负数；（3）负数与负数比较，绝对值大的反而小；（4）如果要比较的数比较多，建议在数轴上将各数表示出来，在数轴上，从左至右，数值一次增大。当有字母时，若不易大小关系，可以用特值法进行比较。
例1．（2022·湖南益阳·七年级期末）比较下列各数的大小，并用“＜”号连接起来：
，，3，，，0．
【答案】
【分析】先把每个数进行化简，再根据有理数的大小排列起来即可．
【详解】解：，，
∵ ，
∴．
【点睛】本题考查比较数的大小，准确的把每个数进行化简是解题的关键．
变式1．（2022·浙江·七年级期末）表示，两数中的最小者，表示，两数中的较大者，如，，则是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据“表示，两数中的最小者，表示，两数中的较大者”，先确定和，得到，再根据法则即可解答．
【详解】解：∵， ∴=，，
∴，故选：A．
【点睛】本题主要考查了新定义中的有理数的大小比较，解题的关键是理解题中给出的运算法则．
变式2．（2022·陕西西安市·九年级一模）实数a在数轴上对应点的位置如图所示，若实数b满足﹣a＜b＜a，则b的值可以是___（任填一个即可）．
【答案】0（答案不唯一）
【分析】根据a的范围确定出﹣a的范围，进而确定出b的范围，判断即可．
【详解】解：由数轴可知，1＜a＜2，﹣2＜﹣a＜﹣1，
∵﹣a＜b＜a，∴b可以在﹣1和1之间任意取值，如﹣1，0，1等，故答案为：0（答案不唯一）．
【点睛】此题主要考查数轴的性质，解题的关键是熟知有理数的大小关系．
变式3．（2022·广西贺州市·七年级期末）将下列各数在数轴上表示出来，并用“”连接起来．
2，－1.5，－2，3，0，4.5
【答案】数轴见解析，
【分析】首先根据在数轴上表示数的方法，在数轴上表示出所给的各数，然后根据当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，把这些数由小到大用“＜”连接起来即可；
【详解】解：如图所示：
－2＜－1.5＜0＜2＜3＜4.5 ．
【点睛】本题考查了有理数大小的比较，还考查了在数轴上表示数的方法，要熟练掌握；
高频考点6 相反数的性质与求法
【解题技巧】（1）此类题型多为利用相反数的性质求解含字母数的相反数。利用性质b，直接在这个数前面添加“﹣”号，在利用多重符号化简的方法化简即可。（2）已知两个含有字母的数为相反数，利用性质c，将两个数相加和为0，表示成方程的形式，直接解方程即可。
性质：a.除0外，一组相反数一定是一正一负。
b.一个数的相反数就是在这个数前面加一个负号（负号的意义就是表示相反量）。
c.一组相反数的和为0。
例1．（2022·浙江宁波·一模）下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A．2与－2 B．2与 C．2与 D．2与－1
【答案】A
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数来逐一判定求解．
【详解】解：A．2与-2互为相反数，此项符合题意；
B．2与互为倒数，不是互为相反数，此项不符合题意；
C．2与互为负倒数，此项不符合题意；
D．2与-1不互为相反数，此项不符合题意．故选：A．
【点睛】本题考查了相反数，倒数，掌握相反数的定义是解题的关键，只有符号不同的两个数互为相反数．
变式1.（2021·浙江七年级课时练习）若a与b互为相反数且a≠b，则＝（ ）
A．0 B．1 C．－1 D．0，±1
【答案】C
【分析】根据相反数的性质即可求解．
【详解】若a与b互为相反数且a≠b，则a≠b≠0∴故选C．
【点睛】此题主要考查相反数的性质，解题的关键是熟知相反数的特点．
变式2. （2022·河南安阳市·七年级期中）的相反数（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据相反数的定义、去括号法则即可得．
【详解】的相反数为，故选：C．
【点睛】本题考查了相反数、去括号，熟记相反数的定义是解题关键．
变式3.（2022·广西贵港市·七年级期末）若a，b，c，m都是不为零的有理数，且，，则b与c的关系是（ ）
A．互为相反数 B．互为倒数 C．相等 D．无法确定
【答案】A
【分析】由题可得，则可得到与的关系，即可得到答案．
【详解】为不为零的有理数 ，
互为相反数故选：A．
【点睛】本题考查了代数式的换算，相反数的性质，熟练掌握是解题关键．
高频考点7 解含绝对值的方程
【解题技巧】1）绝对值为0的数仅有1个，即0；绝对值为正数的数有2个，其互为相反数；绝对值为负的数不存在。2）绝对值相等的两个数，可能相等，也可能互为相反数。（建议用数轴区分，可能会有多解）。
例1.（2022·贵州黔东南·七年级期末）先阅读下列解题过程，然后解答后面两个问题．
解方程：．
解：当时，原方程可化为，解得；
当时，原方程可化为，解得．
所以原方程的解是或．
(1)利用上述方法解方程：．
(2)当满足什么条件时，关于的方程，①无解；②只有一个解；③有两个解．
【答案】(1)或 (2)①当无解时，；②当只有一个解时，；当有两个解时，
【分析】（1）根据绝对值的意义，去掉绝对值，然后化为一元一次方程即可求得；
（2）根据绝对值的意义，运用分类讨论进行解答．
(1)当3x-2≥0时，原方程可化为：3x-2=4，解得x=2；
当3x-2＜0时，原方程可化为：3x-2=-4，解得．
所以原方程的解是x=2或；
(2)解：∵|x-2|≥0，∴①当b-1＜0，即b＜1时，方程无解；
②当b-1=0，即b=1时，方程只有一个解；
③当b-1＞0，即b＞1时，方程有两个解．
【点睛】此题考查了绝对值方程，正确理解绝对值的意义是解答本题的关键，一个正数的绝对值等于它的本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数．
变式1．（2022·广东潮州·七年级期末）如果｜x－2｜＝1，那么x＝_________
【答案】1或3##3或1
【分析】根据绝对值的意义，即可求解．
【详解】解：∵｜x－2｜＝1，∴x－2=±1，∴x＝1或3，故答案是：1或3．
【点睛】本题主要考查绝对值方程，掌握绝对值的意义，是解题的关键．
变式2．（2022·四川绵阳市·七年级期中）若｜x-2｜2x-6，则x=____；
【答案】4
【分析】分x≤2和x>2两种情况求解方程即可．
【详解】解：当x≤2，即x-2≤0时，方程｜x2｜2x6变形为：-(x-2)=2x-6
去括号整理得，-3x=-8 解得，（不符合题意，舍去）
当x>2，即x-2>0时，方程｜x2｜2x6变形为：x-2=2x-6 移项合并得，x=4．故答案为：4．
【点睛】此题主要考查了绝对值方程的解法，正确去绝对值符号是解答此题的关键．
变式3．（2022·福建福州·七年级期末）阅读材料：我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做“含有绝对值的方程”．如：|x|＝2，|2x﹣1|＝3，…都是含有绝对值的方程．怎样求含有绝对值的方程的解呢？基本思路是：含有绝对值的方程→不含有绝对值的方程．我们知道，由|x|＝2，可得x＝2或x＝﹣2．
【例】解方程：|2x﹣1|＝3．我们只要把2x﹣1看成一个整体就可以根据绝对值的意义进一步解决问题．
解：根据绝对值的意义，得2x﹣1＝3或2x﹣1＝﹣3．
解这两个一元一次方程，得x＝2或x＝﹣1．
根据以上材料解决下列问题：(1)解方程：|3x﹣2|＝4；(2)拓展延伸：解方程|x﹣2|＝|3x+2|．
【答案】(1)x=2或x=(2)x=-2或x=0
【分析】先去绝对值转化成一元一次方程求解．
(1)解：根据绝对值的意义得：3x-2=4或3x-2=-4．
解得：x=2或x=；
(2)由绝对值的意义得：x-2=3x+2或x-2+3x+2=0．
解得：x=-2或x=0．
【点睛】本题考查含绝对值的一元一次方程的解法，理解绝对值的意义是求解本题的关键．
高频考点8 绝对值非负性的应用
【解题技巧】根据绝对值的非负性“若几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0”，
即若|a|＋|b|＝0，则|a|=0且|b|=0．
性质：，即非负性，注：a为任意实数
例1.（2022·黑龙江大庆市·九年级一模）若与互为相反数，则的值为（ ）
A．1 B．-1 C．5 D．-5
【答案】B
【分析】根据互为相反数的两个数的和等于0列式，再根据非负数的性质列式求出a、b，然后相加即可的解．
【详解】解：∵与互为相反数，∴+＝0，
∴，，解得：，，∴ 故选：B
【点睛】本题考查了相反数的性质和非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
变式1.（2022·浙江初一课时练习）若|x＋1|＋|y－2|＝0，则x－y＝________．
【答案】－3
【解析】由|x+1|+|y﹣2|=0，得
x+1=0，y﹣2=0，解得x=﹣1，y=2．
x﹣y=﹣1﹣2=﹣1+（﹣2）=﹣3，故答案为﹣3．
点睛：本题利用非负数的和为零得出每个非负数同时为零是解题关键．
变式2．（2022·广东茂名市·七年级期末）若，则的值为______．
【答案】4
【分析】先利用绝对值的非负性求出x、y的值，代入求解即可．
【详解】∵，∴，，
∴．故答案为：4．
【点睛】本题考查了绝对值的非负性，解题的关键是熟练掌握绝对值的非负性．
变式3．（2022·北京房山·七年级期中）若，则_________，_________．
【答案】 3
【分析】根据偶次方和绝对值的非负性求解即可．
【详解】解：∵(a+1)2+|a b+4|=0，∴a+1=0，a-b+4=0，
解得a=-1，b=3，故答案为：-1，3．
【点睛】本题考查了非负数的性质，①非负数有最小值是零；②有限个非负数之和仍然是非负数；③有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．
高频考点9 有理数加减法乘除再认识
【解题技巧】该类题型的实质是有理数加减乘除法的计算，通过理解题干条件，利用有理数加减乘除法运算规律逐一判别即可。
例1．（2022·浙江杭州市·七年级期末）在数轴上，四个不同的点A，B，C，D分别表示有理数a，b，c，d，且，则这四个点在数轴上的大致位置表示不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】从选项数轴上找出a、b、c、d的关系，再根据a+b=c+d，逐项判断．
【详解】解：∵数轴上A、B、C、D四点所代表的数分别是a、b、c、d，且，
A、a＜c＜d＜b，可以满足a+b=c+d，故不符合；B、c＜a＜b＜d，可以满足a+b=c+d，故不符合；
C、b＜d＜a＜c，满足a+b＜c+d，故符合；D、d＜b＜a＜c，可以满足a+b=c+d，故不符合；故选C．
【点睛】本题主要考查数轴，有理数的加法运算，解题的关键是根据数轴上的位置得到a、b、c、d的关系．
变式1．（2022·广东省初一月考）如果是有理数，则下列各式子成立的是（ ）
A．如果，那么 B．如果，那么
C．若，则 D．若，且，则
【答案】D
【分析】利用有理数的加法法则判断即可得到结果．
【解析】A、如果那么，故A错误；
B、如果，那么不能判断的符号，故B错误；
C、若不能判断的符号，故C错误；
D、若a＜0，b＞0，且|a|＞|b|，那么a＋b＜0，正确；故选：D．
【点睛】此题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
变式2．（2022·长沙市开福区七年级月考）在数轴上有、两个有理数的对应点，则下列结论中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据数轴上的位置判断、两个有理数的正负和绝对值大小即可．
【详解】解：根据数轴可知，＜0，＞0，，
∴，，，，∴A、B、D错误，C正确;故选：C．
【点睛】本题考查了数轴上表示数和有理数的运算，解题关键是通过数轴确定两个有理数的正负和绝对值大小．
变式3．（2021·北京二中七年级期末）有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据数轴上点的位置可得，且，然后利用有理数的加减法及乘法计算法则进行判断求解．
【详解】解：由题意可得：，且∴，故选项A不符合题意；
，故选项B不符合题意； ，故选项C不符合题意； ，正确故选：D．
【点睛】本题考查利用数轴比较数的大小及有理数的加减法及乘法运算，用数形结合思想解题是关键．
高频考点10 有理数加、减法运算的实际应用
【解题技巧】与利用正负数求平均数方法类似。（1）选择合适的标准数，超过标准数的记为正数，不足的记为负数；（2）对处理后的正负数进行加法运算；（3）最后还需要将处理后的正负数还原为实际数。（4）根据题意列出算式；（5）进行有理数加减法运算，可利用运算律进行简算；（6）比较结果，得出结论。
例1．（2022·浙江杭州市·七年级期末）记运入仓库的大米吨数为正，则表示（ ）
A．先运入大米3.5吨，后运入大米2.5吨 B．先运出大米3.5吨，后运入大米2.5吨
C．先运入大米3.5吨，后运出大米2.5吨 D．先运出大米3.5吨，后运出大米2.5吨
【答案】C
【分析】先理解“正”和“负”的相对性，得到运入和运出分别记作正和负，从而得到算式的意义．
【详解】解：∵运入仓库的大米吨数为正，则运出仓库的大米吨数为负，
∴表示：先运入大米3.5吨，后运出大米2.5吨，故选：C．
【点睛】此题考查正数和负数问题，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．
变式1．（2022·浙江绍兴市·七年级期中）为解决村庄灌溉问题，政府投资由水库向，，，，这五个村庄铺设管道，现已知这五个村庄与水库以及村与村之间的距离（单位：）如图所示，则把水库的水输送到这五个村庄铺设管道的总长度最短应是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】尽量选择数据较小的路线，到达5个村庄即可．
【详解】解：如图，要使水管最短，一定要挑选最短的路程，
最短总长度应该是：水库到A，再从A到E、B，同时从B到C，从E到D，
总长度为：4+3+4+4+4=19km，故选A．
【点睛】本题考查了最短路径问题，找到最短路线是解决本题的关键．
变式2．（2021·浙江杭州市·七年级期末）如图是一个二阶幻圆模型，现将-1，2，-3，4，-5，6，-7，8分别填入圆圈内，使横、纵向以及内外圆圈上的4个数字之和都相等，则的值是____________．
【答案】7或-6
【分析】由八个数的和为4及横、纵向以及内外圆圈上的4个数字之和都相等可得，两个圈的和为2，横、竖的和也是2，从而可设出两空白圈的数，列等式求解即可
【详解】解：设小圈上的数为c，大圈上的数为d
∵-1+2-3+4-5+6-7+8=4且横、纵向以及内外圆圈上的4个数字之和都相等
∴两个圈的和为2；横、竖的和也为2 ∴-7+4+b+6=2，2+4+c+b=2，a+c+2+d=2
∴b=-1，c=-3，
当a=8时，d=-5，则
当a=-5时，d=8，则故答案为：7或-6
【点睛】本题考查了有理数的加法，解决本题的关键是依据八个数的和与横、纵向以及内外圆圈上的4个数字之和都相等得到：两个圈的和为2；横、竖的和也为2
变式3．（2022·内蒙古·七年级期末）10袋小麦称重后记录如图所示（单位：千克）．10袋小麦一共多少千克？如果每袋小麦以90千克为标准，10袋小麦总计超过多少千克或不足多少千克？
【答案】10袋小麦一共905.4千克；10袋小麦总计超过5.4千克．
【分析】先求出10袋小麦90千克的增减量，然后相加即可得解．
【详解】解：91+91+91.5+89+91.5+91.3+88.7+88.8+91.8+91.1=905.4（千克）
以90千克为标准，10袋小麦的记录如下：
+1、+1、+1.5、-1、+1.2、+1.3、-1.3、-1.2、+1.8、+1.1，
（+1）+（+1）+（+1.5）+（-1）+（+1.2）+（+1.3）+（-1.3）+（-1.2）+（+1.8）+（+1.1）
=（+1）+（-1）+（+1.2）+（-1.2）+（+1.3）+（-1.3）+（+1）+（+1.5）+（+1.8）+（+1.1）
=5.4千克．
答：10袋小麦一共905.4千克；10袋小麦总计超过5.4千克．
【点睛】本题考查了正负数的意义，读懂题目信息，写出90千克的增减量是解题的关键．
高频考点11. 有理数的乘除法在实际问题中的应用
【解题技巧】（1）根据题意列出算式；（2）进行有理数乘除法运算，可利用运算律进行简算；（3）比较结果，得出结论。对原本无数量关系的问题巧妙的赋某些特定值，将其转化成数量问题，然后通过对整数的正负号进行讨论，使问题得到解决。用赋值法解决此类问题时，关键是对操作过程中的某一个量进行赋值（通常为±1），通过对操作过程的量化，讨论理数正负号变化规律，最终求解出具体问题。
例1.（2022·四川成都·七年级期末）元旦节期间，某商场对顾客实行这样的优惠政策：若一次购物不超过200元，则不予折扣；若一次购物超过200元不超过500元，则按标价给予八折优惠：若一次购物超过500元，其中500元按上述八折优惠外，超过500元的部分给予七折优惠．小明的妈妈两次购物分别付款192元和384元，如果她合起来一次性购买同样多的商品，那么她可以节约______元．
【答案】55.6或22##22或55.6
【分析】根据题意分类讨论，分别求得两次购物标价，进而根据优惠方案求解即可．
【详解】解：付款192的商品如果按规定：每一次购物不超过200元，则不予折扣付款，则商品的标价为192元；付款192的商品如果按规定：若一次购物超过200元，不超过500元，按标价给予八折优惠付款，则标价为192÷0.8=240元；
由500×0.8=400，所以付款384的商品没有超过元，则按规定：若一次购物超过200元，不超过500元，按标价给予八折优惠付款，则商品的标价为384÷0.8=480元，
所以某人两次购物分别付款192元和384元的商品的总标价为192+480=672（元）或240+480=720（元），
当他合起来一次购买同样的商品时，可按规定：若一次购物超过500元，其中500元按上述八折优惠之外，超过500元部分给予七折优惠进行付款．
总标价为672元应实际付款数=500×0.8+（672-500）×0.7=520.4（元），
则他可节约（192+384）-520.4=55.6（元）；
总标价为720元应实际付款数=500×0.8+（720-500）×0.7=554（元），
则他可节约（192+384）-554=22（元）．
故答案为：55.6或22．
【点睛】本题考查了有理数运算的应用，分别求得两次购物标价是解题的关键．
变式1．（2022·山西七年级期中）点游戏是一种扑克牌类的益智类游戏，游戏规则是：从一副扑克牌（去掉大小王）中任意抽取张牌，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用且只能用一次，可以加括号），使得运算结果为或．
例如：抽到的数字为“，，，”，则可列式并计算为：．
如果 、◆表示正， 、 表示负（如“◆”为“”，“ ”为“”），请对下面两组扑克牌按要求进行记数，并按“点”游戏规则对两组数分别进行列式计算，使其运算结果均为或．
①
依次记为：_________________
列式计算：__________________．
②
依次记为：_________________
列式计算：_______．
【答案】①，，，；．（答案不唯一，正确即可）
②，，，；．（答案不唯一，正确即可）
【分析】根据 、◆表示正， 、 表示负结合牌的点数即可表示，出各张牌表示的数，根据“点”游戏规则结合有理数的混合运算法则列式即可．
【详解】解：①四张牌依次记为，，，；
列式计算得：（答案不唯一，正确即可）；
②四张牌依次记为，，，；
列式计算得：（答案不唯一，正确即可）．
【点睛】本题考查了新定义问题和有理数的混合运算，理解“点”游戏规则并熟练掌握有理数运算法则是解题关键．
变式2.（2022·浙江杭州市·七年级期中）小王和小李两人在进行100米跑训练，小王说：“我跑到终点时，你离终点还有20米”，小李说：“我跑到终点时，你才比我快了2.5秒”．
（1）求小王和小李的速度．
（2）若小李从起点先跑2秒后小王再开始跑，求小王起跑后几秒追上小李．
（3）若小李从起点起跑，小王在起点后20米同时起跑，小王在起跑时不慎摔了一跤，爬起来后继续按原速度跑，在跑的过程中发现某一时刻两人相距只有2米，求小王摔倒最多耽搁几秒时间？
【答案】（1）小李的速度为8米/秒，小王的速度为10米/秒；（2）8秒；（3）3秒
【分析】（1）利用20÷2.5可得小李的速度，从而得到小王的时间，再利用路程除以该时间可得小王的速度；
（2）利用路程÷速度差=追上小李的时间可列式计算；
（3）根据题意可得该时间的路程差，再除以速度差可得时间，从而计算耽搁的时间．
【详解】解：（1）20÷2.5=8米/秒，∴小李的速度为8米/秒，
100÷8=12.5秒，100÷（12.5-2.5）=10米/秒，∴小王的速度为：10米/秒；
（2）8×2÷（10-8）=8秒，∴小王起跑后8秒追上小李；
（3）（20-2）÷（10-8）=9秒，120÷10-9=3秒，∴最多耽搁3秒．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算的实际应用，解题的关键是读懂题意，掌握行程问题的计算公式的应用．
变式3．（2021·浙江台州市·中考真题）小华输液前发现瓶中药液共250毫升，输液器包装袋上标有“15滴/毫升”．输液开始时，药液流速为75滴/分钟．小华感觉身体不适，输液10分钟时调整了药液流速，输液20分钟时，瓶中的药液余量为160毫升．
（1）求输液10分钟时瓶中的药液余量；（2）求小华从输液开始到结束所需的时间．
【答案】（1）输液10分钟时瓶中的药液余量为200毫升；（2）小华从输液开始到结束所需的时间为60分钟．
【分析】（1）先求出每分钟输液多少毫升，进而即可求解；
（2）先求出输液10分钟时调整后的药液流速，进而即可求解．
【详解】（1）解：75÷15=5（毫升/分钟），
250-5×10=200（毫升），
答：输液10分钟时瓶中的药液余量为200毫升；
（2）（200-160）÷10=4（毫升/分钟），
160÷4+20=60（分钟），
答：小华从输液开始到结束所需的时间为60分钟．
【点睛】本题主要考查有理数运算的实际应用，明确时间，流速，输液量三者之间的数量关系，是解题的关键．
高频考点12 新定义运算
【解题技巧】该类题型会定义一种我们未学习过的运算规则，我们只需要照定义的运算规则，将题干写成有理数之间的运算即可。然后在直接按照有理数的运算法则求解最终答案。
例1．（2022·广东广州市·七年级期中）若定义一种新的运算“*”，规定有理数a*b＝3ab，如2*（﹣4）＝3×2×（﹣4）＝﹣24．则*（﹣2*5）＝_____．
【答案】﹣15
【分析】根据a*b＝3ab，可以求得所求式子的值．
【详解】解：∵a*b＝3ab，
∴*（﹣2*5）＝*[3×（﹣2）×5]＝*（﹣30）＝3××（﹣30）＝﹣15，故答案为：﹣15．
【点睛】本题考查有理数的混合运算、新运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．
变式1．（2022·湖北初一期中）在快速计算法中，法国的“小九九”从“一一得一”到“五五二十五”和我国的“小九九”算法是完全一样的，而后面“六到九”的运算就改用手势了．如计算8×9时，左手伸出3根手指，右手伸出4根手指，两只手伸出手指数的和为7，未伸出手指数的积为2，则8×9=10×7+2=72．那么在计算6×7时，左、右手伸出的手指数应该分别为（ ）
A．1，2 B．1，3 C．4，2 D．4，3
【答案】A
分析：通过猜想得出数据，再代入看看是否符合即可．
【解析】一只手伸出1，未伸出4，另一只手伸出2，未伸出3，
伸出的和为3×10=30，30+4×3=42，故选A．
点评：此题是定义新运算题型．通过阅读规则，得出一般结论．解题关键是对号入座不要找错对应关系．
变式2．（2022·浙江金华市·七年级开学考试）已知：=3，=10，=15，…，观察上面的计算过程，寻找规律并计算：=___．
【答案】4
【分析】根据计算可得．
【详解】解：=4，故答案为：4．
【点睛】本题主要考查有理数的乘法，解题的关键是根据已知等式得出计算公式．
变式3．（2022·广西百色市·七年级期中）1930年，德国汉堡大学的学生考拉兹，曾经提出过这样一个数学猜想：对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2．如此循环，最终都能够得到1．这一猜想后来成为著名的“考拉兹猜想”，又称“奇偶归一猜想”．虽然这个结论在数学上还没有得到证明，但举例验证都是正确的，例如：取正整数5，最少经过下面5步运算可得1，即：，如果正整数最少经过6步运算可得到1，则的值为（ ）
A．10 B．32 C．64 D．10或64
【答案】D
【分析】利用第六步为1出发，按照规则，逆向逐项即可求出m的所有可能的取值．
【详解】如果正整数m按照上述规则施行变换后的第六步为1，
则变换中的第五步一定是2，变换中的第四步一定是4；变换中的第三步一定是8；
变换中的第二步一定是16，变换中的第一步可能是5或32则的值为10或64，故选择：D．
【点睛】本题主要考查归纳推理的应用，利用变换规则，进行逆向验证是解决本题的关键，考查学生的推理能力．
高频考点13 有理数的简算
【解题技巧】（1）有理数的简便运算一般运用加法（乘法）的运算律或减法（除法）的性质，达到简便运算的目的。（2）利用乘方的运算性质，将可以凑整的部分先放在一起简化运算，再求凑整后部分的乘方运算。
例1．（2022·浙江七年级期中）先计算，再阅读材料，解决问题：
（1）计算：．
（2）认真阅读材料，解决问题：
计算：．
分析：利用通分计算的结果很麻烦，可以采用以下方法进行计算：
解：原式的倒数是：
．
故原式．
请你根据对所提供材料的理解，选择合适的方法计算：．
【答案】（1）8；（2）
【分析】（1）根据乘法分配律计算即可；（2）根据题目中所给的方法计算即可；
【详解】（1）计算：；
（2）原式的倒数是：，
，
故原式．
【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，准确计算是解题的关键．
变式1．（2022·江苏苏州市·七年级月考）计算等于（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】原式利用同底数幂的乘法，以及积的乘方逆运算法则变形，计算即可得到结果．
【详解】解：原式=（0.25×4）2007×（-4）=-4．故选C．
【点睛】此题考查了有理数的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
变式2．（2022·江苏无锡市·七年级月考）阅读第（1）小题的计算方法，再用这种方法计算第（2）小题．
（1）计算：
（解析）
原式=
=
=
=，
上面这种解题方法叫做拆项法．
（2）计算：
【答案】．
【分析】先将各带分数拆分成一个整数与真分数的和，再利用有理数加法的交换律与结合律进行计算即可得．
【详解】原式，
，
，
．
【点睛】本题考查了有理数加法的运算法则和运算律，熟练掌握运算法则和运算律是解题关键．
变式3．（2022·温州市七年级月考）计算的值．
【答案】
【分析】由题意，先把每个分数进行拆项，变成差的形式，再进行计算即可．
【详解】解：根据题意，则
=
==．
【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行拆项，从而进行解题．
高频考点14 乘方的应用
【解题技巧】（1）末尾数字问题：此类题型通常乘方运算种的幂比较大，且无简单计算方法，直接计算几乎无法进行。但此类题型也并非需要求解出最终的结果，往往只需要求解这组数的末尾数字。因此，在解这类时，我们只需要关注末位数字，通过多计算几组末尾数字，找出末尾数字的变化规律。最后依旧变化规律，分析出最终结果。
（2）此类题型的难点在于分析问题，建立乘方的数学模型。基本步骤为：首先从特殊情形入手，逐步分析、归纳，找出变化规律；然后根据规律写出乘方数学模型；最后根据题干要求计算结果。
例1．（2022·浙江七年级开学考试）我们平时用的是十进制数，例如，，表示十进制数要用个数字：，，，…，．在电子计算机中使用的是二进制，只用两个数字：，．例如：在二进制中，等于十进制的，，等于十进制的．请你计算一下：
（1）二进制中的数等于十进制的数多少？
（2）仿照二进制的说明与算法，请你计算一下，八进制中的数等于十进制的数多少？
【答案】（1）；（2）
【分析】根据十进制中的数与二进制中的数的相互转化的方法计算．
【详解】解：（1）．
答：二进制中的数等于十进制的数是．
（2）．
答：八进制中的数等于十进制的数是．
【点睛】本题考查的是有理数的乘方，解题的关键在于阅读材料，明确十进制与二进制的转化．
变式1．（2021·浙江温州市·七年级期中）如图所示的计算流程图中，输入的x值为整数，若要使输出结果最小，则应输入x的值为_____．
【答案】-6
【分析】先将3x2+x+1配方得原式=3（x+）2+，再根据非负数的性质求得要使输出结果最小，应输入x的值．
【详解】解：3x2+x+1＝3（x+）2+，∵输入的x值为整数，要使输出结果最小，
∴3（x+）2+＞100，即（x+）2＞＝33，
∴应输入x的值为﹣6．故答案为：﹣6．
【点睛】本题主要考查了平方的非负性，利用配方法将式子转化为平方的形式，然后利用平方的非负性的到式子的最小值，进一步判断x的取值．
变式2．（2022·湖北武汉初三二模）观察下列等式：，，，，，，，那么的末位数字是
A．9 B．7 C．6 D．0
【答案】C
【分析】先根据已知算式算出其个位数据，进而得出规律，再求出即可.
【解析】解：∵71=7，72=49，73=343，74=2401，
75=16807，76=117649，77=823543，…，
2018÷4=504…2，
∴504×（7+9+3+1）+7+9=10096，
∴71+72+73+…+72018的末位数字是6，故选：C．
【点睛】本题考查了尾数特征和数字变化类，找出规律后转化为周期问题，本题能根据已知算式得出规律是解题的关键．
变式3．（2022·河南省初一期中）一质点P从距原点1个单位的A点处向原点方向跳动，第一次跳动到OA的中点处，第二次从点跳动到O的中点处，第三次从点跳动到O的中点处，如此不断跳动下去，则第5次跳动后，该质点到原点O的距离为_____________.
【答案】
【分析】根据题意分析可得：每次跳动后，到原点O的距离为跳动前的一半．
【解析】依题意可知，第n次跳动后，该质点到原点O的距离为，
∴第5次跳动后，该质点到原点O的距离为.故答案为．
【点睛】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
高频考点15 新定义运算（乘方）
【解题技巧】正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规的有理数混合运算算式进行计算.
例1．（2022·浙江七年级期末）（阅读理解）求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如：，等，类比有理数的乘方，我们把记作5③，读作“5的圈3次方”， 记作（－8）④，读作“的圈4次方”一般的把记作a ，读作“的圈次方”．（1）直接写出计算结果：（－6）④＝__________；
[类比探究]有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？试一试：将下列运算结果直接写成幂的形式：
（2）（） _________；（） =____________．（且为正整数）；
[实践应用]（3）计算①（－）④×（－4）⑤－（）④÷
②（）②+（）③+（）④+（）⑤+……+（） （其中）
【答案】（1）；（2）7n-2；an-2；（3）①；②
【分析】（1）根据所给定义计算即可；（2）根据所给定义计算即可；
（3）①②根据前两问得到除方的规律，从而分别计算．
【详解】解：（1）由题意可得：
（－6）÷（－6）÷（－6）÷（－6）
=（－6）×（－）×（－）×（－）
=；
（2）（） =÷÷÷... ÷
=×7×7×...×7
=7n-2；
（） =÷÷÷...÷
=×a×a×...×a
=an-2；
（3）由题意可得：
有理数a（a≠0）的圈n（n≥3）次方写成幂的形式等于，
①（－）④×（－4）⑤－（）④÷
=
=
=
=；
②（）②+（）③+（）④+（）⑤+……+（）
=
设S=，
则5S=，
5S-S
=4S
=
=
∴S=，
∴原式=．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，充分理解新定义是解题的关键．
变式1．（2022·江苏初一期中）已知 m≥2，n≥2，且 m、n 均为正整数，如果将 mn 进行如图所示的“分解”，那么下列四个叙述中正确的有（ ）
①在 25 的“分解”结果是 15和17两个数．②在 42 的“分解”结果中最大的数是9．
③若 m3 的“分解”结果中最小的数是 23，则 m＝5．④若 3n 的“分解”结果中最小的数是 79，则 n＝5．
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【答案】C
【分析】根据所给的例子的分解方法中找出分解的规律,其中最小的数是,从而可判断出②④正确.
【解析】①在25的“分解”中最大的数是+1=17，所以这个叙述正确；
②在43的“分解”中最小的数是；所以这个正确；
③若53的“分解”中最小的数是21，所以这个叙述是错误的 ；
④若3n的“分解”中最小的数是-2=79 ,解得n=5，故这个是正确的.
综上所述，共有两个正确的结论.故选C
【点睛】本题考查了有理数的乘方运算和规律总结，仔细观察发现其中的规律是解题的关键.
变式2．（2022·涟水金城外国语学校初一期中）规定两数之间的一种运算，记作：如果， 那么．例如：因为， 所以．
（1）根据上述规定，填空：__________，__________ ， =__________；
（2）小明在研究这种运算时发现一个现象：，小明给出了如下的证明：
设，则，即，所以，即，所以，
请你尝试运用这种方法证明下面这个等式：
【答案】（1）3；2；3；（2）见解析
【分析】（1）分别计算左边与右边式子，即可做出判断；
（2）设（3，4）=x，（3，5）=y，根据同底数幂的乘法法则即可求解．
【解析】解：（1）53=125，（5，125）=3， （-2）2=4，（-2，4）=2，
（-2）3=-8，（-2，-8）=3， 故答案为：3；2；3；
（2）设（3，4）=x，（3，5）=y， 则3x=4，3y=5， ∴3x+y=3x 3y=20，
∴（3，20）=x+y，∴（3，4）+（3，5）=（3，20）．
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新运算是解本题的关键．
变式3．（2022·浙江七年级）请认真阅读下面材料，并解答下列问题．
如果a（a＞0，a≠1）的b次幂等于N，即指数式ab＝N，那么数b叫做以a为底N的对数，对数式记作：logaN＝b．例如：
①因为指数式22＝4，所以以2为底4的对数是2，对数式记作：log24＝2；
②因为指数式42＝16，所以以4为底16的对数是2，对数式记作：log416＝2.
（1）请根据上面阅读材料将下列指数式改为对数式：①62＝36；②43＝64；
（2）将下列对数式改为指数式：①log525＝2；②log327＝3；
（3）计算：log232
【答案】（1）①log636＝2；②log464＝3；（2）①52＝25；②33＝27；（3）5
【分析】（1）根据题意可以把指数式写成对数式；（2）根据题意可以把对数式写成指数式；
（3）根据题目中提供的信息可以计算出式子的结果．
【详解】解：（1）①62＝36；对数式记作：log636＝2；
②43＝64；对数式记作：log464＝3；
（2）①log525＝2；指数式为52＝25，②log327＝3；指数式为33＝27；
（3）∵25＝32，log232＝5.
【点睛】本题考查了对数与指数之间的关系与相互转化的关系，解题的关键是明确新定义，明白指数与对数之间的关系与相互转化关系．
高频考点16 科学记数法
【解题技巧】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
例1．（2022·四川广安·二模）2022年北京冬奥会取得圆满成功，中国代表团以9金4银2铜的骄人成绩位居世界第三！它不仅为各国体育健儿提供了展示自我的竞技场所，而且也为促进世界和平、增进相互了解、实现文化交融、传递文明友谊搭建了最好的学习交流平台．它将“带动3亿人参与冰雪运动”成为北京冬奥会最大遗产成果．数字3亿用科学记数法表示正确的是（ ）
A．3×1010 B．3×109 C．3×108 D．30×107
【答案】C
【分析】用科学记数法表示一个数时，表示形式为，其中a的范围是，n是整数，根据概念确定a，n的值即可．
【详解】，故选：C．
【点睛】本题考查科学记数法的表示方法，其中a的范围是，n是整数，正确确定a，n的值是解答本题的关键．
变式1．（2022·河北唐山·九年级二模）一个整数81550…0用科学记数法表示为，则原数中“0”的个数为（ ）
A．4 B．6 C．7 D．10
【答案】C
【分析】把8.155×1010写成不用科学记数法表示的原数的形式即可得．
【详解】解：∵8.155×1010表示的原数为81550000000，
∴原数中“0”的个数为7，故选：C．
【点睛】本题考查了把科学记数法表示的数还原成原数，当n＞0时，n是几，小数点就向后移几位．
变式2．（2021·湖北荆州市·九年级三模）为了将“新冠“疫情对国民经济的影响降至最低，中国政府采取积极的财政税收政策，切实减轻企业负担，以促进我国进出口企业平稳发展．据国家统计局相关数据显示，2020年1月至5月，全国累计办理出口退税632400000000元，其中数字632400000000用科学记数法表示为（ ）
A．6.324×1011 B．6.324×1010 C．632.4×109 D．0.6324×1013
【答案】A
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】解：632400000000=6.324×1011，故选：A．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
变式3．（2022·广州九年级二模）整数68100…0用科学记数法表示为，则原数中“0”的个数为（ ）
A．6个 B．7个 C．8个 D．10个
【答案】B
【分析】确定出原数中整数位数，然后再确定其中0的个数即可．
【详解】解：用科学记数法表示为6.81×109的原数为6810000000，所以原数中“0”的个数为7，故选：B．
【点睛】本题主要考查了科学记数法的表示形式a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
高频考点17 近似数
【解题技巧】近似数和有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．
例1．（2022·河北唐山市·九年级一模）用科学记数法表示数字160531（精确到千位）是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位．
【详解】解：（精确到千位）．故选：C．
【点睛】本题考查了近似数和有效数字，近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示，一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．也考查了科学记数法．
变式1．（2022·河北唐山市·九年级学业考试）我国第十四个五年规划和2035年远景目标纲要中阐释了“坚持农业农村优先发展，全面推进乡村振兴”的具体目标：坚持最严格的耕地保护制度，实施高标准农田建设工程，建成亿亩集中连片高标准农田，下列关于亿的说法正确的是（ ）
A．亿是精确到亿位 B．亿是精确到十亿位
C．亿用科学记数法表示为，则，
D．亿用科学记数法表示为，则，
【答案】C
【分析】根据科学记数法与精确度的定义即可判断求解．
【详解】亿精确到百万位，用科学记数法表示为， 故选C．
【点睛】此题主要考查科学记数法的表示，解题的关键是熟知科学记数法与精确度的定义．
变式2．（2022·江西初一期中）当使用计算器的键，将的结果切换成小数格式19.16666667，则对应这个结果19.16666667，以下说法错误的是（ ）
A．它不是准确值 B．它是一个估算结果 C．它是四舍五入得到的 D．它是一个近似数
【答案】B
【分析】化为小数，是一个无限循环小数.
【解析】将化为小数，是一个无限循环小数. 所以将的结果切换成小数格式19.16666667，则对应这个结果19.16666667，是一个四舍五入的近似数.故选B
【点睛】本题考核知识点：近似数. 解题关键点：理解近似数的意义.
变式3．（2021·广西壮族自治区初一期中）用四舍五入法按要求对0．0603分别取近似值，其中错误的是（ ）
A．0.1 （精确到0.1） B．0.060（精确到0.001）
C．0.06（精确到百分位） D．0.06 （精确到十分位）
【答案】D
【分析】根据近似数的概念，依次判断各选项．
【解析】将0.0603精确到0.1，则为0.1，A选项是正确；
将0.0603精确到0.001，则为0.060，B选项是正确；
将0.0603精确到百分位，则为0.06，C选项是正确；
将0.0603精确到十分位，则为0.1，D选项是错误 故选：D．
【点睛】本题考查近似数，注意精确到十分位和精确到0.1及精确到百分位和精确到0.01是同样的意思．
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专题01 有理数及其运算 高频考点（17个）（精讲）
高频考点1. 正负数意义及应用
【解题技巧】如果正数表示某种意义，那么负数表示它的相反意义，反之亦然．“相反意义的量”包括两个方面的含意：一是相反意义；二是要有量。解决此类问题关键是明确正负数在题目中的实际意义从而进一步求解.
例1．（2022·浙江杭州·七年级期中）下列选项中，具有相反意义的量是（ ）
A．胜2局与负3局 B．前进与后退
C．盈利3万元与支出3万元 D．向东行30米与向北行30米
变式1．（2022·山东菏泽·三模）中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数，用正、负数来表示只有相反意义的量．一次数学测试，以80分为基准简记，90分记作+10分，那么70分应记作( )
A．+10分 B．0分 C．－10分 D．－20分
变式2．（2022·河北廊坊·七年级期末）如图所示的是某用户微信支付情况，表示的意思是（ ）
A．发出100元红包 B．收入100元
C．余额100元 D．抢到100元红包
变式3．（2022·山东德州·七年级期末）某种零件质量标准是(20±0.2)g，下列零件质量不符合标准的是（ ）
A．19.7g B．19.9g C．20g D．20.1g
高频考点2 有理数的相关概念
【解题技巧】解决此类问题需理解并熟记有理数相关概念：
1）整数：正整数、、负整数统称为整数．
所有的正整数组成正整数集合，所有的负整数组成负整数集合．
2）分数：正分数、负分数统称为分数．
有限小数和无限循环小数可以化为分数，所以我们也把它们看成分数．
3）有理数：整数和分数统称为有理数．
4）常用数学概念的含义：
1）正整数：既是正数，又是整数 2）负整数：既是负数，又是整数
3）正分数：既是整数，又是分数 4）负分数：既是负数，又是分数
5）非正数：负数和0 6）非负数：正数和0
7）非正整数：负整数和0 8）非负整数：正整数和0
例1．（2022·河南南阳·七年级期末）下列说法中正确的是（ ）
A．正分数和负分数统称为分数 B．正整数、负整数统称为整数
C．零既可以是正整数，也可以是负整数 D．一个有理数不是正数就是负数
变式1．（2022·广东·七年级期中）现有以下六个结论：①有理数不是整数就是分数；②若两个数（0除外）互为相反数，则它们相除的商等于-1；③正整数、负整数统称为整数；④最大的负有理数是-1；⑤几个有理数相乘，负因数个数为奇数则乘积为负数．⑥不是有理数．其中正确的有（ ）
A．3个 B．1个 C．2个 D．4个
变式2.（2022·浙江七年级月考）下列说法正确的是（ ）
A．整数分为正整数和负整数 B．正分数、负分数统称有理数
C．零既可以是正整数，也可以是负分数 D．所有的分数都是有理数
变式3.（2022 长乐区校级月考）下列说法错误的是（ ）
A．有理数是指整数、分数、正有理数、零、负有理数这五类数 B．一个有理数不是整数就是分数C．0既不是正数，也不是负数 D．负整数、负分数统称为负有理数
高频考点3 数集问题（有理数的分类）
【解题技巧】此类题型是有理数分类题型的拓展，一般用框图表示数据分类的集合关系，多会出现有重合甚至包含逻辑的框图。此时，先填写有重合和被包含部分的框图，再填写单一框图部分的数据。
有理数的分类：
注意：1）会对整数和分数进行简单分类；
2）整数与分数都是有理数的范畴，有限小数、无限循环小数是有理数；
例1．（2022·广西南宁·七年级期中）把下列各数分别填入相应的集合里．
－3，，0，，－3.14，20，－（+5），＋1.88
(1)正数集合：｛ …｝；
(2)负数集合：｛ …｝；
(3)整数集合：｛ …｝；
(4)分数集合：｛ …｝；
变式1．（2022·浙江杭州市·七年级期末）在下列各数中，负分数有（ ）
，，2，，13，0，，，
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
变式2．（2022·海南省直辖县级单位·七年级期中）把下列各数填入相应的大括号里：－3，3．14，－0．1，80，－25%，0，正确的是（ ）
A．正数有：{80，，……} B．整数有：{－3，80，……}
C．负数有：{－3，－0．1，－25%，……} D．正分数有：{，……}
变式3．（2022·广西南宁市·七年级期中）将下列各数填入适当的括号内：
，，，2020，0，，，66．
（1）整数集合{______…}；（2）负分数集合{______…}；（3）非负整数集合{______…}．
高频考点4 利用数轴求两点间距离
【解题技巧】根据题干要求，先找出参考点位置；某点到参考点的距离为a，意味着这个点可以在参考点左边距离为a的位置，也可在参考点右边距离为a的位置。因此，此类题型一般有多解情况，请注意。最后根据画出的数轴，读出两点之间的距离。
注：距离没有方向性，所以到某点的距离为a的点一般有两个
例1．（2021·浙江杭州市·七年级期末）数轴上有两点M、N，点M到点E的距离为2，点N到点E距离为6，则M、N之间的距离为________．
变式1.（2022满城区期末）如图，在数轴上有5个点A，B，C，D，E，每两个相邻点之间的距离如图所示，如果点C表示的数是﹣1，则点E表示的数是（ ）
A．﹣5 B．0 C．1 D．2
变式2.（2022.绵阳市七年级期中）已知点O，A，B，C，D在数轴上的位置如图所示，O为原点，，，点B所对应的数为m，则下列结论错误的是（ ）
A．点A所对应的数为 B．点C所对应的数为
C．点D所对应的数为 D．点A与点D间的距离为
变式3.（2022·广东广州市·七年级期末）如图，已知数轴上A、B两点所表示的数分别为﹣2和6
（1）求线段AB的长；（2）已知点P为数轴上点A左侧的一个动点，且M为PA的中点，N为PB的中点．请你画出图形，并探究MN的长度是否发生改变？若不变，求出线段MN的长；若改变，请说明理由．
高频考点5 有理数的大小比较
【解题技巧】（1）正数与正数比较，易于比较；（2）正数与负数比较，正数＞0＞负数；（3）负数与负数比较，绝对值大的反而小；（4）如果要比较的数比较多，建议在数轴上将各数表示出来，在数轴上，从左至右，数值一次增大。当有字母时，若不易大小关系，可以用特值法进行比较。
例1．（2022·湖南益阳·七年级期末）比较下列各数的大小，并用“＜”号连接起来：
，，3，，，0．
变式1．（2022·浙江·七年级期末）表示，两数中的最小者，表示，两数中的较大者，如，，则是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2022·陕西西安市·九年级一模）实数a在数轴上对应点的位置如图所示，若实数b满足﹣a＜b＜a，则b的值可以是___（任填一个即可）．
变式3．（2022·广西贺州市·七年级期末）将下列各数在数轴上表示出来，并用“”连接起来．
－1.5，－2，3，0，4.5
高频考点6 相反数的性质与求法
【解题技巧】（1）此类题型多为利用相反数的性质求解含字母数的相反数。利用性质b，直接在这个数前面添加“﹣”号，在利用多重符号化简的方法化简即可。（2）已知两个含有字母的数为相反数，利用性质c，将两个数相加和为0，表示成方程的形式，直接解方程即可。
性质：a.除0外，一组相反数一定是一正一负。
b.一个数的相反数就是在这个数前面加一个负号（负号的意义就是表示相反量）。
c.一组相反数的和为0。
例1．（2022·浙江宁波·一模）下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A．2与－2 B．2与 C．2与 D．2与－1
变式1.（2021·浙江七年级课时练习）若a与b互为相反数且a≠b，则＝（ ）
A．0 B．1 C．－1 D．0，±1
变式2. （2022·河南安阳市·七年级期中）的相反数（ ）
A． B． C． D．
变式3.（2022·广西贵港市·七年级期末）若a，b，c，m都是不为零的有理数，且，，则b与c的关系是（ ）
A．互为相反数 B．互为倒数 C．相等 D．无法确定
高频考点7 解含绝对值的方程
【解题技巧】1）绝对值为0的数仅有1个，即0；绝对值为正数的数有2个，其互为相反数；绝对值为负的数不存在。2）绝对值相等的两个数，可能相等，也可能互为相反数。（建议用数轴区分，可能会有多解）。
例1.（2022·贵州黔东南·七年级期末）先阅读下列解题过程，然后解答后面两个问题．
解方程：．
解：当时，原方程可化为，解得；
当时，原方程可化为，解得．
所以原方程的解是或．
(1)利用上述方法解方程：．
(2)当满足什么条件时，关于的方程，①无解；②只有一个解；③有两个解．
变式1．（2022·广东潮州·七年级期末）如果｜x－2｜＝1，那么x＝_________
变式2．（2022·四川绵阳市·七年级期中）若｜x-2｜2x-6，则x=____；
变式3．（2022·福建福州·七年级期末）阅读材料：我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做“含有绝对值的方程”．如：|x|＝2，|2x﹣1|＝3，…都是含有绝对值的方程．怎样求含有绝对值的方程的解呢？基本思路是：含有绝对值的方程→不含有绝对值的方程．我们知道，由|x|＝2，可得x＝2或x＝﹣2．
【例】解方程：|2x﹣1|＝3．我们把2x﹣1看成一个整体就可以根据绝对值的意义进一步解决问题．
解：根据绝对值的意义，得2x﹣1＝3或2x﹣1＝﹣3．
解这两个一元一次方程，得x＝2或x＝﹣1．
根据以上材料解决下列问题：(1)解方程：|3x﹣2|＝4；(2)拓展延伸：解方程|x﹣2|＝|3x+2|．
高频考点8 绝对值非负性的应用
【解题技巧】根据绝对值的非负性“若几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0”，
即若|a|＋|b|＝0，则|a|=0且|b|=0．
性质：，即非负性，注：a为任意实数
例1.（2022·黑龙江大庆市·九年级一模）若与互为相反数，则的值为（ ）
A．1 B．-1 C．5 D．-5
变式1.（2022·浙江初一课时练习）若|x＋1|＋|y－2|＝0，则x－y＝________．
变式2．（2022·广东茂名市·七年级期末）若，则的值为______．
变式3．（2022·北京房山·七年级期中）若，则_________，_________．
高频考点9 有理数加减法乘除再认识
【解题技巧】该类题型的实质是有理数加减乘除法的计算，通过理解题干条件，利用有理数加减乘除法运算规律逐一判别即可。
例1．（2022·浙江杭州市·七年级期末）在数轴上，四个不同的点A，B，C，D分别表示有理数a，b，c，d，且，则这四个点在数轴上的大致位置表示不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
变式1．（2022·广东省初一月考）如果是有理数，则下列各式子成立的是（ ）
A．如果，那么 B．如果，那么
C．若，则 D．若，且，则
变式2．（2022·长沙市开福区七年级月考）在数轴上有、两个有理数的对应点，则下列结论中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
变式3．（2021·北京二中七年级期末）有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
高频考点10 有理数加、减法运算的实际应用
【解题技巧】与利用正负数求平均数方法类似。（1）选择合适的标准数，超过标准数的记为正数，不足的记为负数；（2）对处理后的正负数进行加法运算；（3）最后还需要将处理后的正负数还原为实际数。（4）根据题意列出算式；（5）进行有理数加减法运算，可利用运算律进行简算；（6）比较结果，得出结论。
例1．（2022·浙江杭州市·七年级期末）记运入仓库的大米吨数为正，则表示（ ）
A．先运入大米3.5吨，后运入大米2.5吨 B．先运出大米3.5吨，后运入大米2.5吨
C．先运入大米3.5吨，后运出大米2.5吨 D．先运出大米3.5吨，后运出大米2.5吨
变式1．（2022·浙江绍兴市·七年级期中）为解决村庄灌溉问题，政府投资由水库向，，，，这五个村庄铺设管道，现已知这五个村庄与水库以及村与村之间的距离（单位：）如图所示，则把水库的水输送到这五个村庄铺设管道的总长度最短应是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2021·浙江杭州市·七年级期末）如图是一个二阶幻圆模型，现将-1，2，-3，4，-5，6，-7，8分别填入圆圈内，使横、纵向以及内外圆圈上的4个数字之和都相等，则的值是____________．
变式3．（2022·内蒙古·七年级期末）10袋小麦称重后记录如图所示（单位：千克）．10袋小麦一共多少千克？如果每袋小麦以90千克为标准，10袋小麦总计超过多少千克或不足多少千克？
高频考点11. 有理数的乘除法在实际问题中的应用
【解题技巧】（1）根据题意列出算式；（2）进行有理数乘除法运算，可利用运算律进行简算；（3）比较结果，得出结论。对原本无数量关系的问题巧妙的赋某些特定值，将其转化成数量问题，然后通过对整数的正负号进行讨论，使问题得到解决。用赋值法解决此类问题时，关键是对操作过程中的某一个量进行赋值（通常为±1），通过对操作过程的量化，讨论理数正负号变化规律，最终求解出具体问题。
例1.（2022·四川成都·七年级期末）元旦节期间，某商场对顾客实行这样的优惠政策：若一次购物不超过200元，则不予折扣；若一次购物超过200元不超过500元，则按标价给予八折优惠：若一次购物超过500元，其中500元按上述八折优惠外，超过500元的部分给予七折优惠．小明的妈妈两次购物分别付款192元和384元，如果她合起来一次性购买同样多的商品，那么她可以节约______元．
变式1．（2022·山西七年级期中）点游戏是一种扑克牌类的益智类游戏，游戏规则是：从一副扑克牌（去掉大小王）中任意抽取张牌，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用且只能用一次，可以加括号），使得运算结果为或．
例如：抽到的数字为“，，，”，则可列式并计算为：．
如果 、◆表示正， 、 表示负（如“◆”为“”，“ ”为“”），请对下面两组扑克牌按要求进行记数，并按“点”游戏规则对两组数分别进行列式计算，使其运算结果均为或．
①
依次记为：_________________
列式计算：__________________．
②
依次记为：_________________
列式计算：_______．
变式2.（2022·浙江杭州市·七年级期中）小王和小李两人在进行100米跑训练，小王说：“我跑到终点时，你离终点还有20米”，小李说：“我跑到终点时，你才比我快了2.5秒”．
（1）求小王和小李的速度．（2）若小李从起点先跑2秒后小王再开始跑，求小王起跑后几秒追上小李．（3）若小李从起点起跑，小王在起点后20米同时起跑，小王在起跑时不慎摔了一跤，爬起来后继续按原速度跑，在跑的过程中发现某一时刻两人相距只有2米，求小王摔倒最多耽搁几秒时间？
变式3．（2021·浙江台州市·中考真题）小华输液前发现瓶中药液共250毫升，输液器包装袋上标有“15滴/毫升”．输液开始时，药液流速为75滴/分钟．小华感觉身体不适，输液10分钟时调整了药液流速，输液20分钟时，瓶中的药液余量为160毫升．
（1）求输液10分钟时瓶中的药液余量；（2）求小华从输液开始到结束所需的时间．
高频考点12 新定义运算
【解题技巧】该类题型会定义一种我们未学习过的运算规则，我们只需要照定义的运算规则，将题干写成有理数之间的运算即可。然后在直接按照有理数的运算法则求解最终答案。
例1．（2022·广东广州市·七年级期中）若定义一种新的运算“*”，规定有理数a*b＝3ab，如2*（﹣4）＝3×2×（﹣4）＝﹣24．则*（﹣2*5）＝_____．
变式1．（2022·湖北初一期中）在快速计算法中，法国的“小九九”从“一一得一”到“五五二十五”和我国的“小九九”算法是完全一样的，而后面“六到九”的运算就改用手势了．如计算8×9时，左手伸出3根手指，右手伸出4根手指，两只手伸出手指数的和为7，未伸出手指数的积为2，则8×9=10×7+2=72．那么在计算6×7时，左、右手伸出的手指数应该分别为（ ）A．1，2 B．1，3 C．4，2 D．4，3
变式2．（2022·浙江金华市·七年级开学考试）已知：=3，=10，=15，…，观察上面的计算过程，寻找规律并计算：=___．
变式3．（2022·广西百色市·七年级期中）1930年，德国汉堡大学的学生考拉兹，曾经提出过这样一个数学猜想：对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2．如此循环，最终都能够得到1．这一猜想后来成为著名的“考拉兹猜想”，又称“奇偶归一猜想”．虽然这个结论在数学上还没有得到证明，但举例验证都是正确的，例如：取正整数5，最少经过下面5步运算可得1，即：，如果正整数最少经过6步运算可得到1，则的值为（ ）
A．10 B．32 C．64 D．10或64
高频考点13 有理数的简算
【解题技巧】（1）有理数的简便运算一般运用加法（乘法）的运算律或减法（除法）的性质，达到简便运算的目的。（2）利用乘方的运算性质，将可以凑整的部分先放在一起简化运算，再求凑整后部分的乘方运算。
例1．（2022·浙江七年级期中）先计算，再阅读材料，解决问题：
（1）计算：．
（2）认真阅读材料，解决问题：
计算：．
分析：利用通分计算的结果很麻烦，可以采用以下方法进行计算：
解：原式的倒数是：
．
故原式．
请你根据对所提供材料的理解，选择合适的方法计算：．
变式1．（2022·江苏苏州市·七年级月考）计算等于（ ）．
A． B． C． D．
变式2．（2022·江苏无锡市·七年级月考）阅读第（1）小题的计算方法，再用这种方法计算第（2）小题．
（1）计算：
（解析）
原式=
=
=
=，
上面这种解题方法叫做拆项法．
（2）计算：
变式3．（2022·温州市七年级月考）计算的值．
高频考点14 乘方的应用
【解题技巧】（1）末尾数字问题：此类题型通常乘方运算种的幂比较大，且无简单计算方法，直接计算几乎无法进行。但此类题型也并非需要求解出最终的结果，往往只需要求解这组数的末尾数字。因此，在解这类时，我们只需要关注末位数字，通过多计算几组末尾数字，找出末尾数字的变化规律。最后依旧变化规律，分析出最终结果。
（2）此类题型的难点在于分析问题，建立乘方的数学模型。基本步骤为：首先从特殊情形入手，逐步分析、归纳，找出变化规律；然后根据规律写出乘方数学模型；最后根据题干要求计算结果。
例1．（2022·浙江七年级开学考试）我们平时用的是十进制数，例如，，表示十进制数要用个数字：，，，…，．在电子计算机中使用的是二进制，只用两个数字：，．例如：在二进制中，等于十进制的，，等于十进制的．请你计算一下：
（1）二进制中的数等于十进制的数多少？
（2）仿照二进制的说明与算法，请你计算一下，八进制中的数等于十进制的数多少？
变式1．（2021·浙江温州市·七年级期中）如图所示的计算流程图中，输入的x值为整数，若要使输出结果最小，则应输入x的值为_____．
变式2．（2022·湖北武汉初三二模）观察下列等式：，，，，，，，那么的末位数字是
A．9 B．7 C．6 D．0
变式3．（2022·河南省初一期中）一质点P从距原点1个单位的A点处向原点方向跳动，第一次跳动到OA的中点处，第二次从点跳动到O的中点处，第三次从点跳动到O的中点处，如此不断跳动下去，则第5次跳动后，该质点到原点O的距离为_____________.
高频考点15 新定义运算（乘方）
【解题技巧】正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规的有理数混合运算算式进行计算.
例1．（2022·浙江七年级期末）（阅读理解）求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如：，等，类比有理数的乘方，我们把记作5③，读作“5的圈3次方”， 记作（－8）④，读作“的圈4次方”一般的把记作a ，读作“的圈次方”．（1）直接写出计算结果：（－6）④＝__________；
[类比探究]有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？试一试：将下列运算结果直接写成幂的形式：
（2）（） _________；（） =____________．（且为正整数）；
[实践应用]（3）计算①（－）④×（－4）⑤－（）④÷
②（）②+（）③+（）④+（）⑤+……+（） （其中）
变式1．（2022·江苏初一期中）已知 m≥2，n≥2，且 m、n 均为正整数，如果将 mn 进行如图所示的“分解”，那么下列四个叙述中正确的有（ ）
①在 25 的“分解”结果是 15和17两个数．②在 42 的“分解”结果中最大的数是9．
③若 m3 的“分解”结果中最小的数是 23，则 m＝5．④若 3n 的“分解”结果中最小的数是 79，则 n＝5．
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
变式2．（2022·涟水金城外国语学校初一期中）规定两数之间的一种运算，记作：如果， 那么．例如：因为， 所以．
（1）根据上述规定，填空：__________，__________ ， =__________；
（2）小明在研究这种运算时发现一个现象：，小明给出了如下的证明：
设，则，即，所以，即，所以，
请你尝试运用这种方法证明下面这个等式：
变式3．（2022·浙江七年级）请认真阅读下面材料，并解答下列问题．
如果a（a＞0，a≠1）的b次幂等于N，即指数式ab＝N，那么数b叫做以a为底N的对数，对数式记作：logaN＝b．例如：
①因为指数式22＝4，所以以2为底4的对数是2，对数式记作：log24＝2；
②因为指数式42＝16，所以以4为底16的对数是2，对数式记作：log416＝2.
（1）请根据上面阅读材料将下列指数式改为对数式：①62＝36；②43＝64；
（2）将下列对数式改为指数式：①log525＝2；②log327＝3；（3）计算：log232
高频考点16 科学记数法
【解题技巧】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
例1．（2022·四川广安·二模）2022年北京冬奥会取得圆满成功，中国代表团以9金4银2铜的骄人成绩位居世界第三！它不仅为各国体育健儿提供了展示自我的竞技场所，而且也为促进世界和平、增进相互了解、实现文化交融、传递文明友谊搭建了最好的学习交流平台．它将“带动3亿人参与冰雪运动”成为北京冬奥会最大遗产成果．数字3亿用科学记数法表示正确的是（ ）
A．3×1010 B．3×109 C．3×108 D．30×107
变式1．（2022·河北唐山·九年级二模）一个整数81550…0用科学记数法表示为，则原数中“0”的个数为（ ）
A．4 B．6 C．7 D．10
变式2．（2021·湖北荆州市·九年级三模）为了将“新冠“疫情对国民经济的影响降至最低，中国政府采取积极的财政税收政策，切实减轻企业负担，以促进我国进出口企业平稳发展．据国家统计局相关数据显示，2020年1月至5月，全国累计办理出口退税632400000000元，其中数字632400000000用科学记数法表示为（ ）
A．6.324×1011 B．6.324×1010 C．632.4×109 D．0.6324×1013
变式3．（2022·广州九年级二模）整数68100…0用科学记数法表示为，则原数中“0”的个数为（ ）
A．6个 B．7个 C．8个 D．10个
高频考点17 近似数
【解题技巧】近似数和有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．
例1．（2022·河北唐山市·九年级一模）用科学记数法表示数字160531（精确到千位）是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2022·河北唐山市·九年级学业考试）我国第十四个五年规划和2035年远景目标纲要中阐释了“坚持农业农村优先发展，全面推进乡村振兴”的具体目标：坚持最严格的耕地保护制度，实施高标准农田建设工程，建成亿亩集中连片高标准农田，下列关于亿的说法正确的是（ ）
A．亿是精确到亿位 B．亿是精确到十亿位
C．亿用科学记数法表示为，则，
D．亿用科学记数法表示为，则，
变式2．（2022·江西初一期中）当使用计算器的键，将的结果切换成小数格式19.16666667，则对应这个结果19.16666667，以下说法错误的是（ ）
A．它不是准确值 B．它是一个估算结果 C．它是四舍五入得到的 D．它是一个近似数
变式3．（2021·广西壮族自治区初一期中）用四舍五入法按要求对0．0603分别取近似值，其中错误的是（ ）
A．0.1 （精确到0.1）B．0.060（精确到0.001）C．0.06（精确到百分位）D．0.06 （精确到十分位）
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