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专题02 特殊三角形 高频考点（19个） （精讲）
高频考点1 轴对称图形的性质与辨别
【解题技巧】掌握轴对称图形的概念：把一个图形沿着某一条直线翻折，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么称这个图形是轴对称图形，这条直线就是对称轴。
注意：理解轴对称图形的定义应注意两点：（1）轴对称图形是一个图形，反映的是这个图形自身的性质。（2）符合要求的“某条直线”可能不止一条，但至少要有一条。
例1．（2022·浙江金华·八年级阶段练习）下面所给的标志图中属于轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据轴对称图形的概念逐项判断即可．
【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意；
B、不是轴对称图形，不符合题意；C、是轴对称图形，符合题意；
D、不是轴对称图形，不符合题意；故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称图形的判断方法：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．
变式1．（2022·重庆八中七年级期末）2022年北京冬奥会会徽“冬梦”以汉字“冬”为灵感来源，运用中国书法的艺术形态，将厚重的东方文化底蕴与国际化的现代风格融为一体．以下是参选的会徽设计的一部分图形，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直接利用轴对称图形的定义进行判断．如果一个图形沿-条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解： A、C、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；故选∶B．
【点睛】此题主要考查了轴对称图形的概念，熟记轴对称图形的定义是解题的关键．
变式2．（2022·河南新乡·七年级阶段练习）如图，与关于直线对称，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据轴对称的性质以及三角形的内角和定理解决问题即可．
【详解】解：与关于直线对称，≌，，
，．故选：C．
【点睛】本题考查轴对称，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
高频考点2 轴对称性质的运用
【解题技巧】常见应运用有：折叠（剪纸）、台球桌面、光的反射和镜面对称等问题。
折叠问题中，折痕就是图形的对称轴，折叠前后的图形关于对称轴对称。
例1．（2022·浙江·浦江县第五中学一模）如图，把一张矩形纸片ABCD按所示方法进行两次折叠，得到△ECF．若BC＝1，则△ECF的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】第一次翻折可得，EM=1，∠ADM=∠EDM=45°，第二次折叠，可得，，由∠DCN=45°，可得，则，再求的周长即可．
【详解】如图，
第一次折叠，如图②，，，，
由折叠的性质，，，
第二次折叠，如图③，，，，，，
，，，
的周长，故选：A．
【点睛】本题考查翻折的性质，熟练掌握翻折的性质，对应两次翻折求出∠EDM=45°是解题的关键．
变式1．（2022·河北八年级期末）如图是台球桌面示意图，阴影部分表示四个入球孔，小明按图中方向击球（球可以多次反弹），则球最后落入的球袋是（ ）
A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋
【答案】B
【分析】利用轴对称画图可得答案．
【详解】解：如图所示，
，球最后落入的球袋是2号袋，故选：B．
【点睛】此题主要考查了生活中的轴对称现象，关键是正确画出图形．
变式2．（2022·湖南湘潭·中考真题）如图，一束光沿方向，先后经过平面镜、反射后，沿方向射出，已知，，则_________．
【答案】40°##40度
【分析】根据入射角等于反射角，可得，根据三角形内角和定理求得，进而即可求解．
【详解】解：依题意，，
∵，，，
∴，．故答案为：40．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，三角形内角和定理的应用，掌握轴对称的性质是解题的关键．
高频考点3 线段垂直平分线性质与判定及运用
【解题技巧】掌握线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
垂直平分线的性质判定：到一条直线两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
三角形的外心：三角形三边的垂直平分线的交点；外心性质：外心到该三角形三顶点的距离相等。
例1．（2022·湖南怀化市·八年级期末）如图．在△ABC中，∠C=90 °，∠A=30°．
（1）用直尺和圆规作AB的垂直平分线，分别交AB、AC于D、E，交BC的延长线于F，连接EB．（不写作法，保留作图痕迹）（2）求证：EB平分∠ABC．（3）求证：AE=EF．
【答案】见解析
【分析】（1）先作线段AB的垂直平分线DE，再延长BC即可；
（2）先利用直角三角形的性质求∠ABC= 60，再垂直平分线的性质得到∠ABE=∠A=30，再求出∠EBC=∠ABC-∠ABE=30，即可得到∠EBC=∠ABE，得到答案；
（3）证明：先利用直角三角形的性质求∠DEB=90-∠ABE =60再利用三角形外角的性质求∠EFB=∠DEB-∠EBC=60-30=30，进而得∠EFB=∠EBC，证得BE=EF，又因为AE= BE，利用等量代换即可求得答案．
【详解】（1）如图，即为所求；
（2）证明：∵DE是AB的垂直平分线∴DE⊥AB∴AE=BE
∵∠A=30，∠ACB=90∴∠ABE=∠A=30，∠ABC=90-∠A=60
∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=60-30=30∴∠EBC=∠ABE∴EB平分∠ABC．
（3）证明：∵DE是AB的垂直平分线 ∴DE⊥AB∴∠DEB=90-∠ABE =60
∴∠EFB=∠DEB-∠EBC=60-30=30∴∠EFB=∠EBC∴BE=EF
又∵AE= BE∴AE=EF
【点睛】本题考查了尺规作图和垂直平分线性质得应用，解决此题的关键利用尺规作图，画出图形．
变式1．（2022·山东济南市·八年级期末）如图，若记北京为地，莫斯科为地，雅典为地．若想建立一个货物中转仓，使其到、、三地的距离相等，则中转仓的位置应选在（ ）
A．三边垂直平分线的交点 B．三边中线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三边上高的交点
【答案】A
【分析】依题意，对实际问题进行数学模型化处理，需要寻找一个点，到三点的距离相等；结合三角形垂直平分线的性质，即可求解．
【详解】由题，对建立货物中转仓到A、B、C三地距离相等；
进行数学模型转换为：在△ABC中找一点到三点距离相等；
依据三角形垂直平分线的性质，可知，三角形三条边的垂直平分线的交点到三角形三个点的距离相等；
∴ 中转仓位于三边垂直平分线的交点；故选A．
【点睛】本题考查三角形垂直平分线、角平分线、高线、中线的性质，重点在掌握实际问题的数学模型化．
变式2．（2022·四川八年级期中）如图，在△ABC中，∠B＝30°，用直尺和圆规在边AB上确定一点D，则∠ADC＝（ ）
A．30° B．45° C．50° D．60°
【答案】D
【分析】由图知虚线为的垂直平分线，根据垂直平分线的性质得出，再由三角形的内角和及外角的性质即可求解．
【详解】解：由图知虚线为的垂直平分线，，
，，
，故选：D．
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，三角形内角和、三角形的外角的性质，解题的关键是：确定虚线为的垂直平分线．
变式3．（2021·石家庄九年级二模）如图，在中，D为BC中点，交的平分线AE于E，于F，交AC的延长线于G．
（1）求证：；（2）若，，求AF的长．
【答案】（1）见解析；（2）4
【分析】（1）连接BE、EC，证明即可；
（2）证明，则，继而求得的长
【详解】（1）证明：如图，连接BE、EC，
∵，D为BC中点，∴，
∵，，且AE平分，∴，
在和中，，（HL）∴．
（2）解：在和中，，
∴（HL），∴，
∴，∴，∴．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，垂直平分线的性质，直角三角形全等的证明，全等三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
高频考点4 角平分线的运用
【解题技巧】角平分线的性质：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
例1．（2021·内蒙古赤峰·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，且AC=AD．
（1）作∠BAC的平分线，交BC于点E；(要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
（2）在（1）的条件下，连接DE，证明．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）首先以A为圆心，小于AC长为半径画弧，交AC、AB于N、M，再分别以N、M为圆心，大于MN长为半径画弧，两弧交于点Q，再画射线AQ交CB于E；
（2）依据证明得到，进一步可得结论．
【详解】解：（1）如图，为所作的平分线；
（2）证明：如图．连接DE，由(1)知：
在和中∵∴，∴
又∵∴，∴
【点睛】此题主要考查了基本作图，以及全等三角形的判定和性质，关键是得到．
变式1．（2022·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校二模）如图，三条公路把A，B，C三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（ ）
A．三个角的角平分线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点
C．三角形三条高的交点 D．三角形三条中线的交点
【答案】A
【分析】根据角平分线上的点到两边的距离相等即可解答．
【详解】根据题意要使集贸市场到三条公路的距离相等即集贸市场应建在三个角的角平分线的交点．
故本题选A．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟记角平分线的性质是解答本题的关键．
变式2．（2022·河北·围场满族蒙古族自治县中小学教研室八年级期末）如图，已知、的角平分线、相交于点P，，，垂足分别为M、N．现有四个结论：
①平分；②；③；④．
其中结论正确的是（ ）
A．①②④ B．①④ C．①②③ D．②③④
【答案】C
【分析】①过点P做PD⊥AC，根据AP平分∠EAC，可以得到MP=PD，再证明即可得出结论；②根据BP和CP都是角平分线，即可得到∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=180°-∠ABC-（180°-∠PCN）=-∠ABC+∠PCN=-∠ABC+∠ACN，根据外角定理，可以得到∠BPC=-∠ABC+（∠BAC+∠ABC）=∠BAC，即可得到结论；③由①可得，，故∠APC=∠MPN，根据∠PMB=∠PNB=90°，所以∠MPN=180°-∠ABC，代入得∠APC＝90°﹣∠ABC，即可得出结论；④由①可得，，故S△APM+S△CPN=S△APC，即可得出结论．
【详解】解：①过点P做PD⊥AC，如图所示：
∵AP是∠MAC的平分线，PM⊥AE，∴PM=PD，
∵BP是∠ABC的角平分线，PN⊥BF，∴PM=PN，∴PD=PN，
∵PC=PC，∴，∴∠PCD=∠PCN，故①正确；
②∵BP和CP分别是∠ABC和∠ACN的角平分线以及三角形内角和为180°，
∴∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=180°-∠ABC-（180°-∠PCN），
=-∠ABC+∠PCN=-∠ABC+∠CAN，
∵外角定理，∴∠BPC=-∠ABC+（∠BAC+∠ABC）=∠BAC，故②正确；
③由①可得，，且，∴∠APC=∠MPN，
∵∠PMB=∠PNB=90°以及四边形内角和为360°，
∴∠MPN=180°-∠ABC，∴∠APC＝90°﹣∠ABC，故③正确；
③由①可得，，且，
∴S△APM+S△CPN=S△APC，故④错误；则正确的有：①②③．故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形的角平分线以及角度运算、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握各性质以及严谨的推理是解决本题的关键．
变式3．（2022·广东汕头·八年级期末）如图，的三边，，长分别是，，，其三条角平分线将分为三个三角形，则：：等于（ ）
A．：： B．：： C．：： D．：：
【答案】C
【分析】过点作于，于，于，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得：，依据三角形面积公式求比值即可得．
【详解】解：过点作于，于，于，
点是三条角平分线交点，，
：：：：，故选：C．
【点睛】题目主要考查角平分线的性质及三角形面积公式，理解角平分线的性质是解题关键．
高频考点5 等腰三角形的性质与判定
【解题技巧】掌握等腰三角形的性质：
1）等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）。
2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简称“三线合一”）。
3）有两条边相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）。
例1．（2022陕西八年级下学期期末数学试题）如图，E为的外角平分线上的一点，AE//BC，．(1)求证：是等腰三角形；(2)若，求CE的长．
【答案】(1)证明见解析(2)4
【分析】（1）先根据平行线的性质可得，，再根据角平分线的定义可得，从而可得，然后根据等腰三角形的判定即可得证；
（2）先根据三角形全等的判定证出，再根据全等三角形的性质即可得．
（1）证明：∵AE//BC，，，
为的外角平分线上的一点，，
，，是等腰三角形．
（2）解：由（1）已得：，，
在和中，，，，，．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定、三角形全等的判定与性质等知识点，熟练掌握等腰三角形的判定是解题关键．
变式1．（2022年江苏省苏州市中考数学真题）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为______．
【答案】6
【分析】分类讨论：AB=AC=2BC或BC=2AB=2AC，然后根据三角形三边关系即可得出结果．
【详解】解：∵△ABC是等腰三角形，底边BC=3∴AB=AC
当AB=AC=2BC时，△ABC是“倍长三角形”；
当BC=2AB=2AC时，AB+AC=BC，根据三角形三边关系，此时A、B、C不构成三角形，不符合题意；
所以当等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为6．故答案为6．
【点睛】本题考查等腰三角形，三角形的三边关系，涉及分类讨论思想，结合三角形三边关系，灵活运用分类讨论思想是解题的关键．
变式2．（2022陕西榆林市高新区八年级期末）习题课上， 张老师和同学们一起探究一个问题∶ “如图， 在 中， 分别 是 上的点， 与 相交于点 ， 添加下列哪个条件能判定 是等腰三角形？"请你判断正确的条件应为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据三角形全等的判定定理逐项分析判断即可求解．
【详解】添加，，∠BEO=∠BOE，不能判断三角形全等，故A，B，D选项不正确，
若添加条件：∠BEO=∠CDO
∵在△EBO和△DCO中，，∴△EBO≌△DCO（AAS），∴∠EBO=∠DCO，
∵OB=OC∴∠OBC=∠OCB，∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB，
即∠ABC=∠ACB，即AB=AC，∴△ABC是等腰三角形；故选C
【点睛】本题考查等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，掌握以上知识是解题的关键，
变式3．（2022陕西省西安市八年级期末）已知中，，在AB边上有一点D，若CD将分为两个等腰三角形，则____．
【答案】100°，70°，40°或者10°
【分析】分BD=CD、BC=CD、BD=BC三种情况讨论即可求解．
【详解】第一种请况：BD=CD时，如图，
∵BD=CD，∠B=20°，∴∠B=∠DCB=20°，∴∠ADC=∠B+∠DCB=40°，
（1）当DA=DC时，∠A=∠ACD，
∵∠A+∠ACD+∠ADC=180°，∠ADC=40°，∴∠A=∠ACD=70°；
（2）当DA=AC时，即有∠ADC=∠ACD=40°，∴∠A=180°-∠ADC-∠ACD=100°；
（3）当CD=CA时，∠A=∠ADC=40°；
第二种请况：BC=CD时，如图，
∵∠B=20°，BC=CD，∴∠B=∠BDC=20°，∴∠ADC=180°-∠BDC=160°，
∵△ADC是等腰三角形，∴有∠A=∠ACD，∵∠A+∠ACD+∠ADC=180°，∴∠A=10°；
第三种情况：BC=BD时，如图，
∵BC=BD，∴∠BDC=∠BCD，∵∠B=20°，∠B+∠BCD+∠BDC=180°，
∴∠BCD=∠BDC=80°，∴∠ADC=180°-∠BDC=100°，
∵△ADC是等腰三角形，∴有∠A=∠ACD，∵∠A+∠ACD+∠ADC=180°，∴∠A=40°；
综上所述：∠A的度数为：70°，100°，40°，10°，故答案为：70°，100°，40°，10°．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等知识，掌握三角形的性质是解答本题的关键．
高频考点6 等边三角形的性质与判定
【解题技巧】掌握等边三角形的性质与判定：
1）三边相等的三角形叫做等边三角形或正三角形。
2）等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°。
3）三个角都相等的三角形是等边三角形。
4）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
例1．（河北省廊坊市大城县2021-2022学年八年级上学期期末数学试题）如图，已知△ABD是等边三角形，，E是AD上的点，，与BD交于点F．则下列结论正确的有（ ）
①连接AC，则AC垂直平分线段BD；②△DEF是等边三角形；③若，则；④若AB＝8，DE＝2，则CF＝4．
A．①② B．①②④ C．②③④ D．①③④
【答案】B
【分析】如图，连接AC，由△ABD是等边三角形得AB=AD，从而得点A、CD都在线段BD的垂直平分线上，即可判断①正确，由平行线的性质可得∠ABD=∠EFD=60°，∠DEF=∠DAB=60°，即可判断②正确，三角形的外角性质得∠DCE=∠DFE-∠CDB=60°-40°=20°，从而判断③错误，先找到CE=AE，又由△ABD和△DEF都是等边三角形，AB＝8，DE＝2，得AD=AB=8，EF=DE=2，从而有CF=CE-EF=4，即可判断④正确．
【详解】解：如图，连接AC，
∵△ABD是等边三角形，∴AB=AD，∠ABD=∠DAB=∠EDF=60°，
∵，∴点A、C都在线段BD的垂直平分线上，
∴连接AC，则AC垂直平分线段BD，故①正确，
∵，∴∠ABD=∠EFD=60°，∠DEF=∠DAB=60°，∴△DEF是等边三角形，故②正确，
∵BC=BD，，∴∠CDB=∠CBD=40°，
∵∠DFE=60°，∴∠DCE=∠DFE-∠CDB=60°-40°=20°，故③错误，
∵AC垂直平分BD，AB=AD，∠BAD=60°，∴∠CAB=∠CAD=30°，
∵AB//CE，∴∠ACE=∠CAB=∠CAD，∴CE=AE，
∵△ABD和△DEF都是等边三角形，AB＝8，DE＝2，∴AD=AB=8，EF=DE=2，
∴CF=CE-EF=AE-EF=AD-DE-EF=8-2-2=4，故④正确，故选：B．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的判定及性质，等边三角形的判定及性质，平行线的性质，熟练掌握等边三角形的判定及性质是解题的关键．
变式1．（河南省周口市西华县2021-2022学年八年级上学期期中数学试题）如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【答案】A
【分析】用等边对等角和三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和依次计算∠GDC和∠E即可．
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，
∵∠ACB＝∠CGD＋∠CDG，∴∠CGD＋∠CDG＝60°，
∵CG＝CD，∴∠CGD＝∠CDG＝30°，∵∠CDG＝∠DFE＋∠E，∴∠DFE＋∠E＝30°，
∵DF＝DE，∴∠E＝∠DFE＝15°，故选：A．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，等边对等角和三角形的外角性质，利用等边对等角和三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和解答是解题的关键．
变式2．（2022年湖南省湘潭市中考数学真题）如图，小明在学了尺规作图后，作了一个图形，其作图步骤是：①作线段，分别以点、为圆心，以长为半径画弧，两弧相交于点、；②连接、，作直线，且与相交于点．则下列说法不正确的是（ ）
A．是等边三角形 B． C． D．
【答案】D
【分析】根据等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质一一判断即可．
【详解】解：由作图可知：AB=BC=AC，∴△ABC是等边三角形，故A选项正确
∵等边三角形三线合一，由作图知，CD是线段AB的垂直平分线，
∴，故B选项正确，∴，，故C选项正确，D选项错误．故选：D．
【点睛】此题考查了作图-基本作图，等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
变式3．（2022年湖南省怀化市中考数学真题）如图，在等边三角形ABC中，点M为AB边上任意一点，延长BC至点N，使CN=AM，连接MN交AC于点P，MH⊥AC于点H．
(1)求证：MP=NP；(2)若AB＝a，求线段PH的长（结果用含a的代数式表示）．
【答案】(1)见详解；(2)0.5a．
【分析】（1）过点M作MQCN，证明即可；
（2）利用等边三角形的性质推出AH=HQ，则PH=HQ+PQ=0.5（AQ+CQ）．
(1)如下图所示，过点M作MQCN，
∵为等边三角形，MQCN，
∴，则AM=AQ，且∠A=60°，
∴为等边三角形，则MQ=AM=CN，
又∵MQCN，∴∠QMP=∠CNP，
在， ∴， 则MP=NP；
(2)∵为等边三角形，且MH⊥AC，∴AH=HQ，
又由（1）得，，则PQ=PC，
∴PH=HQ+PQ=0.5（AQ+CQ）=0.5AC=0.5a．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定、三角形全等的判定，正确作出辅助线是解题的关键．
高频考点7. 逆命题与逆定理的相关概念
例1．（2022 锦江区八年级期中）已知下列命题：①四边形是多边形；②对顶角相等；③两直线平行，内错角相等；④如果ab＝0，那么a＝0，b＝0；则原命题和逆命题均为真命题的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】分别写出各个命题的逆命题，根据多边形的概念、对顶角的概念、平行线的判定和性质、有理数的乘法法则判断即可．
【解析①四边形是多边形的逆命题是多边形是四边形，原命题是真命题，逆命题是假命题；
②对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，原命题是真命题，逆命题是假命题；
③两直线平行，内错角相等的逆命题是内错角相等，两直线平行，原命题是真命题，逆命题是真命题；④如果ab＝0，那么a＝0，b＝0的逆命题是如果a＝0，b＝0，那么ab＝0，原命题是假命题，逆命题是真命题；故选：A．
变式1．（2022 道外区八年级期末）下列命题中：①形状相同的两个三角形是全等形；②在两个三角形中，相等的角是对应八年级角，相等的边是对应边；③全等三角形的对应边相等；④全等三角形对应边上的高相等．其中真命题有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据全等三角形的性质和判定进行判断即可．
【解析①形状相同、大小相等的两个三角形是全等形，原命题是假命题；
②在两个全等的三角形中，相等的角是对应角，相等的边是对应边，原命题是假命题；
③全等三角形的对应边相等，是真命题；
④全等三角形对应边上的高相等，是真命题；故选：B．
变式2．（2022 江宁区八年级月考）下列命题：①同旁内角互补，两直线平行；②等角的余角相等；③直角都相等；④相等的角是对顶角．它们的逆命题是真命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】用平行线的判定、互余的定义、直角的定义及对顶角的知识分别判断后即可确定正确的选项．
【解析①同旁内角互补，两直线平行的逆命题是两直线平行，同旁内角互补，正确，是真命题，符合题意；
②等角的余角相等的逆命题为余角相等的两个角相等，正确，是真命题，符合题意；
③直角都相等的逆命题为相等的角都是直角，错误，为假命题，不符合题意；
④相等的角是对顶角的逆命题为对顶角相等，正确，为真命题，符合题意，
真命题有3个，故选：C．
变式3．（2022 定西期末）把命题“实数是无理数”改写成“如果…，那么…”的形式为 ．
【分析】先分清命题“实数是无理数”的题设与结论，然后写成“如果…那么…”的形式．
【解析如果一个数是实数，那么这个数是无理数．
故答案为：如果一个数是实数，那么这个数是无理数．
高频考点8 轴对称作图
例1．（2022·湖南·中考模拟）在边长为1的小正方形网格中，△AOB的顶点均在格点上．
（1）B点关于y轴的对称点坐标为 ；（2）将△AOB向左平移3个单位长度得到△A1O1B1，请画出△A1O1B1；（3）在（2）的条件下，A1的坐标为 ．
【答案】（1）（﹣3，2）； （2）作图见解析（3）（﹣2，3）
【分析】（1）关于y轴对称的点坐标是纵坐标相同，横坐标互为相反数
（2）分别将三个顶点A、O、B，向左方向平移三个单位，然后连线
（3）左平移三个单位的坐标变化规律是纵坐标不变，横坐标减3
【详解】解：（1）因为B的坐标是（3，2），所以B关于y轴对称的点的坐标是（-3，2）
（2）将A向左移三个格得到A1，O向左平移三个单位得到O1，B向左平移三个单位得到B1，再连线得到△A1O1B1
（3）因为A的坐标是（1，3），左平移三个单位的坐标变化规律是纵坐标不变，横坐标减3，
所以A1是（-2，3）．
【点睛】本题考查了关于y轴对称点坐标规律及图形平移后点的坐标规律．
变式1．（2022·云南·三模）在平面直角坐标系中的位置如图所示．、、三点在格点上．
（1）作出关于轴对称的，并写出点的坐标；
（2）作出关于对称的，并写出点的坐标．
【答案】（1）图见解析，；（2）图见解析，
【分析】（1）作点A、B、C关于x轴的对称点、、，得到，再写出的坐标；
（2）作点A、B、C关于y轴的对称点、、，得到，再写出的坐标．
【详解】解：（1）如图所示，；
（2）如图所示，．
【点睛】本题考查轴对称图形和点坐标，解题的关键是掌握在平面直角坐标系中画轴对称图形的方法．
变式2．（2022·浙江宁波·模拟预测）在下面的方格纸中，的三个顶点都在格点上，
（1）在图1中画出与成关于BC成轴对称的格点三角形；
（2）在图2的格点中标出使与面积相等的点D的位置（除点C外）
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）找到A点关于BC的对称点A＇，顺次连接即可；
（2）根据等底等高的三角形面积相等找点即可．
【详解】（1）如图，△A＇BC就是所求的图形．
（2）如图：D1、D2、D3、D4就是所求的点．
【点睛】本题考查的是网格作图，掌握轴对称的性质及等底等高的三角形面积相等是关键．
高频考点9 等腰三角形与全等三角形综合题
例1．（2022·四川八年级期中）如图1，在等边三角形中，于于与相交于点．
（1）求证：；（2）如图2，若点是线段上一点，平分交所在直线于点．求证：．（3）如图3，若点是线段上一点（不与点重合），连接，在下方作边交所在直线于点．猜想：三条线段之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）OF=OG+OA，理由见解析
【分析】（1）由等边三角形的可求得∠OAC=∠OAB=∠OCA=∠OCB=30°，理由含30°角的直角三角形的性质可得OC=2OD，进而可证明结论；（2）理由ASA证明△CGB≌△CGF即可证明结论；
（3）连接OB，在OF上截取OM=OG，连接GM，可证得△OMG是等边三角形，进而可利用ASA证明△GMF≌△GOB，得到MF=OB=OA，由OF=OM+MF可说明猜想的正确性．
【详解】解：（1）证明：∵△ABC为等边三角形，∴AB=BC=AC，∠BAC=∠ACB=60°，
∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴AD平分∠BAC，CE平分∠ACB，
∴∠OAC=∠OAB=∠OCA=∠OCB=30°，∴OA=OC，
在Rt△OCD中，∠ODC=90°，∠OCD=30°，∴OC=2OD，∴OA=2OD；
（2）证明：∵AB=AC=BC，AD⊥BC，
∴BD=CD，∴BG=CG，∴∠GCB=∠GBC，
∵CG平分∠BCE，∴∠FCG=∠BCG=∠BCF=15°，∴∠BGC=150°，
∵∠BGF=60°，∴∠FGC=360°-∠BGC-∠BGF=150°，∴∠BGC=∠FGC，
在△CGB和△CGF中，，∴△CGB≌△CGF（ASA），∴GB=GF；
（3）解：OF=OG+OA．理由如下：连接OB，在OF上截取OM=OG，连接GM，
∵CA=CB，CE⊥AB，∴AE=BE，∴OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=30°，∴∠AOB=120°，∠AOM=∠BOM=60°，
∵OM=OG，∴△OMG是等边三角形，∴GM=GO=OM，∠MGO=∠OMG=60°，
∵∠BGF=60°，∴∠BGF=∠MGO，∴∠MGF=∠OGB，
∵∠GMF=120°，∴∠GMF=∠GOB，
在△GMF和△GOB中，，∴△GMF≌△GOB（ASA），
∴MF=OB，∴MF=OA，∵OF=OM+MF，∴OF=OG+OA．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定的与性质，含30° 角的直角三角形，角平分线的定义等知识的综合运用，属于三角形的综合题，证明相关三角形全等是解题的关键．
变式1．（2021·山东济南市·八年级期末）如图1，在△ABC中，BO⊥AC于点O，AO＝BO＝3，OC＝1，过点A作AH∠BC于点H，交BO于点P．（1）求线段OP的长度；（2）连接OH，求证：∠OHP＝45°；（3）如图2，若点D为AB的中点，点M为线段BO延长线上一动点，连接MD，过点D作DN⊥DM交线段A延长线于N点，则S△BDM－S△ADN的值是否发生改变，如改变，求出该值的变化范围；若不改变，求该式子的值．
【答案】（1）1；（2）见解析；（3）不改变，
【分析】（1）证△OAP≌△OBC（ASA），即可得出OP=OC=1；（2）过O分别作OM⊥CB于M点，作ON⊥HA于N点，证△COM≌△PON（AAS），得出OM=ON．得出HO平分∠CHA，即可得出结论；
（3）连接OD，由等腰直角三角形的性质得出OD⊥AB，∠BOD=∠AOD=45°，OD=DA=BD，则∠OAD=45°，证出∠DAN=∠MOD．证△ODM≌△ADN（ASA），得S△ODM=S△ADN，进而得出答案．
【详解】解：（1）∵BO⊥AC，AH⊥BC，∴∠AOP＝∠BOC＝∠AHC＝90°，
∴∠OAP+∠C＝∠OBC+∠C＝90°，∴∠OAP＝∠OBC，
在△OAP和△OBC中，，
∴△OAP≌△OBC（ASA），∴OP＝OC＝1；
（2）过O分别作OM⊥CB于M点，作ON⊥HA于N点，如图1所示：
在四边形OMHN中，∠MON＝360°﹣3×90°＝90°，
∴∠COM＝∠PON＝90°﹣∠MOP．
在△COM与△PON中，，∴△COM≌△PON（AAS），∴OM＝ON．
∵OM⊥CB，ON⊥HA，∴HO平分∠CHA，∴∠OHP=∠AHC＝45°；
（3）S△BDM﹣S△ADN的值不发生改变，等于．理由如下：连接OD，如图2所示：
∵∠AOB＝90°，OA＝OB，D为AB的中点，∴OD⊥AB，∠BOD＝∠AOD＝45°，OD＝DA＝BD
∴∠OAD＝45°，∠MOD＝90°+45°＝135°，∴∠DAN＝135°＝∠DOM．
∵MD⊥ND，即∠MDN＝90°，∴∠MDO＝∠NDA＝90°﹣∠MDA．
在△ODM和△ADN中，，∴△ODM≌△ADN（ASA），
∴S△ODM＝S△ADN，∴S△BDM﹣S△ADN＝S△BDM﹣S△ODM＝S△BOD=S△AOB=×AO BO=××3×3=．
【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形的性质以及三角形面积等知识；本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键．
变式2．（2021·江苏景山中学八年级期末）（1）如图1，等边△ABC中，点D为AC的中点，若∠EDF＝120°，点E与点B重合，DF与BC的延长线交于F点，则DE与DF的数量关系是 ；BE＋BF与的BC数量关系是 ；（写出结论即可，不必证明）
（2）将（1）中的点E移动一定距离（如图2），DE交AB于E点，DF交BC的延长线于F点，其中“等边△ABC中，D为AC的中点，若∠EDF＝120°”这一条件不变，则DE与DF有怎样的数量关系？BE＋BF与BC之间有怎样的数量关系？写出你的结论并加以证明；
（3）将（1）中的点E移动到AB延长线上，DE与AB的延长线交于E点，DF交BC的延长线于F点（如图3），其中“等边△ABC中，D为AC的中点，若∠EDF＝120°”这一条件仍然不变，则BE、BF、BC这三者之间的数量关系是 ．（直接写出结论即可）
【答案】（1）DE=DF，BE+BF=BC；（2）DE=DF，BE+BF=BC；（3）DE=DF，BF-BE=BC
【分析】（1）点与点重合，即，因为，所以可得出三者之间的关系；
（2）过作交于点，证明，DE=DF，ME=CF，即可得到结果；
（3）取中点，连接，证明△END≌△FCD，得到DE=DF，从而判断BE、BF、BC的关系．
【详解】解：（1）等边中，点为的中点，，
，，；
（2）；．过作交于点，
．
则，，是等边三角形，
则，，则，即：，
在和中，，，
，，∴；
（3）取中点，连接，如图所示
，，，
，，
，，．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质；可围绕结论寻找全等三角形，运用全等三角形的性质判定线段相等，证得三角形全等是正确解答本题的关键．
高频考点10.勾股树与面积问题再探究
【解题技巧】解决此类问题要熟练运用勾股定理，结合正方形、三角形、半圆的面积公式即可解决问题.
例1．（2021·浙江省八年级期中）如图，以的三边为直径，分别向外作半圆，构成的两个月牙形面积分别为、， 的面积．若， ，则 的值为 ________ ．
【答案】12
【分析】根据勾股定理和圆的面积公式即可求得的值．
【详解】解：设Rt△ABC的三边分别为a、b、c，则，
观察图形可得：，即，
∵，∴=，∴=4+8=12，故答案为：12．
【点睛】本题考查了勾股定理、圆的面积，熟记圆的面积公式，利用等面积法得出等量关系是解答的关键．
变式1．（2022·河南八年级期末）如图，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…按照此规律继续下去，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据等腰直角三角形的性质可得出，写出部分的值，根据数的变化找出变化规律“”（n≥3），依此规律即可得出结论．
【详解】解：在图中标上字母，如图所示．
∵正方形的边长为2，为等腰直角三角形，
∴，，∴．
观察，发现规律：，，，S，…，
∴．当时，，故选：A．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理以及规律型中数的变化规律，解题关键是找出规律“”，解决该题目时，写出部分的值，根据数值的变化找出变化规律是关键．
变式2．（2021·湖北鄂州市·八年级期末）如图，在中，在同一平面内，分别以、、为边向形外作等边、等边、等边，若，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分别求出等边三角形ABE和BCF的面积，根据求出AC的长，再根据勾股定理逆定理判断△是直角三角形，再根据面积公式求结论即可．
【详解】解：如图1，
在等边三角形中，当边长为2a时，高为，用此结论可得：
∵为等边三角形，∴高为∴
∵为等边三角形，∴高为∴
∴即：解得：
在△中，∴△是直角三角形，∴故选：C．
【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理及其逆定理，三角形面积公式等知识，AC=5是解答此题的关键．
高频考点11. 赵爽弦图相关问题
【解题技巧】解决此类问题要熟练运用勾股定理及完全平方公式，结合赵爽弦图利用面积之间的关系即可解决问题.
例1．（2022·浙江·温州市第十二中学八年级期中）如图1，我国汉代赵爽在注解《周牌算经》时给出四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，人们称它为“赵爽弦图”如图2，连结，，，，记阴影部分面积为，空白部分面积为，若，则____；如图3，连结，相交于点，与相交于点．若，则_____．
【答案】 ## ##
【分析】设直角三角形较短直角边长为，较长的直角边长为，斜边长为，分别表示出，根据即可求解，根据，以及等腰三角形的性质，求得，得出，根据即可求解．
【详解】设直角三角形较短直角边长为，较长的直角边长为，斜边长为，
，，
，，，，，，
四边形是正方形，，， ，
，，，，，，
．故答案为：，．
【点睛】本题考查勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，设参数求解是解题的关键．
变式1．（2022·江苏·八年级专题练习）如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．连接四条线段得到如图2的新的图案．如果图1中的直角三角形的长直角边为5，短直角边为3，图2中阴影部分的面积为S，那么S的值为______．
【答案】16
【分析】利用勾股定理，求出空白部分面积，通过间接作差得出阴影部分面积．
【详解】解：由题意作出如下图，
得，BD＝5-3＝2，AB＝CD，△ABD是直角三角形，则大正方形面积＝AC2＝34，
△ADC面积＝（5×3 2×3）＝，阴影部分的面积S＝34 4×＝16， 故答案为：16．
【点睛】本题主要考查了勾股定理中赵爽弦图模型，关键在于正确找出勾股关系，利用转换面积作差求解．
变式2．（2022·北京东城·八年级期末）如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ）
A．19 B．44 C．52 D．76
【答案】D
【分析】根据勾股定理计算出BD即可求得周长．
【详解】解：如下图所示，设AC延长一倍到D点，
得，∴，
∵，∴这个风车的外围周长，故选：D．
【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是根据勾股定理计算出斜边的长．
变式3．（2021·浙江杭州·八年级期末）已知△ABC中，∠ACB＝90°，如图，作三个等腰直角三角形△ACD，△EAB，△FCB，AB，AC，BC为斜边，阴影部分的面积分别记为S1，S2，S3，S4．
(1)当AC＝6，BC＝8时，①求S1的值；②求S4﹣S2﹣S3的值；
(2)请写出S1，S2，S3，S4之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)①S1＝9；②S4﹣S2﹣S3的值为9
(2)S4＝S1+S2+S3，理由见解析
【分析】（1）①直接根据勾股定理可得AD的长，由此可得答案；
②利用勾股定理得AE=BE=5，CF=BF=4，设S△BEG=S5，则S4+S5-（S1+S2+S5）=S4-S2-S3即可得答案；
（2）设S△BEG=S5，假设一个等腰直角三角形的斜边为a，则可表示出这个三角形的面积，利用勾股定理及三角形面积公式可得答案．
(1)①∵△ACD是等腰直角三角形，AC=6，
∴AD=CD=3，∴S1=×3×3=9；
②设AE与BC交于点G，∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，∴AB=10，
∵△EAB，△FCB是等腰直角三角形， ∴AE=BE=5，CF=BF=4，
设S△BEG=S5，∴S4+S5-（S2+S3+S5）=S4-S2-S3=×5×5-×4×4=9；
(2)设S△BEG=S5，如图，
∵等腰直角三角形△ACD，△EAB，△FCB，
∴S△ADC=AC2，S△BFC=BC2，S△ABE=AB2，
∵AC2+BC2=AB2，∴AC2+BC2=AB2，
∵S4+S5-（S2+S3+S5）=S4-S2-S3，∴AB2-BC2=S4-S2-S3，
∴AC2=S4-S2-S3，∴S4+S5＝S1+S2+S5+S3，∴S4＝S1+S2+S3．
【点睛】此题考查勾股定理，等腰直角三角形的性质，三角形的面积，解题的关键是将勾股定理和直角三角形的面积公式进行灵活的综合和利用．
高频考点12.勾股定理的应用-梯子滑动问题
【解题技巧】梯子滑动问题解题步骤：
1）运用勾股定理求出梯子滑动之前在墙上或者地面上的距离；
2）运用勾股定理求出梯子滑动之后在墙上或者地面上的距离；
3）两者相减即可求出梯子在墙上或者地面上滑动的距离。
注意：梯子长度为不变量。
主要题型：常见题型有梯子滑动、绳子移动等题型。
例1．（2022·江苏八年级月考）如图，一架25米长的梯子斜靠在一竖直的墙上，梯子底端离墙有7米．（1）求梯子靠墙的顶端距地面有多少米？（2）小燕说“如果梯子的顶端沿墙下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向就滑动了4米．”她的说法正确吗？若不正确，请说明理由．
【答案】（1）24米；（2）不正确，理由见解析．
【分析】（1）利用勾股定理，即可求出答案；（2）由题意，先求出，，，然后利用勾股定理求出，即可得到答案．
【详解】解：（1）如图，
由题意得，，∴∴即顶端距地面有24米
（2）她的说法不正确；由题意得，，，
∴，∴，∴，
∴梯子水平滑动了8米，∴她的说法不正确．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合思想的应用．
变式1．（2022·江苏八年级期中）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，求小巷的宽度．
【答案】2.2米
【分析】先根据勾股定理求出的长，同理可得出的长，进而可得出结论．
【详解】解：在中，，米，米，
．在△中，，米，，
，，，米，米，
答：小巷的宽度为2.2米．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
变式2．（2022·吉林九台·八年级期末）如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从移动到，同时小船从移动到，且绳长始终保持不变．、、三点在一条直线上，．回答下列问题：（1）根据题意可知： （填“＞”、“＜”、“＝”）．
（2）若米，米，米，求小男孩需向右移动的距离（结果保留根号）．
【答案】（1）=；（2）小男孩需向右移动的距离为米．
【分析】（1）根据男孩拽绳子前后始终保持不变即可得；
（2）由勾股定理分别求出AC，BC的长，然后根据（1）中结论求解即可．
【详解】解：（1）∵AC的长度是男孩拽之前的绳长，是男孩拽之后的绳长，绳长始终未变，∴，故答案为：=；
（2）∵A、B、F三点共线， ∴在中，，
∵，∴在中，，
由（1）可得：，∴，∴小男孩需移动的距离为米．
【点睛】题目主要考查勾股定理的应用，理解题意，熟练运用勾股定理是解题关键．
变式3．（2022·新疆·乌鲁木齐市八年级期中）太原的五一广场视野开阔，是一处设计别致，造型美丽的广场园林，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校八年级（1）班的小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得图中风筝的高度，他们进行了如下操作：①测得的长为15米（注：）；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；③牵线放风筝的小明身高1.7米．(1)求风筝的高度．(2)过点D作，垂足为H，求的长度．
【答案】(1)风筝的高度为21.7米 (2)的长度为9米
【分析】（1）在中由勾股定理求得CD的长，再加上DE即可；
（2）利用等积法求出DH的长，再在在中由勾股定理即可求得BH的长．
【解析】(1)在中，由勾股定理，得：（米），
所以（米），
答：风筝的高度为21.7米．
(2)由等积法知：，解得：（米）．
在中，（米），答：的长度为9米．
【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，正确运用勾股定理是关键，注意计算准确．
高频考点13.勾股定理的应用-风吹草动和折竹抵地问题
【解题技巧】风吹莲动问题解题步骤：1）根据问题设出“水深”或者“莲花”的高度；
2）根据题目条件表示出题目中涉及的直角三角形的另外两条边长；3）根据勾股定理列方程求解。
折竹抵地问题解题步骤：1）根据问题设出“竹子”折断之前或者折断之后距离地面的高度；
2）根据题目条件表示出题目中涉及的直角三角形的另外两条边长；3）根据勾股定理列方程求解。
注意：1）“莲花”高度为不变量。2）“竹子”高度为不变量。
主要题型：常见题型有莲花、芦苇、吸管、筷子、有竹子、风筝线、旗杆绳等题型。
例1．（2022·云南广南·八年级期末）如图，一棵竖直生长的竹子高为8米，一阵强风将竹子从C处吹折，竹子的顶端A刚好触地，且与竹子底端的距离AB是4米．求竹子折断处与根部的距离CB．
【答案】3米
【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面的高度是x米，则斜边为（8x）米．利用勾股定理解题即可．
【详解】解：由题意知BC＋AC＝8，∠CBA＝90°，∴设BC长为x米，则AC长为（）米，
∴在Rt△CBA中，有，
即：，解得：，∴竹子折断处C与根部的距离CB为3米．
【点睛】此题考查勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．
变式1．（2021·江苏九年级二模）我国古代数学名著《算法统宗》有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，5尺人高曾记，仕女家人争蹴．良工高士素好奇，算出索长有几？”此问题可理解为：“如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离的长为1尺，将它向前水平推送10尺时，即尺，秋千踏板离地的距离和身高5尺的人一样高，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”，设秋千的绳索长为x尺，根据题意可列方程为___________．
【答案】（x+1﹣5）2+102＝x2．
【分析】根据勾股定理列方程即可得出结论．
【详解】解：由题意知：OP'＝x，OC＝x+1﹣5，P'C＝10，
在Rt△OCP'中，由勾股定理得：（x+1﹣5）2+102＝x2．故答案为：（x+1﹣5）2+102＝x2．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用和列方程，读懂题意是解题的关键．
变式2．（2022·广西八年级期末）《九章算术》中的“引葭赴岸”问题：今有池方一丈，葭（一种芦苇类植物）生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，水深几何？其大意是：有一个边长为10尺的正方形池塘，一棵芦苇生长在它的正中央，高出水面1尺．如果把该芦苇拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边（如图所示），则水深________尺．
【答案】12
【分析】我们可以将其转化为数学几何图形，如图所示，根据题意，可知EB'的长为10尺，则B'C＝5尺，设AB＝AB'＝x尺，表示出水深AC，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到水深．
【详解】解：依题意画出图形，设芦苇长AB＝AB'＝x尺，则水深AC＝（x 1）尺，
因为B'E＝10尺，所以B'C＝5尺在Rt△AB'C中，52＋（x 1）2＝x2，
解得：x＝13，即水深12尺，故答案为：12
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，根据勾股定理列出方程是解题关键．
高频考点14.勾股定理的应用-台风（噪音）和爆破问题
【解题技巧】台风（噪音）、爆破问题解题步骤：
1）根据勾股定理计算爆破点或台风中心到目的地的最短距离；
2）将计算出的最短距离跟爆破或台风的影响范围的半径作比较；
3）若最短距离大于影响半径则不受影响，若最短距离小于半径则受影响。
注意：通常会用到垂线段最短的原理。
主要题型：常见题型有爆破、台风（爆破）等题型。
例1．（2022·浙江九年级专题练习）拖拉机行驶过程中会对周围产生较大的噪声影响．如图，有一台拖拉机沿公路AB由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为150m和200m，又AB＝250m，拖拉机周围130m以内为受噪声影响区域．（1）学校C会受噪声影响吗？为什么？（2）若拖拉机的行驶速度为每分钟50米，拖拉机噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？
【答案】（1）会受噪声影响，理由见解析；（2）有2分钟；
【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而利用三角形面积得出CD的长，进而得出学校C是否会受噪声影响；（2）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出拖拉机噪声影响该学校持续的时间．
【详解】解：（1）学校C会受噪声影响．理由：如图，过点C作CD⊥AB于D，
∵AC＝150m，BC＝200m，AB＝250m，∴AC2+BC2＝AB2．
∴△ABC是直角三角形．∴AC×BC＝CD×AB，∴150×200＝250×CD，∴CD＝＝120（m），
∵拖拉机周围130m以内为受噪声影响区域，∴学校C会受噪声影响．
（2）当EC＝130m，FC＝130m时，正好影响C学校，
∵ED＝=50（m），∴EF＝50×2=100（m），
∵拖拉机的行驶速度为每分钟50米，∴100÷50＝2（分钟），
即拖拉机噪声影响该学校持续的时间有2分钟．
【点睛】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答.
变式1．（2022·山西八年级期末）如图，原来从A村到B村，需要沿路A→C→B（）绕过两地间的一片湖，在A， B间建好桥后，就可直接从A村到B村．已知，，那么，建好桥后从 A村到B村比原来减少的路程为（ ）
A．2km B．4km C．10 km D．14 km
【答案】B
【分析】直接利用勾股定理得出的长，进而得出答案．
【详解】解：由题意可得：
则打通隧道后从A村到B村比原来减少的路程为：（km）．故选：B．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出的长是解题关键．
变式2．（2022·江苏）如图，铁路MN和公路PQ在O点处交汇，公路PQ上A处点距离O点240米，距离MN 120米，如果火车行驶时，周围两百米以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN上沿ON方向，以144千米/时的速度行驶时，A处受噪音影响的时间是_______s
【答案】8
【分析】过点A作AC⊥ON，根据题意可知AC的长与200米相比较，发现受到影响，然后过点A作AD=AB=200米，求出BD的长即可得出居民楼受噪音影响的时间．
【详解】解：如图：过点A作AC⊥ON，AB=AD=200米，
∵公路PQ上A处点距离O点240米，距离MN 120米，∴AC=120米，
当火车到B点时对A处产生噪音影响，此时AB=200米，
∵AB=200米，AC=120米，∴由勾股定理得：BC=160米，CD=160米，即BD=320米，
∵144千米/小时=40米/秒，∴影响时间应是：320÷40=8秒．故答案为：8．
【点睛】本题考查勾股定理的应用．根据题意构建直角三角形是解题关键．
高频考点15. 勾股定理的应用-位置问题（航行和信号塔）
【解题技巧】航行问题解题步骤：1）根据航行的方位角或勾股定理逆定理判定直角三角形；
2）根据航行速度和时间表示出直角三角形两直角边长；
3）根据勾股定理列方程求解航行角度、速度或距离。
信号塔、中转站题型解题步骤：1）根据问题设出未知量（一般情况下求谁设谁），并根据设出的未知量表示出两个直角三角形的直角边长；2）在两个直角三角形中分别用勾股定理表示出斜边长；
3）根据斜边长相等建立方程求解。
注意：1）轮船航行的题目要注意两船终点之间的距离通常为直角三角形的斜边长；
2）信号塔和中转站等题型要注意两个目的地到信号塔或中转站的距离是相等的。
主要题型：常见题型有轮船航行、信号塔、中转站等题型。
例1．（2022·广东·佛山市九年级阶段练习）如图，在南北方向的海岸线MN上，有A、B两艘巡逻船，现均收到故障船C的求救信号．已知A、B两船相距海里，船C在船A的北偏东60°方向上，船C在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上．（1）分别求出A与C，A与D之间的距离AC和AD（如果运算结果有根号，请保留根号）．
（2）已知距观测点D处100海里范围内有暗礁．若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中有无触暗礁危险﹖请说明理由．（参考数据：，，精确到1海里）
【答案】（1）AC＝200海里，海里；（2）巡逻船A沿直线AC航线，在去营救的途中没有触暗礁危险，理由见解析．
【分析】（1）作CE⊥AB于E，设AE＝x海里，则BE＝CE＝x海里．根据AB＝AE＋BE＝x＋x＝100（＋1），求得x的值后即可求得AC的长；过点D作DF⊥AC于点F，设AF＝y，则DF＝CF＝y，再由列式求解即可．（2），求出DF的长，再与100比较即可得到答案．
【详解】解：（1）如图，过点C作CE⊥AB于E，∴∠CEB=∠CEA=90°，
由题意得：∠ABC＝45°，∠BAC＝60°，∴∠AEC=30°，∠BCE=180°-∠ABC-∠BEC=45°，
∴∠BCE=∠EBC=45°，∴BE=EC，∴AC=2AE设AE＝x海里，则AC=2x海里，
在Rt△AEC中，海里，∴海里，
∴海里，∴，解得：x＝100，∴AC＝2x＝200海里．
∵∠BAC=60°，∠ABC=45°，∴∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=75°
过点D作DF⊥AC于点F，∴∠ADF=30°，∠FDC=90°-∠FCD=45°=∠FCD，∴AD=2AF，DF=FC
设AF＝y，则AD＝2y， ∴，
∵海里 ∴y＋y＝200，解得：，∴海里；
（2）由（1）得
∴巡逻船A沿直线AC航线，在去营救的途中没有触暗礁危险．
【点睛】本题考查的勾股定理的应用 航海问题，含30度角的直角三角形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
变式1．（2022·湖北省崇阳县八年级期中）如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16nmile，“海天”号每小时航行12nmile，它们离开港口一个半小时后相距30nmile，且知道“远航”号沿东北方向航行，那么“海天”号航行的方向是_______．
【答案】西北方向
【分析】根据路程=速度×时间分别求得PQ、PR的长，再进一步根据勾股定理的逆定理可以证明三角形PQR是直角三角形，从而求解．
【详解】解：根据题意，得PQ=16×1.5=24（海里），PR=12×1.5=18（海里），QR=30（海里）．
∵242+182=302，即PQ2+PR2=QR2，∴∠QPR=90°．
由“远航号”沿东北方向航行可知，∠QPS=45°，则∠SPR=45°，
即“海天”号沿西北方向航行故答案为：西北方向．
【点睛】此题主要是能够根据勾股定理的逆定理发现直角三角形．
变式2．（2022·河南·鹤壁市外国语中学八年级期中）为了积极响应国家新农村建设，遂宁市某镇政府采用了移动宣讲的形式进行宣传动员．如图，笔直公路MN的一侧点A处有一村庄，村庄A到公路MN的距离为600米，假使宣讲车P周围1000米以内能听到广播宣传，宣讲车P以200米/分的速度在公路MN上沿PN方向行驶时，问村庄是否能听到？若能，请求出总共能听到多长时间的宣传？
【答案】能，村庄总共能听到8分钟的宣传．
【分析】根据村庄A到公路MN的距离为600米＜1000米，可以判断能否听到；根据勾股定理得到BP＝BQ＝800米，求得PQ＝1600米，于是得到结论．
【详解】解：村庄能否听到宣传，
理由：∵村庄A到公路MN的距离为600米＜1000米，∴村庄能听到宣传；
如图：假设当宣讲车行驶到P点开始影响村庄，行驶到Q点结束对村庄的影响，
则AP＝AQ＝1000米，AB＝600米，∴BP＝BQ＝＝800（米），
∴PQ＝1600米，∴影响村庄的时间为：1600÷200＝8（分钟），∴村庄总共能听到8分钟的宣传．
【点睛】此题考查勾股定理在实际问题中的应用，在实际问题中找出相应的直角三角形是解题关键．
变式3．（2021·成都八年级期中）如图，铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A站多少千米处？
【答案】E点应建在距A站10千米处．
【分析】关键描述语：产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，在Rt△DAE和Rt△CBE中，设出AE的长，可将DE和CE的长表示出来，列出等式进行求解即可．
【详解】解：设AE＝xkm，
∵C、D两村到E站的距离相等，∴DE＝CE，即DE2＝CE2，
由勾股定理，得152+x2＝102+（25﹣x）2，x＝10．故：E点应建在距A站10千米处．
【点睛】本题主要是运用勾股定理将两个直角三角形的斜边表示出来，两边相等求解即可．
高频考点16. 勾股定理及逆定理的相关计算
例1．（2022·河南八年级期末）如图，已知等腰△ABC的底边BC＝17cm，D是腰BA延长线上一点，连接CD，且BD＝15cm，CD＝8cm．（1）判断△BDC的形状，并说明理由；（2）求△ABC的周长．
【答案】（1）直角三角形，理由见解析；（2）
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理得出答案即可；
（2）设AB＝AC＝xcm，在Rt△ADC中根据勾股定理求出AC，再求出△ABC的周长即可．
【详解】解：（1）△BDC是直角三角形，
理由是：∵BC＝17cm，BD＝15cm，CD＝8cm，
∴BD2+CD2＝BC2，∴∠D＝90°，即△BDC是直角三角形；
（2）设AB＝AC＝xcm，在Rt△ADC中，由勾股定理得：AD2+DC2＝AC2，
即（15﹣x）2+82＝x2，解得：x＝，∴AB＝AC＝（cm），
∵BC＝17cm，∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝+17＝（cm）．
【点睛】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键．
变式1．（2021·江西八年级期中）如图，在中，，，，的垂直平分线分别交、于点，．（1）求的长度；（2）求的长．
【答案】（1）15；（2）
【分析】（1）根据勾股定理即可得到结论；
（2）设，则AE=12-x，根据勾股定理列方程，即可得到结论．
【详解】解：（1）在中，∵，，，∴．
（2）∵垂直平分，∴，设，则，
在中，∵，∴，解得．∴．
【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，勾股定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
变式2．（2022·苏州高新区第五初级中学校九年级月考）如图，在中，，是的平分线，于点E．（1）求证：；（2）若，求线段的长度．
【答案】（1）见解析；（2）3
【分析】（1）已知∠DAC=∠DAE，即可证明△ACD≌△AED，即可解题；
（2）由（1）结论可得∠AED=∠ACD，AE=AC，即可求得BE的长，进而利用勾股定理解答即可．
【详解】解：证明：（1）∵DE⊥AB，∴∠AED=90°，
∵AD平分∠CAB，∴∠DAC=∠DAE，
在△ACD和△AED中，，∴△ACD≌△AED（AAS）；
（2）∵Rt△ABC中，AC=6，BC=8，∠C=90°，∴AB2=AC2+BC2=100，∴AB=10，
∵△ACD≌△AED，∴∠AED=∠ACD=90°，AE=AC=6，∴BE=AB-AE=4，
∵AD平分∠CAB，∠C=90°，DE⊥AB，∴CD=DE，
设DE=CD=x，DB=8-x，在Rt△DEB中，DB2=DE2+BE2，即（8-x）2=x2+42，解得：x=3，∴DE=3．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证△ACD≌△AED是解题的关键．
高频考点17. 网格中的勾股定理
【解题技巧】网格中，根据勾股定理，可求解出三角形或四边形的长度，然后根据长度判断多边形是否是特殊图形。
例1．（2022·浙江温岭）如图，5×5网格中每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点均为网格上的格点（1）AB2＝ ．BC2＝ ．AC2＝ ． （2）∠ABC＝ °
（3）在格点上存在点P，使∠APC＝90°，请在图中标出所有满足条件的格点P（用P1、P2……表示）
【答案】（1）（2）（3）见解析．
【分析】（1）根据勾股定理分别计算出，即可求解； （2）根据（1）中的计算结果，根据勾股定理的逆定理即可求解； （3）根据勾股定理的逆定理找到满足∠APC=90°的格点P即可求解．
【解析】解：（1） 故答案为：．
（2） ∴∠ABC=90°． 故答案为：
（3）如上图所示：
【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握网格结构，勾股定理，勾股定理的逆定理是解题的关键．
变式1．（2022·陕西九年级）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，于点D，则AD的长为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】B
【分析】根据勾股定理计算BC的长，再利用面积差可得三角形ABC的面积，由三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：由勾股定理得：，
∵，
∴，∴，故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理，三角形的面积的计算，掌握勾股定理是解题的关键．
变式2．（2022·湖南长沙市·八年级期末）如图，每个小正方形的边长都为．
（1）求四边形的面积；（2）证明：．
【答案】（1）12；（2）见解析
【分析】（1）采用割补法进行解答即可；（2）如图：连接AC，运用勾股定理逆定理即可证明．
【详解】解：（1）由题意得四边形ABCD的面积为：；
(2)证明：如图：连接AC
．
【点睛】本题主要考查了运用割补法求不规则图形的面积、勾股定理的逆定理等知识点，灵活运用勾股定理的逆定理判定三角形是否为直角三角形成为解答本题的关键．
变式3．（2022·江西景德镇·八年级期中）（1）已知三边长分别为，，，小迪在解决这一问题时有以下思路：先画如图①的正方形网格（小正方形边长均为1），再画出格点三角形ABC，利用外接长方形面积减去周围三个直角三角形的面积，即可求出的面积．请你帮助小迪计算出的面积；（2）若三边长分别为，，，在图②的正方形网格（小正方形边长均为a）中，画出格点三角形DEF，并求出的面积；
（3）若三边长分别为，，，在图③的长方形网格（小长方形长均为m，宽均为n）中，画出格点三角形OPQ，并求出的面积．
【答案】（1）5；（2）作图见解析，；（3）作图见解析，
【分析】（1）用长为4宽为3的长方形面积减去周围三个三角形的面积求解即可；
（2）先根据勾股定理的确定周围三个三角形的边长，再作图即可，再利用外接长方形面积减去周围三个直角三角形的面积，即可求出面积；
（3）先根据勾股定理的确定周围三个三角形的边长，再作图即可，再利用外接长方形面积减去周围三个直角三角形的面积，即可求出面积．
【详解】（1）的面积，所以，的面积为5；
（2）是直角边长分别为的直角三角形的斜边长，是直角边长分别为的直角三角形的斜边长，是直角边长分别为的直角三角形的斜边长，作图如下：
的面积；
（3）是直角边长分别为的直角三角形的斜边长，是直角边长分别为的直角三角形的斜边长，是直角边长分别为的直角三角形的斜边长，
格点三角形OPQ如图所示：
的面积．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用及三角形的面积问题，熟练掌握知识点是解题的关键．
高频考点18 .勾股数与直角三角形的判定
【解题技巧】常见勾股数有：（3,4,5）；（6,8,10）；（5,12,13）；
勾股数组规律：（n2﹣1）2+（2n）2＝（n2+1）2
例1．（2022安徽八年级期中）在学习“勾股数”的知识时，爱动脑的小明设计了如下表格：
n 2 3 4 5 6 ....
a 4 5 8 10 12 .....
b 3 8 15 24 35 .....
c 5 10 17 26 37 ......
请回答下列问题：（1）当n＝7时，a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n（n＞1）的代数式表示：a＝ ，b＝ ，c＝ ；（3）猜想：以a，b，c为边长的三角形是否为直角三角形？并对你的猜想加以证明．
【答案】（1）14，48，50；（2）；（3）是，证明见解析
【分析】（1）观察表格，即可得出n=7时a、b、c的值；
（2）利用图表可以发现a，b，c与n的关系，a与c正好是n2加、减1，即可得出答案；
（3）计算出a2+b2的值以及c2的值，再利用勾股定理逆定理即可求出．
【详解】解：（1）由图表可以得出：
∵n=2时，a=2×2，b=22-1， c=22+1，n=3时，a=2×3，b=32-1， c=32+1，
n=4时，a=2×4，b=42-1， c=42+1，n=5时，a=2×5，b=52-1， c=52+1，
∴n=7时，a=2×7=14，b=72-1=48， c=72+1=50；故答案为：14，48，50；
（2）由规律可得：a=2n，b=n2-1， c=n2+1；故答案为：2n，n2-1，n2+1；
（3）以a、b、c为边的三角形是直角三角形．
证明：∵a2+b2=4n2+（n2-1）2=n4+2n2+1，c2=（n2+1）2=n4+2n2+1，
∴a2+b2=c2，∴以a、b、c为边的三角形是直角三角形．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是仔细观察表中的数据，找出规律，进而利用勾股定理的逆定理解决问题．
变式1．（2022·湖北）世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为a＝（m2﹣n2），b＝mn，c＝（m2＋n2），其中m，n（m＞n）是互质的奇数，则a，b，c为勾股数．
我们令n＝1，得到下列顺序排列的等式：①32＋42＝52，②52＋122＝132，③72＋242＝252，④92＋402＝412，…
根据规律写出第⑥个等式为 ______________．
【答案】132＋842＝852
【分析】通过观察可知，所列出的等式都符合勾股定理公式，在观察各底数的特点，找到规律即可得出第⑥个等式．
【详解】解：∵3＝2×1＋1，5＝2×2＋1，7＝2×3＋1，9＝2×4＋1，
∴第一个数的底数是2n＋1，指数是2，
∵4＝2×12＋2×1，12＝2×22＋2×2，24＝2×32＋2×3，40＝2×42＋2×4，
∴第二个数的底数是2n2＋2n，指数是2，
∵第三个数的底数比第二个数的底数大1，指数是2，
∴第n个等式为（2n＋1）2＋（2n2＋2n）2＝（2n2＋2n＋1）2，
∴第⑥个等式为132＋842＝852，故答案为：132＋842＝852.
【点睛】本题主要考查了整式的数字规律，解题的关键在于能够根据题意得到每一组数据的规律.
变式2．（2022·南宁市第八中学八年级月考）可以构成直角三角形三条边长的三个正整数a，b，c，称为勾股数世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数公式为其中m＞n＞0，m、n是互质的奇数，当n＝1时，则有一边长为13的直角三角形的另外两条边长为___．
【答案】5,12或84,85．
【分析】利用分类思想，整数的性质求解即可．
【详解】当n=1时，得，
当a=13时，得=13，即，解得m=，
∵m是正整数，∴m=舍去；
当b=13时，即m=13，得a==84，c==85；
当c=13时，得=13，即，解得m=，
∵m是正整数，∴m= -5舍去，∴m= 5,
∴a==12，∴b= 5,故答案为：5,12或84,85．
【点睛】本题考查了勾股数，熟练运用分类思想，整数的性质是解题的关键．
高频考点19. 直角三角形全等的判定（HL）
例1．（2022·江西·八年级期末）已知：，，，．
（1）试猜想线段与的位置关系，并证明你的结论．
（2）若将沿方向平移至图2情形，其余条件不变，结论还成立吗？请说明理由．
（3）若将沿方向平移至图3情形，其余条件不变，结论还成立吗？请说明理由．
【答案】（1），见解析；（2）成立，理由见解析；（3）成立，理由见解析
【分析】（1）先用判断出，得出，进而判断出，即可得出结论；（2）同（1）的方法，即可得出结论；（3）同（1）的方法，即可得出结论．
【详解】解：（1）理由如下：
∵，，∴
在和中
∴，∴
∵，∴，
∴，∴；
（2）成立，理由如下：∵，，∴，
在和中，
∴，∴，
∵，∴，∴，
在中，，∴；
（3）成立，理由如下：∵，，∴
在和中，
∴，∴，
∵，∴，
在中，，∴．
【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，判断出是解本题的关键．
变式1．（2022·河北唐山·八年级期末）如图，点E是BC的中点，，，AE平分，下列结论：①；②；③；④，四个结论中成立的是（ ）
A．①③ B．①②③ C．②③④ D．①②④
【答案】D
【分析】过E点作EF⊥AD于F，如图，根据角平分线的性质得到EF=EB，则可判断≌,所以AB=AF，∠AEB=∠AEF，由于EC=EB=EF，则可判断≌,所以DC=DF，∠DEC=∠DEF，∠FDE=∠CDE，于是可对②进行判断；利用∠AED=∠AEF+∠DEF=∠BEF+∠CEF可对①进行判断；利用DE>EC，EC=BE可对③进行判断；利用AF=AB，DF=DC可对④进行判断．
【详解】解：过E点作EF⊥AD于F，如图，
∵AE平分∠BAD，EF⊥AD，EB⊥AB，∴EF=EB，
在和中，，∴≌(HL)，
∴AB=AF，∠AEB=∠AEF，∴∠AEB=∠AEF=∠BEF，
∵点E是BC的中点，∴EC=EB，∴EC=EF，
在和中，，∴≌(HL)，
∴DC=DF，∠DEC=∠DEF，∠FDE=∠CDE，所以②正确；∴∠DEC=∠DEF=∠CEF，，
∵∠AED=∠AEF+∠DEF=∠BEF+∠CEF=(∠BEF+∠CEF) =90°，∴∠AED=90°，所以①正确；
∵DE>EC，而EC=BE，∴DE>BE，所以③错误；
∵AF=AB，DF=DC，∴AD=AF+DF=AB+CD，所以④正确．故选：D．
【点睛】本题考查了角平分线的性质定理和全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是如何添加辅助线，构造全等三角形．
变式2．（2022·江西·永丰县恩江中学八年级阶段练习）如图，在△ABC中，BC=AB，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF．
(1)求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；(2)若∠CAB=30°，求∠ACF的度数．
【答案】(1)证明见解析 (2)
【分析】（1）由“HL”可证Rt△ABE≌Rt△CBF；
（2）由AB=CB，∠ABC=90°，即可求得∠CAB与∠ACB的度数，即可得∠BAE的度数，又由Rt△ABE≌Rt△CBF，即可求得∠BCF的度数，则由∠ACF=∠BCF+∠ACB即可求得答案．
(1)∵∠ABC=90°，∴∠CBF=∠ABE=90°，
在Rt△ABE和Rt△CBF中，∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）；
(2)∵AB=BC，∠ABC=90°，∴∠CAB=∠ACB=45°，∴∠BAE=∠CAB-∠CAE=45°-30°=15°。
∵Rt△ABE≌Rt△CBF，∴∠BCF=∠BAE=15°，∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=15°+45°=60°
【点睛】此题考查了直角三角形全等的判定与性质．解题的关键是注意数形结合思想的应用．
变式3．（2022·浙江·八年级课时练习）已知，线段AC、BD交于点O，，于点F，于点E，，则（1）如图，若为钝角，求证：；（2）若为锐角，其他条件不变，请画图判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）成立，见解析
【分析】（1）先证Rt△ABF≌Rt△CDF，再证△AOB≌△COD即可证明BO=DO
（2）证法和（1）相同，不过注意AE+EF=EF+CF变成AE-EF=EF-CF．
【详解】（1）∵AE=CF∴AE+EF=EF+CF ∴AF=EC∴在Rt△ABF和Rt△CDF中
∴Rt△ABF≌Rt△CDF（HL）∴∠A=∠C
∴在△AOB和△DOC中∴△AOB≌△COD（AAS）∴BO=DO
（2）
∵AE=CF∴AE-EF=EF-CF∴AF=EC
∴在Rt△ABF和Rt△CDF中∴Rt△ABF≌Rt△CDF（HL）∴∠A=∠C
∴在△AOB和△DOC中∴△AOB≌△COD（AAS）∴BO=DO
【点睛】本题考查直角三角形HL定理的判定、全等三角形的判定（AAS），在通过全等确定其对应边相等，掌握全等判定方法是本题解题关键．
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专题02 特殊三角形 高频考点（19个） （精讲）
高频考点1 轴对称图形的性质与辨别
【解题技巧】掌握轴对称图形的概念：把一个图形沿着某一条直线翻折，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么称这个图形是轴对称图形，这条直线就是对称轴。
注意：理解轴对称图形的定义应注意两点：（1）轴对称图形是一个图形，反映的是这个图形自身的性质。（2）符合要求的“某条直线”可能不止一条，但至少要有一条。
例1．（2022·浙江金华·八年级阶段练习）下面所给的标志图中属于轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2022·重庆八中七年级期末）2022年北京冬奥会会徽“冬梦”以汉字“冬”为灵感来源，运用中国书法的艺术形态，将厚重的东方文化底蕴与国际化的现代风格融为一体．以下是参选的会徽设计的一部分图形，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2022·河南新乡·七年级阶段练习）如图，与关于直线对称，若，，则（ ）
A． B． C． D．
高频考点2 轴对称性质的运用
【解题技巧】常见应运用有：折叠（剪纸）、台球桌面、光的反射和镜面对称等问题。
折叠问题中，折痕就是图形的对称轴，折叠前后的图形关于对称轴对称。
例1．（2022·浙江·浦江县第五中学一模）如图，把一张矩形纸片ABCD按所示方法进行两次折叠，得到△ECF．若BC＝1，则△ECF的周长为（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2022·河北八年级期末）如图是台球桌面示意图，阴影部分表示四个入球孔，小明按图中方向击球（球可以多次反弹），则球最后落入的球袋是（ ）
A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋
变式2．（2022·湖南湘潭·中考真题）如图，一束光沿方向，先后经过平面镜、反射后，沿方向射出，已知，，则_________．
高频考点3 线段垂直平分线性质与判定及运用
【解题技巧】掌握线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
垂直平分线的性质判定：到一条直线两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
三角形的外心：三角形三边的垂直平分线的交点；外心性质：外心到该三角形三顶点的距离相等。
例1．（2022·湖南怀化市·八年级期末）如图．在△ABC中，∠C=90 °，∠A=30°．
（1）用直尺和圆规作AB的垂直平分线，分别交AB、AC于D、E，交BC的延长线于F，连接EB．（不写作法，保留作图痕迹）（2）求证：EB平分∠ABC．（3）求证：AE=EF．
变式1．（2022·山东济南市·八年级期末）如图，若记北京为地，莫斯科为地，雅典为地．若想建立一个货物中转仓，使其到、、三地的距离相等，则中转仓的位置应选在（ ）
A．三边垂直平分线的交点 B．三边中线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三边上高的交点
变式2．（2022·四川八年级期中）如图，在△ABC中，∠B＝30°，用直尺和圆规在边AB上确定一点D，则∠ADC＝（ ）
A．30° B．45° C．50° D．60°
变式3．（2021·石家庄九年级二模）如图，在中，D为BC中点，交的平分线AE于E，于F，交AC的延长线于G．
（1）求证：；（2）若，，求AF的长．
高频考点4 角平分线的运用
【解题技巧】角平分线的性质：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
例1．（2021·内蒙古赤峰·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，且AC=AD．
（1）作∠BAC的平分线，交BC于点E；(要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
（2）在（1）的条件下，连接DE，证明．
变式1．（2022·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校二模）如图，三条公路把A，B，C三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（ ）
A．三个角的角平分线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点
C．三角形三条高的交点 D．三角形三条中线的交点
变式2．（2022·河北·围场满族蒙古族自治县中小学教研室八年级期末）如图，已知、的角平分线、相交于点P，，，垂足分别为M、N．现有四个结论：
①平分；②；③；④．
其中结论正确的是（ ）
A．①②④ B．①④ C．①②③ D．②③④
变式3．（2022·广东汕头·八年级期末）如图，的三边，，长分别是，，，其三条角平分线将分为三个三角形，则：：等于（ ）
A．：： B．：： C．：： D．：：
高频考点5 等腰三角形的性质与判定
【解题技巧】掌握等腰三角形的性质：
1）等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）。
2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简称“三线合一”）。
3）有两条边相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）。
例1．（2022陕西八年级下学期期末数学试题）如图，E为的外角平分线上的一点，AE//BC，．(1)求证：是等腰三角形；(2)若，求CE的长．
变式1．（2022年江苏省苏州市中考数学真题）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为______．
变式2．（2022陕西榆林市高新区八年级期末）习题课上， 张老师和同学们一起探究一个问题∶ “如图， 在 中， 分别 是 上的点， 与 相交于点 ， 添加下列哪个条件能判定 是等腰三角形？"请你判断正确的条件应为（ ）
A． B． C． D．
变式3．（2022陕西省西安市八年级期末）已知中，，在AB边上有一点D，若CD将分为两个等腰三角形，则____．
高频考点6 等边三角形的性质与判定
【解题技巧】掌握等边三角形的性质与判定：
1）三边相等的三角形叫做等边三角形或正三角形。
2）等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°。
3）三个角都相等的三角形是等边三角形。
4）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
例1．（河北省廊坊市大城县2021-2022学年八年级上学期期末数学试题）如图，已知△ABD是等边三角形，，E是AD上的点，，与BD交于点F．则下列结论正确的有（ ）
①连接AC，则AC垂直平分线段BD；②△DEF是等边三角形；③若，则；④若AB＝8，DE＝2，则CF＝4．
A．①② B．①②④ C．②③④ D．①③④
变式1．（河南省周口市西华县2021-2022学年八年级上学期期中数学试题）如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
变式2．（2022年湖南省湘潭市中考数学真题）如图，小明在学了尺规作图后，作了一个图形，其作图步骤是：①作线段，分别以点、为圆心，以长为半径画弧，两弧相交于点、；②连接、，作直线，且与相交于点．则下列说法不正确的是（ ）
A．是等边三角形 B． C． D．
变式3．（2022年湖南省怀化市中考数学真题）如图，在等边三角形ABC中，点M为AB边上任意一点，延长BC至点N，使CN=AM，连接MN交AC于点P，MH⊥AC于点H．
(1)求证：MP=NP；(2)若AB＝a，求线段PH的长（结果用含a的代数式表示）．
高频考点7. 逆命题与逆定理的相关概念
例1．（2022 锦江区八年级期中）已知下列命题：①四边形是多边形；②对顶角相等；③两直线平行，内错角相等；④如果ab＝0，那么a＝0，b＝0；则原命题和逆命题均为真命题的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
变式1．（2022 道外区八年级期末）下列命题中：①形状相同的两个三角形是全等形；②在两个三角形中，相等的角是对应八年级角，相等的边是对应边；③全等三角形的对应边相等；④全等三角形对应边上的高相等．其中真命题有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
变式2．（2022 江宁区八年级月考）下列命题：①同旁内角互补，两直线平行；②等角的余角相等；③直角都相等；④相等的角是对顶角．它们的逆命题是真命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
变式3．（2022 定西期末）把命题“实数是无理数”改写成“如果…，那么…”的形式为 ．
高频考点8 轴对称作图
例1．（2022·湖南·中考模拟）在边长为1的小正方形网格中，△AOB的顶点均在格点上．
（1）B点关于y轴的对称点坐标为 ；（2）将△AOB向左平移3个单位长度得到△A1O1B1，请画出△A1O1B1；（3）在（2）的条件下，A1的坐标为 ．
变式1．（2022·云南·三模）在平面直角坐标系中的位置如图所示．、、三点在格点上．
（1）作出关于轴对称的，并写出点的坐标；
（2）作出关于对称的，并写出点的坐标．
变式2．（2022·浙江宁波·模拟预测）在下面的方格纸中，的三个顶点都在格点上，
（1）在图1中画出与成关于BC成轴对称的格点三角形；
（2）在图2的格点中标出使与面积相等的点D的位置（除点C外）
高频考点9 等腰三角形与全等三角形综合题
例1．（2022·四川八年级期中）如图1，在等边三角形中，于于与相交于点．
（1）求证：；（2）如图2，若点是线段上一点，平分交所在直线于点．求证：．（3）如图3，若点是线段上一点（不与点重合），连接，在下方作边交所在直线于点．猜想：三条线段之间的数量关系，并证明．
变式1．（2021·山东济南市·八年级期末）如图1，在△ABC中，BO⊥AC于点O，AO＝BO＝3，OC＝1，过点A作AH∠BC于点H，交BO于点P．（1）求线段OP的长度；（2）连接OH，求证：∠OHP＝45°；（3）如图2，若点D为AB的中点，点M为线段BO延长线上一动点，连接MD，过点D作DN⊥DM交线段A延长线于N点，则S△BDM－S△ADN的值是否发生改变，如改变，求出该值的变化范围；若不改变，求该式子的值．
变式2．（2021·江苏景山中学八年级期末）（1）如图1，等边△ABC中，点D为AC的中点，若∠EDF＝120°，点E与点B重合，DF与BC的延长线交于F点，则DE与DF的数量关系是 ；BE＋BF与的BC数量关系是 ；（写出结论即可，不必证明）
（2）将（1）中的点E移动一定距离（如图2），DE交AB于E点，DF交BC的延长线于F点，其中“等边△ABC中，D为AC的中点，若∠EDF＝120°”这一条件不变，则DE与DF有怎样的数量关系？BE＋BF与BC之间有怎样的数量关系？写出你的结论并加以证明；
（3）将（1）中的点E移动到AB延长线上，DE与AB的延长线交于E点，DF交BC的延长线于F点（如图3），其中“等边△ABC中，D为AC的中点，若∠EDF＝120°”这一条件仍然不变，则BE、BF、BC这三者之间的数量关系是 ．（直接写出结论即可）
高频考点10.勾股树与面积问题再探究
【解题技巧】解决此类问题要熟练运用勾股定理，结合正方形、三角形、半圆的面积公式即可解决问题.
例1．（2021·浙江省八年级期中）如图，以的三边为直径，分别向外作半圆，构成的两个月牙形面积分别为、， 的面积．若， ，则 的值为 ________ ．
变式1．（2022·河南八年级期末）如图，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…按照此规律继续下去，则的值为（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2021·湖北鄂州市·八年级期末）如图，在中，在同一平面内，分别以、、为边向形外作等边、等边、等边，若，且，，则（ ）
A． B． C． D．
高频考点11. 赵爽弦图相关问题
【解题技巧】解决此类问题要熟练运用勾股定理及完全平方公式，结合赵爽弦图利用面积之间的关系即可解决问题.
例1．（2022·浙江·温州市第十二中学八年级期中）如图1，我国汉代赵爽在注解《周牌算经》时给出四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，人们称它为“赵爽弦图”如图2，连结，，，，记阴影部分面积为，空白部分面积为，若，则____；如图3，连结，相交于点，与相交于点．若，则_____．
变式1．（2022·江苏·八年级专题练习）如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．连接四条线段得到如图2的新的图案．如果图1中的直角三角形的长直角边为5，短直角边为3，图2中阴影部分的面积为S，那么S的值为______．
变式2．（2022·北京东城·八年级期末）如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ）
A．19 B．44 C．52 D．76
变式3．（2021·浙江杭州·八年级期末）已知△ABC中，∠ACB＝90°，如图，作三个等腰直角三角形△ACD，△EAB，△FCB，AB，AC，BC为斜边，阴影部分的面积分别记为S1，S2，S3，S4．
(1)当AC＝6，BC＝8时，①求S1的值；②求S4﹣S2﹣S3的值；
(2)请写出S1，S2，S3，S4之间的数量关系，并说明理由．
高频考点12.勾股定理的应用-梯子滑动问题
【解题技巧】梯子滑动问题解题步骤：
1）运用勾股定理求出梯子滑动之前在墙上或者地面上的距离；
2）运用勾股定理求出梯子滑动之后在墙上或者地面上的距离；
3）两者相减即可求出梯子在墙上或者地面上滑动的距离。
注意：梯子长度为不变量。
主要题型：常见题型有梯子滑动、绳子移动等题型。
例1．（2022·江苏八年级月考）如图，一架25米长的梯子斜靠在一竖直的墙上，梯子底端离墙有7米．（1）求梯子靠墙的顶端距地面有多少米？（2）小燕说“如果梯子的顶端沿墙下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向就滑动了4米．”她的说法正确吗？若不正确，请说明理由．
变式1．（2022·江苏八年级期中）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，求小巷的宽度．
变式2．（2022·吉林九台·八年级期末）如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从移动到，同时小船从移动到，且绳长始终保持不变．、、三点在一条直线上，．回答下列问题：（1）根据题意可知： （填“＞”、“＜”、“＝”）．（2）若米，米，米，求小男孩需向右移动的距离（结果保留根号）．
变式3．（2022·新疆·乌鲁木齐市八年级期中）太原的五一广场视野开阔，是一处设计别致，造型美丽的广场园林，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校八年级（1）班的小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得图中风筝的高度，他们进行了如下操作：①测得的长为15米（注：）；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；③牵线放风筝的小明身高1.7米．(1)求风筝的高度．(2)过点D作，垂足为H，求的长度．
高频考点13.勾股定理的应用-风吹草动和折竹抵地问题
【解题技巧】风吹莲动问题解题步骤：1）根据问题设出“水深”或者“莲花”的高度；
2）根据题目条件表示出题目中涉及的直角三角形的另外两条边长；3）根据勾股定理列方程求解。
折竹抵地问题解题步骤：1）根据问题设出“竹子”折断之前或者折断之后距离地面的高度；
2）根据题目条件表示出题目中涉及的直角三角形的另外两条边长；3）根据勾股定理列方程求解。
注意：1）“莲花”高度为不变量。2）“竹子”高度为不变量。
主要题型：常见题型有莲花、芦苇、吸管、筷子、有竹子、风筝线、旗杆绳等题型。
例1．（2022·云南广南·八年级期末）如图，一棵竖直生长的竹子高为8米，一阵强风将竹子从C处吹折，竹子的顶端A刚好触地，且与竹子底端的距离AB是4米．求竹子折断处与根部的距离CB．
变式1．（2021·江苏九年级二模）我国古代数学名著《算法统宗》有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，5尺人高曾记，仕女家人争蹴．良工高士素好奇，算出索长有几？”此问题可理解为：“如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离的长为1尺，将它向前水平推送10尺时，即尺，秋千踏板离地的距离和身高5尺的人一样高，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”，设秋千的绳索长为x尺，根据题意可列方程为___________．
变式2．（2022·广西八年级期末）《九章算术》中的“引葭赴岸”问题：今有池方一丈，葭（一种芦苇类植物）生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，水深几何？其大意是：有一个边长为10尺的正方形池塘，一棵芦苇生长在它的正中央，高出水面1尺．如果把该芦苇拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边（如图所示），则水深________尺．
高频考点14.勾股定理的应用-台风（噪音）和爆破问题
【解题技巧】台风（噪音）、爆破问题解题步骤：
1）根据勾股定理计算爆破点或台风中心到目的地的最短距离；
2）将计算出的最短距离跟爆破或台风的影响范围的半径作比较；
3）若最短距离大于影响半径则不受影响，若最短距离小于半径则受影响。
注意：通常会用到垂线段最短的原理。
主要题型：常见题型有爆破、台风（爆破）等题型。
例1．（2022·浙江九年级专题练习）拖拉机行驶过程中会对周围产生较大的噪声影响．如图，有一台拖拉机沿公路AB由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为150m和200m，又AB＝250m，拖拉机周围130m以内为受噪声影响区域．（1）学校C会受噪声影响吗？为什么？（2）若拖拉机的行驶速度为每分钟50米，拖拉机噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？
变式1．（2022·山西八年级期末）如图，原来从A村到B村，需要沿路A→C→B（）绕过两地间的一片湖，在A， B间建好桥后，就可直接从A村到B村．已知，，那么，建好桥后从 A村到B村比原来减少的路程为（ ）
A．2km B．4km C．10 km D．14 km
变式2．（2022·江苏）如图，铁路MN和公路PQ在O点处交汇，公路PQ上A处点距离O点240米，距离MN 120米，如果火车行驶时，周围两百米以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN上沿ON方向，以144千米/时的速度行驶时，A处受噪音影响的时间是_______s
高频考点15. 勾股定理的应用-位置问题（航行和信号塔）
【解题技巧】航行问题解题步骤：1）根据航行的方位角或勾股定理逆定理判定直角三角形；
2）根据航行速度和时间表示出直角三角形两直角边长；
3）根据勾股定理列方程求解航行角度、速度或距离。
信号塔、中转站题型解题步骤：1）根据问题设出未知量（一般情况下求谁设谁），并根据设出的未知量表示出两个直角三角形的直角边长；2）在两个直角三角形中分别用勾股定理表示出斜边长；
3）根据斜边长相等建立方程求解。
注意：1）轮船航行的题目要注意两船终点之间的距离通常为直角三角形的斜边长；
2）信号塔和中转站等题型要注意两个目的地到信号塔或中转站的距离是相等的。
主要题型：常见题型有轮船航行、信号塔、中转站等题型。
例1．（2022·广东·佛山市九年级阶段练习）如图，在南北方向的海岸线MN上，有A、B两艘巡逻船，现均收到故障船C的求救信号．已知A、B两船相距海里，船C在船A的北偏东60°方向上，船C在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上．（1）分别求出A与C，A与D之间的距离AC和AD（如果运算结果有根号，请保留根号）．
（2）已知距观测点D处100海里范围内有暗礁．若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中有无触暗礁危险﹖请说明理由．（参考数据：，，精确到1海里）
变式1．（2022·湖北省崇阳县八年级期中）如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16nmile，“海天”号每小时航行12nmile，它们离开港口一个半小时后相距30nmile，且知道“远航”号沿东北方向航行，那么“海天”号航行的方向是_______．
变式2．（2022·河南·鹤壁市外国语中学八年级期中）为了积极响应国家新农村建设，遂宁市某镇政府采用了移动宣讲的形式进行宣传动员．如图，笔直公路MN的一侧点A处有一村庄，村庄A到公路MN的距离为600米，假使宣讲车P周围1000米以内能听到广播宣传，宣讲车P以200米/分的速度在公路MN上沿PN方向行驶时，问村庄是否能听到？若能，请求出总共能听到多长时间的宣传？
变式3．（2021·成都八年级期中）如图，铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A站多少千米处？
高频考点16. 勾股定理及逆定理的相关计算
例1．（2022·河南八年级期末）如图，已知等腰△ABC的底边BC＝17cm，D是腰BA延长线上一点，连接CD，且BD＝15cm，CD＝8cm．（1）判断△BDC的形状，并说明理由；（2）求△ABC的周长．
变式1．（2021·江西八年级期中）如图，在中，，，，的垂直平分线分别交、于点，．（1）求的长度；（2）求的长．
变式2．（2022·苏州高新区第五初级中学校九年级月考）如图，在中，，是的平分线，于点E．（1）求证：；（2）若，求线段的长度．
高频考点17. 网格中的勾股定理
【解题技巧】网格中，根据勾股定理，可求解出三角形或四边形的长度，然后根据长度判断多边形是否是特殊图形。
例1．（2022·浙江温岭）如图，5×5网格中每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点均为网格上的格点（1）AB2＝ ．BC2＝ ．AC2＝ ． （2）∠ABC＝ °
（3）在格点上存在点P，使∠APC＝90°，请在图中标出所有满足条件的格点P（用P1、P2……表示）
变式1．（2022·陕西九年级）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，于点D，则AD的长为（ ）
A．1 B．2 C． D．
变式2．（2022·湖南长沙市·八年级期末）如图，每个小正方形的边长都为．
（1）求四边形的面积；（2）证明：．
变式3．（2022·江西景德镇·八年级期中）（1）已知三边长分别为，，，小迪在解决这一问题时有以下思路：先画如图①的正方形网格（小正方形边长均为1），再画出格点三角形ABC，利用外接长方形面积减去周围三个直角三角形的面积，即可求出的面积．请你帮助小迪计算出的面积；（2）若三边长分别为，，，在图②的正方形网格（小正方形边长均为a）中，画出格点三角形DEF，并求出的面积；
（3）若三边长分别为，，，在图③的长方形网格（小长方形长均为m，宽均为n）中，画出格点三角形OPQ，并求出的面积．
高频考点18 .勾股数与直角三角形的判定
【解题技巧】常见勾股数有：（3,4,5）；（6,8,10）；（5,12,13）；
勾股数组规律：（n2﹣1）2+（2n）2＝（n2+1）2
例1．（2022安徽八年级期中）在学习“勾股数”的知识时，爱动脑的小明设计了如下表格：
n 2 3 4 5 6 ....
a 4 5 8 10 12 .....
b 3 8 15 24 35 .....
c 5 10 17 26 37 ......
请回答下列问题：（1）当n＝7时，a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n（n＞1）的代数式表示：a＝ ，b＝ ，c＝ ；（3）猜想：以a，b，c为边长的三角形是否为直角三角形？并对你的猜想加以证明．
变式1．（2022·湖北）世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为a＝（m2﹣n2），b＝mn，c＝（m2＋n2），其中m，n（m＞n）是互质的奇数，则a，b，c为勾股数．
我们令n＝1，得到下列顺序排列的等式：①32＋42＝52，②52＋122＝132，③72＋242＝252，④92＋402＝412，…
根据规律写出第⑥个等式为 ______________．
变式2．（2022·南宁市第八中学八年级月考）可以构成直角三角形三条边长的三个正整数a，b，c，称为勾股数世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数公式为其中m＞n＞0，m、n是互质的奇数，当n＝1时，则有一边长为13的直角三角形的另外两条边长为___．
高频考点19. 直角三角形全等的判定（HL）
例1．（2022·江西·八年级期末）已知：，，，．
（1）试猜想线段与的位置关系，并证明你的结论．
（2）若将沿方向平移至图2情形，其余条件不变，结论还成立吗？请说明理由．
（3）若将沿方向平移至图3情形，其余条件不变，结论还成立吗？请说明理由．
变式1．（2022·河北唐山·八年级期末）如图，点E是BC的中点，，，AE平分，下列结论：①；②；③；④，四个结论中成立的是（ ）
A．①③ B．①②③ C．②③④ D．①②④
变式2．（2022·江西·永丰县恩江中学八年级阶段练习）如图，在△ABC中，BC=AB，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF．(1)求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；(2)若∠CAB=30°，求∠ACF的度数．
变式3．（2022·浙江·八年级课时练习）已知，线段AC、BD交于点O，，于点F，于点E，，则（1）如图，若为钝角，求证：；（2）若为锐角，其他条件不变，请画图判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．
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