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专题04 图形与坐标 高频考点（12个）（精讲）
高频考点1 位置的确定方法及运用
【解题技巧】确定一个物体的位置的方法：1）有序实数对确定点的位置--行列定位法；2）方位角+距离确定点的位置--极坐标定位法；3）用“经纬度”确定点的位置--经纬定位法；4）区域定位法。
例1．（2022·河北唐山·八年级期末）下列条件不能确定点的位置的是（ ）
A．第二阶梯教室6排3座 B．小岛北偏东30°，距离1600m
C．距离北京市180千米 D．位于东经114.8°，北纬40.8°
【答案】C
【分析】根据坐标确定位置需要两个数据对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A．第二阶梯教室6排3座的位置明确，故本选项不符合题意；
B．小岛北偏东30°，距离1600m的位置明确，故本选项不符合题意；
C．距离北京市180千米无法确定的具体位置，故本选项符合题意；
D．东经114.8°，北纬40.8°的位置明确，故本选项不符合题意；故选：C．
【点睛】本题考查了坐标确定位置，理解位置的确定需要两个数据是解题的关键．
变式1．（2022·黑龙江绥化·期末）数对（1，3）表示第1组，第3行，那么小明坐第4组，第5行，用（ ）可以表示他的位置．
A．（4，5） B．（5，4） C．（4，4） D．（5，5）
【答案】A
【分析】根据题意可知数对中的第一个数表示“组数”，第二个数表示“行数”，据此即可作答．
【详解】∵数对(1,3)表示第1组，第3行，
∴小明坐第4组，第5行，用数对表示为(4,5)，故选：A．
【点睛】此题主要考查了用数对表示位置的方法，理解题意是解答本题的基础．
变式2．（2022·福建厦门·七年级期末）某公交车上显示屏上显示的数据表示该车经过某站点时先下后上的人数．若车上原有10个人，此公交车依次经过某三个站点时，显示器上的数据如下：，则此公交车经过第二个站点后车上的人数为（ ）
A．9 B．12 C．6 D．1
【答案】C
【分析】根有序数对的意义，算出净上车人数，再用原有车上人数加上净上车人数即可.
【详解】解：∵数据表示该车经过某站点时先下后上的人数．
∴表示先下车3人，再上车2人，
即经过第一个站点净上车人数为-1人，此时公交车上有：10-1=9（人）.
∴表示先下车8人，再上车5人，
即经过第二个站点时净上车人数为-3人，此时公交车上共有：9-3=6（人）.故选C.
【点睛】本题考查了有序数对的意义，理解有序数对表示的意义是解题的关键.
变式3．（2022·广东·一模）阅读理解：如图1，在平面内选一定点O，引一条有方向的射线，再选定一个单位长度，那么平面上任一点M的位置可由的度数与的长度m确定，有序数对称为M点的“极坐标”，这样建立的坐标系称为“极坐标系”．
应用：在图2的极坐标系下，如果正六边形的边长为4，有一边在射线上，则正六边形的顶点C的极坐标应记为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设正六边形的中心为D，连接AD，判断出△AOD是等边三角形，根据等边三角形的性质可得OD=OA，∠AOD=60°，再求出OC，然后根据“极坐标”的定义写出即可．
【详解】解：如图，设正六边形的中心为D，连接AD，
∵∠ADO=360°÷6=60°，OD=AD，∴△AOD是等边三角形，∴OD=OA=4，∠AOD=60°，
∴OC=2OD=2×4=8，∴正六边形的顶点C的极坐标应记为．故选A．
【点睛】本题考查了正多边形和圆，坐标确定位置，主要利用了正六边形的性质，读懂题目信息，理解“极坐标”的定义是解题的关键．
高频考点2 坐标确定点的位置
【解题技巧】首先根据题干中的两个点确定坐标系（坐标原点、x轴、y轴），再根据坐标系的概念确定点的坐标。
例1．（2022·浙江·宁波八年级开学考试）如图，在正方形网格中，若点的坐标分别是，则点的坐标为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直接利用已知点的坐标确立平面直角坐标系，进而得出点的坐标．
【详解】解：∵，∴可建立平面直角坐标系，如图所示：
∴点的坐标为．故选：C
【点睛】本题考查了点的坐标，点的坐标就是在平面直角坐标系中，坐标平面内的点与一对有序实数是一一对应的关系，这对有序实数则为这个点的坐标．
变式1．（2022·江苏·八年级专题练习）“健步走”越来越受到人们的喜爱．一个健步走小组将自己的活动场地定在奥林匹克公园〔路线：森林公园—玲珑塔—国家体育场—水立方），如图假设在奥林匹克公园设计图上规定玲珑塔的坐标为，森林公园的坐标为，则终点水立方的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据玲珑塔的坐标确定坐标原点位置，然后画出坐标系，进而可得答案．
【详解】解：根据玲珑塔的坐标为可画出坐标系：
水立方的坐标为，故选：A．
【点睛】本题主要考查了坐标确定位置，解题的关键是正确画出坐标系．
变式2．（2022·浙江·八年级课时练习）嘉嘉和淇淇下棋，嘉嘉执圆子，淇淇执方子．棋盘中心方子的位置用（1，0）表示，右下角方子的位置用（2，－1）表示．嘉嘉将第4枚圆子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图形．则嘉嘉放的位置是（ ）
A．（1，2） B．（1，1） C．（－1，1） D．（－2，1）
【答案】B
【分析】首先根据题意确定出（0，0）的位置，其次根据轴对称图形的定义确定出位置即可．
【详解】解：由右下角方子的位置用（2，－1）表示，
得：左上角的圆子可以用（0，0）表示，
整个图形若为轴对称图形，则其所棋子放的位置在（1，1）处，故选：B．
【点睛】此题考查了轴对称图形、平面直角坐标系的相关知识，解题关键是掌握轴对称图形定义，即一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形为轴对称图形，这条直线为对称轴．
变式3．（2022·江西宜春·七年级阶段练习）下图是某动物园的游览示意图，彤彤同学为了描述该动物园中每个景点的位置，建立了一个平面直角坐标系，每个小方格的边长均为1个单位长度，南门所在的点为坐标原点、飞禽的坐标为，请回答下列问题．
(1)狮子和马所在的点可用坐标表示为___________，___________．
(2)动物园又来了一位新朋友一大象，若它所在的点的坐标为．
①请直接在图中标出大象所在的位置．（描出点，并写出“大象”二字）
②丽丽同学建立了一个和彤彤不一样的平面直角坐标系，在丽丽建立的平面直角坐标系中，若飞禽所在的点的坐标是，则此时坐标原点是两栖动物所在的点，此时南门所在的点的坐标是________，大象所在点的坐标是________．
【答案】(1)（-4，5），（-3，-3）(2)①见解析；②(-4，-1)，(-2，-6)
【分析】（1）直接利用飞禽位置找到原点建立平面直角坐标系，进而得出答案；（2）利用已知平面直角坐标系得出大象的位置；（3）利用飞禽所在的点的坐标是(-1，3)及原点位置进而得出答案．
（1）解：由飞禽的坐标为可知南天门所在的位置为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系，
∴狮子的坐标为（-4，5），马的坐标为（-3，-3），故答案为：（-4，5），（-3，-3）；
（2）①如图所示，
高频考点3 象限内和坐标轴上点的特征
解题技巧：掌握第1～4象限内点的坐标符号特点分别是：（＋，＋）、（－，＋）、（－，－）、（＋，－）；坐标系内点的坐标特点：坐标原点（0，0）、x轴（x，0）、y轴（0，y）.注意若点在坐标轴上，则要分成在x轴、y轴上两种情况来讨论.
例1．（2022·海南鑫源高级中学八年级期中）已知：点P．试分别根据下列条件，求出P点的坐标．(1)点P在y轴上；(2)点P在x轴上；(3)点P的横坐标比纵坐标大1．
【答案】(1)(0，-3)(2)(6，0)(3)( 4， 5)
【分析】（1）根据y轴上的点横坐标为零解答即可；
（2）根据x轴上的点纵坐标为零解答即可；
（3）根据点P的横坐标大于纵坐标大1，列方程解答即可．
（1）∵点P在y轴上，∴2m+4=0，解得：m= 2，∴m 1= 3，则P点坐标为(0，-3)；
（2）∵点P在x轴上，∴m 1=0，解得：m=1，∴2m+4=6，则P点坐标为(6，0)；
（3）∵点P的横坐标大于纵坐标大1，∴m 1=(2m+4)-1，解得：m= 4，
∴2m+4= 4，m 1= 5，则P点坐标为( 4， 5)．
【点睛】本题主要考查了坐标轴上点的特征，根据坐标特点列一元一次方程是解题的关键．
变式1．（2022·陕西安康·七年级期末）在平面直角坐标系中，第二象限内点的坐标为，则点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】直接利用各象限内点的坐标特点分析得出答案．
【详解】解：∵点M的坐标为（x，y），且点M在第二象限，
∴，∴，∴点N（-x，-y）在第四象限，故选：D．
【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中点的坐标特点，解决本题的关键是准确掌握平面直角坐标系中各个象限内点的坐标的特点．
变式2．（2022·山东临沂·七年级期末）在平面直角坐标系中，点P的坐标为，则点P所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】根据平方数非负数判断出点P的横坐标是正数，再根据各象限内点的坐标特征解答．
【详解】解：∵，∴，∴点P的横坐标是正数，
∴点P(，－2) 所在的象限是第四象限．故选D．
【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（－，+）；第三象限（－，－）；第四象限（+，－）．
变式3．（2022·山东滨州·七年级期末）已知点，若直线轴，点P在x轴的负半轴上，则点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】根据直线ABx轴可得点A、B的纵坐标相等可求出a的值，根据点P在x轴的负半轴上，得到b<0，然后判断点M的横坐标与纵坐标的正负即可解答．
【详解】解：∵直线ABx轴，∴2a+2=4，解得：a=1，
∵点P在x轴的负半轴上，∴b<0，∴b-a=b-1<0，a-2=1-2=-1<0，.点M在第三象限．故选：C．
【点睛】本题考查坐标与图形性质，根据直线ABx轴可得点A，B的纵坐标相等是解答本题的关键．
高频考点4 点到坐标轴的距离
【解题技巧】点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值.
例1．（2022·河北·保定市清苑区北王力中学八年级期末）在平面直角坐标系内有一点，若点到轴的距离为3，到轴的距离为1．且点在第二象限，则点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值解答．．
【详解】解：点到轴的距离为3，到轴的距离为1．且点在第二象限，
所以横坐标为，纵坐标为3，∴A．故选B．
【点睛】本题考查了点到坐标轴的距离，第二象限点的坐标特征，掌握各象限点的坐标特征是解题的关键．
变式1．（2022·河南·郑州八年级期末）在平面直角坐标系中，点M在第四象限，到x轴、y轴的距离分别为4和3，则点M的坐标为（ ）
A．（4，-3） B．（3，-4） C．（-3，4） D．（-4，3）
【答案】B
【分析】根据点M在第四象限，则有点M的横坐标大于0，纵坐标小于0，进而根据到坐标轴的距离求解即可．
【详解】由点M在第四象限，则有点M的横坐标大于0，
纵坐标小于0，点M到x轴、y轴的距离分别为4、3，
所以点M的坐标为；故选B．
【点睛】本题考查平面直角坐标系点的坐标，熟练掌握各象限的点坐标特点求点的坐标是解题的关键．
变式2．（2022·广西河池·七年级期末）平面直角坐标系中，点位于第一象限，且点到两坐标轴的距离相等，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据点到x轴的距离为纵坐标的绝对值，点到y轴的距离为横坐标的绝对值，结合点M在第一象限进行求解即可．
【详解】解：∵点位于第一象限，且点到两坐标轴的距离相等，
∴，∴，∴，∴点M的坐标为（5，5），故选C．
【点睛】本题主要考查了点到坐标轴的距离，第一象限点的坐标特点，熟知相关知识是解题的关键．
变式3.（2022·安徽·八年级阶段练习）已知：点Q的坐标（2a，3a－1）．(1)若点Q在第三象限，且到两坐标轴的距离之和为16，求点Q的坐标．(2)若点Q到两坐标轴的距离相等，求点Q的坐标．
【答案】(1) (2)或，．
【分析】（1）根据第三象限的横坐标和纵坐标均为负数，并根据点到两坐标轴的距离之和为16列方程求出的值即可得出点的坐标；
（2）根据点到坐标轴的距离相等，那么点的横纵坐标相等或互为相反数解答即可．
（1）解：点在第三象限，，，
又据点到两坐标轴的距离之和为16，，即，解得，
，，故点的坐标为；
（2）解：点到两坐标轴的距离相等，
，或，解得或，
当时，，，当时，，，点或，．
【点睛】此题主要考查了点的坐标性质，解题的关键是掌握点到坐标轴的距离相等，那么点的横纵坐标相等或互为相反数．
高频考点5.与坐标轴平行的坐标特征
【解题技巧】①l1∥x轴，则l1⊥y轴；l1∥y轴，则l1⊥x轴。
②l1∥x轴，则l1上所有点纵坐标相等。l2∥y轴，则l2上所有横纵坐标相等。
变式1．（2022·河南郑州·七年级期末）在平面直角坐标系中，有两点，若轴，则A，B两点间的距离为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】利用与x轴平行的直线上点的坐标特征得到a-3=-2，求出a得到A、B点的坐标，然后计算它们的横坐标之差得到A、B两点间的距离．
【详解】解：∵轴，∴A点和B点的纵坐标相等，即a-3=-2，解得a=1，
∴A（3，-2），B（4，-2），∴A、B两点间的距离为4-3=1．故选：A．
【点睛】本题考查了平面内点的位置的确定，平行于坐标轴的点的特点，两点之间的距离，理解平行于坐标轴的线段上点的特点是解题关键．
变式1．（2022·黑龙江绥化·七年级期末）已知点和点，若轴，且，则的值为______．
【答案】1或9##9或1
【分析】，可得A和B的横坐标相同，即可求出n的值，根据列出方程即可求出m的值，代入求解即可．
【详解】∵点和点，且，
∴，∴， ∴ 故答案为：1或9．
【点睛】本题考查了平行y轴的点的坐标特征，如果两点连线平行于y轴，则它们的横坐标x相等，如果两点连线平行于x轴，则它们的横坐标y相等．
变式2．（2022·广西贵港·八年级期末）在平面直角坐标系中，已知直线轴，点的坐标为，和两点之间的距离为5，则点的坐标为_______．
【答案】或
【分析】由AB平行与x轴可知A，B两点的距离等于横坐标之差的绝对值，只需分B在A的左边，B在A的右边两种情况讨论即可．
【详解】解：∵轴，∴A，B两点的距离等于横坐标之差的绝对值，
当B在A的左边时，﹣2－5=﹣7，故B点坐标为：，
当B在A的右边时，﹣2＋5=3，故B点坐标为：
综上所述B点坐标为或，故答案为：或．
【点睛】本题考查平行与坐标轴的线上的点的坐标特征，能够掌握数形结合思想是解决本题的关键．
变式3．（2022·吉林·七年级期末）已知：在平面直角坐标系中，点M的坐标为．(1)①若点M在x轴上，求a的值；②直接写出点M能否为原点．(2)若轴，并且点N 的坐标为． ①求点M 的坐标；②求线段的长．(3)若点M到x轴的距离为2，直接写出点M的坐标．
【答案】(1)①；②不能(2)①；②6(3)或
【分析】对于（1）①，根据在x轴上的点的纵坐标为0，求出a即可；②根据横，纵坐标都为0，判断即可；对于（2）①，根据点M，N的纵坐标相同求出a，即可得出答案；②根据横坐标的差的绝对值即为两个点（纵坐标相同）之间的距离解答即可；
对于（3），点M到x轴的距离是2，即为点M的纵坐标为±2，分两种情况计算即可．
（1）∵点M在x轴上，∴点的纵坐标为0，即． 解得；
②不能．当，；当，. 所以点M不能为原点；
（2）∵轴，∴点M和点N的纵坐标相等．
即． 解得．∴点M的坐标为；
∵点N的坐标为，点M的坐标为，∴；
（3）或．∵点M到x轴的距离是2，∴或，解得或，
∴点M的坐标是（7，2）或（3，-2）．
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系内点的坐标的确定，掌握平面直角坐标系内坐标轴上点的特征，平行于坐标轴的点的特征是解题的关键．
高频考点6 象限角平分线上点的特征
解题技巧：象限角平分线上点的坐标特点：第一、三象限中x＝y，第二、四象限中x＋y＝0．
例1．（2022·福建·城郊中学七年级期中）已知点A（）在第二象限角平分线上，则a的值是___．
【答案】-2
【分析】根据点A在角平分线上可知，点A到两个坐标的距离是相等的；第二象限的点，横坐标小于0，纵坐标大于0，综合可得A点的横纵坐标之和为0，据此列方程即可求解．
【详解】∵点A(-3+a,2a+9)在第二象限的角平分线上，
∴-3+a+2a+9＝0，∴a＝ 2．故答案为： 2．
【点睛】此题是坐标与图形性质的题，主要考查了象限角平分线上点的特点，解本题的关键是掌握了象限角平分线上点的特点．
变式1．（2022·安徽七年级期末）点A(m﹣1，2m+2)在一、三象限的角平分线上，则m＝_____．
【答案】-3
【分析】根据第一、三象限角平分线上点的坐标特征得到得m﹣1＝m+2，然后解关于m的一次方程即可．
【详解】解：∵A（m-1，2m+2）在第一、三象限的角平分线上，得
∴m-1=2m+2，解得m=，故答案为：.
【点睛】此题考查象限及点的坐标的有关性质，解题关键在于掌握其定义列出方程.
变式2．（2022·灌云县八年级月考）已知点A（3a+5，a﹣3）在一、三象限的角平分线上，则a=__．已知点P（1﹣a，a+2）关于y轴的对称点在第二象限，则a的取值范围是__．
【答案】﹣4
【分析】根据第一、三象限的角平分线上的点的横坐标与纵坐标相等列出方程求解即可；根据点P关于y轴的对称点在第二象限可知点P在第一象限，然后根据第一象限点的坐标特点列出不等式组，求解即可.
【详解】解：∵点A（3a+5，a﹣3）在一、三象限的角平分线上，∴3a+5＝a﹣3，解得：a＝﹣4；
∵点P（1﹣a，a+2）关于y轴的对称点在第二象限，∴点P（1﹣a，a+2）在第一象限，
∴，解得：，故答案为：﹣4；.
【点睛】本题考查了坐标与图形性质以及轴对称的性质，熟记第一、三象限的角平分线上的点的横坐标与纵坐标相等是解题的关键．
变式3．（2022·江西）已知点A（a－2，－2），B（－2，b＋1），根据以下要求确定a、b的值．（1）点A在y轴上，点B关于x轴对称的点为（－2，3）（2）A、B两点在第一、三象限的角平分线上
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据轴上的点的坐标特征分析可求得的值，根据关于轴对称的点的特征，可求得的值；轴上的点的坐标特征：横坐标等于0，关于x轴对称的两个点，横坐标相等，纵坐标互为相反数．（2）根据象限平分线上的点的坐标特征，横纵坐标相等，可求得的值．
【详解】解：（1）点A在y轴上，a－2=0，解得a=2，
点B关于x轴对称的点为（－2，3），，b＋1+3=0，解得：b=－4，
（2）第一、三象限的角平分线上的点的坐标特征是：横坐标等于纵坐标
a－2=－2 ∴a=0 b＋1=－2 ∴b=－3
【点睛】本题考查了平面直角坐标系的定义，熟记平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征及象限角平分线上的点的坐标特征是解决本题的关键．
高频考点7 与坐标相关的对称问题
【解题技巧】点与点关于轴对称 横 坐标不变， 纵 坐标互为相反数；
点与点关于轴对称 纵 坐标相等， 横 坐标互为相反数；
点与点关于原点对称横、纵坐标均互为 相反数 ；
例1．（2022·河北·石家庄市第二十二中学八年级阶段练习）如图，将的三个顶点坐标的横坐标都乘以－1，并保持纵坐标不变，则所得图形与原图形的关系是（ ）
A．将原图形沿轴的负方向平移了1个单位 B．关于轴对称
C．将原图形沿轴的负方向平移了1个单位 D．关于轴对称
【答案】D
【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），分别关于x轴的对称点的坐标是（x，﹣y），关于y轴的对称点的坐标是（﹣x，y）．
【详解】解：根据对称的性质，得三个顶点坐标的横坐标都乘以﹣1，并保持纵坐标不变，就是横坐标变成相反数．即所得到的点与原来的点关于y轴对称．
∴所得图形与原图形的关系是关于y轴对称．故选D．
【点睛】题目主要考查点的对称的性质，理解轴对称的性质是解题关键．
变式1．（2022·新疆·八年级期末）已知点A(a，2)与点B(3，b)关于x轴对称，则a+2b＝（ ）
A．-4 B．-1 C．-2 D．4
【答案】B
【分析】先根据关于x轴对称的点的坐标特点求出a、b，再代入计算即可．
【详解】解：∵点A(a，2)与点B(3，b)关于x轴对称，所以a=3，b= 2，
∴a+2b=3+2×( 2)=-1．故选B．
【点睛】此题主要考查关于x轴对称的点的坐标特点．关于x轴对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．
变式2．（2022·贵州八年级期末）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得答案．
【详解】解：点（-3，2）关于y轴对称点的坐标是（3，2）．故选：A．
【点睛】本题考查了关于y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
变式3．（2022·山西晋中市·八年级期中）若点关于原点对称的点在第一象限，则的整数解有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】点A（1-2a，a-3）关于原点的对称点在第一象限，则点A在第三象限，横坐标小于0，纵坐标小于0，就可得到关于a的不等式组，求出a的范围，找出满足条件的整数值．
【详解】解：根据题意得点A在第三象限，
，解得＜a＜3，则a的整数解是1，2．故选：B．
【点睛】本题考查直角坐标系中各象限内点的坐标的符号，以及关于原点对称的点、坐标之间的关系．
高频考点8 坐标的平移问题
解题技巧： 平面直角坐标内点的平移规律，设a>0，b>0
例1．（2022·山东菏泽·一模）如图，在平面直角坐标系中，将四边形先向上平移，再向左平移得到四边形，已知，则点B坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意得到点A的坐标变化规律，然后根据点A的变化规律反推可以由B1得到B的坐标．
【详解】解：∵-3-3=-6，5-3=2，∴点A变到A1的过程中，横坐标加-6，纵坐标加2，
∴由B1反推到B的过程，必须是横坐标加6，纵坐标加-2，
∴-4+6=2，3-2=1，∴B点坐标为（2，1），故选B．
【点睛】本题考查平移的坐标变化，得到图形的平移规律是解题关键．
变式1．（2022·山东临沂·七年级期末）在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度所得到的点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据“横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减”的规律求解即可．
【详解】解：将点P（3，2）向右平移2个单位长度得到（5，2），
再向下平移2个单位长度，所得到的点坐标为（5，0）．故选：D．
【点睛】本题考查坐标与图形变化——平移：向右平移a个单位，坐标P（x，y） （x+a，y）；向左平移a个单位，坐标P（x，y）（x-a，y）；向上平移b个单位，坐标P（x，y）（x，y+b）；向下平移b个单位，坐标P（x，y）（x，y-b），熟记点的坐标的平移规则是解题关键．
变式2．（2022·山东·七年级期末）将某图形的各点的纵坐标减去2，横坐标加上1，可将该图形（ ）
A．横向向左平移2个单位，纵向向上平移2个单位
B．横向向左平移1个单位，纵向向下平移2个单位
C．横向向右平移1个单位，纵向向上平移2个单位
D．横向向右平移1个单位，纵向向下平移2个单位
【答案】D
【分析】利用平移变换的性质判断即可．
【详解】解：将某图形的各点的纵坐标减去2，横坐标加上1，可将该图形横向向右平移1个单位，纵向向下平移2个单位，故选：D．
【点睛】本题考查平移变换的性质，解题的关键是理解平移变换的性质．
变式3．（2022·宁夏·盐池县第五中学七年级期中）已知三角形ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，将三角形ABC先向左平移2个单位，再向下平移5个单位，则平移后点C1的坐标是（ ）
A．(5，－2) B．(1，－2) C．(2，－1) D．(2，－2)
【答案】B
【分析】先写出平移前点C的坐标，再根据平移的规律“左减右加，上加下减”解答即可．
【详解】
解：平移前点C的坐标是 (3，3)，则△ABC先向下平移5个单位长度，再向左平移2个单位长度后点C的坐标是(1，-2)．故选：B．
【点睛】本题考查了平移的性质和坐标系中点的平移规律，属于基础题型，熟练掌握坐标系中点的平移规律是解题关键．
高频考点9 坐标系中的作图问题（平移与对称）
例1．（2022·新疆·七年级期中）在如图所示的直角坐标系中，解答下列问题：
(1)已知A（2，0），B（-1，-4），C（3，-3）三点，分别在坐标系中找出它们，并连接得到△ABC；
(2)将△ABC向上平移4个单位，得到△；(3)求四边形的面积．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)12
【分析】（1）先确定三个点的位置，再依次连接起来即可．
（2）根据平移规律，画图即可．
（3）合理分割图形计算面积即可．
（1）因为A（2，0），B（-1，-4），C（3，-3），画图如下：
（2）因为A（2，0），B（-1，-4），C（3，-3），
根据向上平移4个单位，横坐标不变，纵坐标分别加上4，得
（2，4），（-1，0），（3，1），画图如下：
． ．
（3）根据题意，得，，
∴=12．
【点睛】本题考查了坐标系中确定点的位置，平移的规律，坐标系中图形的面积计算，熟练掌握平移的规律，利用割补法求图形的面积是解题的关键．
变式1．（2022·山东德州·七年级期末）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别是，，．(1)在平面直角坐标系中画出；(2)平移，使点A与点重合，写出点、点平移后的所得点的坐标，并描述这个平移过程．(3)求的面积
【答案】(1)见解析 (2)；；将向下平移4个单位，再向左平移2个单位得到新的三角形（答案不唯一） (3)
【分析】（1）根据坐标，，描点，连接即可得；
（2）根据点A的平移方式确定的平移方式，从而得到点、点平移后的所得点的坐标和平移过程的描述；（3）用长方形面积减去小三角形的面积即可得到的面积．
（1）如图，即为所求；
（2）由图可知，点B平移后对应的坐标为：；点C平移后对应的坐标为：；
平移方式：将向下平移4个单位，再向左平移2个单位得到新的三角形（或将向左平移2个单位，再向下平移4个单位得到新的三角形；或将沿AO方向平移个单位长度得到新的三角形；答案不唯一）；
（3）．
【点睛】本题考查了坐标与图形中的描点、平移、求三角形的面积，熟练掌握点平移的坐标特征是本题的关键．
变式2．（2022·重庆·七年级阶段练习）ABC在平面直角坐标系中，且A(-2，1)、 B(-3，-2)、 C(1，-4)．将其平移后得到 ，若A，B的对应点是、，C的对应点的坐标是(3，- 1)．
(1)在平面直角坐标系中画出ABC；(2)写出点坐标是_____，坐标是______；(3)求ABC的面积．
【答案】(1)见解析(2)（0，4），（-1，1）(3)△ABC的面积为7．
【分析】（1）首先确定A、B、C三点位置，再连接即可；（2）利用C点坐标变化规律进而得出对应点坐标；（3）利用矩形面积减去周围多余三角形的面积即可．
（1）解：如图所示：△ABC，即为所求；
（2）解：∵C(1，-4)的对应点的坐标是(3，- 1)．
∴此次平移也可看作把△ABC向右平移2个单位长度，再向上平移了3个单位长度得到△．
∴A(-2，1)的对应点的坐标是（0，4），B(-3，-2)的对应点的坐标是（-1，1）；
故答案为：（0，4），（-1，1）；
（3）解：△ABC的面积为：4×5-×1×3-×3×5-×2×4=7．
【点睛】此题主要考查了坐标与图形的变化，关键是掌握横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．
变式3．（2022·湖北荆州·八年级期末）已知：如图，在平面直角坐标系中．
(1)作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出△A1B1C1三个顶点的坐标；
(2)直接写出△A1B1C1的面积为____________；(3)在x轴上画点P，使PA＋PC最小(保留作图痕迹）．
【答案】(1)△ABC关于y轴对称的△A1B1C1见解析；，，(2)(3)见解析
【分析】（1）作出点A、B、C关于y轴对称的对应点、、，然后顺次连接即可作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，写出△A1B1C1三个顶点的坐标即可；（2）根据网格利用割补法即可求出△A1B1C1的面积；（3）取点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，即可使PA＋PC最小．
(1)解：作出点A、B、C关于y轴对称的对应点、、，然后顺次连接，则△A1B1C1即为所求作的三角形，如图所示：
点，，．
(2)△A1B1C1的面积可以利用△A1B1C1所在的矩形面积减去周围三个三角形的面积，则：
＝2×3 ×1×2 ×1×2 ×1×3＝．故答案为：．
(3)如图，取点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，则点P即为所求．
【点睛】本题考查了作图 轴对称变换，轴对称 最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．
高频考点10 坐标系中的新定义问题
例1．（2022·辽宁）对有序数对（m，n）定义“f运算”：f（m，n）＝（am+bn，am﹣bn），其中a，b为常数．f运算的结果也是一个有序数对，比如当a＝1，b＝1时，f（﹣3，2）＝（﹣1，﹣5）．
（1）当a＝2，b＝﹣1时，f（2，2）＝ ．（2）f（3，1）＝（﹣3，﹣1），求a和b的值；
（3）有序数对（m，n），f（m﹣1，2n）＝（m﹣1，n），求a，b的值．（用m，n表示a和b）
【答案】（1）（2，6）；（2）；（3）
【分析】（1）根据“f运算”的定义计算即可；（2）根据“f运算”的定义列出方程组即可解决问题；
（3）根据“f运算”的定义列出方程组即可解决问题．
【详解】解：（1）∵f（m，n）＝（am+bn，am﹣bn），
∴当a＝2，b＝﹣1时，f（m，n）＝（2m﹣n，2m+n），
∴当m＝2，n＝2时，2m﹣n＝2×2﹣2＝2，2m+n＝2×2+2＝6，
f（2，2）＝（2，6）．故答案为：（2，6）；
（2）由题意得 ，解得：；
（3）由题意得 ，解得：．
【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，二元一次方程组的应用，点的坐标，理解“f运算”的定义，列出方程组是解题的关键．
变式1．（2022·湖北武汉·）在平面直角坐标系中，我们把横纵坐标均为整数的点称为格点，若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形．例如：图中的与四边形均为格点多边形．格点多边形的面积记为，其内部的格点数记为，边界上的格点记为，已知格点多边形的面积可表示为（，为常数），若某格点多边形对应的，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先分别根据和四边形中，、、的数值得出关于和的二元一次方程组，解得和的值，则可求得当，时的值．
【详解】解：中，，，，则；
同理，四边形中，，，
∴；联立得解得：，
∴，，则，故选：A．
【点睛】本题属于创新题型，主要考查二元一次方程相关知识以及学生对于题意理解和数据分析能力．
变式2．（2022·江苏八年级期末）如图，将一等边三角形的三条边各8等分，按顺时针方向（图中箭头方向）标注各等分点的序号0、1、2、3、4、5、6、7、8，将不同边上的序号和为8的两点依次连接起来，这样就建立了“三角形”坐标系．在建立的“三角形”坐标系内，每一点的坐标用过这一点且平行（或重合）于原三角形三条边的直线与三边交点的序号来表示（水平方向开始、按顺时针方向、取与三角形外箭头方向一致的一侧序号），如点A的坐标可表示为，点B的坐标可表示为，按此方法，若点C的坐标为，则m＝__________．
【答案】3
【分析】根据题目中定义的新坐标系中点坐标的表示方法，求出点C坐标，即可得到结果．
【详解】解：根据题意，点C的坐标应该是，∴．故答案是：3．
【点睛】本题考查新定义，解题的关键是理解题目中新定义的坐标系中点坐标的表示方法．
变式3．（2022·寻乌县教育局教学研究室）在平面直角坐标系中，将点称为点的“关联点”（例如点是点的“关联点”）．那么的关联点是______．
【答案】
【分析】根据关联点的定义进行求解即可得到答案.
【详解】解：∵点称为点的“关联点”，∴的关联点是,故答案为：
【点睛】本题主要考查了关联点的定义，解题的关键在于能够准确读懂题意.
高频考点11 点在坐标系内的变化规律
例1．（2022·河北七年级期末）如图，在平面直角坐标系中，长方形ABCD的各边分别平行于x轴或y轴，一物体从点A（-2，1）出发，沿矩形ABCD的边按逆时针作环绕运动，速度为1个单位/秒，则经过2022秒后，物体所在位置的坐标为（ ）
A．（﹣2，1） B．（﹣2，﹣1） C．（ 2，﹣1） D．（ 2，1）
【答案】C
【分析】用2022除以12即可知道物体运动了几周，且继续运动几个单位，由此可判断2022秒后物体位置．
【详解】解：由图可得，长方形的周长为2×（1×2+2×2）=12，
∵2022=168×12+6，∴经过2022秒后，该物体应运动了168圈，且继续运动6个单位，
∴从A点开始按逆时针运动6秒到达了C点，
∴经过2022秒后，物体所在位置的坐标为（2，-1）．故选：C．
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系、点的坐标规律，解决本题的关键是得出2022=168×12+6，即经过2022秒后，该物体应运动了168圈，且继续运动6个单位．
变式1．（2022·河南·）如图，等边的顶点，；规定把“先沿轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2021次变换后，等边的顶点的坐标为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】过点作交于点，根据等腰三角形三线合一性质，得；再根据坐标及勾股定理的性质计算，得，从而得；再根据轴对称、平移、数字规律的性质分析，即可得到答案．
【详解】过点作交于点
∵等边∴ ∵，∴
∴ ∴ ∴
第一次把“先沿轴翻折，再向左平移1个单位”，得，即；
第二次把“先沿轴翻折，再向左平移1个单位”，得，即；
第三次把“先沿轴翻折，再向左平移1个单位”，得，即；
…
当为奇数时，第次把“先沿轴翻折，再向左平移1个单位”，得
当为偶数时，第次把“先沿轴翻折，再向左平移1个单位”，得
∵2021为奇数∴第2021次把“先沿轴翻折，再向左平移1个单位”，得，即；故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形、等边三角形、直角坐标系、轴对称、平移、勾股定理、数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握等边三角形、轴对称、平移、数字规律的性质，从而完成求解．
变式2．（2022·河南七年级期末）在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点．如图，由里向外数第2个正方形开始，分别是由第1个正方形各顶点的横坐标和纵坐标都乘2，3，…得到的，请你观察图形，猜想由里向外第2021个正方形四条边上的整点个数共有（ ）
A．2021个 B．4042个 C．6063个 D．8084个
【答案】D
【分析】根据第一个正方形可以得到整点个数为4，第二个正方形可知除顶点外每条边上的整点个数为1，故第二个正方形四条边上的整点个数为：4×1+4，同理可知，第三个正方形四条边上的整点个数为：4×2+4，从而可以得到第2021个正方形四条边上的整点个数为．
【详解】解：根据题意可得，第一个正方形四条边上的整点个数为：4；
第二个正方形四条边上的整点个数为：4×1+4=8；
第三个正方形四条边上的整点个数为：4×2+4=12；…
第n个正方形四条边上的整点个数为：4×（n-1）+4=4n个
由此可得，由里向外第2021个正方形四条边上的整点个数为：4×2021=8048．故选：D．
【点睛】本题考查规律性，解题的关键是观察各个正方形，能发现正方形四条边上的整点数的规律．
变式3．（2022·山东八年级月考）如图，在坐标平面内，依次作点关于直线的对称点，关于轴对称点，关于轴对称点，关于直线对称点，关于轴对称点，关于轴对称点，…，按照上述变换规律继续作下去，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据轴对称的性质分别求出P1， P2，P3，P4，P5，P6的坐标，找出规律即可得出结论．
【详解】解：∵P（-3，1），∴点P关于直线y=x的对称点P1（1，-3），
P1关于x轴的对称点P2（1，3），P2关于y轴的对称点P3（-1，3），
P3关于直线y=x的对称点P4（3，-1），P4关于x轴的对称点P5（3，1），
P5关于y轴的对称点P6（-3，1），∴6个点后循环一次，
∵当n=2019时， 2019÷6=336…3，∴的坐标与P3（-1，3）的坐标相同，故选：A．
【点睛】本题考查的是坐标的对称变化，根据各点坐标找出规律是解答此题的关键．
高频考点12 坐标系中的动点问题
【解题技巧】动点问题，通常假设运动时间为t，将时间t视作常数进行图形分析，列出关于未知数t的方程，求解方程来解决。
例1．（2022·厦门市七年级期中）在平面直角坐标系中，点A，B在y轴正半轴上，且点A在B的下方，将线段AB进行平移得到线段CD，点A的对应点为点D，点B的对应点为点C，
（1）若点A（0，1），B（0，3），D（3，2），求点C的坐标；（2）点E是第二象限上的一个动点，过点E作EF垂直x轴于F，连接DF，DE，EC．若点A（0，m），B（0，b），C（a+b+1，m+3），D（m，﹣2m+3），三角形DEF的面积为S△DEF＝，点D到直线EF的距离为3，试问是否存在m，使得S△BCE＝S△ACE？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）点C（3，4）；（2）存在m，使得S△BCE＝S△ACE，此时 或 ．
【分析】先根据A（0，1），D（3，2），得到平移的方向和距离，再利用平移的性质，即可求解；
（2）利用平移变换的性质构建方程组求出a，b（用m表示），利用三角形的面积公式构建方程求出m，即可解决问题．
【详解】解：（1）∵A（0，1），D（3，2），∴点A先向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到点D，
∴点B（0，3）先向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到点C，∴点C（3，4）；
（2）如图，存在m，使得S△BCE＝S△ACE，理由如下：
∵将线段AB进行平移得到线段CD，∴AB=CD，
∵点A（0，m），B（0，b），C（a+b+1，m+3），D（m，﹣2m+3），
∴ ， 解得： ，
∴ ，∴，
∵EF垂直x轴，点D到直线EF的距离为3，S△DEF＝，
∴ ，解得： ，
∴ 轴，∴点A到CE的距离为，
∵S△BCE＝S△ACE，∴点B到EC的距离为 ，
∴ ，即 ，解得： 或 ，
∴存在m，使得S△BCE＝S△ACE，此时 或 ．
【点睛】本题主要考查平移变换，坐标与图形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会构建方程组，利用参数解决问题．
变式1．（2022·辛集市八年级期中）如图所示，、点在轴上，将三角形沿轴负方向平移，平移后的图形为三角形，且点的坐标为．（1）直接写出点的坐标______；（2）在四边形中，点从点出发，沿“”移动．若点的速度为每秒1个单位长度，运动时间为秒，回答下列问题：①当______秒时，点的横坐标与纵坐标互为相反数；②求点在运动过程中的坐标（用含的式子表示，写出过程）；③当秒秒时，设，，，试问，，之间的数量关系能否确定？若能，请用含，的式子表示，写出方程；若不能，说明理由．
【答案】（1）；（2）①2；②的坐标（-t，2）或；③能确定，当时，
【分析】（1）根据B、C两点的坐标即可得到平移方式，然后得到E点的坐标；（2）①根据题意可以得到P（-t，2），然后根据相反数的定义求解即可；②分P在BC上和P在CD上两种情况求解即可；③过作交于，则，即可得到，，由此求解即可．
【详解】解：（1）由B在y轴上，C（-3，2）可知平移方式为向左平移3个单位，
∴E（1-3，0）即（-2，0），故答案为：（-2，0）；
（2）① 由题意可得，点P的横坐标与纵坐标互为相反数时，此时P在BC上运动，
则有P（-t，2），∴2-t=0，∴t=2，故答案为：2；
②当点在线段上时，轴，且点，点的坐标，
当点在线段上时，，，点的纵坐标为：，
，点的坐标，∴P点的坐标为或；
③ 能确定，理由如下：当时，，点在上，
如图，过作交于，则，
，，，．
【点睛】本题主要考查了平移的性质，坐标与图形，平行线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
变式2．（2022·重庆·八年级期中）在平面直角坐标系中，为坐标原点．已知两点，且、满足；若四边形为平行四边形，且 ，点在轴上．（1）如图①，动点从点出发，以每秒个单位长度沿轴向下运动，当时间为何值时，三角形的面积等于平行四边形面积的四分之一；
（2）如图②，当从点出发，沿轴向上运动，连接、，、、存在什么样的数量关系，请说明理由（排除在和两点的特殊情况）．
【答案】（1）1或3；（2）∠APD =∠CDP+∠PAB或∠APD=∠PAB-∠CDP，理由见解析
【分析】
（1）由非负数的性质求出a，b，得到AB的长，结合点C坐标求出平行四边形ABCD的面积，再根据的面积等于平行四边形面积的，列出方程，解之即可；
（2）分点P在线段OC上和点P在OC的延长线上，两种情况，过P作PQ∥AB，利用平行线的性质求解．
【详解】解：（1）∵，∴a=-4，b=3，即A（-4，0），B（3，0），
∴AB=3-（-4）=7，又C（0，4），∴OC=4，∴平行四边形ABCD的面积=4×7=28，
由题意可知：PC=2t，则OP=，
∵的面积等于平行四边形面积的，∴，解得：t=1或t=3，
（2）如图，当点P在线段OC上时，过P作PQ∥AB，则PQ∥CD，
∴∠CDP=∠DPQ，∠APQ=∠PAB，∴∠APD=∠DPQ+∠APQ=∠CDP+∠PAB；
当点P在OC的延长线上时，过P作PQ∥AB，则PQ∥CD，
∴∠CDP=∠DPQ，∠APQ=∠PAB，∴∠APD=∠APQ-∠DPQ=∠PAB-∠CDP．
【点睛】本题考查了坐标与图形，平行线的性质，解题的关键是掌握坐标和图形的关系，将坐标与线段长进行转化，同时适当添加辅助线，构造平行线．
变式3．（2022·哈尔滨七年级期中）如图，平面直角坐标系中，点的坐标是，点在轴的正半轴上，的面积等于18．
（1）求点的坐标；（2）如图，点从点出发，沿轴正方向运动，点运动至点停止，同时点从点出发，沿轴正方向运动，点运动至点停止，点、点的速度都为每秒1个单位，设运动时间为秒，的面积为，求用含的式子表示，并直接写出的取值范围；（3）在（2）的条件下，过点作，连接并延长交于，连接交于点，若，求值及点的坐标．
【答案】（1）；（2）（）；（3）的值为4，点的坐标是．
【分析】（1）根据△AOB的面积可求得OA的长，即可求得点A的坐标；（2）由题意可分别得，由三角形面积公式即可得结果，由点Q只在线段OB上运动，从而可得t的取值范围；（3）利用割补方法，由则可求得t的值；连接OE，由可求得OF的长，从而求得点F的坐标．
【详解】（1）∵B(-6，0)，∴OB=6，∵，∴，∴OA=6 ，∴．
（2）∵，，∴，∴（）
（3）∵，，∴，
∴，解得，则，∴，
连接，如图
∵，
∴∴∴点坐标为
综上所述：的值为4，点的坐标是．
【点睛】本题考查了代数式，三角形面积，用到了割补方法，也是本题的关键和难点．
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专题04 图形与坐标 高频考点（12个）（精讲）
高频考点1 位置的确定方法及运用
【解题技巧】确定一个物体的位置的方法：1）有序实数对确定点的位置--行列定位法；2）方位角+距离确定点的位置--极坐标定位法；3）用“经纬度”确定点的位置--经纬定位法；4）区域定位法。
例1．（2022·河北唐山·八年级期末）下列条件不能确定点的位置的是（ ）
A．第二阶梯教室6排3座 B．小岛北偏东30°，距离1600m
C．距离北京市180千米 D．位于东经114.8°，北纬40.8°
变式1．（2022·黑龙江绥化·期末）数对（1，3）表示第1组，第3行，那么小明坐第4组，第5行，用（ ）可以表示他的位置．
A．（4，5） B．（5，4） C．（4，4） D．（5，5）
变式2．（2022·福建厦门·七年级期末）某公交车上显示屏上显示的数据表示该车经过某站点时先下后上的人数．若车上原有10个人，此公交车依次经过某三个站点时，显示器上的数据如下：，则此公交车经过第二个站点后车上的人数为（ ）
A．9 B．12 C．6 D．1
变式3．（2022·广东·一模）阅读理解：如图1，在平面内选一定点O，引一条有方向的射线，再选定一个单位长度，那么平面上任一点M的位置可由的度数与的长度m确定，有序数对称为M点的“极坐标”，这样建立的坐标系称为“极坐标系”．
应用：在图2的极坐标系下，如果正六边形的边长为4，有一边在射线上，则正六边形的顶点C的极坐标应记为（ ）
A． B． C． D．
高频考点2 坐标确定点的位置
【解题技巧】首先根据题干中的两个点确定坐标系（坐标原点、x轴、y轴），再根据坐标系的概念确定点的坐标。
例1．（2022·浙江·宁波八年级开学考试）如图，在正方形网格中，若点的坐标分别是，则点的坐标为( )
A． B． C． D．
变式1．（2022·江苏·八年级专题练习）“健步走”越来越受到人们的喜爱．一个健步走小组将自己的活动场地定在奥林匹克公园〔路线：森林公园—玲珑塔—国家体育场—水立方），如图假设在奥林匹克公园设计图上规定玲珑塔的坐标为，森林公园的坐标为，则终点水立方的坐标为（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2022·浙江·八年级课时练习）嘉嘉和淇淇下棋，嘉嘉执圆子，淇淇执方子．棋盘中心方子的位置用（1，0）表示，右下角方子的位置用（2，－1）表示．嘉嘉将第4枚圆子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图形．则嘉嘉放的位置是（ ）
A．（1，2） B．（1，1） C．（－1，1） D．（－2，1）
变式3．（2022·江西宜春·七年级阶段练习）下图是某动物园的游览示意图，彤彤同学为了描述该动物园中每个景点的位置，建立了一个平面直角坐标系，每个小方格的边长均为1个单位长度，南门所在的点为坐标原点、飞禽的坐标为，请回答下列问题．
(1)狮子和马所在的点可用坐标表示为___________，___________．
(2)动物园又来了一位新朋友一大象，若它所在的点的坐标为．
①请直接在图中标出大象所在的位置．（描出点，并写出“大象”二字）
②丽丽同学建立了一个和彤彤不一样的平面直角坐标系，在丽丽建立的平面直角坐标系中，若飞禽所在的点的坐标是，则此时坐标原点是两栖动物所在的点，此时南门所在的点的坐标是________，大象所在点的坐标是________．
高频考点3 象限内和坐标轴上点的特征
【解题技巧】掌握第1～4象限内点的坐标符号特点分别是：（＋，＋）、（－，＋）、（－，－）、（＋，－）；坐标系内点的坐标特点：坐标原点（0，0）、x轴（x，0）、y轴（0，y）.注意若点在坐标轴上，则要分成在x轴、y轴上两种情况来讨论.
例1．（2022·海南鑫源高级中学八年级期中）已知：点P．试分别根据下列条件，求出P点的坐标．(1)点P在y轴上；(2)点P在x轴上；(3)点P的横坐标比纵坐标大1．
变式1．（2022·陕西安康·七年级期末）在平面直角坐标系中，第二象限内点的坐标为，则点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
变式2．（2022·山东临沂·七年级期末）在平面直角坐标系中，点P的坐标为，则点P所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
变式3．（2022·山东滨州·七年级期末）已知点，若直线轴，点P在x轴的负半轴上，则点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
高频考点4 点到坐标轴的距离
【解题技巧】点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值.
例1．（2022·河北·保定市清苑区北王力中学八年级期末）在平面直角坐标系内有一点，若点到轴的距离为3，到轴的距离为1．且点在第二象限，则点坐标为（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2022·河南·郑州八年级期末）在平面直角坐标系中，点M在第四象限，到x轴、y轴的距离分别为4和3，则点M的坐标为（ ）
A．（4，-3） B．（3，-4） C．（-3，4） D．（-4，3）
变式2．（2022·广西河池·七年级期末）平面直角坐标系中，点位于第一象限，且点到两坐标轴的距离相等，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
变式3.（2022·安徽·八年级阶段练习）已知：点Q的坐标（2a，3a－1）．(1)若点Q在第三象限，且到两坐标轴的距离之和为16，求点Q的坐标．(2)若点Q到两坐标轴的距离相等，求点Q的坐标．
高频考点5.与坐标轴平行的坐标特征
【解题技巧】①l1∥x轴，则l1⊥y轴；l1∥y轴，则l1⊥x轴。
②l1∥x轴，则l1上所有点纵坐标相等。l2∥y轴，则l2上所有横纵坐标相等。
变式1．（2022·河南郑州·七年级期末）在平面直角坐标系中，有两点，若轴，则A，B两点间的距离为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
变式1．（2022·黑龙江绥化·七年级期末）已知点和点，若轴，且，则的值为______．
变式2．（2022·广西贵港·八年级期末）在平面直角坐标系中，已知直线轴，点的坐标为，和两点之间的距离为5，则点的坐标为_______．
变式3．（2022·吉林·七年级期末）已知：在平面直角坐标系中，点M的坐标为．(1)①若点M在x轴上，求a的值；②直接写出点M能否为原点．(2)若轴，并且点N 的坐标为． ①求点M 的坐标；②求线段的长．(3)若点M到x轴的距离为2，直接写出点M的坐标．
高频考点6 象限角平分线上点的特征
解题技巧：象限角平分线上点的坐标特点：第一、三象限中x＝y，第二、四象限中x＋y＝0．
例1．（2022·福建·城郊中学七年级期中）已知点A（）在第二象限角平分线上，则a的值是___．
变式1．（2022·安徽七年级期末）点A(m﹣1，2m+2)在一、三象限的角平分线上，则m＝_____．
变式2．（2022·灌云县八年级月考）已知点A（3a+5，a﹣3）在一、三象限的角平分线上，则a=__．已知点P（1﹣a，a+2）关于y轴的对称点在第二象限，则a的取值范围是__．
变式3．（2022·江西）已知点A（a－2，－2），B（－2，b＋1），根据以下要求确定a、b的值．（1）点A在y轴上，点B关于x轴对称的点为（－2，3）（2）A、B两点在第一、三象限的角平分线上
高频考点7 与坐标相关的对称问题
【解题技巧】点与点关于轴对称 横 坐标不变， 纵 坐标互为相反数；
点与点关于轴对称 纵 坐标相等， 横 坐标互为相反数；
点与点关于原点对称横、纵坐标均互为 相反数 ；
例1．（2022·河北·石家庄市第二十二中学八年级阶段练习）如图，将的三个顶点坐标的横坐标都乘以－1，并保持纵坐标不变，则所得图形与原图形的关系是（ ）
A．将原图形沿轴的负方向平移了1个单位 B．关于轴对称
C．将原图形沿轴的负方向平移了1个单位 D．关于轴对称
变式1．（2022·新疆·八年级期末）已知点A(a，2)与点B(3，b)关于x轴对称，则a+2b＝（ ）
A．-4 B．-1 C．-2 D．4
变式2．（2022·贵州八年级期末）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
变式3．（2022·山西晋中市·八年级期中）若点关于原点对称的点在第一象限，则的整数解有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
高频考点8 坐标的平移问题
解题技巧： 平面直角坐标内点的平移规律，设a>0，b>0
例1．（2022·山东菏泽·一模）如图，在平面直角坐标系中，将四边形先向上平移，再向左平移得到四边形，已知，则点B坐标为（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2022·山东临沂·七年级期末）在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度所得到的点坐标为（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2022·山东·七年级期末）将某图形的各点的纵坐标减去2，横坐标加上1，可将该图形（ ）
A．横向向左平移2个单位，纵向向上平移2个单位
B．横向向左平移1个单位，纵向向下平移2个单位
C．横向向右平移1个单位，纵向向上平移2个单位
D．横向向右平移1个单位，纵向向下平移2个单位
变式3．（2022·宁夏·盐池县第五中学七年级期中）已知三角形ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，将三角形ABC先向左平移2个单位，再向下平移5个单位，则平移后点C1的坐标是（ ）
A．(5，－2) B．(1，－2) C．(2，－1) D．(2，－2)
高频考点9 坐标系中的作图问题（平移与对称）
例1．（2022·新疆·七年级期中）在如图所示的直角坐标系中，解答下列问题：
(1)已知A（2，0），B（-1，-4），C（3，-3）三点，分别在坐标系中找出它们，并连接得到△ABC；
(2)将△ABC向上平移4个单位，得到△；(3)求四边形的面积．
变式1．（2022·山东德州·七年级期末）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别是，，．(1)在平面直角坐标系中画出；(2)平移，使点A与点重合，写出点、点平移后的所得点的坐标，并描述这个平移过程．(3)求的面积
变式2．（2022·重庆·七年级阶段练习）ABC在平面直角坐标系中，且A(-2，1)、 B(-3，-2)、 C(1，-4)．将其平移后得到 ，若A，B的对应点是、，C的对应点的坐标是(3，- 1)．
(1)在平面直角坐标系中画出ABC；(2)写出点坐标是_____，坐标是______；(3)求ABC的面积．
变式3．（2022·湖北荆州·八年级期末）已知：如图，在平面直角坐标系中．
(1)作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出△A1B1C1三个顶点的坐标；
(2)直接写出△A1B1C1的面积为____________；(3)在x轴上画点P，使PA＋PC最小(保留作图痕迹）．
高频考点10 坐标系中的新定义问题
例1．（2022·辽宁）对有序数对（m，n）定义“f运算”：f（m，n）＝（am+bn，am﹣bn），其中a，b为常数．f运算的结果也是一个有序数对，比如当a＝1，b＝1时，f（﹣3，2）＝（﹣1，﹣5）．
（1）当a＝2，b＝﹣1时，f（2，2）＝ ．（2）f（3，1）＝（﹣3，﹣1），求a和b的值；
（3）有序数对（m，n），f（m﹣1，2n）＝（m﹣1，n），求a，b的值．（用m，n表示a和b）
变式1．（2022·湖北武汉·）在平面直角坐标系中，我们把横纵坐标均为整数的点称为格点，若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形．例如：图中的与四边形均为格点多边形．格点多边形的面积记为，其内部的格点数记为，边界上的格点记为，已知格点多边形的面积可表示为（，为常数），若某格点多边形对应的，，则（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2022·江苏八年级期末）如图，将一等边三角形的三条边各8等分，按顺时针方向（图中箭头方向）标注各等分点的序号0、1、2、3、4、5、6、7、8，将不同边上的序号和为8的两点依次连接起来，这样就建立了“三角形”坐标系．在建立的“三角形”坐标系内，每一点的坐标用过这一点且平行（或重合）于原三角形三条边的直线与三边交点的序号来表示（水平方向开始、按顺时针方向、取与三角形外箭头方向一致的一侧序号），如点A的坐标可表示为，点B的坐标可表示为，按此方法，若点C的坐标为，则m＝__________．
变式3．（2022·寻乌县教育局教学研究室）在平面直角坐标系中，将点称为点的“关联点”（例如点是点的“关联点”）．那么的关联点是______．
高频考点11 点在坐标系内的变化规律
例1．（2022·河北七年级期末）如图，在平面直角坐标系中，长方形ABCD的各边分别平行于x轴或y轴，一物体从点A（-2，1）出发，沿矩形ABCD的边按逆时针作环绕运动，速度为1个单位/秒，则经过2022秒后，物体所在位置的坐标为（ ）
A．（﹣2，1） B．（﹣2，﹣1） C．（ 2，﹣1） D．（ 2，1）
变式1．（2022·河南·）如图，等边的顶点，；规定把“先沿轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2021次变换后，等边的顶点的坐标为（ ）．
A． B． C． D．
变式2．（2022·河南七年级期末）在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点．如图，由里向外数第2个正方形开始，分别是由第1个正方形各顶点的横坐标和纵坐标都乘2，3，…得到的，请你观察图形，猜想由里向外第2021个正方形四条边上的整点个数共有（ ）
A．2021个 B．4042个 C．6063个 D．8084个
变式3．（2022·山东八年级月考）如图，在坐标平面内，依次作点关于直线的对称点，关于轴对称点，关于轴对称点，关于直线对称点，关于轴对称点，关于轴对称点，…，按照上述变换规律继续作下去，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
高频考点12 坐标系中的动点问题
【解题技巧】动点问题，通常假设运动时间为t，将时间t视作常数进行图形分析，列出关于未知数t的方程，求解方程来解决。
例1．（2022·厦门市七年级期中）在平面直角坐标系中，点A，B在y轴正半轴上，且点A在B的下方，将线段AB进行平移得到线段CD，点A的对应点为点D，点B的对应点为点C，
（1）若点A（0，1），B（0，3），D（3，2），求点C的坐标；（2）点E是第二象限上的一个动点，过点E作EF垂直x轴于F，连接DF，DE，EC．若点A（0，m），B（0，b），C（a+b+1，m+3），D（m，﹣2m+3），三角形DEF的面积为S△DEF＝，点D到直线EF的距离为3，试问是否存在m，使得S△BCE＝S△ACE？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．
变式1．（2022·辛集市八年级期中）如图所示，、点在轴上，将三角形沿轴负方向平移，平移后的图形为三角形，且点的坐标为．（1）直接写出点的坐标______；（2）在四边形中，点从点出发，沿“”移动．若点的速度为每秒1个单位长度，运动时间为秒，回答下列问题：①当______秒时，点的横坐标与纵坐标互为相反数；②求点在运动过程中的坐标（用含的式子表示，写出过程）；③当秒秒时，设，，，试问，，之间的数量关系能否确定？若能，请用含，的式子表示，写出方程；若不能，说明理由．
变式2．（2022·重庆·八年级期中）在平面直角坐标系中，为坐标原点．已知两点，且、满足；若四边形为平行四边形，且 ，点在轴上．（1）如图①，动点从点出发，以每秒个单位长度沿轴向下运动，当时间为何值时，三角形的面积等于平行四边形面积的四分之一；
（2）如图②，当从点出发，沿轴向上运动，连接、，、、存在什么样的数量关系，请说明理由（排除在和两点的特殊情况）．
变式3．（2022·哈尔滨七年级期中）如图，平面直角坐标系中，点的坐标是，点在轴的正半轴上，的面积等于18．
（1）求点的坐标；（2）如图，点从点出发，沿轴正方向运动，点运动至点停止，同时点从点出发，沿轴正方向运动，点运动至点停止，点、点的速度都为每秒1个单位，设运动时间为秒，的面积为，求用含的式子表示，并直接写出的取值范围；（3）在（2）的条件下，过点作，连接并延长交于，连接交于点，若，求值及点的坐标．
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