第一单元《三角形的初步认识》单元测试卷（困难）（含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版初中数学八年级上册第一单元《三角形的初步认识》单元测试卷
考试范围：第一章；考试时间：120分钟；总分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于，交于，过点作于，下列三个结论：当时，，分别是，的中点若，，则其中正确的是( )
A. B. C. D.
如图，在中，、分别是高和角平分线，点在的延长线上，交于，交于，下列结论：；；；，其中正确的是( )
A. B. C. D.
对于命题“若，则”，下面四组关于，的值中，能说明这个命题是假命题的是( )
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
用三个不等式中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为( )
A. B. C. D.
小宇设计了一个随机碰撞模拟器：在模拟器中有，，三种型号的小球，它们随机运动，当两个小球相遇时会发生碰撞不考虑多个小球相撞的情况若相同型号的两个小球发生碰撞，会变成一个型小球；若不同型号的两个小球发生碰撞，则会变成另外一种型号的小球，例如，一个型小球和一个型小球发生碰撞，会变成一个型小球现在模拟器中有型小球个，型小球个，型小球个，如果经过各种两两碰撞后，最后只剩一个小球以下说法：其中正确的说法是( )
最后剩下的小球可能是型小球；
最后剩下的小球一定是型小球；
最后剩下的小球一定不是型小球．
A. B. C. D.
图书馆为将某一本书和某一个关键词建立联系，规定：当关键词出现在书中时，，否则为正整数例如：当关键词出现在书中时，，否则根据上述规定，某读者去图书馆寻找关键词，，，则下列相关表述错误的是( )
A. 当时，只需要选择这本书就可以找到所有的关键词
B. 当时，从这本书查不到需要的关键词
C. 当时，可以从这本书查到需要的关键词
D. 当时，从这本书一定查不到需要的关键词
如图所示，锐角中，，分别是，边上的点，，，且，、交于点，若，则的大小是 ( )
A. B. C. D.
如图，在中，、分别是边、上的点，若≌≌，则下列结论正确的有。( )
平分
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
如图，在和中，，，，，连接，交于点，连接下列结论：；；平分；平分其中正确的结论有( )
A. B. C. D.
以下四种沿折叠的方法中，不一定能判定纸带两条边线，互相平行的是( )
A. 如图所示，展开后测得
B. 如图所示，展开后测得且
C. 如图所示，测得
D. 如图所示，展开后再沿折叠，两条折痕的交点为点，测得，
如图，用尺规作图“过点作”的实质就是作，其作图依据是( )
A. B. C. D.
如图所示，已知，( )
A. B.
C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
如图，在的边、上取点、，连接，是外角平分线的交点，若，，则的周长是________．
以下四个命题的立方根是；要调查一批灯泡的使用寿命适宜用抽样调查；两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；已知与其内部一点，过点作，作，则其中假命题的序号为____．
如图，中，，，，直线经过点且与边相交．动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点，于点，设运动时间为秒，则当______秒时，与全等．
已知，在中，分别以点，为圆心、大于长为半径画弧，两弧交于点，点，作直线交于点；再分别以点，为圆心、大于长为半径画弧，两弧交于点，点，作直线交于点若是等边三角形，则______．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
在中，射线平分交于点，点在边上运动不与点重合，过点作交于点．
如图，点在线段上运动时，平分
若，，则___________；
若，则_________；
试探究与之间的数量关系？请说明理由；
点在线段上运动时，的角平分线所在直线与射线交于点试探究与之间的数量关系，并说明理由
本小题分
【概念认识】
两条直线相交，四个交角中的一个锐角或直角称为两条直线的“夹角”．
【数学理解】
已知直线和直线相交于点，，则直线与直线“夹角”的度数是________．
在同一平面内，直线和的“夹角”是，直线被直线的“夹角”是，求直线和直线的“夹角”度数画出图形，写出求解过程．
【问题解决】
在同一平面内，直线和直线被直线所截，直线和的“夹角”是，直线和直线的“夹角”是，下列命题中：若，则；若，则；若，则；若，则其中正确的是________填序号
如图，直线和直线相交于点，“夹角”度数为，直线和直线相交于点，“夹角”的度数为是的平分线所在直线，是的平分线所在直线，则与“夹角”的度数是________用含和的式子表示
本小题分
我们定义：两边平方和等于第三边平方的两倍的三角形叫做“奇异三角形”．
根据“奇异三角形”的定义，请你判断命题：“等边三角形一定是奇异三角形”
是______命题．填写“真命题、假命题”
在中，，，，，且，若是
“奇异三角形”，则：：______．
如图，在四边形中，，，若在四边形内存在点使得，．
求证：是“奇异三角形”；
当是直角三角形时，且，求线段的长．
本小题分
如图，请证明
图所示的图形我们把它称为“字形”，请证明
如图，在的延长线上，平分，平分，猜想与B、之间的关系，并证明
如图，，平分，平分，过点作、分别交于，交于给出下列结论：．不变．不变选择正确的结论并给予证明．
本小题分
如图，和是由分别沿着边、翻折得到的若，求的度数．
本小题分
如图，在中，，，，，现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为．
如图，当__时，的面积等于面积的一半；
如图，在中，，，，在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好≌，求点的运动速度．
本小题分
如图，，，，，垂足分别为、，，，求的长
本小题分
如图，在四边形中，，为中点，连接并延长交的延长线于点．
求证：；
连接，若，，，求的长．
本小题分
如图，每个小正方形的边长均为个长度单位的网格中，有一个，三角形的三个顶点均在网格的顶点上．
在图中画线段，使，点在网格的格点上，并能组成四边形．
连接，请求出四边形的面积．
答案和解析
1.【答案】
【解析】略
2.【答案】
【解析】
【解答】
解：，
，
，
，
，
，故正确；
平分，
，
，
，
，
，故正确；
，
，
，
，
由得，，
，
；故正确；
，，
，
，，
，
，正确，
故选D．
【分析】
本题考查的是三角形内角和定理，正确运用三角形的高和角平分线的概念以及三角形外角的性质是解题的关键．
根据，和，证明结论正确；
根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确；
证明，根据的结论，证明结论正确；
根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确．
3.【答案】
【解析】解：
在中，，，且，满足“若，则”，故A选项中、的值不能说明命题为假命题；
在中，，，且，此时不但不满足，也不满足不成立，故B选项中、的值不能说明命题为假命题；
在中，，，且，此时不但不满足，也不满足不成立，故C选项中、的值不能说明命题为假命题；
在中，，，且，此时满足，但不能满足，即意味着命题“若，则”不能成立，故D选项中、的值能说明命题为假命题；
故选：．
说明命题为假命题，即、的值满足，但不成立，把四个选项中的、的值分别代入验证即可．
本题主要考查假命题的判断，举反例是说明假命题不成立的常用方法，但需要注意所举反例需要满足命题的题设，但结论不成立．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了命题与定理、不等式的性质、命题的组成、真命题和假命题的定义；熟练掌握命题的组成和不等式的性质是解题的关键．由题意得出个命题，由不等式的性质再判断真假即可．
【解答】
解：若，，则；假命题：
理由：，，
，
；
若，，则，假命题；
理由：，
、同号，
，
，或；
若，，则，假命题；
理由：，，
当、异号，
．
组成真命题的个数为个；
故选A．
5.【答案】
【解析】解：假设个球中每两个球进行碰撞，则可以得到个球，个球中让其中个球每两个进行碰撞，则可以得到个球，加上原来的球，共个球，让这个球互相碰撞，重复进行直至剩下一个球，再和剩下的球碰撞，可以得到一个球，由此可知正确，错误．
事实上，无论怎么碰撞，球数量与球数量奇偶性总是不一样一奇一偶．
，与一奇一偶；
，与一奇一偶；
，与一奇一偶；
，与一奇一偶；
，与一奇一偶；
，与一奇一偶．
由此可知，与的数量不可能同时为，所以最后剩下的小球一定不是型小球，正确．
故选：．
和可以举一个特例进行判定．通过分析所有可能碰撞所导致的、数量的奇偶性来判断的正确与否．
本题是一个推理与论证的题目，主要考查对实际问题中数据变化的分析能力和综合推理能力，发现、数量的奇偶性始终不一样是解答本题的关键．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了推理与论证，读懂题意，按照规定进行计算与推理是解题的关键．
根据题意的值要么为，要么为，当关键词出现在书中时，元素，否则为正整数，按照此规定对每个选项分析推理即可．
【解答】
解：根据题意的值要么为，要么为，
A、，说明，，，故关键词“，，”同时出现在书中，而读者去图书馆寻找书中同时有关键词“，，”的书，故A表述正确；
B、当时，则、、的值都为，即从这本书查不到需要的关键词，故 B表述正确；
C、当时，，，，至少有一个值为，可以从这本书查到需要的关键词，故C表述正确；
D、当时，而的值可能为、、、从这本书可能查到需要的关键词
故D表述错误．
故选：．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了全等三角形的性质，平行线的性质，三角形的外角的性质等知识，能熟记全等三角形的性质的内容是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
延长交于利用全等三角形的性质，平行线的性质，三角形的外角的性质证明，再求出即可解决问题．
【解答】
解：延长交于．
≌，
，
，
，
，
≌，
，
，，
，
，
，
，
，
故选B．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了全等三角形的性质，找到相应等量关系是解题的关键．判断各个选项的正误，要由已知条件：≌≌得出相等的角，相等的边，就可得到答案了．
【解答】
解：如图，
≌
，，，
≌
， ，，，
平分，正确；
，

，正确；
又
，正确；

又，
，正确；所以个选项均正确
故选A

9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识证明三角形全等是解题的关键由证明得出，，正确
由全等三角形的性质得出，由三角形的外角性质得：，得出，正确
作于，于，如图所示：则，由证明，得出，由角平分线的判定方法得出平分，正确
由，得出当时，才平分，假设，由得出，由平分得出，推出，得，而，所以，而，故错误即可得出结论．
【解答】
解：，
，
即，
在和中，
，
，
，，正确
，
由三角形的外角性质得：，
，正确
作于，于，如图所示：
则，
在和中，
，
，
平分，正确
，
当时，才平分，
假设
，
，
平分，
，
在和中，
，
，
，
，
与矛盾，
错误
正确的是
故选D．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了平行线的判定，解决本题的关键是熟记平行线的判定定理．根据平行线的判定定理，进行分析，即可得解．
【解答】
解：，
内错角相等，两直线平行，
故A选项不合题意，错误；
B.且，
由图可知，，
，
内错角相等，两直线平行，
故B选项不合题意，错误；
C.测得，
与即不是内错角也不是同位角，
不一定能判定，两直线互相平行，
故C选项符合题意，正确；
D.在和中，
≌，
，
内错角相等，两直线平行，
故D选项不合题意，错误．
故选C．

11.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了基本作图以及全等三角形的判定，关键是掌握作一个角等于已知角的方法．直接利用基本作图方法结合全等三角形的判定方法得出答案．
【解答】
解：用尺规作图“过点作”的实质就是作，
其作图依据是，在和中，
，
，
．
故选B．
12.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了复杂作图，根据线段垂直平分线的性质得出是解题关键．
【解答】
解：如图所示：此时，则无法得出，故不能得出，故此选项错误；
B.如图所示：此时，故能得出，故此选项正确；
C.如图所示：此时，则无法得出，故不能得出，故此选项错误；
D.如图所示：此时，故不能得出，故此选项错误；
故选B．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了角平分线的性质及三角形面积的计算，首先根据角平分线的性质可知到、、三条线的距离相等，再根据及可求出到与的距离，再根据四边形的面积为，可求出的值，再加的值即可求出的周长．
【解答】
解：如图：
过作，，，垂足分别为、、，连接，
是外角平分线的交点，
，
，，
，
，
，
则，
所以，
则，
所以的周长．
故答案为．
14.【答案】
【解析】解：的立方根是，所以为假命题；
要调查一批灯泡的使用寿命适宜用抽样调查，所以为真命题；
两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，所以为假命题；
已知与其内部一点，过点作，作，则与相等或互补，所以为假命题．
故答案为．
利用立方根的定义对进行判断；根据普查和抽样调查的特点对进行判断；根据平行线的性质对进行判断．
本题考查了命题与定理：命题写成“如果，那么”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
15.【答案】或或
【解析】【解析】
解：由题意得，，，
，，
当点在上时，当点在上时，
当点在上时，当点在上时，
如图，
当≌时，
则，
即，
解得：秒，
如图，
点与点重合，
与全等，
则，
．
解得：秒，
如图，
当点与重合时，≌，
则，
即，
解得：秒，
综上所述：当秒或秒或秒时，与全等，
故答案为：或或．
本题首先求出分情况用表示出和，然后分情况讨论，根据全等三角形的性质列式计算．
本题考查的是全等三角形的性质、掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线如图，由作法得垂直平分，垂直平分，利用线段垂直平分线的性质得到，，则，，再利用等边三角形的性质和三角形外角性质计算出，则可判断为等腰直角三角形，从而得到．
【解答】
解：如图，由作法得垂直平分，垂直平分，
，，
，，
为等边三角形，
，
而，
，
，
为等腰直角三角形，
．
故答案为．

17.【答案】
【解析】解：若，，
则，
，
，
平分，平分，
，，
，
；
若，则，
平分，平分，
，，
，
；
故答案为：；；
；理由如下：
由得：，，，
，
；
如图所示：；理由如下：
由得：，，，
，
．
若，，由三角形内角和定理求出，由平行线的性质得出，由角平分线定义得出，，由三角形的外角性质得出，再由三角形的外角性质即可得出结果；
若，则，由角平分线定义得出，，由三角形的外角性质即可得出结果；
由得：，，，由三角形的外角性质得出，再由三角形的外角性质即可得出结论；
由得：，，，由三角形的外角性质和三角形内角和定理即可得出结论．
本题考查了三角形内角和定理、三角形的外角性质、平行线的性质等知识；熟练掌握三角形内角和定理和三角形的外角性质是解题的关键．
18.【答案】解：；
分两种情况讨论：
如图，，，
在中，，
，即直线和直线的“夹角”为；
如图，，，
在中，，
，即直线和直线的“夹角”为；
因此，直线和直线的“夹角”度数为或；
；
或．
【解析】
【分析】
本题考查了新定义问题，邻补角的定义，三角形外角的性质，命题的概念，平行线的性质以及分类讨论的思想，关键是理解新定义，运用分类讨论的思想解题．
直接根据邻补角的定义求解即可；
分两种情况讨论，分别画出图形，根据三角形外角的性质和三角形内角和求解即可；
根据新定义分别运用平行线的性质或举反例的方法对各命题进行判断即可；
分两种情况讨论，分别画出图形，根据角平分线定义、三角形外角的性质和三角形内角和求解即可．
【解答】
解：如图，直线和直线相交于点，，
，
直线与直线“夹角”的度数是．
故答案为；
见答案；
如下图，
当时，不一定平行，故错误；
若，根据两条直线的“夹角”的定义可知：，
一定平行，故正确；
若，且和都是锐角或直角，
和内错角或同旁内角此时，
；故正确；
如下图，，
此时的，且和都不等于，
不一定正确，故错误．
因此正确的命题是．
故答案为；
分两种情况讨论：
如图，，，不为钝角．
是的平分线所在直线，是的平分线所在直线，
，，
与“夹角”；
如图，，，不为钝角．
是的平分线所在直线，是的平分线所在直线，
，，
与“夹角”；
如图，，，不为钝角．
是的平分线所在直线，是的平分线所在直线，
，，
与“夹角”；
综上，与“夹角”的度数是或．
19.【答案】真 ：：
【解析】解：令等边三角形三边的长度为，
则，符合奇异三角形的概念，
“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题；
故答案为：真；
中，，，，，
根据勾股定理得：，记作，
又是奇异三角形，
，
将代入得：，即不合题意，舍去，
，
将代入得：，即，
将代入得：，即，
则：：：：．
故答案为：：：；
，
点、、、共圆，记作，
是的直径，
，
，
，
又，，
，
是奇异三角形；
设，，
，，
由得，即，
为直角三角形，
或，
，当时，，即，
由，得：，
；
，当时，，即，
由，得：，
，
；
综上，或．
令等边三角形三边的长度为，根据等边三角形的性质及奇异三角形的概念求解即可得；
由三角形为直角三角形，利用勾股定理列出关系式，记作，再由新定义两边平方和等于第三边平方的倍的三角形叫做奇异三角形，列出关系式，记作，或，记作，联立或，用一个字母表示出其他字母，即可求出所求的比值．
是的直径，即可求得，然后利用勾股定理与圆的性质即可证得；
设，，知，，结合得，根据为直角三角形，可分或两种情况，根据勾股定理可分别得出关于、的另一个方程，结合式求解可得．
此题是四边形的综合问题，考查了新定义的知识，勾股定理以及圆的性质等知识．解题的关键是理解题意，抓住数形结合思想的应用．
20.【答案】解：
证明：如图，延长到，过点作，
，
，，
又，
．
证明：在中，，
在中，，
，
D.
．
证明：如图，平分，平分，
，，
，
，
，
，
，
，
．
．不变正确．
证明：过点作，如图，
，
，
由得，即，
由得，
，，
平分，平分，
，
，
，
．

【解析】略
21.【答案】解：，
设，则，．
的内角和为，
，解得．
，．
和是由分别沿着边、翻折得到的，
，．
．
、的内角和均为，，，
．
【解析】见答案
22.【答案】解：当点在上时，如图，
若的面积等于面积的一半；则，
此时，点移动的距离为，
移动的时间为：秒，
当点在上时，如图
若的面积等于面积的一半；则，即点为中点，
此时，点移动的距离为，
移动的时间为：秒，
故答案为：或；
≌，即，对应顶点为与，与，与；
当点在上，如图所示：
此时，，，
点移动的速度为，
当点在上，如图所示：
此时，，，
即，点移动的距离为，点移动的距离为，
点移动的速度为，
综上所述，两点运动过程中的某一时刻，恰好≌，点的运动速为或．
【解析】本题考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定，画出相应图形，求出各点移动的距离是正确解答的关键．
分两种情况进行解答，当点在上时，当点在上时，分别画出图形，利用三角形的面积之间的关系，求出点移动的距离，从而求出时间即可；
由≌，可得对应顶点为与，与，与；于是分两种情况进行解答，当点在上，当点在上，分别求出移动的距离和时间，进而求出的移动速度．
23.【答案】解：，
，
即，
，
，
，
又，
≌，
，，
，，
．
【解析】本题考查了全等三角形的判定和性质，是基础知识要熟练掌握．根据，得，则，再由，得，则，从而证出≌，进而得出的长．
24.【答案】证明：，
，，
为的中点，
，
在与中，
，
≌，
；
≌，
，，
，
，
．
【解析】此题主要考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质与判定，关键是根据证明与全等．
根据证明与全等即可；
根据全等三角形的性质得，，，由、，可得，解答即可．
25.【答案】解：如图，线段和四边形为所作；
四边形的面积．
【解析】把绕点顺时针旋转度可得到；
利用一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积去计算四边形的面积．
本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)