第一单元《二次函数》单元测试卷（困难）（含答案）

浙教版初中数学九年级上册第一单元《二次函数》单元测试卷
考试范围：第一章；考试时间：120分钟；总分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
已知函数与轴只有一个交点，则的取值范围是
A. 且 B. 且 C. D.
下列函数中，是的二次函数的是( )
A. B. C. D.
如图，抛物线过点，且对称轴为直线，有下列结论：；；抛物线经过点与点，则；无论，，取何值，抛物线都经过同一个点；为任意实数，其中所有正确的结论有几个．( )
A. B. C. D.
抛物线为常数开口向下且过点，，下列结论：；；；若方程有两个不相等的实数根，则其中正确结论的个数是( )
A. B. C. D.
如图，抛物线与轴交于点、，把抛物线在轴及其上方的部分记为，将向右平移得到，与轴交于点，若直线与、共有个不同的交点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
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已知二次函数为常数，当时，函数值的最小值为，则的值是( )
A. B. C. 或 D. 或
若二次函数的图象的顶点在轴上，则的值是( )
A. B. C. D.
抛物线的对称轴是直线，其图象如图所示．下列结论：；；若和是抛物线上的两点，则当时，；抛物线的顶点坐标为，则关于的方程无实数根．其中正确结论的个数是( )
A. B. C. D.
二次函数的图象的顶点在第一象限，通过，，则的值的变化范围是( )
A. B. C. D.
对于抛物线，当时，不等式恒成立，则的取值范围为．( )
A. B. 或
C. D. 或
小明用块长、宽均为和的矩形按如图围成一个相邻两边之比为：的矩形，，小明在调整矩形大小的过程中发现：过，两点的圆的面积存在最小值，则此时该圆的半径为( )
A. B. C. D.
已知二次函数，一次函数 ，若它们的图象对于任意的非零实数都只有一个公共点，则，的值分别为 ( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
若二次函数的图象与轴有交点则实数的取值范围为___________．
将配凑成的形式，应为__________________．
若点，，为二次函数的图象上的三点，则的大小关系是_______用“”连接．
如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴正半轴上，顶点的坐标为，是抛物线上一点，且在轴上方，则面积的最大值为_______．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
已知函数．
当为何值时，为的二次函数
当为何值时，为的一次函数
本小题分
已知函数为常数，求当为何值时：
是的反比例函数？
是的二次函数？并求出此函数图象上纵坐标为的点的坐标．
本小题分
若函数是二次函数，试讨论、的取值范围．
本小题分
如图，抛物线与直线交于、两点．
直接写出当时，自变量的取值范围．
点在抛物线上，点在直线上，当四边形是平行四边形时，求点的横坐标．
本小题分
在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，抛物线经过点，将点向右平移个单位长度，得到点．
求点的坐标；
求抛物线的对称轴；
若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围．
本小题分
在直角坐标平面中，为坐标原点，二次函数的图象与轴的负半轴相交于点，与轴相交于、两点如图，点的坐标为，且
求出点坐标和这个二次函数的解析式；
求的面积．
本小题分
如图，在平面直角坐标系中，点，，在第一象限内取一点，使得，且，抛物线的图象过点．
求出点的坐标和抛物线的表达式
当该抛物线的对称轴直线平移至直线后，恰好将的面积分成相等的两部分，求的值．
本小题分
在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角足够长，用长的篱笆围成一个矩形花园篱笆只围，两边，设．
若花园的面积为，求的值；
若在处有一棵树与墙，的距离分别是和，要将这棵树围在花园内含边界，不考虑树的粗细，求花园面积的最大值．
若不超过米，兴趣小组准备在边上开一个米的门，如图，求围成矩形场地最大面积为多少？
本小题分
如图，在直角坐标系中，四边形是平行四边形，经过，，三点的抛物线与轴的另一个交点为，其顶点为，对称轴与轴交于点．
求这条抛物线对应的函数表达式；
已知是抛物线上的点，使得的面积是 的面积的，求点的坐标；
已知是抛物线对称轴上的点，满足在直线上存在唯一的点，使得，求点的坐标．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的定义，一次函数图象上点的坐标，一次函数与二次函数的由于不知道是一次函数还是二次函数，需对进行讨论，当时，函数是一次函数，它的图象与轴有一个交点；当，函数是二次函数，当时，二次函数与轴有一个交点，解，求出的范围．
【解答】
解：当，即时，函数为，与轴只有一个交点；
当，即时，函数是二次函数，当，解得，即当时，函数的图象与轴只有一个交点．
综上可得，的取值范围是或．
故选D．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查二次函数的定义、一次函数以及反比例函数的定义，解题的关键是正确理解二次函数的定义，本题属于基础题型．
根据二次函数、一次函数以及反比例函数的定义即可求出答案．
【解答】解：、是一次函数，故A不是二次函数，
B、是反比例函数，故B不是二次函数，
C、既不是反比例函数也不是二次函数，故C不是二次函数；
D、，是二次函数，符合题意．
故选：．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了二次函数图象与系数的关系，属于中档题．
由开口方向、对称轴及抛物线与轴交点位置可判断；由时的函数值及可判断；由抛物线的增减性可判断；由当 时， 且可判断；由时函数取得最小值及可判断．
【解答】
解：由图象可知，抛物线开口向上，则，
顶点在轴右侧，则，
抛物线与轴交于负半轴，则，
，故错误；
抛物线过点，且对称轴为直线，
抛物线过点，
当时，，
，
，故正确；
对称轴为，且开口向上，
离对称轴水平距离越大，函数值越大，
，故错误；
当 ， ，
当时，，
当 时， ，
即无论，，取何值，抛物线都经过同一个点 ，，故正确；
对应的函数值为，
对应的函数值为，
又时函数取得最小值，
，即，
，
，故正确；
故选B．

4.【答案】
【解析】解：根据题意得，
，
当时，有，
，
，
正确，
由，得，
，
，
正确，
由得，
当时，，而，，
，
即成立，
正确，
若方程有两个不相等的实数根，
即有两个不相等的实数根，
顶点的纵坐标，
，
正确，
故选：．
根据题意得出时函数值的符号和时函数的值，以及顶点的坐标公即可得出答案．
本题主要考查二次函数的图象与性质，关键在理解系数对图象的影响，决定抛物线的开口方向和大小，决定对称轴的位置，决定图象与轴的交点位置，还有轴上方的点对应的，下方的点对应的．
5.【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查抛物线与轴交点以及二次函数图象与几何变换的知识，解答本题的关键是正确的画出图形，利用数形结合进行解题是关键．
首先求出点和点的坐标，然后求出解析式，分别求出直线与抛物线相切时的值以及直线过点时的值，结合图形即可得到答案．
【解答】
解：令，即，
解得或，
则点，，
将向右平移个单位得到，
，
的解析式为，
当直线与所在抛物线只有一个交点时，
令，即，
，
解得
当直线过点时，，
解得，
结合图象可知，当时，直线与、共有个不同的交点，
故选D．

6.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查二次函数的最值，根据二次函数的增减性分类讨论是解题的关键．
将二次函数配方成顶点式，分、和三种情况，根据的最小值为，结合二次函数的性质求解可得．
【解答】
解：，
若，当时，，
解得：；
若，当时，，
解得：舍；
若，当时，，
解得：或舍，
的值为或，
故选：．
7.【答案】
【解析】解：抛物线的顶点在轴上，
，
解得．
故选A．
因为抛物线顶点在轴上，故函数图象与轴只有一个交点，根据，即可求出的值．
此题考查了二次函数图象与轴交点个数与根的判别式的关系，要明确：时，图象与轴有两个交点；，图象与轴有一个交点；，图象与轴无交点．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查二次函数的图象与性质，解题关键是熟练掌握二次函数中，，与函数图象的关系．
由图象开口方向，对称轴位置，与轴交点位置判断，，符号．
把分别代入函数解析式，结合图象可得的结果符号为负．
由抛物线开口向上，距离对称轴距离越远的点值越大．
由抛物线顶点纵坐标为可得，从而进行判断无实数根．
【解答】
解：抛物线图象开口向上，
，
对称轴在直线轴左侧，
，同号，，
抛物线与轴交点在轴下方，
，
，故正确．
由题可知抛物线与轴另一个交点坐标为，
，
当时，由图象可得，
当时，，由图象可得，
，即，
故正确．
，，
，
点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，
，
故错误．
抛物线的顶点坐标为，
，
，
无实数根．
故正确，
综上所述，正确，
故选：．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了二次函数的图像和二次函数的性质解决本题的关键之处在于正确理解并掌握二次函数中常数、、的符号与函数性质及位置的关系。当二次函数的解析式为，可知二次函数的对称轴为，且当时，函数图像开口向上；当时，函数图像开口向下。
根据题意将已知点代入函数解析式，即可得到及，再利用函数图像的顶点坐标在第一象限及开口方向，可判断出、的正负性，结合所求得的式子，进而求出的变化范围．
【解答】
解：如图：
二次函数的顶点在第一象限，且经过点，
易得，，，
由得到，结合上面，所以，
由得到，结合上面，所以，
由得：，
在不等式两边同时加得，
代入得，
．
故选D．

10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了二次函数的性质，二次函数与不等式的关系以及分类讨论的思想，解题关键是把不等式问题转化为二次函数问题把不等式变形为，得出此抛物线的对称轴为，然后运用二次函数的性质进行分类讨论即可得出结论．
【解答】
解：恒成立，
则恒成立，
设，对称轴为直线，
当时，恒成立，
时，成立即可，
解得；
当时，恒成立，
时，成立即可，
解得；
当时，恒成立，
时，成立即可，
此时无解；
综上所述或．
故选：

11.【答案】
【解析】解：如图所示：过点作的垂线，交的延长线于点，
，
设，则，
块小矩形的长、宽均为和，
，
，
在中，
，
，
当时，有最小值，最小值为，
该圆的半径有最小值为．
故选：．
过点作的垂线，交的延长线于点，设，则，然后求出，由勾股定理得出，再由函数的性质求出的最小值，再得出结论．
本题考查二次函数的应用和矩形的性质以及勾股定理，关键是正确作出辅助线构造直角三角形．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了用待定系数法求抛物线的解析式有关知识，根据题意求出一元二次方程，然后再利用根的判别式进行解答即可．
【解答】
解：根据题意得，
，
解由组成的方程组，消去，整理得，
它们的图象对于任意的实数都只有一个公共点，则方程组只有一组解，
有两个相等的值，
即，
，
由于对于非零实数都成立，所以有，，
，
，，
故选B．
13.【答案】且
【解析】
【分析】
此题主要考查了二次函数的定义、根的判别式、抛物线与轴的交点问题等有关知识．
根据二次函数与轴有交点则，进而求出得取值范围即可．
【解答】
解：二次函数的图象与轴有交点，
，且，
解得：，且，
则的取值范围是，且，
故答案为且．
14.【答案】
【解析】【分析
本题考查的是二次函数的性质有关知识，首先根据题意对该函数进行配方，然后解答即可．
【解答】
解：
．
故答案为．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查的是二次函数的图象上点的坐标特征，二次函数的性质的有关知识，将二次函数配方，求对称轴，再根据、、三点与对称轴的位置关系，开口方向判断，，的大小．
【解答】
解：，
抛物线开口向上，对称轴为，
，，三点中，点离对称轴最近，点离对称轴最远，
．
故答案为 ．
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查的是二次函数的应用，二次函数的最值，三角形的面积，菱形的性质，勾股定理等有关知识，设，根据勾股定理求得，根据菱形的性质得出，然后根据三角形面积公式得出，根据二次函数的性质即可求得最大值．
【解答】
解：是抛物线上一点，
设．
顶点的坐标为，
．
又四边形是菱形，
，轴，
．
，
当时，有最大值，最大值为．
故答案为．
17.【答案】解：根据题意得且，
解得，即当为时，是的二次函数．
当且，即时，是的一次函数
当且时，是的一次函数，解得
当且时，是的一次函数，解得．
综上，当为或或时，是的一次函数．

【解析】本考查了二次函数的定义：一般地，形如、、是常数，的函数，叫做二次函数．其中、是变量，、、是常量，是二次项系数，是一次项系数，是常数项．、、是常数，也叫做二次函数的一般形式．也考查了一次函数的定义．
根据二次函数的定义得到得且，然后解不等式和方程即可得到满足条件的的值；
根据一次函数的定义分类讨论：当时，是的一次函数；当且时，是的一次函数；当且时，是的一次函数，然后分别解方程或不等式即可．
18.【答案】解：由为常数是的反函数，
得，
解得，此时，
时，是的反比例函数．
由为常数是的二次函数，
得，
解得，不符合题意的要舍去
当时，是的二次函数，
当时，，解得，
故纵坐标为的点的坐标是
【解析】本题考查了反比例函数的定义和二次函数的性质．
本题考查了反比例函数的定义，利用反比例函数解析式的形式解决此题，
本题考查了二次函数的定义和二次函数的性质，利用二次函数的定义和二次函数的性质解决此题．
19.【答案】解：且时，解得，．
且为任意实数时，解得，为任意实数．
为任意实数且或时，解得为任意实数，或．
综上所述，当，或，为任意实数或为任意实数，或为任意实数，时，是二次函数．

【解析】见答案
20.【答案】解：．
如下图，当四边形是平行四边形时，则．
设，，
，
，
即．
由知：，
，
，
，
，
解得：，．
点的横坐标为或．
【解析】
【分析】
本题是一道二次函数的综合题，主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，一次函数图象上点的坐标的特征，平行四边形的性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
首先将两个函数关系式联立成方程组，解方程组求得，坐标；利用函数的图象，发现抛物线在直线下方的部分满足条件，结合图象指出对应部分的的值即可；
利用抛物线求出点的坐标，得到线段的长，利用平行四边形的对边相等，和平行线之间的距离相等，列出方程组，解方程组即可得出结论．
【解答】
解：由题意得：
，
解得：，．
，．
由函数的图象，发现抛物线在直线下方的部分满足条件，
当时，自变量的取值范围为：．
见答案．
21.【答案】解：与轴交点：令代入直线得，
，
点向右平移个单位长度，得到点，
；
与轴交点：令代入直线得，
，
将点代入抛物线中得，即，
抛物线的对称轴；
抛物线经过点且对称轴，
由抛物线的对称性可知抛物线也一定过的对称点，
时，如图，
将代入抛物线得，
抛物线与线段恰有一个公共点，
，
，
将代入抛物线得，
，
，
；
时，如图，
将代入抛物线得，
抛物线与线段恰有一个公共点，
，
；
当抛物线的顶点在线段上时，则顶点为，如图，
将点代入抛物线得，
解得．
综上所述，或或．
【解析】根据坐标轴上点的坐标特征可求点的坐标，根据平移的性质可求点的坐标；
根据坐标轴上点的坐标特征可求点的坐标，进一步求得抛物线的对称轴；
结合图形，分三种情况：；，抛物线的顶点在线段上；进行讨论即可求解．
本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的性质以及解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程，待定系数法求抛物线解析式．
22.【答案】解：，且点的坐标为，
点的坐标为：，
把点，的坐标分别代入二次函数得：
，
解得：，，
解析式为：；
由得，令可得，
解得，，
即得点的坐标为，
的长度为，
．
【解析】首先根据，可得点的坐标为，然后把，点坐标分别代入解析式可得，的值，即可得解析式；
令，求出点的坐标，即可根据图象求出的面积为．
本题考查待定系数法求二次函数解析式，同时还考查图象的性质及三角形的面积．
23.【答案】解：，，
，，
如图所示，过点作轴于点，
则，
，
，
在与中，
≌，
，，
，
，
点在抛物线上，
，解得：，
抛物线的解析式为：；
在中，，，
由勾股定理得：，
，
设直线的解析式为，
，，
，解得
直线的解析式为，
同理求得直线的解析式为：，
设直线平移至直线后与、分别交于点、，则点的坐标为，点的坐标为
则，
在中，边上的高，
由题意得：，
即： ，
，
整理得：，
解得或不合题意，舍去，
当直线解析式为时，恰好将的面积分为相等的两部分；
【解析】本题考查一次函数与二次函数的综合题，涉及待定系数法求二次函数和一次函数的解析式、三角形全等的性质和判定、三角形的面积等知识．
证明≌，则，，可得点，代入抛物线解析式即可；
先求的面积，分别求和的解析式，表示的长，根据面积一半列等式即可求解
24.【答案】解：，则，
，
解得：，，
答：的值为或；
，
，
，
在处有一棵树与墙，的距离分别是和，
，
，
当时，取到最大值为：，
答：花园面积的最大值为平方米．
，
，
即，
，
当时，取到最大值为：，
故围成矩形场地最大面积为平方米．
【解析】此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数最值求法，得出与的函数关系式是解题关键．
根据题意得出长宽，列出一元二次方程，进而得出答案；
由题意可得出：，再利用二次函数增减性以及的范围求得最值．
先表示出矩形的长和宽，然后可得关于面积的二次函数，根据的取值范围可得矩形场地的最大面积．
25.【答案】解：，故函数的对称轴为，则，
将点的坐标代入抛物线表达式得：，
联立并解得，
故抛物线的表达式为：；
由抛物线的表达式得，点、点；
的面积是 的面积的，
，则，解得：，
联立并解得，
故点的坐标为或或或；
作的外接圆，
，
故，则为等腰直角三角形，
当直线上存在唯一的点，则，
点、的坐标分别为、，
则，，则，
过点作于点，
设点，则，
则圆的半径为，则点，
，
即，
，解得，
故点．
【解析】，故函数的对称轴为，则，将点的坐标代入抛物线表达式得：，联立即可求解；
的面积是 的面积的，则，则，即可求解；
，故，则为等腰直角三角形，当直线上存在唯一的点，则，即可求解．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、圆的基本知识、面积的计算等，综合性强，难度较大．
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