浙教版九上数学期末总复习反比例函数复习导学稿
知识链接（学生课前完成）（第1课时）
1．已知反比例函数的图象经过点（3，2），那么该反比例函数图象经过（ ）
A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、四象限 D．第二、三象限
2．若双曲线y=，经过点A（m，－1），则m的值为（ ）
A．3 B．2 C．－2 D．－3
反比例函数的图象与直线y=-x+1相交于A, B两点, 点O为坐标轴的原点, 则
∠AOB可能是( ) A. 锐角 B. 钝角 C. 锐角或钝角 D. 直角
4. 反比例函数的图象在( )
A. 第一、三象限 B. 第一、四象限 C. 第一、二象限 D. 第三、四象限
5．若双曲线经过点A（m，－2m），则m的值为（ ）
A． B．3 C． D．
6．在反比例函数的图象的每一条曲线上，都随着的增大而增大，则的值
可以是（ ） A．－1 B．0 C．1 D．2
7．将函数与函数的大致图象画在同一坐标系中，正确的函数图象是（ ）
8.某反比例函数的图象过点（，），则此反比例函数解析式为（ ）
A． B． C． D．
9．在反比例函数y＝(k＜0)的图象上有两点(－1，y1)，(－，y2)，
则y1－y2的值是（ ）A．负数 B．非负数 C．正数 D．非正数
10．已知M、N两点关于y轴对称，且点M在双曲线上，点N在直线y=x+3上，
设点M的坐标为（a，b），则二次函数y=abx2+（a+b）x（ ）
A．有最小值，且最小值是 B．有最大值，且最大值是-
C．有最大值，且最大值是 D．有最小值，且最小值是-
共同探索：
1.如图，已知A（-4，），B（2，-4）是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求直线AB与轴的交点C的坐标及△AOB的面积；
（3）当取何值时，反比例函数值大于一次函数值．
2.如图，等腰梯形ABCD放置在平面直角坐标系中，已知、、，反比例函数的图象经过点C．
（1）求C点坐标和反比例函数的解析式；
（2）将等腰梯形ABCD向上平移个单位后，使点B恰好落在双曲线上，求的值．
学生课堂跟进练习：
1.如图，直线y＝k1x＋b与双曲线y＝相交于A（1，2），B（m，－1）两点．
（1）求直线和双曲线的解析式；
（2）若A1（x1，y1），A2（x2，y2），A3（x3，y3）为双曲线上的三点，且x1＜x2＜0＜x3，请直接写出y1，y2，y3的大小关系式；
（3）观察图象，请直接写出不等式k1x＋b＞的解集．
已知一次函数y=x+2的图象分别与坐标轴相交于A,B两点（如图所示），与反比例函数y=（k>0）的图象相交于C点.（1）写出A,B两点的坐标；
（2）作CD⊥x轴，垂足为D，如果OB是△ACD的中位线，求反比例函数y=（k>0）的关系式.
三．定时训练（限时20分钟）（第2课时）
1. 已知反比例函数，当时，，则______.
2．直线与双曲线(＞0)在第一象限内交于点P（，），且1≤≤2，
则的取值范围是
如图，A、B是双曲线的一个分支上的两点，且点B(a，b)在点A的右侧，则b的
取值范围是______________
如图，m是反比例函数y=在第一象限内的图象，且过点A(3,2)，m与n关于x轴对称，
那么图象n的函数解析式为＿＿＿＿
5.如图，双曲线上有一点A，过点A作AB⊥轴于点B，△AOB的面积为2，则该双曲线的表达式为
6.如图，M为双曲线上的一点，过点M作x轴、y轴的垂线，分别交直线于D、C两点，若直线与y轴交与点A，与x轴交与点B，则AD·BC的值
为
7.若点Ｐ在一次函数的图象上，它关于y轴的对称点在反比例函数的图象上，则反比例函数的解析式为
8.有一个Rt△ABC，∠A=，∠B=，AB=1，将它放在平面直角坐标系中，使斜边
BC在x轴上，直角顶点A在反比例函数y=上，则点C的坐标为_________
9.如图，已知第一象限内的图象是反比例函数y=图象的一个分支，第二象限内的图象是反
比例函数y=﹣图象的一个分支，在x轴的上方有一条平行于x轴的直线l与它们分别交
于点A、B，过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为C、D．若四边形ABCD的周长为8且
AB＜AC，则点A的坐标为
四．提升探索：
1.如图，在平面直角坐标系xOy中，梯形AOBC的边OB在x轴的正半轴上，AC∥OB，BC⊥OB，过点A的双曲线的一支在第一象限交梯形对角线OC于点D，交边BC于点E.（1）填空：双曲线的另一支在第 象限，k的取值范围是 ；
（2）若点C的坐标为（2，2），当点E在什么位置时？阴影部分面积S最小？
（3）若，，求双曲线的解析式.
2.如图，定义：若双曲线与它的其中一条对称轴y=x相交于A、B两点，则线段AB的长度为双曲线的对径。
（1）求双曲线的对径；
（2）若某双曲线的对径是，求k的值；
（3）仿照上述定义，定义双曲线的对径。
浙教版九上数学期末总复习反比例函数复习导学稿答案
知识链接（学生课前完成）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
C
A
C
D
D
B
A
D
共同探索：
解：（1）在函数的图象上，．
反比例函数的解析式为：．
点在函数的图象上
经过，，
解之得 一次函数的解析式为：
（2）是直线与轴的交点 当时，
点
（3）
点评：这一类问题是一次函数与反比例函数结合应用比较常规一类问题，出现在考题中的频率比较高，是对一次函数和反比例函数的数形结合的综合理解，同时借助方程辅助。是学生考试过程中的易得分点，应让学生充分的理解和熟练掌握。
2.解析：（1）在平面直角坐标系中，由等腰梯形ABCD的性质及、、三点的坐标，可求得C点坐标，再用待定系数法求得反比例函数的解析式，（2）等腰梯形ABCD向上平移个单位后的点B′的坐标为B′（6，m），代入反比例函数的解析式即可．
答案：解：（1）过点C作CE⊥AB于点E，
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴AD=BC，DO=CE，
∴△AOD≌△BCE，∴AO=BE=2，
∵BO=6，∴DC=OE=4，
∴C（4，3）；设反比例函数的解析式，
根据题意得：， 解得；∴反比例函数的解析式；
(2) 将等腰梯形ABCD向上平移个单位后得到梯形A′B′C′D′，∴点B′（6，m）
∵点B′（6，m）恰好落在双曲线上，∴当时，,即．
点评：本题主要考查了平面直角坐标中点的坐标的求法、反比例函数及平移知识，
设点P(m，n)，有：在平面直角坐标系中，图形向右（左）平移m个单位，则图形上各点的纵坐标不变，横坐标加上（或减去）m个单位（m＞0）；图形向上（下）平移n个单位，则图形上各点的横坐标不变，纵坐标加上（或减去）n个单位（n＞0）．
学生课堂跟进练习：
1.解析：（1）先将A（1，2）代入y＝求得k2，再将B（m，－1）代入求得m值，接着运用待定系数法求得直线解析式．（2）（3）两问可借助图象直接观察求解．
答案：解：（1）∵双曲线y＝经过点A（1，2），∴k2＝2．
∴双曲线的解析式为：y＝．
∵点B(m，－1)在双曲线y＝上，∴m＝－2，则B（－2，－1）．
由点A（1，2），B（－2，－1）在直线y＝k1x＋b上，得
解得 ∴直线的解析式为：y＝x＋1．
（2）y2＜y1＜y3． （3）x＞1或－2＜x＜0．
点评：一般情况下，一次函数与反比例函数的交点已知时，要先确定反比例函数解析式，因为反比例函数解析式中只有一个待定系数，而一次函数有两个待定系数．象第（2）题这样的问题，往往从图象上直接观察容易得解，不要通过死记反比例函数的增减性解答．而象第（3）题这样的问题，需注意理解位于上方的函数图像的函数值较大.整题充分体现了数形结合的数学思想．
2.解析： （1）令y=0,得x+2，解得x=-3，所以A点坐标为（-3，0）； 令x=0,得y=2，所以B点坐标为（0，2）；（2）抓住“OB是△ACD的中位线”的条件，运用三角形的中位线的性质求出OD,CD的长，进而求出C点坐标，求出反比例函数y=（k>0）的关系式.
解案：解：（1）A（-3，0）；B（0，2）；
（2）由（1）得，OA=3,OB=2.
∵OB是△ACD的中位线，∴OD=OA=3,CD=2OB=6.
∴C点坐标为（2,6）. ∴k=xy=2×6=12,即反比例函数是y=.
点评：反比例函数是初中阶段的三个重要函数之一，它与一次函数的联合是中考的常见题型，这类问题常常考查待定系数法、数形结合思想，解题时应该先由点的坐标求出相关线段的长，再充分运用几何的相关知识进行推理运算，得到其他线段的长，并由此求出关键点的坐标，进而得函数关系式.
定时训练（限时20分钟）
题号
1
2
3
4
5
6
7
答案
-12
0y=.
8.（，0），（，0），（，0），（，0）
9解析：设A点坐标为（a，），利用AB平行于x轴，点B的纵坐标为，而点B在反比例
函数y=﹣图象上，易得B点坐标为（﹣2a，），则AB=a﹣（﹣2a）=3a，AC=，然后根
据矩形的性质得到AB+AC=4，即3a+=4，则3a2﹣4a+1=0，用因式分解法解得a1=，a2=1，
而AB＜AC，则a=，即可写出A点坐标．
解答：解：点A在反比例函数y=图象上，设A点坐标为（a，），
∵AB平行于x轴，∴点B的纵坐标为，
而点B在反比例函数y=﹣图象上，
∴B点的横坐标=﹣2×a=﹣2a，即B点坐标为（﹣2a，），
∴AB=a﹣（﹣2a）=3a，AC=，
∵四边形ABCD的周长为8，而四边形ABCD为矩形，
∴AB+AC=4，即3a+=4，
整理得，3a2﹣4a+1=0，（3a﹣1）（a﹣1）=0，
∴a1=，a2=1， 而AB＜AC， ∴a=， ∴A点坐标为（，3）．
点评：
本题考查了反比例函数综合题：点在反比例函数图象上，点的横纵坐标满足其解析式；利用矩形对边相等的性质建立方程以及用因式分解法解一元二次方程．
四．提升探索：
1.分析：（1）根据反比例函数图象与性质得到：双曲线的一支在第一象限，则k＞0，得到另一支在第三象限；（2）根据梯形的性质，AC∥x轴，BC⊥x轴，而点C的坐标为（2，2），则A点的纵坐标为2，E点的横坐标为2，B点坐标为（2，0），再分别把y=2或x=2代入可得到A点的坐标为（，2），E点的坐标为（2，），然后计算
配方得，当k=2时，S阴影部分最小值为 ，则E点的坐标为（2，1），即E点为BC的中点；（3）设D点坐标为（a，），由，则OD=DC，即D点为OC的中点，于是C点坐标为（2a，），得到A点的纵坐标为，把y= 代入 得x= ，确定A点坐标为（，），根据三角形面积公式由得到×=1，然后解方程即可求出k的值．
解答：解：（1）三，k＞0；
（2）∵梯形AOBC的边OB在x轴的正半轴上，AC∥OB，BC⊥OB，而点C的坐标标为（2，2），
∴A点的纵坐标为2，E点的横坐标为2，B点坐标为（2，0），把y=2代入得x= ；把x=2代入得y=，∴A点的坐标为（，2），E点的坐标为（2， ），
∴=，
当k-2=0，即k=2时，S阴影部分最小，最小值为；
∴E点的坐标为（2，1），即E点为BC的中点，∴当点E在BC的中点时，阴影部分的面积S最小；
（3）设D点坐标为（a， ），∵，∴OD=DC，即D点为OC的中点，∴C点坐标为（2a，），把y= 代入 得x= ，确定A点坐标为（，），∵，∴×=1，解得k=.
点评：本题考查了反比例函数综合题：当k＞0时，反比例函数（k≠0）的图象分布在第一、三象限；点在反比例函数图象上，则点的横纵坐标满足图象的解析式；运用梯形的性质得到平行线段，从而找到点的坐标特点．
2.解析：过A点作AC⊥x轴于C，
（1）先解方程组，可得到A点坐标为（1，1），B点坐标为（-1，-1），即OC=AC=1，则△OAC为等腰直角三角形，得到OA=OC=，则则AB=2OA=2，于是得到双曲线的对径；
（2）根据双曲线的对径的定义得到当双曲线的对径为，即AB=，OA=，根据OA=OC=AC，则OC=AC=5，得到点A坐标为（5，5），把A（5，5）代入双曲线即可得到k的值；
（3）双曲线的一条对称轴与双曲线有两个交点，根据题目中的定义易得到双曲线的对径．
解：（1）由得， ，
即A(1,1),B（-1，-1）
分别过点A和点B向x轴和y轴作垂线，两垂线相交于
点M, 则△ABM是直角三角形，在Rt△ABM中，
∴双曲线的对径为.
（2）若双曲线的对径是,即AB=，
OA=
过点A作AC⊥x轴, 则△AOC是等腰直角三角形．
∴点A坐标为(5,5)， 则k=5×5=25
若双曲线与它的其中一条对称轴y=-x相交于A、B两点,则线段AB的长
称为双曲线的对径.
点评：本题考查的是反比例函数综合题.点在反比例函数图象上，点的横纵坐标满足其解析式；等腰直角三角形的斜边是直角边的倍；强化理解能力．
浙教版九上数学期末总复习反比例函数复习巩固练习
一．选择题
1.若正比例函数y=-2x与反比例函数图象的一个交点坐标为（-1，2），则另一个交点坐标为（ ）
A．（2，-1） B．（1，-2） C．（-2，-1） D．（-2，1）
2.在反比例函数的图像上有两点（-1，y1），（，y2），则y1-y2的值是（ ）
A. 负数 B.非正数 C.正数 D.不能确定
3.已知直线y=kx（k＞0）与双曲线 交与A（x1,y1）,B(x2,y2)两点，则x1y2+ x2y1的值为（ ）
A.-6 B．-9 C．0 D．9
4.如果反比例函数y=的图象经过点(-1，-2)，则k的值是( )
A.2 B.-2 C.-3 D.3
5.当（ ）
6.函数y=（k≠0）的图象过点（2，-2），则此函数的图象在（ ）
A、第一、三象限 B、第三、四象限 C、第一、二象限 D、第二、四象限
7.如图，点A是反比例函数（< 0）的图象上的一点，过点A作平行四边形ABCD，使点B、C在轴上，点D在轴上，则平行四边形ABCD 的面积为（ ）
A、1 B、3 C、6 D、12
8.如图，过点C(2, 1)分别作x轴、y轴的平行线，交直线y＝－x＋5于A、B两点，若反比例函数(x＞0)的图象与△ABC有公共点，则k的取值范围是（ ）
A．2≤k≤4 B．2≤k≤6 C．2≤k≤ D．2≤k≤
9.在平面直角坐标系xOy中，如果有点P（-2，1）与点Q（2，-1），那么：①点P与点Q关于x轴对称；②点P与点Q关于y轴对称；③点P与点Q关于原点对称；④点P与点Q都在y=的图象上。前面的四种描述正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①④ D．③④
10.如图，A、B是函数的图像上关于原点对称的任意两点，BC∥x轴，AC∥y轴，△ABC的面积记为S，则（ ）
A．S=2 B．S=4 C．2＜S＜4 D．S＞4
二．填空题
11.已知反比例函数的图象经过点（1，-2），则k= .
12.已知反比例函数的图象经过点(m，2)和(－2，3)，则m的值为__________
13.已知反比例函数y=的图像经过点A（m，1）,则m的值为
14.已知：多项式x2－kx＋1是一个完全平方式，则反比例函数y=的解析式为_ __
15.若反比例函数的图像经过点P（-1,4），则它的函数关系是
16.如图，点A在双曲线y=上，过A作AC⊥x轴，垂足为C，OA的垂直平分线交OC于点B，当OA＝4时，则△ABC周长为
如图，反比例函数y=的图象经过点P，则k=
18.如图，一次函数y=ax+b（a≠0）与反比例函数y=的图象交于A（1,4）、B（4,1）两点，若y＞y，则x的取值范围是
19.如图，点A在双曲线 上，点B在双曲线 上，且AB∥x轴，点C和点D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则矩形ABCD的面积为
20.如图，点A在双曲线y＝的第一象限的那一支上，AB垂直于x轴与点B，点C在x轴正半轴上，且OC＝2AB，点E在线段AC上，且AE＝3EC，点D为OB的中点，若△ADE的面积为3，则k的值为________
三．解答题
21.如图，直线y=2x﹣6与反比例函数y=的图象交于点A（4，2），与x轴交于点B． （1）求k的值及点B的坐标；
（2）在x轴上是否存在点C，使得AC=AB？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
22.在同一平面直角坐标系中，若一个反比例函数的图象与一次函数的图象无公共点，则这个反比例函数的表达式是（只写出符合条件的一个即可）．
23.如图，一次函数的图象与反比例函数
的图象交于A（1，6），B（，2）两点．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）直接写出≥时的取值范围．
24.在平面直角坐标系xoy中,一次函数y1=k1x+1的图象与y轴交于点A,与x轴交于点B,与反比例y2=的图象分别交于点M、N，已知△AOB的面积为1，点M的纵坐标为2.
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）直接写出y1＞y2时,x取值范围.
25.如图，已知双曲线和直线y=mx+n交于点A和B，B点的坐标是（2，-3），AC垂直y轴于点C，AC=；
（1）求双曲线和直线的解析式；（2）求△AOB的面积。
26.如图，平行四边形ABCD的顶点为A、C在双曲线y1=﹣上，B、D在双曲线y2=上，k1=2k2（k1＞0），AB∥y轴，S?ABCD=24，求k2的值。
浙教版九上数学期末总复习反比例函数复习巩固练习答案
选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
A
D
C
D
C
D
D
B
填空题
-2 12. m=―3 13. 2 14. y=或y=－ 15. y=-.
16. 2 17. -6 18.x＜0或1＜x＜4． 19. 2 20.
三．解答题
21.分析：(1)先把（4，2）代入反比例函数解析式，易求k，再把y=0代入一次函数解析式可求B点坐标；
（2）假设存在，然后设C点坐标是（a，0），然后利用两点之间的公式可得=，借此无理方程，易得a=3
或a=5，其中a=3和B点重合，舍去，故C点坐标可求
解：（1）把（4，2）代入反比例函数y=，得 k=8，
把y=0代入y=2x﹣6中，可得 x=3，故k=8；B点坐标是（3，0）；
（2）假设存在，设C点坐标是（a，0），则
∵AB=AC，∴=，
即（4﹣a）2+4=5，
解得a=5或a=3（此点与B重合，舍去）
故点C的坐标是（5，0）．
点评：本题考查了反比函数的知识，解题的关键是理解点与函数的关系，并能灵活使用两
点之间的距离公式
22.解析：设这个反比例函数的表达式是．
由消元得．
因为这个反比例函数与一次函数的图象没有交点，所以方程无解．
得，解得．
答案：解：（只要中的满足即可）
点评：本题主要从数形结合角度考查两个函数图形有无交点取决于两个函数式联列起来构
成的方程组有无实数根.难度中等.
23.解析：（1）先把A（1，6）代入反比例函数的解析式求出m值，可得反比例函数的解析式，再把B（a，2）代入反比例函数的解析式求出a的值，后把点A（1，6），B（3，2）代入函数y1＝kx＋b求出k、b的值，进而得出一次函数的解析式；（2）根据函数图象可知，当x在A、B点的横坐标之间时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，再由A、B两点的横坐标即可求出x的取值范围．
答案：解：（1）∵点A（1，6），B（，2）在的图象上，
∴，．，．
∵点A（1，6），B（3，2）在函数的图象上，∴
解这个方程组，得
∴一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为．
（2）1≤≤3．
点评：本题主要考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，能利用数形结合求不等式组的解集是解答此题的关键．
24.解析：（1）在y1=k1x+1中，当x=0时，y=1, ∴点A的坐标为（0，1），
设B点的坐标为（b,0）
由△AOB的面积为1，得b×1=1,∴b=2, ∴点B的坐标为（2，0）
又∵点B在一次函数y1=k1x+1的图象上
有0=2 k1+1，∴k1=－，
∴一次函数的解析式为y1=－x＋1,
由点M在在一次函数y1=k1x+1的图象上，点M纵坐标为2，
得2=－x＋1，解得x=-2,点M坐标为（2，-2）
代入y2=中，得-2=，∴k1=-4
∴反比例函数的解析式的解析式为y2=－
答案：解：①y1=－x＋1, y2=－；② x＜-2，0＜x＜4
点评：此题是一次函数与反比例函数的综合性题目，旨在考查在数形结合思想在解题中的灵活运用。
25.思路导引：已知双曲线与一次函数图像交点信息，确定两个
函数的解析式问题，反比例函数解析式仅仅需要一个已知点，一次函数解析式的确定需要已知两个点的坐标，显然根据点C 坐标，确定双曲线上点A 坐标是解答一次函数解析式的关键，注意代入法的灵活运用，（2）计算图象构造的三角形的面积，一般是取与坐标轴上的某边，或者是与坐标轴平行的一边为基础计算面积
解析：∵点B 在反比例函数图象上，∴—3=，k=—6，
∴双曲线的解析式是，当AC=时，由，
y=4，所以点A坐标是（—，4）
∵点AB都在直线y=mx+n上，∴，解得：
∴直线AB 的解析式是y=—2x+1，
（2）设直线y=—2x+1与y轴的交点是点D，当x=0时，由y=—2x+1得y=1，所以点D 坐标是（0，1），OD=1，S△AOB=×1×＋×1×2=.
点评：确定函数的解析式是待定系数法，一般解析式有几个待定系数法 即需要已知几个点的坐标，注意先易后难，即是先确定反比例函数解析式，进而确定一个点中的未知的某种坐标，为一次函数（或者是二次函数）的解析式作准备，与函数图象有关的图形面积计算，注意图形的转化.
26.解析：利用平行四边形的性质设A（x，y1）、B（x、y2），根据反比例函数的图象关于原点对称的性可知C（﹣x，﹣y1）、D（﹣x、﹣y2）；然后由反比例函数图象上点的坐标特征，将点A、B的坐标分别代入它们所在的函数图象的解析式，求得y1=﹣2y2；最后根据S?ABCD=?2x=24可以求得k2=y2x=﹣4．
解答：解：在?ABCD中，AB∥CD，AB=CD（平行四边形的对应边平行且相等），故设A（x，y1）、B（x、y2），则根据反比例函数的图象关于原点对称的性质知，C（﹣x，﹣y1）、D（﹣x、﹣y2）．
∵A在双曲线y1=﹣上，B在双曲线y2=上，
∴x=﹣，x=， ∴﹣=；
又∵k1=2k2（k1＞0）， ∴y1=﹣2y2；
∵S?ABCD=24， ∴?2x=﹣6y2x=24， 解得，y2x=﹣4，即k2=﹣4
点评：本题考查了反比例函数综合题．根据反比例函数的图象关于原点对称的性质求得点
A与点B的纵坐标的数量关系是答案此题的难点
