中小学教育资源及组卷应用平台
第二章：特殊三角形培优训练试题
选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1．在等腰三角形ABC中，AB＝AC，一边上的中线BD将这个三角形的周长分为15和12两部分，则这个等腰三角形的底边长为（ ）
A．7 B．7或11 C．11 D．7或10
2．直角三角形的面积为 ，斜边上的中线为 ，则这个三角形周长为 （ ）
A． B． C． D．
3.如图，是等边三角形，是边上的中线，点在上，且，则（ ）
A．100° B．105° C．110° D．115°
4．如图，CD是等腰三角形 △ABC底边上的中线，BE平分∠ABC，交CD于点E，AC＝8，DE＝2，则 △ BCE的面积是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于D，CE平分∠ACB交BD于E，图中等腰三角形的个数是（ ）
A．3 个 B．4 个 C．5 个 D．6 个
6．如图，△ABC与△CED均为等边三角形，且B，C，D三点共线.线段BE，AD相交于点O，AF⊥BE于点F.若OF=1，则AF的长为（ ）
A．1 B． C． D．2
7.P是等边三角形ABC所在平面内一点，若点P与△ABC的三个顶点所组成的△PAB，△PBC，△PAC都是等腰三角形，则这样的点P的个数为 （ ）
A. 10 B. 7 C. 4 D. 1
8.如图，中，与的平分线交于点，过点作交于点，交于点，那么下列结论：①和都是等腰三角形；②；③的周长等于与的和；④．其中正确的有（ ）
A．①②③ B．①②③④ C．①② D．①
9．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为3，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E， F点.若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（ ）
A．7.5 B．8.5 C．10.5 D．13.5
10.如图，等边△ABC的边长为1，D是△ABC外一点，且，，，的周长为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 无法计算
填空题（本题共6小题，每题4分，共24分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
11．等腰三角形的的两边分别为6和3，则它的第三边为____________
12．如图，四边形ABCD，连接BD，AB⊥AD，CE⊥BD，AB＝CE，BD＝CD．若AD＝5，CD＝7，则BE＝________
13．如图，已知CD是△ABC的边AB上的高，若CD＝，AD＝1，AB＝2AC，则BC的长为
14．如图的面积为8cm，AP垂直ABC的平分线BP于P，则的面积为___________
15.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB＝8cm，则△BED的周长是___________
16.如图：中，分别在OA和OB上，P是△ODE两外角平分线的交点，已知，
，，则的周长为______________
三．解答题（共6题，共66分）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
17．（本题6分）如图，在中，，垂足为，，延长至，使得，连接．（1）求证：；（2）若，，求的周长和面积．
18.（本题8分）如图，在中，，，，CD与BE相交于点F．
(1)求证：；(2)若，，求的面积．
19（本题8分）．如图：E在△ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点F，DF＝EF，BD＝CE．求证：△ABC是等腰三角形．
20．（本题10分）如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在BC， AC上， ，AD，BE相交于点P， 于点Q，，（1）求的度数； （2）求AD的长.
21.（本题10分）如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC边上（不与A，C重合），连接BD，BD=AB．
(1)设∠C＝α，∠ABD＝β．①当α＝50°时，求β．②直接写出β与α之间的等量关系及α的取值范围．(2)若AB＝5，BC＝6，求AD的长．
22.（本题12分）如图，C是线段上的一点，以为斜边在线段同侧作等腰直角三角形和，过D作于点D，且，连接交于点G，连接．
(1)求证：；(2)请判断的形状，并说明理由；(3)请写出与的数量关系，并说明理由．
23．（本题12分）已知如图1：△ABC中，AB＝AC，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB、AC于E、F．（1）图中有几个等腰三角形？请说明EF与BE、CF间有怎样的关系．
（2）若AB≠AC，其他条件不变，如图2，图中还有等腰三角形吗？如果有，请分别指出它们．另第①问中EF与BE、CF间的关系还存在吗？
（3）若△ABC中，∠ABC的平分线与三角形外角∠ACD的平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F．如图3，这时图中还有哪几个等腰三角形？EF与BE、CF间的关系如何？为什么？
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
第二章：特殊三角形培优训练试题答案
选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1.答案：B
解析：根据题意，
①当AC+AC＝15，解得AC＝10，
所以底边长＝12﹣×10＝7；
②当AC+AC＝12，解得AC＝8，
所以底边长＝15﹣×8＝11．
所以底边长等于7或11．
故选择：B．
2.答案：D
解析：设直角三角形的两条直角边分别为x、y，
∵斜边上的中线为d，
∴斜边长为2d，由勾股定理得，x2+y2=4d2，
∵直角三角形的面积为S，
∴,则2xy=4S，即（x+y）2=4d2+4S，
∴
∴这个三角形周长为： ，
故选D.
3.答案：B
解析：∵是等边三角形，∴∠B=60°，AB=AC，
∵是边上的中线，∴BD=CD=，AD⊥BC，
∵，∴ED=CD，∠EDC=90°，∴∠ECD=∠DEC=45°，
∵∠AFC是△FBC的外角，∴∠AFC=∠B+∠FCD=60°+45°=105°．
故选择：B．
4.答案：C
解析：过点E作EF⊥BC于F，
∵AC＝BC＝8，CD是等腰三角形△ABC底边上的中线，
∴CD⊥AB，
∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EF⊥BC，
∴EF＝DE＝2，
∴△BCE的面积＝×BC×EF＝×8×2=8.
故选择：C.
5.答案：C
解析：∵AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形．
∵∠A＝36°，
∴∠C＝∠ABC＝72°．
∵BD平分∠ABC交AC于D，
∴∠ABD＝∠DBC＝36°，
∵∠A＝∠ABD＝36°，
∴△ABD是等腰三角形．
∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝72°＝∠C，
∴△BDC是等腰三角形．
∵∠EBC＝∠ECB＝36°，
∴△BCE是等腰三角形，
∵∠DEC＝∠EBC+∠ECB＝72°＝∠EDC，
∴△CDE是等腰三角形，
∴共有5个等腰三角形．
故选：C．
6.答案：C
解析：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴BC=AC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCE=∠ACD，
在△BCE和△ACD中， ，
∴△BCE≌△ACD（SAS）
∴∠CBE=∠CAD，
∵∠BOD=∠ABE+∠BAD，∠ABC=∠BAC=60°，
∴∠BOD=∠ABE+∠BAC+∠CAD=∠ABE+∠BAC+∠CBE=∠ABC+∠BAC=60°+60°=120°.
∴∠AOF=180°-∠BOD=180°-120°=60°，
在Rt△AOF中，∠AOF=60°，OF=1，
∴AF= .
故选择：C.
7.答案：A
解析：如图所示，
等边三角形三条高所在的直线相交于,;
BC边上的高所在的直线上，,;
; ,,
于是我们得到满足条件的P有个，
故选择：A
8.答案：A
解析：①∵DE∥BC∴∠DFB=∠FBC，∠EFC=∠FCB
∵BF是∠ABC的平分线，CF是∠ACB的平分线
∴∠FBC=∠DBF，∠FCE=∠FCB
∵∠DBF=∠DFB，∠EFC=∠ECF
∴，都是等腰三角形∴①正确；
②∵，都是等腰三角形∴DF=DB，FE=EC
∴∴②正确；
③的周长 ∴③正确；
④∵不是等腰三角形
∴∠ABC≠∠ACB∴∠FBC≠∠FCB
∴BF=CF是错误的，
故选：A．
9.答案：D
如图，连接AM、AD
∵EF垂直平分线段AC
∴CM=AM
∴CM+MD=AM+MD≥AD
即当A、M、D三点在一直线上且与AD重合时，CM+MD取得最小值，且最小值为线段AD的长
∵△CMD的周长=CM+MD+CD=AM+MD+AD
∴△CMD的周长的最小值为AD+CD
∵D为BC的中点，AB=AC
∴，AD⊥BC
∴
∴AD=12
∴AD+CD=12+1.5=13.5
即△CDM周长的最小值为13.5
故答案为：D.
10.答案：B
解析：延长AC到E，使CE=BM，连接DE，
，，
，
，
，
在和中，
≌，
，，
又，
，
，
在和中，
≌，
，
所以周长．
故选B．
填空题（本题共6小题，每题4分，共24分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
11.答案：6
解析：由题意得：
当腰为3时，则第三边也为腰，为3，此时3+3＝6．故以3，3，6不能构成三角形；
当腰为6时，则第三边也为腰，为6，此时3+6＞6，故以3，6，6可构成三角形．
故答案为：6．
12.答案：2
解析： AB⊥AD，CE⊥BD，
，
在与中，
，
，
AD＝5，CD＝7，
，BD=CD＝7，
故答案为：2
13.答案：
解析：∵CD是△ABC的边AB上的高，
∴△ADC，△BDC是直角三角形，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：AC＝，
∵AB＝2AC，
∴AB＝4，
BD＝AB+AD＝4+1＝5，
在Rt△BDC中，由勾股定理得：BC＝．
故答案为：2．
14.答案：4
解析：延长AP交BC于E，
∵AP垂直ABC的平分线BP于P，
∠ABP=∠EBP，∠APB=∠BPE=90°，
又∵BP=BP，
∴△ABP≌△BEP，
∴，，
∴△APC和△CPE等底同高，
∴，
∴，
15.答案：8cm
解析：，平分，，
，
在和中，，
，
，
的周长，
，
，
，
，
，
，
的周长是．
故答案为：．
16.答案：16
解析：过P作，，，
∵PD和PE分别是角平分线，∴，
∵，
∴
在和中，
，
∴△PMD≌△PHD（HL）
∴，
同理可得：，
∴的周长，
∴，
连接OP，
∵，
∴△PMO≌△PNO（HL）
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的周长为
三．解答题（共6题，共66分）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
17.解析：（1），
，
在和中，，
，
；
（2），，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
则的周长为，
的面积为．
18.解析：(1)∵，，
∴，
∴
即，
∵，
∴，
∴，
∴；
(2)∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴．
19．解析：过点D作DG∥AC交BC于点G，如图所示．
∵DG∥AC，
∴∠GDF＝∠E，∠DGB＝∠ACB．
在△GDF和△CEF中，，
∴△GDF≌△CEF（ASA），
∴GD＝CE．
∵BD＝CE，
∴BD＝GD，
∴∠B＝∠DGB＝∠ACB，
∴△ABC是等腰三角形．
20.解析：∵△ABC是等边三角形,
∴∠BAE=∠C=60°,AB=AC,
又∵AE=CD,
∴△ABE≌△CAD(SAS)
∴∠CAD=∠ABE,
∵∠AEB=180°-∠ABE-60°,
∴∠APE=180°-(∠CAD+∠AEB)=180°-(∠CAD+180°-∠ABE-60°)=60°.
∴∠BPD=∠APE=60°.
（2）∵BQ⊥AD,∠BPD=60°,
∴∠PBQ=30°,
∵PQ=6,
∴BP=12,
∴BE=BP+PE=12+2=14.
∴AD=BE=14.
21.解析：（1）①∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=50°，
∴∠A=180°-∠ABC-∠C=80°，
∵BD=AB，
∴∠BDA=∠A=80°，
∴β=180°-∠A-∠BDA=20°；
②∵AB=BD，
∴∠A=∠ADB，
∴β=180°-2∠A，
又∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=α，
∴∠A=180°-2∠C=180°-2α，
∴β=180°-2（180°-2α）
=4α-180°；
∵∠A=∠ADB，∠ADB＞∠C，
∴180°-2α＞α，
∴α＜60°，
又∵4α-180°＞0，
∴α＞45°，
∴α的取值范围是45°＜α＜60°；
(2)过点B作BN⊥AC于点N，
设AN=x，则CN=5-x，
∵BN2=AB2-AN2=BC2-CN2，
∴25-x2=36-（5-x）2，
∴x=，
∴AD=2AN=．
22.解析：(1)证明：∵和都是等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠EDC=45°，
∵DF⊥DE于点D，
∴∠EDF=90°，
∴∠FDB=45°，
在和中，
，
∴≌（AAS）
(2)△AEF是等腰直角三角形，
理由：∵和都是等腰直角三角形，
∴AB=AC，EC=ED，∠ACB=∠ECD=45°，∠CED=90°，
∴∠ECA=90°，
∵AB=DF，
∴CA=DF，
在和中，
，
∴≌（SAS），
∴EA=EF，∠AEC=∠FED，
∵∠CEF+∠FED=90°，
∴∠CEF+∠AEC=90°，即∠AEF=90°，
∴△AEF是等腰直角三角形.
(3)如图：
由（2）知：△AEF是等腰直角三角形，
∴∠1=45°，
∵≌，
∴∠2=∠DEF，
∵∠ECA=90°，
∴∠CAG+∠3=90°，
∵∠1+∠2=∠3，
∴∠CAG+∠1+∠2=90°，
∴∠CAG+∠45°+∠DEF =90°，
∴∠CAG+∠DEF =45°.
23.解析：（1）有5个等腰三角形，EF与BE、CF间有怎样的关系是：EF＝BE+CF＝2BE＝2CF，
理由如下：
∵EF∥BC，
∴∠EOB＝∠OBC，∠FOC＝∠OCB，
又∠B、∠C的平分线交于O点，
∴∠EBO＝∠OBC，∠FCO＝∠OCB，
∴∠EOB＝∠OBE，∠FCO＝∠FOC，
∴OE＝BE，OF＝CF，
∴EF＝OE+OF＝BE+CF，
又AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠EOB＝∠OBE＝∠FCO＝∠FOC，
∴EF＝BE+CF＝2BE＝2CF；
（2）有2个等腰三角形分别是：等腰△OBE和等腰△OCF；
第一问中的EF与BE，CF的关系是：EF＝BE+CF．
（3）有，还是有2个等腰三角形，△EBO，△OCF，EF＝BE﹣CF，理由如下：
∵EO∥BC，
∴∠EOB＝∠OBC，∠EOC＝∠OCG（G是BC延长线上的一点），
又∵OB，OC分别是∠ABC与∠ACG的角平分线，
∴∠EBO＝∠OBC，∠ACO＝∠OCD，
∴∠EOB＝∠EBO，
∴BE＝OE，
∠FCO＝∠FOC，
∴CF＝FO，
又∵EO＝EF+FO，
∴EF＝BE﹣CF．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
