第3章 圆的基本性质单元测试卷（困难）（含答案）

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浙教版初中数学九年级上册第三单元《圆的基本性质》单元测试卷
考试范围：第三章；考试时间：120分钟；总分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
如图，在平面直角坐标系中，，，半径为，为上任意一点，是的中点，则的最小值是( )
A.
B.
C.
D.
平面上有四个点，过其中任意个点一共能确定圆的个数为( )
A. 或或 B. 或或 C. 或或或 D. 或或
如图，是正内一点，，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：可以由绕点逆时针旋转得到；点与的距离为；；；，其中正确的结论是( )
A. B. C. D.
在如图所示的平面直角坐标系中，是边长为的等边三角形，作与关于点中心对称，再作与关于点中心对称，如此作下去，则是正整数的顶点的坐标是( )
A. B. C. D.
如图，在半径为的中，、是互相垂直的两条弦，垂足为，且，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
如图，是圆的内接正三角形，弦过的中点，且，若，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
如图，是的直径，点是半圆上的三等分点，点是劣弧的中点，点是直径上一动点若，则的最小值是
A. B. C. D.
如图，已知直线交于、两点，是的直径，点为上一点，且平分，过作，垂足为，且，的直径为，则的长等于( )
A.
B.
C.
D.
如图，点，，，都在上，为直径，若，则的值是( )
A.
B.
C.
D.
如图，矩形中，，点在上，且，点在边上运动，以线段为斜边在点的异侧作等腰直角三角形，连接，当最小时，的值为( )
A.
B.
C.
D.
如图，中，弦于，若，的半径等于，则弧的长为( )
A.
B.
C.
D.
如图一个扇形纸片的圆心角为，半径为将这张扇形纸片折叠，使点与点恰好重合，折痕为，则阴影部分的面积为( )
A.
B.
C.
D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
如图，已知的半径是，点，在上，且，动点在上运动不与，重合，点为线段的中点，连接，则线段的长度最大值是______________．
如图，点是正方形的对角线延长线上的一点，连接，过点作交的延长线于点，过点作于点，则下列结论中：
；；；
正确的是 填写所有正确结论的序号
如图，边长为的正方形中，点是其内部一点，且满足，点为边上一点，点是边的中点，连接、，则的最小值为_______．
如图，在中，，，将绕的中点逆时针旋转得到，点的运动路径为弧，则图中阴影部分的面积为_________________．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
在四边形中，，；
如图，已知，求得的大小为______．
已知，，在的条件下，利用图，连接，并求出的长度；
问题解决；如图，已知，，现需要截取某种四边形的材料板，这个材料板的形状恰巧符合如图所示的四边形，为了尽可能节约，你能求出这种四边形面积的最小值吗？如果能，请求出此时四边形面积的最小值；如果不能，请说明理由．
本小题分
如图所示，已知，两点的坐标分别为，，点是外接圆上一点，且，与交于点．
求的度数；
求及的长；
求的长及点的坐标．
本小题分
如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接交抛物线的对称轴于点，是抛物线的顶点．
求此抛物线的解析式．
若点在第一象限内的抛物线上，且，求点的横坐标．
将以点为中心顺时针旋转，旋转角等于，设点的对应点为点，点的对应点为点，求直线与抛物线的交点坐标．
本小题分
如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，．
把向右平移个单位得，请画出并写出点的坐标；
把绕原点旋转得到，请画出．
本小题分
如图，在中，，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，连结．
若，求的度数．
设，．
线段的长是方程的一个根吗为什么
若，求的值．
本小题分
定义：平面内，如果一个四边形的四个顶点到某一点的距离都相等，则称这一点为该四边形的外心．
下列四边形：平行四边形、矩形、菱形中，一定有外心的是______；
已知四边形有外心，且，，三点的位置如图所示，请用尺规确定该四边形的外心，并画出一个满足条件的四边形；
如图，已知四边形有外心，且，，求的长．
本小题分
如图，在等腰中，，是边上一点，以为腰作等腰，连接，则与的数量关系是 ，位置关系是 ；
如图，是半圆的直径，、是半圆上两点，且，若，，小航同学想探究的长，他想到了利用第问中的解题方法：以为腰作等腰直角三角形．请你帮小航同学完成探究过程；
如图是某公园的一个面积为的圆形广场示意图，点为圆心，公园开发部门计划在该广场内设计一个四边形运动区域，连接、，其中等边为球类运动区域，为散步区域，设的长为，的面积为．
求与之间的函数关系式；
按照设计要求，发现当点为弧的中点时，布局设计最佳，直接写出此时四边形运动区域的面积．
本小题分
如图，正方形内接于，是的中点，连接，，．
求证：；
若，求四边形的面积．
本小题分
如图，已知是的直径，点在上，延长至点，使得，直线与的另一个交点为，连结，．
求证：；
若，，求阴影部分弓形面积．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查点与圆的位置关系，坐标与图形的性质，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找点的运动轨迹，属于中考选择题中的压轴题．
如图，连接，取的中点，连接，利用三角形的中位线定理可得，推出点的运动轨迹是以为圆心，半径为的圆，进而求解．
【解答】
解：如图，连接，取的中点，连接，．
，，
，
点的运动轨迹是以为圆心，半径为的圆，
，，
，
，
的最小值，
故选B．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查确定圆的条件，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题如图，当四点在同一条直线上时，不能确定圆：当四点共圆时，只能作一个圆当三点在同一直线上时，可以作三个圆当四点不共圆时，且没有三点共线时，能确定四个圆，由此即可解决问题．
【解答】
解：如图，当四点在同一条直线上时，不能确定圆，当四点共圆时，只能作一个圆，当三点在同一直线上时，可以作三个圆，当四点不共圆时，且没有三点共线时，能确定四个圆．
故选C．

3.【答案】
【解析】解；连接，如图
，，
是等边三角形，
，故正确
，
且，，
≌ 故正确
，
，，
，
，
，故正确
是等边三角形，，，
，，
，
故正确
如图，将绕点顺逆时针旋转到位置，
易知是边长为的等边三角形，是边长为、、的直角三角形，
可得，
故正确
故选：．
由题意可得≌，是等边三角形，可得，，可判断是直角三角形．可判断，由
，将绕点顺逆时针旋转到位置，可判定．
此题考查了旋转的性质，等边三角形、直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键．
4.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了坐标与图形变化旋转问题，要熟练掌握，解答此题的关键是分别判断出的横坐标、纵坐标的变化规律．
首先根据是边长为的等边三角形，可得的坐标为，的坐标为；然后根据中心对称的性质，分别求出点、、的坐标各是多少；最后总结出的坐标的规律，求出的坐标是多少即可．
【解答】
解：是边长为的等边三角形，
的坐标为，的坐标为，
与关于点成中心对称，
点与点关于点成中心对称，
，，
点的坐标是，的坐标为，
与关于点成中心对称，
点与点关于点成中心对称，
，，
点的坐标是，的坐标为，
与关于点成中心对称，
点与点关于点成中心对称，
，，
点的坐标是，
，
，，，，，
的横坐标是，的横坐标是，
当为奇数时，的纵坐标是，当为偶数时，的纵坐标是，
顶点的纵坐标是，
是正整数的顶点的坐标是
故选：．
5.【答案】
【解析】解：作于，于，连结、，如图，
则，，
在中，，，
，
同理可得，
，
四边形为矩形，
而，
四边形为正方形，
．
故选：．
作于，于，连结、，如图，根据垂径定理得到，，根据勾股定理在中计算出，同理可得，接着证明四边形为正方形，于是得到．
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
6.【答案】
【解析】解：如图．过作于，交于，
，
．
根据圆和等边三角形的性质知：必过点．
，是的中点，
是的中位线，
；
是等边三角形，，
；
，由垂径定理得：，
．
弦、相交于点，
，即；
解得负值舍去．
故选：．
设与交于点，由于，且是中点，易得是的中位线，即；易知是等腰三角形，可过作的垂线，交于，交于；然后证，根据相交弦定理得，而、的长易知，，由此可得到关于的方程，即可求得的长．
本题考查三角形外接圆与外心，等边三角形的性质、垂径定理、三角形中位线定理、相交弦定理等知识，能够证得、的数量关系是解答此题的关键．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题结合图形的性质，考查轴对称--最短路线问题，等腰直角三角形的判定及性质，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理的有关知识，其中求出的度数是解题的关键．本题是要在上找一点，使的值最小，设是关于的对称点，连接，与的交点即为点此时是最小值，可证是等腰直角三角形，从而得出结果．
【解答】
解：作点关于的对称点，连接，交于点，连接，，，，．
点与关于对称，点是半圆上的一个三等分点，
，，
点是弧的中点，
，
，
又，
．
．
故选D．
8.【答案】
【解析】解：连接，过作，垂足为，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
四边形为矩形，
，．
，
设，则，
的直径为，
，
，
在中，由勾股定理得．
即，
解得，．
大于，故舍去，
，
，，
，由垂径定理知，为的中点，
．
故选：．
连接，根据题意可证得，再根据角平分线的性质，得，过作，则，得四边形为矩形，设，在中，由勾股定理得，从而求得的值，由勾股定理得出的长．
本题考查了切线的判定和性质、勾股定理、矩形的判定和性质以及垂径定理，是基础知识要熟练掌握．
9.【答案】
【解析】
【解答】
解：为直径，
，
由圆周角定理得，，
，
故选：．
【分析】
根据圆周角定理得到，，根据直角三角形的性质计算即可．
本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了矩形的性质、四点共圆的性质、角平分线的判定、三角形全等的判定与性质、勾股定理等，熟练掌握这些知识点是解决本题的关键首先取的中点为，连接、，作射线，根据矩形的性质、四点共圆的性质、角平分线的判定得到当时，最小，进一步证得，由全等三角形的性质得到，，设，由：：，则；根据勾股定理求得，进一步，最后求得的值即可．
【解答】
解：如图，取的中点为，连接、，作射线，
四边形是矩形，
，
为的中点，
，
，为的中点，
，
，
、、、在以为圆心的圆上，
，
，，
，
，
平分，即点在的平分线上，
当时，最小；
此时，如图，
平分，
，
，
是以为斜边的等腰直角三角形，，
，
是以为斜边的等腰直角三角形，
，，
，
即，
在和中，
，
，
四边形是矩形，
，
设，
：：，
；
在中，，
，
，
，
，
故选A．
11.【答案】
【解析】解：连接、，
，
，
，
由圆周角定理得，，
弧的长，
故选：．
连接、，根据直角三角形的性质求出，根据圆周角定理求出，根据弧长公式计算，得到答案．
本题考查的是弧长的计算、圆周角定理，掌握弧长公式是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：连接，如图，
扇形纸片折叠，使点与点恰好重合，折痕为，
，
，
，
，，
由弧、线段和所围成的图形的面积，
阴影部分的面积为，
故选：．
连接，如图，利用折叠性质得由弧、线段和所围成的图形的面积等于阴影部分的面积，，则，，从而得到，，然后根据扇形面积公式，利用由弧、线段和所围成的图形的面积，能进而求出答案．
本题考查了扇形面积的计算：阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．记住扇形面积的计算公式．也考查了折叠的性质，注意：圆心角是，半径为的扇形的面积．
13.【答案】
【解析】解：如图，连接，取的中点，连接．
则．
在中，是的中位线，
，
，
即点是在以为圆心，为半径的圆上，
求的最大值就是求点与上的点的距离的最大值，
如图，当在线段延长线上时，即当在点的位置时，取最大值，
，，，
，，
的最大值为，
故答案为：．
本题考查点与圆的位置关系，属于较难题．根据题意，可得是的中位线，知，即点是在以为圆心，为半径的圆上，据此求解可得．
14.【答案】
【解析】
【分析】
此题属于四边形综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，正方形的性质，平行四边形和矩形的判定和性质，勾股定理，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．
连接，利用四点共圆证明是等腰直角三角形，可得结论；
如图，作辅助线，证明四边形是平行四边形，可得结论；
证明四边形是矩形，可作判断；
证明≌，则，可作判断．
【解答】
解：连接，，
、、、四点共圆，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
故正确；
如图，在取一点，使得，连接、、，
四边形是正方形，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，
，即，
，
；
故正确；
连接交于，如图，由知：，
四边形是正方形，
，
，
四边形是矩形，
，
，
故正确；
在和中，
，
≌，
，
，
故不正确；
结论正确的有：，
故答案为．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了正方形的性质、圆周角定理、垂径定理、轴对称最短路线问题、圆内接四边形以及勾股定理，考查的知识点较多，有一定难度，属于中考压轴题首先根据题意画出图形，得出点在如图所示的圆的上运动，然后作点关于点的对称点，如图所示，当点、、、四点共线时，最小，则最小为的长度；再根据圆内接四边形的性质和圆周角定理得出，由此根据勾股定理可求出圆的半径的长度，再利用垂径定理可求出的长度，于是可得的长度，最后在中，根据勾股定理可求出的长度，从而可得的长度，可得答案．
【解答】
解：点是正方形内部一点，且满足，
，
如图，过、、三点作圆，连接，，
则点在如图所示的圆的上运动，
作点关于点的对称点，如图所示，当点、、、四点共线时，最小，最小为的长度，
在圆上任取一点，连接，，
则四边形为圆内接四边形，
，
根据圆周角定理可得：，
，
在中，根据勾股定理可得：，
是正方形边的中点，连接交于点，
，，，
在中，根据勾股定理可得：，
则，，
在中，根据勾股定理可得：，
，
因此的最小值为．
故答案为．
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查旋转变换、弧长公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．先利用勾股定理求出，再根据，计算即可．
【解答】
解：绕的中点逆时针旋转得到，此时点在斜边上，
，，，
．
故答案为．
17.【答案】；
如图，将绕点逆时针旋转得，
则，，，，
，
，即，
是等边三角形，
，
，
，
，
则；
如图，将绕点逆时针旋转得，连接，
由知是等边三角形，
，
当面积最大时，四边形的面积最小，
，，
，
，
，
点在定圆上运动，当、、共线时，的面积最大，此时，设交于，则，
，
，在上取一点，使得，则是等腰直角三角形，设，则，
，
，
的面积最大值，
四边形的面积的最小值．
【解析】
【分析】
根据四边形的内角和为求解可得；
将绕点逆时针旋转得，由旋转性质知，，，，再证是等边三角形得，证可得答案；
是等边三角形，所以可以将绕点逆时针旋转得到，连接由，可知当面积最大时，四边形的面积最小，只要求出的面积的最大值即可解决问题．
本题考查四边形综合题、等边三角形的判定和性质、三角形的面积、勾股定理，圆等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用辅助圆解决最值问题，属于中考压轴题．
【解答】
解：，且、，
，
故答案为：；
见答案；
见答案．
18.【答案】解：，，
，，
；
如图，过点作轴于点，
，
，
，
，
由知：，
，，
，
，
，；
及的长分别为，；
作轴于，连接、，如图，
，
为外接圆的直径，
，
，，
，，
，
，
，
和都为等腰直角三角形，
，，
设，则，，
在中，
，
，
整理得，解得，舍去，
，
；
点坐标为．
【解析】根据，，可得，，进而可以解决问题；
过点作轴于点，可得，，然后根据，求出的长，进而可以解决问题；
作轴于，连接、，根据圆周角定理由，得到为外接圆的直径，则，再利用勾股定理计算出，根据圆周角定理由得到，则可判断和都为等腰直角三角形，所以，，设，则，，在中，根据勾股定理得到的长和点坐标．
本题考查了三角形外接圆与外心，坐标与图形性质，解决本题的关键是得到和都为等腰直角三角形．
19.【答案】解：已知抛物线与轴交于点和点，
抛物线的表达式为：；
抛物线；
抛物线；
抛物线的对称轴为：，故点，
直线的表达式为：，当时，，
故点，
，，
即，，
将点的纵坐标代入抛物线表达式得：，
解得：因点这在第一象限内，负值已舍去；
点的横坐标为；
当时，，
，
，
，
将以点为中心顺时针旋转，旋转角等于，所以旋转角，
故点；；
设直线的表达式为：，
解得：
直线的表达式为：，
联立直线与抛物线解析式得：
解得：或
故直线与抛物线的交点坐标为：，
【解析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图形的旋转、图形的面积计算等．
利用交点式求抛物线的表达式即可；
，，即，，即可求解；
先求出，将以点为中心顺时针旋转，旋转角等于，相当于旋转了，故点、点，再用待定系数法求出直线的解析式，然后联立直线与抛物线解析式即可求解．
20.【答案】解：如图所示：，即为所求，点的坐标为：；
如图所示：，即为所求．
【解析】直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
直接利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案．
此题主要考查了旋转变换以及平移变换，正确得出对应点位置是解题关键．
21.【答案】解：，，
，
，
，
；
是，理由如下：
由勾股定理得，，
，解方程得，
，
线段的长是方程的一个根；
，
，
由勾股定理得，
，
整理得，
，
，
，
整理得，．
【解析】本题考查的是勾股定理、三角形内角和定理、等腰三角形的性质、一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的求根公式、勾股定理是解题的关键．
根据三角形内角和定理求出，根据等腰三角形的性质求出，计算即可；
根据勾股定理求出，利用求根公式解方程，比较即可；
根据勾股定理列出算式，计算即可．
22.【答案】解：矩形；
如图，点即为四边形的外心，满足条件的四边形如图所示．
如图，作四边形的外接圆，连接，作于点，
则，
，
，
，，
，
，
，
则．
【解析】
解：矩形对角线相等且互相平分，
矩形对角线交点到四顶点的距离相等，即对角线交点是矩形的外心，
故答案为：矩形；
见答案；
见答案．
【分析】
根据平行四边形、矩形和菱形在对角线上的性质求解可得；
连接、，作两线段的中垂线，交于点，以为圆心、为半径作圆，在上取一点，顺次连接即可得；
作出四边形的外接圆，连接，作于点，依据圆周角定理和圆心角定理得出，由垂径定理得，据此利用正弦函数的定义可得答案．
本题是圆的综合问题，解题的关键是掌握平行四边形、矩形、菱形的性质，四边形外接圆的性质，圆周角定理和圆心角定理及垂径定理等知识点．
23.【答案】解：；；
如图，过点作交于点，
是半圆的直径，
，
，
，
，
，
，是等腰直角三角形，
又，，
≌，
，
，
在等腰中，；
如图，连接、，延长到点，使得，连接．
设的半径为，则依题意有：，
解得，

是等边三角形，
，，
，
过点作于点，
，，
，
，
四边形内接于，
，
，
，
在与中，

≌，
，，
，
为等边三角形，
△ACD

，
，
，
与之间的函数关系式为；
当点为的中点时，，
又，
是的垂直平分线，
是的弦，
是的直径，
，
由得，

【解析】
【分析】
本题考查圆的综合，涉及圆周角定理，垂径定理，圆内接四边形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积，等边三角形的判定与性质等知识．
通过证明≌，根据全等三角形的性质得到，，进而得到；
过点作交于点，证明≌，求出，进而即可得答案；
连接、，延长到点，使得，连接，过点作于点，先求出圆的半径，解直角三角形求出，证得≌，得出，根据的面积求出函数关系式；
根据题意知当点为的中点时，，根据垂径定理，求出为的直径， 根据，求出答案
【解答】
解：和均为等腰直角三角形，
，，，
，
，
又，，
≌，
，，
，
见答案；
见答案；
见答案．
24.【答案】证明：四边形是正方形，
，
，
是的中点，
，
，
．
解：连接，过点作交的延长线于．
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，，
，
，
．
【解析】欲证明，只要证明．
连接，过点作交的延长线于证明≌，推出，推出，推出，再利用等腰三角形的性质构建方程求出，即可解决问题．
本题考查正多边形与圆，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
25.【答案】证明：是直径，
，
，
，
，
，
，
．
解：由可知：，，
，，
在中，由勾股定理得到，
连接，则，
．
【解析】只要证明，即可推出；
根据计算即可解决问题；
本题考查扇形的面积，垂径定理，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
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