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第二章：特殊三角形能力提升测试题答案
选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1.答案：A
解析：根据题意，一个等腰三角形的一个角等于80°，
①当这个角是底角时，即该等腰三角形的底角的度数是80°，
②当这个角80°是顶角，
设等腰三角形的底角是x°，
则2x+80°＝180°，
解可得，x＝50°，
即该等腰三角形的底角的度数是50°；
故选：A．
2.答案：A
解析：A、32+42≠62，故A符合题意；
B、72+242＝252，故B不符合题意；
C、62+82＝102，故C不符合题意；
D、92+122＝152，故D不符合题意．
故选：A．
3.答案：D
解析：有两种情况；
（1）如图当△ABC是锐角三角形时，BD⊥AC于D，
则∠ADB＝90°，
已知∠ABD＝45°，
∴∠A＝90°﹣45°＝45°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝×（180°﹣45°）＝67.5°；
（2）如图，当△EFG是钝角三角形时，FH⊥EG于H，
则∠FHE＝90°，
已知∠HFE＝45°，
∴∠HEF＝90°﹣45°＝45°，
∴∠FEG＝180°﹣45°＝135°，
∵EF＝EG，
∴∠EFG＝∠G＝×（180°﹣135°）＝22.5°，
综合（1）（2）得：等腰三角形的底角是67.5°或22.5°．
故选：D．
4.答案：D
解析：由a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，得
a4+b2c2﹣a2c2﹣b4
＝（a4﹣b4）+（b2c2﹣a2c2）
＝（a2+b2）（a2﹣b2）﹣c2（a2﹣b2）
＝（a2﹣b2）（a2+b2﹣c2）
＝（a+b）（a﹣b）（a2+b2﹣c2）＝0，
∵a+b＞0，
∴a﹣b＝0或a2+b2﹣c2＝0，
即a＝b或a2+b2＝c2，
则△ABC为等腰三角形或直角三角形．
故选：D．
5.答案：D
解析：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，E是AB的中点，
∴BE＝CE，
又∵∠B＝20°
∴∠ECB＝∠B＝20°，
∵AD＝BD，∠B＝20°，
∴∠DAB＝∠B＝20°，
∴∠ADC＝∠B+∠DAB＝20°+20°＝40°，
∴∠DFE＝∠ADC+∠ECB＝40°+20°＝60°.
故答案为：D.
6.答案：D
解析：A、应为“直角三角形中，已知两直角边的边长为3和4，则斜边的边长为5”，故不符合题意；
B、应为“三角形是直角三角形，三角形的直角边分别为b，c，斜边为a，则满足a2＝b2+c2，即a2﹣b2＝c2”，故不符合题意；
C、比如：边长分别为3，4，5，有32+42＝25＝52，能构成直角三角形，故不符合题意；
D、根据三角形内角和定理可求出三个角分别为15°，75°，90°，因而是直角三角形，故符合题意．
故选：D．
7.答案：C
解析：如图所示：因为△ABC为等腰三角形，且△ABC的面积为1，
所以满足条件的格点C有4个，
故选：C．
8.答案：B
解析：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAE＝∠C＝60°，AB＝AC，
在△ABE和△CAD中，
，
∴△ABE≌△CAD（SAS），
∴∠ABE＝∠CAD，BE＝AD，
∴∠BFD＝∠ABE+∠BAD＝∠CAD+∠BAF＝∠BAC＝60°；
∵BH⊥AD，
∴∠BHF＝90°
∴∠FBH＝30°，
∴FH＝ BF，即BF＝2FH，
∵FH＝3，EF＝0.5，
∴BF＝6，BE＝BF+EF＝6.5，
∴AD＝BE＝6.5.
故答案为：B.
9.答案：D
解析：设AE=a，
假设，则AE=EF=BF=a，
∴BE=b，
在Rt△ABE中，
∴，
∴，，，
∴，则与已知相矛盾，故A选项错误；
假设，则∠ABE=30°，
∴AB=2AE=2a，
∴，
∴，
∴，，
∴，则与已知相矛盾，故B选项错误；
假设，则BE=2a，EF=BE-AE=a，则与A选项相同，故C选项错误；
假设，则BE=3a，
∴，EF=BE-AE=2a，
∴，，，
∴，则与已知相符合，故D选项正确，
故选：D．
10.答案：A
解析：①
故①正确；
②
故②正确；
③作于H，作交CO的延长线于G，则FG=1
故③错误；
④，
故④正确，
即正确的结论为：①②④
故选：A．
填空题（本题共6小题，每题4分，共24分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
11.答案：
解析：如图，
在与中
∴
故答案为：135
12.答案：
解析：∵∠A＝90°，∠B＝38°，
∴∠C＝52°，
∵C'E＝BC'，
∴∠C′EB＝∠B＝38°，
∵将△CEF沿EF所在的直线折叠，使C的对应点C'落在AB上，
∴∠EC′F=∠C=52°，
∵∠AC′E=∠B+∠C′EF=76°，
∴∠AC′F=∠AC′E-∠EC′F=24°，
△AC′F中，∠AFC′=180°-∠AC′F-∠A=66°，
故答案为：66°．
13.答案：50或90
解析：当AP⊥ON时，∠APO＝90°，则∠A＝50°，
当PA⊥OA时，∠A＝90°，
即当△AOP为直角三角形时，∠A＝50或90°．
故答案为：50或90．
14.答案：5
解析：由已知可得，
∠BAD＝∠EAD，∠ADB＝∠ADE＝90°，AD＝AD，
∴△ADB≌△ADE，
∴BD＝DE，
∴△ADB的面积等于△ADE的面积，△CDB的面积等于△CDE的面积，
∵S△ABC＝10m2，
∴S△ADC＝5m2，
故答案为：5．
15.答案：2或3．
解析：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
①当BD＝CM＝6厘米，BM＝CN时，△DBM≌△MCN，
∴BM＝CN＝2厘米，t＝＝1，
∴点N运动的速度为2厘米/秒．
②当BD＝CN，BM＝CM时，△DBM≌△NCM，
∴BM＝CM＝4厘米，t＝＝2，CN＝BD＝6厘米，
∴点N的速度为：＝3厘米/秒．
故点N的速度为2或3厘米/秒．
故答案为：2或3．
16.答案：
解析：如图所示，连接CD、BD，
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DF=DE，∠F=∠DEB=90°，∠ADF=∠ADE，
∴AE=AF，
∵DG是BC的垂直平分线，
∴CD=BD，
在Rt△CDF和Rt△BDE中
∴Rt△CDF≌Rt△BDE
∴BE=CF，
∴AB=AE+BE=AF+BE=AC+CF+BE=AC+2BE，
∵AB=6，AC=3，
∴BE=．
故答案为：
三．解答题（共6题，共66分）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
17.解析：（1）∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∴；
（2）由上题知AD＝，
同理可得BD＝，
∴AB＝AD+BD＝5，
∵32+42＝52，
∴BC2+AC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形．
18.解析：∵△ABC是等腰三角形，AB=AC，AD是底边BC上的中线，
∴∠BAD=∠CAD，
∵DE∥AB，
∴∠ADE=∠BAD，
∴∠ADE=∠CAD，
∴AE=ED，
∴△AED是等腰三角形．
19.解析：（1）∵AB＝AC＝13，F是BC中点，
∴AF⊥BC，BF＝CF，
∵AF＝12，
∴CF＝，
∴BF＝5；
（2）连接CD，
∵BF＝CF＝5，
∴BC＝10，
∴S△ABC＝BC AF＝60；
∵AD＝BD，
∴S△ADC＝S△BCD＝S△ABC＝30，
即AC DE＝30，
∴DE＝．
20.解析：利用图1进行证明：
证明：∵∠DAB＝90°，点C，A，E在一条直线上，BC∥DE，则CE＝a+b，
∵S四边形BCED＝S△ABC+S△ABD+S△AED＝ab+c2+ab，
又∵S四边形BCED＝（a+b）2，
∴ab+c2+ab＝（a+b）2，
∴a2+b2＝c2．
利用图2进行证明：
证明：如图，连接DB，过点D作BC边上的高DF，则DF＝EC＝b﹣a，
∵S四边形ADCB＝S△ACD+S△ABC＝b2+ab．
又∵S四边形ADCB＝S△ADB+S△DCB＝c2+a（b﹣a），
∴b2+ab＝c2+a（b﹣a），
∴a2+b2＝c2．
21.解析：（1）证明：在△ABC中，∠C＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠A，
∵DE⊥PD，
∴∠PDE＝90°，
∴∠EDB＝90°﹣∠PDA，
∵PD＝PA，
∴∠A＝∠PDA，
∴∠B＝∠EDB，
∴ED＝EB，
∴点E在BD的垂直平分线上；
（2）解：①∵∠PDE＝∠C＝90°，
∴∠CPD+∠CED＝360°﹣90°﹣90°＝180°，
∵∠DEB+∠CED＝180°，
∴∠CPD＝∠DEB，
∵∠DEB＝α，
∴∠CPD＝α；
②∵α＝110°，∠CPD＝α，
∴∠CPD＝110°，
∵∠A＝∠ADP，∠A+∠ADP＝∠CPD，
∴∠A＝55°．
22．解析：（1）BQ＝2×2＝4cm，
BP＝AB﹣AP＝8﹣2×1＝6cm，
∵∠B＝90°，
PQ＝（cm）；
（2）根据题意得：BQ＝BP，
即2t＝8﹣t，
解得：；
即出发时间为秒时，△PQB是等腰三角形；
（3）分三种情况：
①当CQ＝BQ时，如图1所示：
则∠C＝∠CBQ，
∵∠ABC＝90°，
∴∠CBQ+∠ABQ＝90°，
∠A+∠C＝90°，
∴∠A＝∠ABQ
∴BQ＝AQ，
∵∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，
∴AC＝（cm），
∴CQ＝AQ＝AC＝5（cm），
∴BC+CQ＝11（cm），
∴t＝11÷2＝5.5秒．
②当CQ＝BC时，如图2所示：
则BC+CQ＝12（cm），
∴t＝12÷2＝6秒．
③当BC＝BQ时，如图3所示：
过B点作BE⊥AC于点E，
则BE＝（cm）
∴CE＝cm，
∴CQ＝2CE＝7.2cm，
∴BC+CQ＝13.2cm，
∴t＝13.2÷2＝6.6秒．
由上可知，当t为5.5秒或6秒或6.6秒时，
△BCQ为等腰三角形．
23.解析：（1）
（2）∵四边形ABCD是正方形
∴AB=BC，∠A=∠ABC=∠C=90°
由折叠性质得：AB=BM，∠PMB=∠BMQ=∠A=90°
∴BM=BC
①
∴
②
（3）
，DQ=DF+FQ=4+1=5(cm)
由（2）可知，
设
，
即
解得：
∴
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第二章：特殊三角形能力提升测试题
选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1．如果等腰三角形的一个角是80°，那么它的底角是（ ）
A．80°或50° B．50°或20° C．80°或20° D．50°
2．在下列各组数据中，不能作为直角三角形的三边边长的是（ ）
A．3，4，6 B．7，24，25 C．6，8，10 D．9，12，15
3．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°，则等腰三角形的底角为（ ）
A．67° B．67.5° C．22.5° D．67.5°或22.5°
4．已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D在BC上，E是AB的中点，AD、CE相交于F，且AD＝DB.若∠B＝20°，则∠DFE等于（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
6．下列说法中，正确的是（ ）
A．直角三角形中，已知两边长为3和4，则第三边长为5
B．三角形是直角三角形，三角形的三边为a，b，c，则满足a2﹣b2＝c2
C．以三个连续自然数为三边长不可能构成直角三角形
D．△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：5：6，则△ABC是直角三角形
7．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A、B都是格点（小正方形的顶点叫做格点），若△ABC为等腰三角形，且△ABC的面积为1，则满足条件的格点C有（ ）
A．0个 B．2个 C．4个 D．8个
8．如图，在等边△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且AE＝CD，AD、BE相交于F点，BH⊥AD于H点，FH＝3，EF＝0.5，则AD的长为（ ）
A．6 B．6.5 C．7 D．7.5
9.由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示．连接，设正方形的面积为，正方形的面积为，四边形的面积为．若，则下面结论一定正确的是( )
A． B． C． D．
10.如图，正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A，O，E在同一直线l上，且EF＝，AB＝3，下列结论：①∠COD＝45°；②AE＝5；③CF＝BD＝；④△COF的面积是．其中正确的结论为（ ）
A．①②④ B．①④ C．②③ D．①③④
填空题（本题共6小题，每题4分，共24分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
11.如图是单位长度为1的正方形网格，则______°．
12.如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝38°，点E，F分别在边BC，AC上，将△CEF沿EF所在的直线折叠，使C的对应点C'落在AB上，且C'E＝BC'，则∠AFC'＝_____
13.如图，已知∠AON＝40°，OA＝6，点P是射线ON上一动点，当△AOP为直角三角形时，
∠A＝ °
14．如图，已知S△ABC＝10m2，AD平分∠BAC，直线BD⊥AD于点D，交AC于点E，连接CD，则S△ADC＝______________
15．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝12厘米，BC＝8厘米，点D为AB的中点，如果点M在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点N在线段CA上由C点向A点运动，若使△BDM与△CMN全等，则点N的运动速度应为 厘米/秒．
16.如图，已知：∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，AB＝6，AC＝3，则BE＝_______
三．解答题（共6题，共66分）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
17（本题6分）．如图所示，在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝4，BC＝3，CD＝
（1）求AD的长；（2）求证：△ABC是直角三角形．
18.（本题8分）已知：如图，AD是等腰三角形ABC的底边BC上的中线，DE∥AB，交AC于点E．求证：△AED是等腰三角形．
19（本题8分）．如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，F是BC中点，AF＝12，D是AB中点，DE⊥AC于点E．（1）求BF的长；（2）直接写出DE的长．
20（本题10分）．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，请你利用图1或图2证明勾股定理（其中∠DAB＝90°）求证：a2+b2＝c2．
21（本题10分）．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点P在AC上运动，点D在AB上，PD始终保持与PA相等，DE⊥PD交BC于点E．（1）求证：点E在BD的垂直平分线上；（2）若∠DEB＝α，
①求∠CPD的度数；（用含α的式子表示）；②当α＝110°时，求∠A的度数．
22．（本题12分）如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．
（1）当t＝2秒时，求PQ的长；
（2）求出发时间为几秒时，△PQB是等腰三角形？
（3）若Q沿B→C→A方向运动，则当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．
23.（本题12分）综合与实践：
综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
（1）操作判断：操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；
操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM．
根据以上操作，当点M在EF上时，写出图1中一个30°的角：______．
（2）迁移探究：小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：
将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ．
①如图2，当点M在EF上时，∠MBQ＝______°，∠CBQ＝______°；
②改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由．
（3）拓展应用：在（2）的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为8cm，当FQ＝1cm时，直接写出AP的长．
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