第三章、一元一次不等式 单元测试
（难度：困难）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．若a＜b，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．3﹣a＜3﹣b B．＜ C．|a|＜|b| D．﹣3a＞﹣3b
【分析】根据不等式的基本性质判断A，B，D选项；通过举特例判断C选项．
【解答】解：A选项，∵a＜b，
∴﹣a＞﹣b，
∴3﹣a＞3﹣b，故该选项不符合题意；
B选项，当c+1≤0时，不等式不成立，故该选项不符合题意；
C选项，例如a＝﹣2，b＝1，|a|＞|b|，故该选项不符合题意；
D选项，∵a＜b，
∴﹣3a＞﹣3b，故该选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查不等式的性质，掌握不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变是解题的关键．
2．已知关于x的不等式组的解集中至少有5个整数解，则整数a的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】表示出不等式组的解集，由解集中至少有5个整数解，确定出a的范围，进而求出整数a的最小值即可．
【解答】解：不等式组整理得：，
解得：﹣＜x＜a，
∵不等式组解集中至少有5个整数解，即至少5个整数解为﹣1，0，1，2，3，
∴a＞3，
则整数a的最小值为4．
故选：C．
【点评】此题考查了一元一次不等式组的整数解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
3．下列按条件列不等式错误的是（ ）
A．若a是非负数，则a≥0
B．若x的值不大于3，则x＜3
C．若m与﹣1的和小于或等于0，则m﹣1≤0
D．若x的值不小于1，则x≥1
【分析】根据各选项的表述列出不等式，与选项中所表示的式子进行比较即可得出答案．
【解答】解：A、若a是非负数，则a≥0，不符合题意；
B、若x的值不大于3，则x≤3，符合题意；
C、若m与﹣1的和小于或等于0，则m﹣1≤0，不符合题意；
D、若x的值不小于1，则x≥1，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象一元一次不等式，用不等式表示不等关系是研究不等式的基础，把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式．
4．若关于x的方程的解为正数，且a使得关于y的不等式组恰有两个整数解，则所有满足条件的整数a的值的和是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】根据方程的解为正数，且a使得关于y的不等式组恰有两个整数解，可以求得a的取值范围，然后即可写出满足条件的整数a的值，再将它们相加即可．
【解答】解：由方程可得，x＝，
∵方程的解为正数，
∴＞0，
∴a＜，
由y+3＞1得y＞﹣2，
由3y﹣a＜1得y＜，
∵a使得关于y的不等式组恰有两个整数解，
∴这两个整数解为﹣1，0，
∴0＜≤1，
解得﹣1＜a≤2，
由上可得﹣1＜a＜，
∴所有满足条件的整数a的值为0，1，
∵0+1＝1，
∴所有满足条件的整数a的值和为1，
故选：B．
【点评】本题考查一元一次不等式组的整数解、解一元一次方程，解答本题的关键是求出a的取值范围．
5．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】先求出两个不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出不等式组的解集即可．
【解答】解：，
解不等式①，得x＜2，
解不等式②，得x≥﹣1，
所以不等式组的解集是﹣1≤x＜2，
在数轴上表示出不等式组的解集为：
，
故选：A．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集是解此题的关键，同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小解不了．
6．若3a﹣22和2a﹣3是实数m的两个平方根，且t＝，则不等式﹣≥的解集为（ ）
A．x≥ B．x≤ C．x≥ D．x≤
【分析】先根据平方根求出a的值，再求出m，求出t，再把t的值代入不等式，求出不等式的解集即可．
【解答】解：∵3a﹣22和2a﹣3是实数m的平方根，
∴3a﹣22+2a﹣3＝0，
解得：a＝5，
2a﹣3＝7，
所以m＝49，
t＝＝7，
∵﹣≥，
∴﹣≥
解得：x≤，
故选：B．
【点评】本题考查了算术平方根、解一元一次不等式和平方根，能求出t的值是解此题的关键．
7．若关于x，y的方程组的解满足x﹣y＞﹣，则m的最小整数解为（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．0
【分析】方程组中的两个方程相减得出x﹣y＝3m+2，根据已知得出不等式，求出不等式的解集即可．
【解答】解：，
①﹣②得：x﹣y＝3m+2，
∵关于x，y的方程组的解满足x﹣y＞﹣，
∴3m+2＞﹣，
解得：m＞﹣，
∴m的最小整数解为﹣1，
故选：C．
【点评】本题考查了解一元一次不等式和解二元一次方程组、二元一次方程组的解、一元一次不等式的整数解等知识点，能得出关于m的不等式是解此题的关键．
8．若a+b＝﹣2，且a≥2b，则（ ）
A．有最小值 B．有最大值1
C．有最大值2 D．有最小值
【分析】由已知条件，根据不等式的性质求得b≤﹣＜0和a≥﹣；然后根据不等式的基本性质求得≤2 和当a＞0时，＜0；当﹣≤a＜0时，≥；据此作出选择即可．
【解答】解：∵a+b＝﹣2，
∴a＝﹣b﹣2，b＝﹣2﹣a，
又∵a≥2b，
∴﹣b﹣2≥2b，a≥﹣4﹣2a，
移项，得
﹣3b≥2，3a≥﹣4，
解得，b≤﹣＜0（不等式的两边同时除以﹣3，不等号的方向发生改变），a≥﹣；
由a≥2b，得
≤2 （不等式的两边同时除以负数b，不等号的方向发生改变）；
A、当a＞0时，＜0，即的最小值不是，故本选项错误；
B、当﹣≤a＜0时，≥，有最小值是，无最大值；故本选项错误；
C、有最大值2；故本选项正确；
D、无最小值；故本选项错误．
故选：C．
【点评】主要考查了不等式的基本性质：
（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．
（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．
（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
9．已知关于x、y的方程组，其中﹣3≤a≤1，给出下列说法：①当a＝1时，方程组的解也是方程x+y＝2﹣a的一个解；②当a＝﹣2时，x、y的值互为相反数；③若x≤1，则1≤y≤4；④是方程组的解．其中说法错误的是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．②③
【分析】根据题目中的方程组可以判断各个小题的结论是否成立，从而可以解答本题．
【解答】解：当a＝1时，，解得，，∴x+y＝0≠2﹣1，故①错误，
当a＝﹣2时，，解得，，则x+y＝6，此时x与y不是互为相反数，故②错误，
∵，解得，，
∵x≤1，则≤1，得a≥0，
∴0≤a≤1，则1≤≤，即1≤y≤，故③错误，
∵，解得，，当x＝＝4时，得a＝，y＝，故④错误，
故选：A．
【点评】本题考查解一元一次不等式组、二元一次方程（组）的解，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用方程和不等式的性质解答．
10．关于x的不等式组只有两个整数解，且21t＝2a+12，要使的值是整数，则符合条件的a个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】先解不等式组，得出0＜t≤1，再求出a的取值范围，再由式子的值是整数，可求出符合条件的a个数．
【解答】解：解不等式＜0得x＜t，
解不等式＜﹣2的x＞﹣2，
∵不等式组有且只有2个整数解，
∴0＜t≤1，
∴0＜21t≤21，
∵21t＝2a+12，
∴0＜2a+12≤21，
∴﹣6＜a≤4.5，
∴整数a为﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，
∴要使的值是整数的a的值为﹣5，﹣4，﹣1，1，4，共5个，
故选：C．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，熟练运用一元一次不等式组的解法是解题的关键．
二．填空题（共6小题）
11．若实数m使得关于x的不等式组无解，则关于y的分式方程的最小整数解是 2 ．
【分析】先求出每个不等式的解集，然后根据不等式组无解求出m的取值范围，再解分式方程，从而确定y的取值范围，即可得到答案．
【解答】解：解不等式2x＞2得：x＞1，
解不等式3x＜m+1得：，
∵不等式组无解，
∴，
解得m≤2；
，
去分母得2y＝4﹣m，
解得，
∵m≤2，
∴4﹣m≥2，
∴，
又∵y﹣1≠0，
∴y＞1，
∴y的最小整数解为2，
故答案为：2．
【点评】本题考查解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解、解分式方程，熟知相关计算法则是解题的关键，注意分式方程要检验．
12．已知a，b，c为三个非负实数，且满足，若W＝3a+2b+5c，则W的最大值为 130 ．
【分析】将方程组两个方程相加，得到3a+5c＝130﹣4b，整体替换可得W＝130﹣2b，再由b的取值范围即可求解．
【解答】解：，
①+②，得3a+4b+5c＝130，
可得出a＝10﹣，c＝20﹣，
∵a，b，c为三个非负实数，
∴a＝10﹣≥0，c＝20﹣≥0，
∴0≤b≤20，
∴W＝3a+2b+5c＝2b+130﹣4b＝130﹣2b，
∴当b＝0时，W＝130﹣2b的最大值为130，
故答案为：130．
【点评】本题考查三元一次方程组，通过解方程组得到W与b的关系是解题的关键．
13．若6a＝3b+12＝2c，且b≥0，c≤9，设t＝2a+b﹣c，则t的取值范围为 ﹣2≤t≤﹣1 ．
【分析】运用不等式的基本性质解决此题．
【解答】解：∵6a＝3b+12＝2c，
∴3a＝c，2a＝b+4．
∴b＝2a﹣4．
∴t＝2a+b﹣c＝2a+2a﹣4﹣3a＝a﹣4．
∵b≥0，c≤9，
∴3b+12≥12，2c≤18．
∴6a≥12，6a≤18．
∴2≤a≤3．
∴﹣2≤a﹣4≤﹣1．
∴﹣2≤t≤﹣1．
故答案为：﹣2≤t≤﹣1．
【点评】本题主要考查不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解决本题的关键．
14．某商家采取线上、线下两种方式销售A、B、C、D四种类型的某件商品．其中线上销售时，A型销量是B型销量的2倍，D型销量是C型销量的，C型售价是A型售价的5倍，D型售价是B型售价的4倍．线下销售时，A型销量比线上销售提高50%，C型销量比线上降低，D型售价比线上售价降低一半，结果销量和C型销量保持一致，其他类型售价和销售量和线上保持一致，结果A型和C型线上、线下销售总额比B型和D型线上、线下销售总额高出646元．若A型线上售价的5倍与B型线上售价的2倍之差不低于20元但不超过40元，A型线上售价定在7.5元到11.5元之间，线上、线下销售量与售价均为整数，则A型线上销售额最多比B型线上销售额多 117 元．
【分析】设线上销售时B型孔明灯销量为a，售价为b元，C型孔明灯销量为m，售价为n元，根据题目中关系分别表示出线上A型孔明灯销售为2a，售价为元，D型孔明灯销量为，售价为4b元．线下销售时A型孔明灯销量为2×（1+50%）a＝3a，售价为元，C型孔明灯销量为（1﹣）m＝m，售价为n元，D型孔明灯销量为m，售价为×4b＝2b元，B型孔明灯销量为a，售价为b元，再根据A型孔明灯和C型孔明灯线上线下销售总额比B型孔明灯和D型孔明灯线上、线下销售总额高出646元．若A型孔明灯线上价的5倍与B型孔明灯线上售价的2倍之差不低于20元但不超过40元，A型孔明灯线上售价定7.5到11.5元之间，线上、线下销售量与售价均为整数，列出方程和不等式求解即可．
【解答】解：设线上销售时B型孔明灯销量为a，售价为b元，C型孔明灯销量为m，售价为n元，
则A型孔明灯销售为2a，售价为元，D型孔明灯销量为，售价为4b元．
线下销售时A型孔明灯销量为2×（1+50%）a＝3a，售价为元，
C型孔明灯销量为（1﹣）m＝m，售价为n元，
D型孔明灯销量为 m，售价为×4b＝2b元，
B型孔明灯销量为a，售价为b元．
由题意得，2a +3a +mn+mn﹣（ab+ab+ 4b+m 2b）＝646，
化简得an+mn﹣2ab﹣mb＝646，
∴（n﹣2b）（a+m）＝646，
由20≤5×﹣2b≤40得20≤n﹣2b≤40，
∵646＝38×17＝34×19，
∴n﹣2b＝34，a+m＝19或n﹣2b＝38，a+m＝17；
由7.5＜＜11.5得37.5＜n＜57.5，
∵销售量与售价均为整数，
∴，均为整数，可以为8、9、10、11，
1°当＝8，即n＝40时，20≤40﹣2b≤40，解得0≤b≤10，
2°当＝9，即n＝45时，20≤45﹣2b≤40，解得≤b≤，不符合题意，舍去，
3°当＝10，即n＝50时，20≤50﹣2b≤40，解得5≤b≤15，
4°当＝11，即n＝55时，20≤55﹣2b≤40，解得7.5≤b≤17.5，不符合题意，舍去，
∴n＝40或50，
当n＝40，n﹣2b＝34，a+m＝19时，40﹣2b＝34，解得b＝3，此时a+m＝19，
当n＝50，n﹣2b＝34，a+m＝19时，50﹣2b＝34，解得b＝8，此时a+m＝19，
当n＝40，n﹣2b＝38，a+m＝17时，40﹣2b＝38，解得b＝1，此时a+m＝17，
当n＝50，n﹣2b＝38，a+m＝17时，50﹣2b＝38，解得b＝6，此时a+m＝17，
由，m为整数得，m为6的倍数，m的最小值为6，
A型的孔明灯线上销售额比B型明灯线上销售额多（2a ﹣ab）＝a（n﹣b），
当n＝40，b＝3，a+m＝19时，a的最大值为9，此时a（n﹣b）＝9×（×40﹣3）＝117，
当n＝50，b＝8，a+m＝19时，a的最大值为9，此时a（n﹣b）＝9×（×40﹣8）＝108，
当n＝40，b＝1，a+m＝17时，a的最大值为7，此时a（n﹣b）＝7×（×40﹣1）＝105，
当n＝50，b＝6，a+m＝17时，a的最大值为7，此时a（n﹣b）＝7×（×40﹣6）＝98，
综上，当a＝9，b＝3，n＝40时，A型的孔明灯线上销售额比B型明灯线上销售额多（2a ﹣ab）元有最大值，
最大值117（元），
故答案为：117．
【点评】本题主要考查了方程和不等式的应用，解答此题的关键是认真阅读，找出题中的等量和不等量关系．
15．对x、y定义一种新运算T，规定：T（x，y）＝（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：T（0，1）＝＝b，已知T（1，﹣1）＝﹣2，T（4，2）＝1，若关于m的不等式组恰好有3个整数解，则实数P的取值范围是 ﹣2≤P＜﹣ ．
【分析】根据已知得出关于a、b的方程组，求出a、b的值，代入求出不等式组的每个不等式的解集，根据已知即可得出P的范围．
【解答】解：∵T（1，﹣1）＝﹣2，T（4，2）＝1，
∴＝﹣2，＝1，
解得：a＝1，b＝3，
T（2m，5﹣4m）＝≤4，解得m≥﹣，
T（m，3﹣2m）＝＞P，解得m＜，
∵关于m的不等式组恰好有3个整数解，
∴2＜≤3，
∴﹣2≤P＜﹣，
∴实数P的取值范围是﹣2≤P＜﹣，
故答案为：﹣2≤P＜﹣．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，解二元一次方程组的应用，能求出a、b的值是解此题的关键．
16．已知实数a，b，满足1≤a+b≤4，0≤a﹣b≤1且a﹣2b取最大值时，8a+2021b的值是 8 ．
【分析】把a﹣2b变形得到﹣（a+b）+（a﹣b），可求出a﹣2b有最大值为1，可得a，b的值，代入8a+2021b即可求解．
【解答】解：设a﹣2b＝m（a+b）+n（a﹣b），
∴a﹣2b＝（m+n）a+（m﹣n）b，
∴，
解得，
∴a﹣2b＝﹣（a+b）+（a﹣b），
∵1≤a+b≤4，0≤a﹣b≤1，
∴﹣2≤﹣（a+b）≤﹣，0≤（a﹣b）≤，
∴﹣2≤a﹣2b≤1，
∴a﹣2b有最大值为1，
此时﹣（a+b）＝﹣，（a﹣b）＝，
解得a＝1，b＝0，
∴8a+2021b＝8．
故答案为：8．
【点评】本题考查了不等式组的应用与求解，解二元一次方程组，解决本题的关键是根据题意把a﹣2b变形．
三．解答题（共7小题）
17．解方程组或不等式组．
（1）．
（2），并写出不等式组的非负整数解．
【分析】（1）利用加减消元法求解即可；
（2）先求出每个不等式的解集，然后求出不等式组的解集，最后求出其非负整数解即可．
【解答】解：（1），
①+②得：4x＝20，
解得x＝5，
把x＝5代入①得：y＝1，
∴方程组的解为；
（2）解不等式2x+5≤3（x+2）得：x≥﹣1，
解不等式2x﹣＜1得：x＜3，
∴不等式组的解集为﹣1≤x＜3，
∴不等式组的非负整数解为0，1，2．
【点评】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，求不等式组的非负整数解，熟知相关计算方法是解题的关键．
18．若不等式组的解集为﹣2＜x＜4，求出a、b的值．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据确定不等式组的解集列出关于a、b的方程组，解之可得．
【解答】解：解不等式10﹣x＜﹣（a﹣2），得：x＞a+8，
解不等式3b﹣2x＞1，得：x＜，
∵解集为﹣2＜x＜4，
∴，
解得：a＝﹣10，b＝3．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19．已知关于x、y的方程组的解满足x≤0，y＜0．
（1）用含m的代数式分别表示x和y；
（2）求m的取值范围；
（3）在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式2mx+x＜2m+1的解集为x＞1？
【分析】（1）首先对方程组进行化简即可求得含m的表示x和y得代数式；
（2）根据方程的解满足的解满足x≤0，y＜0得到不等式组，解不等式组就可以得出m的范围，然后求得m的值；
（3）根据不等式2mx+x＜2m+1的解集为x＞1，求出m的取值范围，即可解答．
【解答】解：（1），
①+②得2x＝2m﹣6，
所以，x＝m﹣3；
①﹣②得2y＝﹣4m﹣8，
所以，y＝﹣2m﹣4，
故含m的代数式分别表示x和y为；
（2）∵x≤0，y＜0
∴，
解，得﹣2＜m≤3；
（3）（2m+1）x＜2m+1，
∵原不等式的解集是x＞1，
∴2m+1＜0，
∴，
又∵﹣2＜m≤3
∴﹣2＜m＜﹣，
∵m为整数，
∴m＝﹣1．
【点评】本题考查了解二元一次方程组和一元一次不等式，解决本题的关键是求出方程组的解集．
20．某种植户准备将一批农产品运往外地销售，计划同时租用运输公司的A，B两种型号的货车，租车费用分别是380元/辆，180元/辆，已知A，B两种型号货车的运载能力如图所示．该种植户计划一次性运完21吨农产品，且每辆车都恰好载满货物，请你帮助他设计一种最省钱的租车方案．
【分析】方法一：设1辆A型车满载时一次可运货x吨，1辆B型车满载时一次可运货y吨，根据题意列出方程组，然后设租用a辆A型车，b辆B型车一次性运完21吨，列出二元一次方程方程，求整数解即可．方法二：同方法一可得到 0≤a≤4.2，a只能取0，1，2，3，4，分别代入b＝10.5﹣2.5a中，同时符合b也是自然数的a的值只能是1和3，此时b相应取值8和3．进而可以解决问题．
【解答】解：方法一：设1辆A型车满载时一次可运货x吨，1辆B型车满载时一次可运货y吨，
依题意，得：，
解得：．
∴1辆A型车满载时一次可运货5吨，1辆B型车满载时一次可运货2吨．
设租用a辆A型车，b辆B型车一次性运完21吨，
依题意，得：5a+2b＝21，
∴b＝10.5﹣2.5a．
∵a≥0，b≥0，
∴0≤a≤4.2，
设租车费用为w，
w＝380a+180（10.5﹣2.5a）＝﹣70a+1890，
∵﹣70＜0，
∴w随a的增大而减小，
∵a是整数，
∴a＝4时，w有最小值，
∵a＝4时，b＝10.5﹣10＝0.5，
∵b是整数，
∴a≠4，
∴a＝3，b＝3时，w有最小值，此时
w＝﹣70×3+1890＝1680．
∴最省钱的租车方案是租用3辆A型车，3辆B型车，最少租车费是1680元．
方法二：依题意，得：5a+2b＝21，
∵a和b都是自然数，
∴b＝10.5﹣2.5a≥0．
得到 0≤a≤4.2，
a只能取0，1，2，3，4，
分别代入b＝10.5﹣2.5a中，
同时符合b也是自然数的a的值只能是1和3，
此时b相应取值8和3．
因此，租车方案有两种：
方案一：租用A型货车1辆B型货车8辆，此时租车总费用为 380×1+180×8＝1820（元）；
方案二：租用A型货车3辆B型货车3辆，此时租车总费用为：380×3+180×3＝1680（元）．1680＜1820，
故方案二最省钱．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解．
21．在“老年节”前夕，某旅行社组织了一个“夕阳红”旅行团，共有253名老人报名参加．旅行前，旅行社承诺每车保证有一名随团医生，并为此次旅行请了7名医生，现打算选租甲、乙两种客车，甲种客车载客量为40人/辆，乙种客车载客量为30人/辆．
（1）请帮助旅行社设计租车方案；
（2）若甲种客车租金为350元/辆，乙种客车租金为280元/辆，旅行社按哪种方案租车最省钱？此时租金是多少？
（3）旅行社在充分考虑团内老人的年龄结构特点后，为更好的照顾游客，决定同时租45座和30座的大小两种客车．大客车上至少配两名随团医生，小客车上至少配一名随团医生，为此旅行社又请了4名医生．出发时，旅行社先安排游客坐满大客车，再依次坐满小客车，最后一辆小客车即使坐不满也至少要有20座上座率，请直接写出旅行社的租车方案？
【分析】（1）设租甲种客车x辆，则租乙种客车最多（7﹣x）辆，依题意关系式为：40x+30（7﹣x）≥253+7，
（2）分别算出各个方案的租金，比较即可；
（3）根据大客车上配两名随团医生，小客车上至少配一名随团医生，以及总人数和最后一辆小客车即使坐不满也至少要有20座上座率可以得出答案．
【解答】解：（1）设租甲种客车x辆，则租乙种客车（7﹣x）辆，
依题意，得40x+30（7﹣x）≥253+7，
解得x≥5，又x≤7，即5≤x≤7，x＝5，6，7，
有三种租车方案：
租甲种客车5辆，则租乙种客车2辆，
租甲种客车6辆，则租乙种客车1辆，
租甲种客车7辆，则租乙种客车0辆；
（2）∵5×350+2×280＝2310元，6×350+1×280＝2380元，7×350＝2450元，
∴租甲种客车5辆；租乙种客车2辆，所需付费最少为2310（元）；
（3）设有m辆大客车，n辆小客车．
则2m+n≤11①，且0≤45m+30n﹣264≤10②，
由②得17≤3m+2n≤18，
∵m、n是正整数，
∴3m+2n＝18，即n＝9﹣m，
当m＝2时，n＝6；2×2+6＝10≤11，符合题意；
当m＝4时，n＝3；2×4+3＝11≤11，符合题意；
当m＝6时，n＝0；2×6+0＝12＞11，不符合题意；
∴租车方案有两种：租45座的4辆，租30座的3辆或租45座的2辆，租30座的6辆．
【点评】找到相应的关系式是解决问题的关键．注意第三问应根据医生数及总人数来求得整数解．
22．已知实数a，b，c满足不等式|a|≥|b+c|，|b|≥|c+a|，|c|≥|a+b|，求证：a+b+c＝0．
【分析】此题可以根据绝对值的意义结合不等式的性质进行分析．
【解答】证明：∵|a|≥|b+c|，|b|≥|c+a|，|c|≥|a+b|
∴a2≥（b+c）2，b2≥（c+a）2，c2≥（a+b）2
∴a2+b2+c2≥（b+c）2+（c+a）2+（a+b）2＝2（a2+b2+c2）+2ab+2bc+2ca
∴a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca≤0
∴（a+b+c）2≤0，而（a+b+c）2≥0
∴a+b+c＝0．
【点评】一个数的绝对值和平方具有类似性，但出现绝对值时，可用平方求解．
23．阅读以下材料：对于三个数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的平均数，用min{a，b，c}表示这三个数中最小的数．例如：M{﹣1，2，3}＝；min{﹣1，2，3}＝﹣1；min{﹣1，2，a}＝解决下列问题：
（1）min{，，}＝ 若min{2，2x+2，4﹣2x}＝2，则x的范围为 0≤x≤1 ；
（2）①如果M{2，x+1，2x}＝min{2，x+1，2x}，求x；
②根据①，你发现了结论“如果M{a，b，c}＝min{a，b，c}，那么 a＝b＝c （填a，b，c的大小关系）”．证明你发现的结论；
③运用②的结论，填空：
若M{2x+y+2，x+2y，2x﹣y}＝min{2x+y+2，x+2y，2x﹣y}，则x+y＝ ﹣4 ．
【分析】①M{a，b，c}表示这a，b，c三个数的平均数，即求的值；
②min{a，b，c}表示这a，b，c三个数中最小的数，即比较三个数的大小哪一个最小．
【解答】解：（1）min{，，}＝；
由min{2，2x+2，4﹣2x}＝2，得，即0≤x≤1．
（2）①∵M{2，x+1，2x}＝min{2，x+1，2x}，∴，即，∴x＝1
②证明：由M{a，b，c}＝min{a，b，c}，可令，即b+c＝2a⑤；
又∵，解之
得：a+c≤2b⑥，a+b≤2c⑦；
由⑤⑥可得c≤b；由⑤⑦可得b≤c；
∴b＝c；将b＝c代入⑤得c＝a；
∴a＝b＝c．
③据②可得，
解之得y＝﹣1，x＝﹣3，
∴x+y＝﹣4．
【点评】本题解决的关键是读懂题意，据题意结合方程和不等式去求解，考查综合应用能力．
第1页（共1页）第三章、一元一次不等式 单元测试
（难度：困难）
一．选择题（共10小题，每题3分）
1．若a＜b，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．3﹣a＜3﹣b B．＜ C．|a|＜|b| D．﹣3a＞﹣3b
2．已知关于x的不等式组的解集中至少有5个整数解，则整数a的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．下列按条件列不等式错误的是（ ）
A．若a是非负数，则a≥0
B．若x的值不大于3，则x＜3
C．若m与﹣1的和小于或等于0，则m﹣1≤0
D．若x的值不小于1，则x≥1
4．若关于x的方程的解为正数，且a使得关于y的不等式组恰有两个整数解，则所有满足条件的整数a的值的和是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．若3a﹣22和2a﹣3是实数m的两个平方根，且t＝，则不等式﹣≥的解集为（ ）
A．x≥ B．x≤ C．x≥ D．x≤
7．若关于x，y的方程组的解满足x﹣y＞﹣，则m的最小整数解为（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．0
8．若a+b＝﹣2，且a≥2b，则（ ）
A．有最小值 B．有最大值1
C．有最大值2 D．有最小值
9．已知关于x、y的方程组，其中﹣3≤a≤1，给出下列说法：①当a＝1时，方程组的解也是方程x+y＝2﹣a的一个解；②当a＝﹣2时，x、y的值互为相反数；③若x≤1，则1≤y≤4；④是方程组的解．其中说法错误的是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．②③
10．关于x的不等式组只有两个整数解，且21t＝2a+12，要使的值是整数，则符合条件的a个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二．填空题（共6小题，每题4分）
11．若实数m使得关于x的不等式组无解，则关于y的分式方程的最小整数解是 ．
12．已知a，b，c为三个非负实数，且满足，若W＝3a+2b+5c，则W的最大值为 ．
13．若6a＝3b+12＝2c，且b≥0，c≤9，设t＝2a+b﹣c，则t的取值范围为 ．
14．某商家采取线上、线下两种方式销售A、B、C、D四种类型的某件商品．其中线上销售时，A型销量是B型销量的2倍，D型销量是C型销量的，C型售价是A型售价的5倍，D型售价是B型售价的4倍．线下销售时，A型销量比线上销售提高50%，C型销量比线上降低，D型售价比线上售价降低一半，结果销量和C型销量保持一致，其他类型售价和销售量和线上保持一致，结果A型和C型线上、线下销售总额比B型和D型线上、线下销售总额高出646元．若A型线上售价的5倍与B型线上售价的2倍之差不低于20元但不超过40元，A型线上售价定在7.5元到11.5元之间，线上、线下销售量与售价均为整数，则A型线上销售额最多比B型线上销售额多 元．
15．对x、y定义一种新运算T，规定：T（x，y）＝（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：T（0，1）＝＝b，已知T（1，﹣1）＝﹣2，T（4，2）＝1，若关于m的不等式组恰好有3个整数解，则实数P的取值范围是 ．
16．已知实数a，b，满足1≤a+b≤4，0≤a﹣b≤1且a﹣2b取最大值时，8a+2021b的值是 ．
三．解答题（共7小题，17,18,19,20,21每题6分，22,23每题8分）
17．解方程组或不等式组．
（1）．
（2），并写出不等式组的非负整数解．
18．若不等式组的解集为﹣2＜x＜4，求出a、b的值．
19．已知关于x、y的方程组的解满足x≤0，y＜0．
（1）用含m的代数式分别表示x和y；
（2）求m的取值范围；
（3）在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式2mx+x＜2m+1的解集为x＞1？
20．某种植户准备将一批农产品运往外地销售，计划同时租用运输公司的A，B两种型号的货车，租车费用分别是380元/辆，180元/辆，已知A，B两种型号货车的运载能力如图所示．该种植户计划一次性运完21吨农产品，且每辆车都恰好载满货物，请你帮助他设计一种最省钱的租车方案．
21．在“老年节”前夕，某旅行社组织了一个“夕阳红”旅行团，共有253名老人报名参加．旅行前，旅行社承诺每车保证有一名随团医生，并为此次旅行请了7名医生，现打算选租甲、乙两种客车，甲种客车载客量为40人/辆，乙种客车载客量为30人/辆．
（1）请帮助旅行社设计租车方案；
（2）若甲种客车租金为350元/辆，乙种客车租金为280元/辆，旅行社按哪种方案租车最省钱？此时租金是多少？
（3）旅行社在充分考虑团内老人的年龄结构特点后，为更好的照顾游客，决定同时租45座和30座的大小两种客车．大客车上至少配两名随团医生，小客车上至少配一名随团医生，为此旅行社又请了4名医生．出发时，旅行社先安排游客坐满大客车，再依次坐满小客车，最后一辆小客车即使坐不满也至少要有20座上座率，请直接写出旅行社的租车方案？
22．已知实数a，b，c满足不等式|a|≥|b+c|，|b|≥|c+a|，|c|≥|a+b|，求证：a+b+c＝0．
23．阅读以下材料：对于三个数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的平均数，用min{a，b，c}表示这三个数中最小的数．例如：M{﹣1，2，3}＝；min{﹣1，2，3}＝﹣1；min{﹣1，2，a}＝解决下列问题：
（1）min{，，}＝ 若min{2，2x+2，4﹣2x}＝2，则x的范围为 ；
（2）①如果M{2，x+1，2x}＝min{2，x+1，2x}，求x；
②根据①，你发现了结论“如果M{a，b，c}＝min{a，b，c}，那么 （填a，b，c的大小关系）”．证明你发现的结论；
③运用②的结论，填空：
若M{2x+y+2，x+2y，2x﹣y}＝min{2x+y+2，x+2y，2x﹣y}，则x+y＝ ．
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