第一章、二次函数 单元测试
（难度：困难）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．若函数y＝（3﹣m）x﹣x+1是二次函数，则m的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．9
【分析】直接利用二次函数的定义分析得出答案．
【解答】解：∵函数y＝（3﹣m）x﹣x+1是二次函数，
∴m2﹣7＝2，且3﹣m≠0，
解得：m＝﹣3．
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次函数的定义，正确把握二次函数次数与系数的值是解题关键．
2．下列说法中，不正确的是（ ）
A．二次函数中，自变量的取值范围是全体实数
B．在圆的面积公式S＝πr2中，S是r的二次函数
C．y＝（x+1）（2x﹣1）是二次函数
D．在函数y＝2﹣x2中，一次项系数为2
【分析】形如y＝ax2+bx+c（a≠0）的式子叫做二次函数，其中x是自变量，x可以是全体实数，接下来依据二次函数的相关定义分析每个选项的正误．
【解答】解：对于A，二次函数自变量的取值范围一定是全体实数，故A正确；
对于B，在圆的面积公式S＝πr2中，S是r的二次函数，故B正确；
对于C，y＝（x+1）（2x﹣1）化简后符合二次函数的一般式，故C正确；
对于D，一次项系数为0，2是常数项，故D不正确．
故选D．
【点评】本题是一道有关二次函数的题目，解题的关键是掌握二次函数的概念及一般式．
3．若二次函数y＝ax2+2的图象经过P（1，3），Q（m，n）两点，则代数式n2﹣4m2﹣4n+9的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】利用非负数的性质，利用配方法解决问题即可．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+2的图象经过P（1，3），
∴3＝a+2，
∴a＝1，
∴y＝x2+2，
∵Q（m，n）在y＝x2+2上，
∴n＝m2+2，
∴n2﹣4m2﹣4n+9＝（m2+2）2﹣4m2﹣4（m2+2）+9＝m4﹣4m2+5＝（m2﹣2）2+1，
∵（m2﹣2）≥0，
∴n2﹣4m2﹣4n+9的最小值为1．
故选：A．
【点评】本题考查二次函数图像上的点的坐标特征，非负数的性质等知识，解题的关键是学会利用配方法解决问题．
4．已知反比例函数y＝的图象如图，则二次函数y＝2kx2﹣4x+k2的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】本题可先由反比例函数的图象得到字母系数k＜﹣1，再与二次函数的图象的开口方向和对称轴的位置相比较看是否一致，最终得到答案．
【解答】解：∵函数y＝的图象经过二、四象限，∴k＜0，
由图知当x＝﹣1时，y＝﹣k＞1，∴k＜﹣1，
∴抛物线y＝2kx2﹣4x+k2开口向下，
对称轴为x＝﹣＝，﹣1＜＜0，
∴对称轴在﹣1与0之间，
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次函数与反比例函数的图象与系数的综合应用，正确判断抛物线开口方向和对称轴位置是解题关键．属于基础题．
5．如图，一次函数y1＝kx+b与二次函数y2＝ax2交于A（﹣1，1）和B（2，4）两点，则当y1＜y2时x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣1 B．x＞2 C．﹣1＜x＜2 D．x＜﹣1或x＞2
【分析】解答本题，关键是找出两函数图象交点的横坐标，比较两函数图象的上下位置，y1＜y2时，y1的图象在y2的下面，再判断自变量的取值范围．
【解答】解：∵一次函数y1＝kx+b与二次函数y2＝ax2交于A（﹣1，1）和B（2，4）两点，
从图象上看出，
当x＞2时，y1的图象在y2的图象的下方，即y1＜y2，
当x＜﹣1时，y1的图象在y2的图象的下方，即y1＜y2．
∴当x＜﹣1或x＞2时，y1＜y2．
故选：D．
【点评】本题考查了利用图象求解的能力．
6．当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（ ）
A．﹣ B．或 C．2或 D．2或或
【分析】根据对称轴的位置，分三种情况讨论求解即可．
【解答】解：二次函数的对称轴为直线x＝m，
①m＜﹣2时，x＝﹣2时二次函数有最大值，
此时﹣（﹣2﹣m）2+m2+1＝4，
解得m＝﹣，与m＜﹣2矛盾，故m值不存在；
②当﹣2≤m≤1时，x＝m时，二次函数有最大值，
此时，m2+1＝4，
解得m＝﹣，m＝（舍去）；
③当m＞1时，x＝1时二次函数有最大值，
此时，﹣（1﹣m）2+m2+1＝4，
解得m＝2，
综上所述，m的值为2或﹣．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的最值问题，难点在于分情况讨论．
7．二次函数y＝﹣（x﹣1）2+5，当m≤x≤n且mn＜0时，y的最小值为2m，最大值为2n，则m+n的值为（ ）
A． B．2 C． D．
【分析】条件m≤x≤n和mn＜0可得m＜0，n＞0
所以y的最小值为2m为负数，最大值为2n为正数．
最大值为2n分两种情况，
（1）结合抛物线顶点纵坐标的取值范围，求出n＝2.5，结合图象最小值只能由x＝m时求出．
（2）结合抛物线顶点纵坐标的取值范围，图象最大值只能由x＝n求出，最小值只能由x＝m求出．
【解答】解：二次函数y＝﹣（x﹣1）2+5的大致图象如下：
．
①当m＜0≤x≤n＜1时，当x＝m时y取最小值，即2m＝﹣（m﹣1）2+5，
解得：m＝﹣2或m＝2（舍去）．
当x＝n时y取最大值，即2n＝﹣（n﹣1）2+5，
解得：n＝2或n＝﹣2（均不合题意，舍去）；
②当m＜0≤x≤1＜n时，当x＝m时y取最小值，即2m＝﹣（m﹣1）2+5，
解得：m＝﹣2．
当x＝1时y取最大值，即2n＝﹣（1﹣1）2+5，
解得：n＝，
③当m＜0＜x≤n时，x＝n时y取最小值，x＝1时y取最大值，
2m＝﹣（n﹣1）2+5，n＝，
∴m＝，
∵m＜0，
∴此种情形不合题意，
所以m+n＝﹣2+＝．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的最值问题，二次函数的增减性，根据函数解析式求出对称轴解析式是解题的关键．
8．定义[a，b，c]为函数y＝ax2+bx+c的特征数，下面给出特征数为[2m，1﹣m，﹣1﹣m]的函数的一些结论，其中不正确的是（ ）
A．当m＝﹣3时，函数图象的顶点坐标是（）
B．当m＞0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于
C．当m≠0时，函数图象经过同一个点
D．当m＜0时，函数在x时，y随x的增大而减小
【分析】A、把m＝﹣3代入[2m，1﹣m，﹣1﹣m]，求得[a，b，c]，求得解析式，利用顶点坐标公式解答即可；
B、令函数值为0，求得与x轴交点坐标，利用两点间距离公式解决问题；
C、首先求得对称轴，利用二次函数的性质解答即可；
D、根据特征数的特点，直接得出x的值，进一步验证即可解答．
【解答】解：因为函数y＝ax2+bx+c的特征数为[2m，1﹣m，﹣1﹣m]；
A、当m＝﹣3时，y＝﹣6x2+4x+2＝﹣6（x﹣）2+，顶点坐标是（，）；此结论正确；
B、当m＞0时，令y＝0，有2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）＝0，解得：x1＝1，x2＝﹣﹣，
|x2﹣x1|＝+＞，所以当m＞0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于，此结论正确；
C、当x＝1时，y＝2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）＝2m+（1﹣m）+（﹣1﹣m）＝0 即对任意m，函数图象都经过点（1，0），函数图象经过x轴上一个定点此结论正确．
D、当m＜0时，y＝2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m） 是一个开口向下的抛物线，其对称轴是：直线x＝，在对称轴的右边y随x的增大而减小．因为当m＜0时，＝﹣＞，即对称轴在x＝右边，因此函数在x＝右边先递增到对称轴位置，再递减，此结论错误；
根据上面的分析，①②③都是正确的，④是错误的．
故选：D．
【点评】此题考查二次函数的性质，顶点坐标，两点间的距离公式，以及二次函数图象上点的坐标特征．
9．抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0），交y轴的负半轴于C，顶点为D．下列结论：①2a+b＝0；②2c＜3b；③当m≠1时，a+b＜am2+bm；④当△ABD是等腰直角三角形时，则a＝；⑤当△ABC是等腰三角形时，a的值有3个．其中正确的有（ ）个．
A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】根据二次函数图象与系数的关系，二次函数与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），可知二次函数的对称轴为直线x＝＝1，即﹣＝1，可得2a与b的关系；将A、B两点代入可得c、b的关系；函数开口向上，x＝1时取得最小值，则m≠1，可判断③；根据图象AD＝BD，顶点坐标，判断④；由图象知BC≠AC，从而可以判断⑤．
【解答】解：①∵二次函数与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0）．
∴二次函数的对称轴为直线x＝＝1，即﹣＝1，
∴2a+b＝0．
故①正确；
②∵二次函数y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0）．
∴a﹣b+c＝0，9a+3b+c＝0．
又∵b＝﹣2a．
∴3b＝﹣6a，a﹣（﹣2a）+c＝0．
∴3b＝﹣6a，2c＝﹣6a．
∴2c＝3b．
故②错误；
③∵抛物线开口向上，对称轴是直线x＝1．
∴x＝1时，二次函数有最小值．
∴m≠1时，a+b+c＜am2+bm+c．
即a+b＜am2+bm．
故③正确；
④∵AD＝BD，AB＝4，△ABD是等腰直角三角形．
∴AD2+BD2＝42．
解得，AD2＝8．
设点D坐标为（1，y）．
则[1﹣（﹣1）]2+y2＝AD2．
解得y＝±2．
∵点D在x轴下方．
∴点D为（1，﹣2）．
∵二次函数的顶点D为（1，﹣2），过点A（﹣1，0）．
设二次函数解析式为y＝a（x﹣1）2﹣2．
∴0＝a（﹣1﹣1）2﹣2．
解得a＝．
故④正确；
⑤由图象可得，AC≠BC．
故△ABC是等腰三角形时，a的值有2个．（故⑤错误）
故①③④正确，②⑤错误．
故选：C．
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
10．如图是抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标为A（﹣1，﹣3），与x轴的一个交点为B（﹣4，0）．点A和点B均在直线y2＝kx+n（k≠0）上．下列结论错误的是（ ）
A．a+b+c＞﹣k+n
B．不等式kx+n＞ax2+bx+c的解集为﹣4＜x＜﹣1
C．abc＜0
D．方程ax2+bx+c＝﹣3有两个不相等的实数根
【分析】利用抛物线的对称轴方程得到x＝﹣＝﹣1得b＝2a，抛物线开口向上得到a＞0，则b＞0，由抛物线与y轴的交点在x轴下方得到c＜0，则可对C进行判断；利用二次函数的增减性可对A进行判断；结合函数图象可对B进行判断；利用抛物线与直线y＝﹣3只有一个交点可对D进行判断．
【解答】解：∵直线y2＝kx+n（k≠0）经过抛物线的顶点坐标为B（﹣1，﹣3），
∴a﹣b+c＝﹣k+n，
∴a+b+c＞﹣k+n，所以A正确；
∵当﹣4＜x＜﹣1时，y2＞y1，
∴不等式kx+n＞ax2+bx+c的解集为﹣4＜x＜﹣1．所以B正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a
∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∴b＝2a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＜0，所以C正确；
∵抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣3），
∴抛物线与直线y＝﹣3只有一个交点，
∴方程ax2+bx+c＝﹣3有两个相等的实数根，所以D错误；
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数与不等式（组）：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．也考查了抛物线与x轴的交点问题．
二．填空题（共6小题）
11．若函数y＝（m2﹣1）x3+（m+1）x2的图象是抛物线，则m＝ 1 ．
【分析】根据二次函数的定义条件列出方程与不等式求解即可．
【解答】解：根据题意，由m+1≠0，得m≠﹣1
且m2﹣1＝0，得m＝±1
所以m＝1．
【点评】本题考查二次函数的定义．
12．若抛物线y＝2x2﹣px+4p+1中不管p取何值时都通过定点，则定点坐标为 （4，33） ．
【分析】把含p的项合并，只有当p的系数为0时，不管p取何值抛物线都通过定点，可求x、y的对应值，确定定点坐标．
【解答】解：y＝2x2﹣px+4p+1可化为y＝2x2﹣p（x﹣4）+1，
分析可得：当x＝4时，y＝33；且与p的取值无关；
故不管p取何值时都通过定点（4，33）．
【点评】本题考查二次函数图象过定点问题，解决此类问题：首先根据题意，化简函数式，提出未知的常数，化简后再根据具体情况判断．
13．直线y＝mx+n和抛物线y＝ax2+bx+c在同一坐标系中的位置如图所示，那么不等式mx+n＜ax2+bx+c＜0的解集是 1＜x＜2 ．
【分析】从图上可知，mx+n＜ax2+bx+c，则有x＞1或x＜﹣；根据ax2+bx+c＜0，可知﹣1＜x＜2；综上，不等式mx+n＜ax2+bx+c＜0的解集是1＜x＜2．
【解答】解：因为mx+n＜ax2+bx+c＜0，由图可知，1＜x＜2．
【点评】此题将图形与不等式相结合，考查了同学们对不等式组的解集的理解和读图能力，有一定的难度，读图时要仔细．
14．若直线y＝m（m为常数）与函数y＝的图象恒有三个不同的交点，则常数m的取值范围是 0＜m＜2 ．
【分析】首先作出分段函数y＝的图象，根据函数的图象即可确定m的取值范围．
【解答】解：分段函数y＝的图象如图：
故要使直线y＝m（m为常数）与函数y＝的图象恒有三个不同的交点，常数m的取值范围为0＜m＜2，
故答案为：0＜m＜2．
【点评】本题考查了二次函数的图象及反比例函数的图象，首先作出分段函数的图象是解决本题的关键，采用数形结合的方法确定答案是数学上常用的方法之一．
15．已知二次函数y＝+bx的图象过点A（4，0），设点C（1，﹣3），在抛物线的对称轴上求一点P，使|PA﹣PC|的值最大，则点P的坐标为 （2，﹣6） ．
【分析】先把A（4，0）代入y＝+bx，求出b的值，得到二次函数解析式，再根据抛物线的对称性求出二次函数y＝﹣2x与x轴的另一交点是O（0，0），由A、O关于对称轴对称，则可知PA＝PO，则当P、O、C三点在一条线上时满足|PA﹣PC|最大，利用待定系数法可求得直线OC解析式，则可求得P点坐标．
【解答】解：∵二次函数y＝+bx的图象过点A（4，0），
∴0＝×42+4b，解得b＝﹣2，
∴y＝﹣2x，
∴对称轴为x＝＝2，
∵二次函数y＝﹣2x与x轴交于点A（4，0），
∴它与x轴的另一交点是O（0，0），
∵P在对称轴上，
∴PA＝PO，
∴|PA﹣PC|＝|PO﹣PC|≤OC，即当P、O、C三点在一条线上时|PA﹣PC|的值最大，
设直线OC解析式为y＝kx，
∴k＝﹣3，
∴直线OC解析式为y＝﹣3x，
令x＝2，可得y＝﹣3×2＝﹣6，
∴存在满足条件的点P，其坐标为（2，﹣6）．
故答案为（2，﹣6）．
【点评】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求函数的解析式，轴对称的性质等知识．求出二次函数y＝﹣2x与x轴的另一交点是O（0，0），得出P、O、C三点共线时|PA﹣PC|的值最大是解题的关键．
16．已知：直线y＝ax+b与抛物线y＝ax2﹣bx+c的一个交点为（0，2），同时这条直线与x轴相交于点A，且相交所成的角为45°．
（1）点A的坐标为 （﹣2，0）或（2，0） ；
（2）若抛物线y＝ax2﹣bx+c与x轴交于点M、N（点M在点N左边），将此抛物线作关于y轴对称，M的对应点为E，两抛物线相交于点F，连接NF，EF得△NEF，P是轴对称后的抛物线上的点，使得△NEP的面积与△NEF的面积相等，则P点坐标为 （2，2）或（1+，﹣2）或（1﹣，﹣2） ．
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质即可求得；
（2）利用待定系数法即可求得抛物线解析式；利用b2﹣4ac确定抛物线有没有交点，因为轴反射后的像与原像相交于点F，则F点即为A点，则OF＝2，由于△NEP的面积与△NEF的面积相等且同底，所以P点的纵坐标为2或﹣2，代入y＝﹣x2﹣2x+2即可求得．
【解答】解：（1）设直线y＝ax+b与抛物线y＝ax2﹣bx+c的一个交点为B（0，2），
∵直线y＝ax+b过点（0，2），同时这条直线与x轴相交于点A，且相交所成的角为45°，
∴OA＝OB，
∴当a＞0时，A（﹣2，0），当a＜0时，A（2，0）；
故答案是：（﹣2，0）或（2，0）；
（2）把B（0，2），A（﹣2，0）代入直线y＝ax+b得，，
解得：，
把B（0，2），A（2，0）代入直线y＝ax+b得，
解得：，
∵抛物线y＝ax2﹣bx+c过B（0，2），
∴c＝2，
故抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x+2或y＝﹣x2﹣2x+2．
存在．
如图，抛物线为y＝x2﹣2x+2时，b2﹣4ac＝4﹣4×1×2＜0，抛物线与x轴没有交点，
抛物线为y＝﹣x2﹣2x+2时，b2﹣4ac＝4﹣4×（﹣1）×2＞0，抛物线与x轴有两个交点；
∵y轴反射后的像与原像相交于点F，则F点即为B点，
∴F（0，2）
∵△NEP的面积与△NEF的面积相等且同底，
∴P点的纵坐标为2或﹣2，
当y＝2时，﹣x2+2x+2＝2，解得：x＝2或x＝0（与点F重合，舍去）；
当y＝﹣2时，﹣x2+2x+2＝﹣2，解得：x＝1+，x＝1﹣，
故存在满足条件的点P，点P坐标为：（2，2），（1+，﹣2），（1﹣，﹣2）．
故答案是：（2，2）或（1+，﹣2）或（1﹣，﹣2）．
【点评】本题考查了二次函数综合题型，需要掌握待定系数法求解析式，二次函数的交点问题以及三角形面积的求解方法，问题考虑周全是本题的难点．
三．解答题（共7小题）
17．已知抛物线y＝ax2+bx+1经过点（1，﹣2），（﹣2，13）．
（1）求a，b的值．
（2）若（5，y1），（m，y2）是抛物线上不同的两点，且y2＝12﹣y1，求m的值．
【分析】（1）把点（1，﹣2），（﹣2，13）代入y＝ax2+bx+1解方程组即可得到结论；
（2）把x＝5代入y＝x2﹣4x+1得到y1＝6，于是得到y1＝y2，即可得到结论．
【解答】解：（1）把点（1，﹣2），（﹣2，13）代入y＝ax2+bx+1得，，
解得：；
（2）由（1）得函数解析式为y＝x2﹣4x+1，
把x＝5代入y＝x2﹣4x+1得，y1＝6，
∴y2＝12﹣y1＝6，
∵y1＝y2，且对称轴为直线x＝2，
∴m＝4﹣5＝﹣1．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解方程组，正确的理解题意是解题的关键．
18．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，根据图象回答下列问题：
（1）a ＞ 0；
（2）b ＜ 0；
（3）b2﹣4ac ＞ 0；
（4）y＜0时，x的取值范围是 ﹣2＜x＜4 ．
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：（1）抛物线的开口方向向上，则a＞0．
故答案是：＞；
（2）抛物线的对称轴在y轴的右侧，则a、b异号，所以b＜0．
故答案是：＜；
（3）抛物线与x轴有2个不同的交点，则b2﹣4ac＞0．
故答案是：＞；
（4）由图象知，当y＜0时，﹣2＜x＜4．
故答案是：﹣2＜x＜4．
【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
19．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）向右平移2个单位得到抛物线y＝a（x﹣3）2﹣1，且平移后的抛物线经过点A（2，1）．
（1）求平移后抛物线的解析式；
（2）设原抛物线与y轴的交点为B，顶点为P，平移后抛物线的对称轴与x轴交于点M，求△BPM的面积．
【分析】（1）把点A代入平移后的抛物线y＝a（x﹣3）2﹣1来求a的值；
（2）根据平移前、后的函数解析式，然后求出B、P、M三点的坐标，根据三角形的面积公式即可求出△BPM的面积．
【解答】解：（1）把点A（2，1）代入y＝a（x﹣3）2﹣1，得
1＝a（2﹣3）2﹣1，
整理，得
1＝a﹣1，
解得 a＝2．
则平移后的抛物线解析式为：y＝2（x﹣3）2﹣1；
（2）由（1）知，平移后的抛物线解析式为：y＝2（x﹣3）2﹣1，则M（3，0）．
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）向右平移2个单位得到抛物线y＝2（x﹣3）2﹣1，
∴平移前的抛物线解析式为：y＝2（x﹣1）2﹣1．
∴P（1，﹣1）．
令x＝0，则y＝1．
故B（0，1），
∴BM＝
易推知BM2＝BP2+PM2，即△BPM为直角三角形，
∴S△BPM＝BP MP＝××＝．
【点评】本题主要考查了二次函数解析式的确定、图形的面积求法、函数图象交点等知识及综合应用知识、解决问题的能力．
20．如图，一次函数y＝kx+b的图象与二次函数y＝ax2的图象交于点A（1，m）和
B（﹣2，4），与y轴交于点C．
（1）求k，b，a的值；
（2）求△AOB的面积．
【分析】（1）由点B坐标可得a的值，从而可得点A坐标，再通过待定系数法求出直线解析式．
（2）由S△AOB＝S△AOC+S△BOC求解．
【解答】解：（1）将（﹣2，4）代入y＝ax2得4＝4a，
解得a＝1，
∴y＝x2，
将（1，m）代入y＝x2得m＝1，
∴点A坐标为（1，1），
将（﹣2，4），（1，1）代入y＝kx+b得，
解得．
（2）由（1）得y＝﹣x+2，
将x＝0代入y＝﹣x+2得y＝2，
∴点C坐标为（0，2），OC＝2，
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝OC |xB|+OC |xA|＝+＝3．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式．
21．鄂州市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克60元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量y（千克）是销售单价x（元）的一次函数，且当x＝60时，y＝80；x＝50时，y＝100．在销售过程中，每天还要支付其他费用450元．
（1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（2）求该公司销售该原料日获利w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式．
（3）当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？
【分析】（1）根据y与x成一次函数解析式，设为y＝kx+b，把x与y的两对值代入求出k与b的值，即可确定出y与x的解析式，并求出x的范围即可；
（2）根据利润＝单价×销售量列出W关于x的二次函数解析式即可；
（3）利用二次函数的性质求出W的最大值，以及此时x的值即可．
【解答】解：（1）设y＝kx+b，根据题意得，
解得：k＝﹣2，b＝200，
∴y＝﹣2x+200（30≤x≤60）；
（2）W＝（x﹣30）（﹣2x+200）﹣450
＝﹣2x2+260x﹣6450
＝﹣2（x﹣65）2+2000；
（3）W＝﹣2（x﹣65）2+2000，
∵30≤x≤60，
∴x＝60时，w有最大值为1950元，
∴当销售单价为60元时，该公司日获利最大，为1950元．
【点评】此题考查了二次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键．
22．已知函数y＝（m+2）x2+kx+n．
（1）若此函数为一次函数；
①m，k，n的取值范围；
②当﹣2≤x≤1时，0≤y≤3，求此函数关系式；
③当﹣2≤x≤3时，求此函数的最大值和最小值（用含k，n的代数式表示）；
（2）若m＝﹣1，n＝2，当﹣2≤x≤2时，此函数有最小值﹣4，求实数k的值．
【分析】（1）①根据二次项系数为0，一次项系数不为0，常数项为任意实数解答即可；
②根据k＞0，k＜0时x、y的对应关系确定直线经过的点的坐标，求出解析式；
③根据一次函数的性质即增减性解答即可；
（2）把m＝﹣1，n＝2代入关系式，得到二次函数解析式，确定对称轴，顶点坐标，分情况讨论求出k的值．
【解答】解：（1）①m＝﹣2，k≠0，n为任意实数；
②当k＞0时，y随x的增大而增大，直线经过（﹣2，0）（1，3），函数关系式为：y＝x+2
当k＜0时，y随x的增大而减小，直线经过（﹣2，3）（1，0），函数关系式为：y＝﹣x+1
③当k＞0时，x＝﹣2，y有最小值为﹣2k+n
x＝3时，y有最大值为3k+n
当k＜0时，x＝﹣2，y有最大值为﹣2k+n
x＝3时，y有最小值为3k+n
（2）若m＝﹣1，n＝2时，二次函数为y＝x2+kx+2
对称轴为x＝﹣，
当﹣≤﹣2，即k≥4时，把x＝﹣2，y＝﹣4代入关系式得：k＝5
当﹣2＜﹣＜2，即﹣4＜k＜4时，把x＝﹣，y＝﹣4代入关系式得：k＝±2（不合题意）
当﹣≥2，即k≤﹣4时，把x＝2，y＝﹣4代入关系式得：k＝﹣5．
所以实数k的值为±5．
【点评】本题考查了一次函数的概念、一次函数的性质、一次函数最值的应用以及二次函数的性质，综合性较强，需要学生灵活运用性质，把握一次函数的增减性和二次函数的增减性，解答题目．
23．如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x轴相交于点M．
（1）求抛物线的解析式和对称轴；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连接AC，在直线AC的下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），可利用两点式法设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣5），代入A（0，4）即可求得函数的解析式，则可求得抛物线的对称轴；
（2）点A关于对称轴的对称点A′的坐标为（6，4），连接BA′交对称轴于点P，连接AP，此时△PAB的周长最小，可求出直线BA′的解析式，即可得出点P的坐标．
（3）在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大．设N点的横坐标为t，此时点N（t，t2﹣t+4）（0＜t＜5），再求得直线AC的解析式，即可求得NG的长与△ACN的面积，由二次函数最大值的问题即可求得答案．
【解答】解：（1）根据已知条件可设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣5），
把点A（0，4）代入上式得：a＝，
∴y＝（x﹣1）（x﹣5）＝x2﹣x+4＝（x﹣3）2﹣，
∴抛物线的对称轴是：直线x＝3；
（2）存在，P点坐标为（3，）．
理由如下：
∵点A（0，4），抛物线的对称轴是直线x＝3，
∴点A关于对称轴的对称点A′的坐标为（6，4）
如图1，连接BA′交对称轴于点P，连接AP，此时△PAB的周长最小．
设直线BA′的解析式为y＝kx+b，
把A′（6，4），B（1，0）代入得，
解得，
∴y＝x﹣，
∵点P的横坐标为3，
∴y＝×3﹣＝，
∴P（3，）．
（3）在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大．
设N点的横坐标为t，此时点N（t，t2﹣t+4）（0＜t＜5），
如图2，过点N作NG∥y轴交AC于G；作AD⊥NG于D，
由点A（0，4）和点C（5，0）可求出直线AC的解析式为：y＝﹣x+4，
把x＝t代入得：y＝﹣t+4，则G（t，﹣t+4），
此时：NG＝﹣t+4﹣（t2﹣t+4）＝﹣t2+4t，
∵AD+CF＝CO＝5，
∴S△ACN＝S△ANG+S△CGN＝AD×NG+NG×CF＝NG OC＝×（﹣t2+4t）×5＝﹣2t2+10t＝﹣2（t﹣）2+，
∴当t＝时，△CAN面积的最大值为，
由t＝，得：y＝t2﹣t+4＝﹣3，
∴N（，﹣3）．
【点评】本题主要考查了二次函数与方程、几何知识的综合应用，解题的关键是方程思想与数形结合思想的灵活应用．
第1页（共1页）第一章、二次函数 单元测试
（难度：困难）
一．选择题（共10小题）
1．若函数y＝（3﹣m）x﹣x+1是二次函数，则m的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．9
2．下列说法中，不正确的是（ ）
A．二次函数中，自变量的取值范围是全体实数
B．在圆的面积公式S＝πr2中，S是r的二次函数
C．y＝（x+1）（2x﹣1）是二次函数
D．在函数y＝2﹣x2中，一次项系数为2
3．若二次函数y＝ax2+2的图象经过P（1，3），Q（m，n）两点，则代数式n2﹣4m2﹣4n+9的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．已知反比例函数y＝的图象如图，则二次函数y＝2kx2﹣4x+k2的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，一次函数y1＝kx+b与二次函数y2＝ax2交于A（﹣1，1）和B（2，4）两点，则当y1＜y2时x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣1 B．x＞2 C．﹣1＜x＜2 D．x＜﹣1或x＞2
6．当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（ ）
A．﹣ B．或 C．2或 D．2或或
7．二次函数y＝﹣（x﹣1）2+5，当m≤x≤n且mn＜0时，y的最小值为2m，最大值为2n，则m+n的值为（ ）
A． B．2 C． D．
8．定义[a，b，c]为函数y＝ax2+bx+c的特征数，下面给出特征数为[2m，1﹣m，﹣1﹣m]的函数的一些结论，其中不正确的是（ ）
A．当m＝﹣3时，函数图象的顶点坐标是（）
B．当m＞0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于
C．当m≠0时，函数图象经过同一个点
D．当m＜0时，函数在x时，y随x的增大而减小
9．抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0），交y轴的负半轴于C，顶点为D．下列结论：①2a+b＝0；②2c＜3b；③当m≠1时，a+b＜am2+bm；④当△ABD是等腰直角三角形时，则a＝；⑤当△ABC是等腰三角形时，a的值有3个．其中正确的有（ ）个．
A．5 B．4 C．3 D．2
10．如图是抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标为A（﹣1，﹣3），与x轴的一个交点为B（﹣4，0）．点A和点B均在直线y2＝kx+n（k≠0）上．下列结论错误的是（ ）
A．a+b+c＞﹣k+n
B．不等式kx+n＞ax2+bx+c的解集为﹣4＜x＜﹣1
C．abc＜0
D．方程ax2+bx+c＝﹣3有两个不相等的实数根
二．填空题（共6小题）
11．若函数y＝（m2﹣1）x3+（m+1）x2的图象是抛物线，则m＝ ．
12．若抛物线y＝2x2﹣px+4p+1中不管p取何值时都通过定点，则定点坐标为 ．
13．直线y＝mx+n和抛物线y＝ax2+bx+c在同一坐标系中的位置如图所示，那么不等式mx+n＜ax2+bx+c＜0的解集是 ．
14．若直线y＝m（m为常数）与函数y＝的图象恒有三个不同的交点，则常数m的取值范围是 ．
15．已知二次函数y＝+bx的图象过点A（4，0），设点C（1，﹣3），在抛物线的对称轴上求一点P，使|PA﹣PC|的值最大，则点P的坐标为 ．
16．已知：直线y＝ax+b与抛物线y＝ax2﹣bx+c的一个交点为（0，2），同时这条直线与x轴相交于点A，且相交所成的角为45°．
（1）点A的坐标为 ；
（2）若抛物线y＝ax2﹣bx+c与x轴交于点M、N（点M在点N左边），将此抛物线作关于y轴对称，M的对应点为E，两抛物线相交于点F，连接NF，EF得△NEF，P是轴对称后的抛物线上的点，使得△NEP的面积与△NEF的面积相等，则P点坐标为 ．
三．解答题（共7小题）
17．已知抛物线y＝ax2+bx+1经过点（1，﹣2），（﹣2，13）．
（1）求a，b的值．
（2）若（5，y1），（m，y2）是抛物线上不同的两点，且y2＝12﹣y1，求m的值．
18．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，根据图象回答下列问题：
（1）a 0；
（2）b 0；
（3）b2﹣4ac 0；
（4）y＜0时，x的取值范围是 ．
19．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）向右平移2个单位得到抛物线y＝a（x﹣3）2﹣1，且平移后的抛物线经过点A（2，1）．
（1）求平移后抛物线的解析式；
（2）设原抛物线与y轴的交点为B，顶点为P，平移后抛物线的对称轴与x轴交于点M，求△BPM的面积．
20．如图，一次函数y＝kx+b的图象与二次函数y＝ax2的图象交于点A（1，m）和
B（﹣2，4），与y轴交于点C．
（1）求k，b，a的值；
（2）求△AOB的面积．
21．鄂州市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克60元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量y（千克）是销售单价x（元）的一次函数，且当x＝60时，y＝80；x＝50时，y＝100．在销售过程中，每天还要支付其他费用450元．
（1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（2）求该公司销售该原料日获利w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式．
（3）当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？
22．已知函数y＝（m+2）x2+kx+n．
（1）若此函数为一次函数；
①m，k，n的取值范围；
②当﹣2≤x≤1时，0≤y≤3，求此函数关系式；
③当﹣2≤x≤3时，求此函数的最大值和最小值（用含k，n的代数式表示）；
（2）若m＝﹣1，n＝2，当﹣2≤x≤2时，此函数有最小值﹣4，求实数k的值．
23．如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x轴相交于点M．
（1）求抛物线的解析式和对称轴；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连接AC，在直线AC的下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
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