第二章、有理数的运算 单元测试
（难度：困难）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．m是有理数，则m+|m|（ ）
A．可以是负数 B．不可能是负数
C．一定是正数 D．可是正数也可是负数
【分析】根据m大于0，可得m+是正数，根据m等于0，可得m+|m|等于0，根据m小于0，可得m+|m|等于0．
【解答】解：当m＞0时，m+|m|＞0，
当m＝0时，m+|m|＝0，
当m＜0时，m+|m|＝0，
故选：B．
【点评】本题考查了有理数的加法，分类讨论是解题关键，根据分类先化简，再进行有理数的加法运算．
2．数整数部分的个位数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．以上都不是
【分析】放缩法即可得到数整数部分的个位数．
【解答】解：∵＜＜
∴1＜＜，
∴数整数部分的个位数是1．
故选：A．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，关键是将分母放大和缩小求出取值范围．
3．一根1m长的绳子，第一次剪去绳子的，第二次剪去剩下绳子的，如此剪下去，第100次剪完后剩下绳子的长度是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据有理数的乘方的定义解答即可．
【解答】解：∵第一次剪去绳子的，还剩m；
第二次剪去剩下绳子的，还剩＝m，
……
∴第100次剪去剩下绳子的后，剩下绳子的长度为（）100m；
故选：C．
【点评】本题考查了有理数的乘方，理解乘方的意义是解题的关键．
4．已知a，b，c是有理数，且a+b+c＝0，abc（乘积）是负数，则的值是（ ）
A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1
【分析】因为a+b+c＝0，abc（乘积）是负数，则这三个数中只能有一个负数，另两个为正数．把a+b+c＝0变形代入代数式，求值．
【解答】解：由题意知，a，b，c中只能有一个负数，另两个为正数，不妨设a＜0，b＞0，c＞0．
由a+b+c＝0得出：a+b＝﹣c，b+c＝﹣a，a+c＝﹣b，
代入代数式，原式＝＝1﹣1﹣1＝﹣1．
故选：D．
【点评】注意分析条件，得出这三个数中只能有一个负数，另两个为正数是化简的关键．
5．对于实数a，b，如果a＞0，b＜0且|a|＜|b|，那么下列等式成立的是（ ）
A．a+b＝|a|+|b| B．a+b＝﹣（|a|+|b|） C．a+b＝﹣（|a|﹣|b|） D．a+b＝﹣（|b|﹣|a|）
【分析】题中给出了a，b的范围，根据“正数的绝对值是其本身，负数的绝对值是其相反数，0的绝对值是0”进行分析判断．
【解答】解：由已知可知：a，b异号，且正数的绝对值＜负数的绝对值．
∴a+b＝﹣（|b|﹣|a|）．
故选：D．
【点评】有理数的加法运算法则：异号的两个数相加，取绝对值较大的数的符号，再让较大的绝对值减去较小的绝对值．
6．设a为最小的正整数，b为最大的负整数，c是绝对值最小的有理数，则a+b﹣c的值为（ ）
A．0 B．2 C．﹣2 D．2或﹣2
【分析】由a为最小的正整数，b为最大的负整数，c是绝对值最小的有理数，可分别得出a、b、c的值，代入计算可得结果．
【解答】解：根据题意知a＝1，b＝﹣1，c＝0，
则a+b﹣c＝1﹣1+0＝0，
故选：A．
【点评】本题主要考查有理数的概念的理解，能正确判断有关有理数的概念是解题的关键．
7．“△”表示一种运算符号，其意义是：a△b＝2a﹣b，如果x△（1△3）＝2，那么x等于（ ）
A．1 B． C． D．2
【分析】此题逻辑思维能力较强，充分利用已知条件．对号入座，先做括号里面的．
【解答】∵x△（1△3）＝2，
x△（1×2﹣3）＝2，
x△（﹣1）＝2，
2x﹣（﹣1）＝2，
2x+1＝2，
∴x＝．
故选：B．
【点评】本题主要考查了在有理数的混合运算的基础上，拓展练习，属于知识竞赛的题型．
8．取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1．这个结论在数学上还没有得到证明．但举例验证都是正确的．例如：取自然数5．经过下面5步运算可得1，即：如图所示．如果自然数m恰好经过7步运算可得到1，则所有符合条件的m的值有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【分析】首先根据题意，应用逆推法，用1乘以2，得到2；用2乘以2，得到4；用4乘以2，得到8；用8乘以2，得到16；然后分类讨论，判断出所有符合条件的m的值为多少即可．
【解答】解：根据分析，可得
则所有符合条件的m的值为：128、21、20、3．
故选：B．
【点评】此题主要考查了探寻数列规律问题，考查了逆推法的应用，注意观察总结出规律，并能正确的应用规律．
9．设a＝，b＝，则a、b的大小关系是（ ）
A．a＞b B．a＝b C．a＜b D．无法确定
【分析】先化简a、b，再根据有理数大小比较的方法进行比较即可求解．
【解答】解：∵a＝
＝
＝
＝
＝
＝﹣20042×2003+1＜0，
b＝
＝
＝
＝
＝1＞0，
∴a＜b．
故选：C．
【点评】考查了有理数的混合运算，有理数大小比较，关键是化简求出a、b的值．
10．如图，在一个由6个圆圈组成的三角形里，把1到6这6个数分别填入图的圆圈中，要求三角形的每条边上的三个数的和S都相等，那么S的最大值是（ ）
A．9 B．10 C．12 D．13
【分析】三个顶角分别是4，5，6，4与5之间是3，6和5之间是1，4和6之间是2，这样每边的和才能相等．
【解答】解：三边之和是3s，等于1+2+…+6三个顶点的值．
而三个顶点的值最大是4+5+6，
当三个顶点分别是4，5，6时，
可以构成符合题目的三角形．
所以s最大为（1+2+3+4+5+6+4+5+6）÷3＝12．
故选：C．
【点评】考查了有理数的加法，解题关键是三角形的三个顶点的数字是1～6这6个数最大的三个数字．
二．填空题（共6小题）
11．已知|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，且a＞b＞c，那么a+b﹣c＝ 2或0 ．
【分析】先利用绝对值的代数意义求出a，b及c的值，再根据a＞b＞c，判断得到各自的值，代入所求式子中计算即可得到结果．
【解答】解：∵|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，
∴a＝±1，b＝±2，c＝±3，
∵a＞b＞c，
∴a＝﹣1，b＝﹣2，c＝﹣3或a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3，
则a+b﹣c＝2或0．
故答案为：2或0
【点评】此题考查了有理数的加减混合运算，以及绝对值，确定出a，b及c的值是解本题的关键．
12．小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车．假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是 4 分钟．
【分析】根据路程＝速度×时间，则此题中需要用到三个未知量：设车的速度是a，人的速度是b，每隔t分发一班车．然后根据追及问题和相遇问题分别得到关于a，b，t的方程，联立解方程组，利用约分的方法即可求得t．
【解答】解：设车的速度是a，人的速度是b，每隔t分发一班车．
二辆车之间的距离是：at
车从背后超过是一个追及问题，那么：at＝6（a﹣b）①
车从前面来是相遇问题，那么：at＝3（a+b）②
①﹣②，得：a＝3b
所以：at＝4a
t＝4
即车是每隔4分钟发一班．
【点评】注意：此题中涉及了路程问题中的追及问题和相遇问题．考查了对方程的应用，解方程组的时候注意技巧．
13．三个数a＝266，b＝344，c＝622中，最小的一个是 c ．
【分析】指数相同的正数，底数大的一定大．
【解答】解：因为a＝266＝（23）22＝822，b＝344＝（32）22＝922，c＝622．
故最小的一个是622．
【点评】对于此类问题应化为同指数的幂，再比较大小．
14．如果|x+1|+（y+2）2＝0，并且ax﹣3ay＝1，那么a＝ 0.2 ．
【分析】先根据非负数的性质，求出x，y的值，代入ax﹣3ay＝1，即可得出a的值．
【解答】解：∵|x+1|+（y+2）2＝0，
∴x+1＝0，y+2＝0，
解得x＝﹣1，y＝﹣2，
把x＝﹣1，y＝﹣2代入ax﹣3ay＝1，得﹣a+6a＝1，
∴a＝0.2．
故答案为：0.2．
【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
15．计算：1﹣（+2）+3﹣（+4）+5﹣（+6）…+2015﹣（+2016）＝ ﹣1008 ．
【分析】根据运算律即可化简求值
【解答】解：原式＝（1﹣2）+（3﹣4）+…+（2015﹣2016）
＝﹣1+（﹣1）+…（﹣1）
＝﹣1008
故答案为：﹣1008
【点评】本题考查有理数运算，注意利用有理数运算律．
16．观察下列等式：＝×（1﹣），＝×（﹣），＝×（﹣），＝×（﹣），…
根据你得出的规律写出第n个等式为 ＝×（﹣） ，并根据该规律计算：+++…+＝ ．
【分析】根据等式的左边分母是n2+2n，分子是1，右边是乘以﹣的差，再把式子展开，进行合并即可．
【解答】解：第n个等式为＝×（﹣），
+++…+＝×（1﹣）+×（﹣）+×（﹣）+…+×（﹣）
＝×（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）
＝×（1+﹣﹣）
＝×
＝．
故答案为＝×（﹣），．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，本题是一个找规律的题目，找到第n个式子是解题的关键．
三．解答题（共7小题）
17．计算
（1）27﹣18+（﹣7）﹣32；
（2）；
（3）；
（4）．
【分析】（1）先化简，再分类计算即可；
（2）先判定符号，再化为连乘计算；
（3）利用乘法分配律简算；
（4）先算乘方，再算括号里面的减法，再算乘法，最后算括号外面的减法．
【解答】解：（1）27﹣18+（﹣7）﹣32
＝27﹣18﹣7﹣32
＝27﹣57
＝﹣30；
（2）
＝﹣7××
＝﹣；
（3）
＝﹣×（﹣24）﹣×（﹣24）+×（﹣24）
＝18+20﹣21
＝17；
（4）
＝﹣1﹣×（2﹣9）
＝﹣1﹣×（﹣7）
＝﹣1+
＝．
【点评】此题考查有理数的混合运算，注意抓组运算顺序，根据数字特点灵活运用运算定律简算．
18．若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2．
（1）直接写出a+b，cd，m的值；
（2）求m+cd+的值．
【分析】（1）根据互为相反数的和为0，互为倒数的积为1，绝对值的意义，即可解答；
（2）分两种情况讨论，即可解答．
【解答】解：（1）∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2，
∴a+b＝0，cd＝1，m＝±2．
（2）当m＝2时，m+cd+＝2+1+0＝3；
当m＝﹣2时，m+cd+＝﹣2+1+0＝﹣1．
【点评】本题考查了倒数、相反数、绝对值，解决本题的关键是熟记倒数、相反数、绝对值的意义．
19．某出租车驾驶员从公司出发，在南北向的人民路上连续接送5批客人，行驶路程记录如下（规定向南为正，向北为负，单位：km）：
第1批 第2批 第3批 第4批 第5批
5km 2km ﹣4km ﹣3km 10km
（1）接送完第5批客人后，该驾驶员在公司什么方向，距离公司多少千米？
（2）若该出租车每千米耗油0.2升，那么在这过程中共耗油多少升？
（3）若该出租车的计价标准为：行驶路程不超过3km收费10元，超过3km的部分按每千米加1.8元收费，在这过程中该驾驶员共收到车费多少元？
【分析】（1）根据有理数加法即可求出答案．
（2）根据题意列出算式即可求出答案．
（3）根据题意列出算式即可求出答案．
【解答】解：（1）5+2+（﹣4）+（﹣3）+10＝10（km）
答：接送完第五批客人后，该驾驶员在公司的南边10千米处．
（2）（5+2+|﹣4|+|﹣3|+10）×0.2＝24×0.2＝4.8（升）
答：在这个过程中共耗油4.8升．
（3）[10+（5﹣3）×1.8]+10+[10+（4﹣3）×1.8]+10+[10+（10﹣3）×1.8]＝68（元）
答：在这个过程中该驾驶员共收到车费68元．
【点评】本题考查正负数的意义，解题的关键是熟练运用正负数的意义，本题属于基础题型．
20．已知|x|＝5，|y|＝3．
（1）若x﹣y＞0，求x+y的值；
（2）若xy＜0，求|x﹣y|的值；
（3）求x﹣y的值．
【分析】（1）根据题意，利用绝对值的代数意义求出x与y的值，代入原式计算即可得到结果；
（2）根据题意，利用绝对值的代数意义求出x与y的值，代入原式计算即可得到结果；
（3）根据题意，利用绝对值的代数意义求出x与y的值，代入原式计算即可得到结果．
【解答】解：∵|x|＝5，
∴x＝5或﹣5，
∵|y|＝3，
∴y＝3或﹣3，
（1）当x﹣y＞0时，x＝5，y＝3或x＝5，y＝﹣3，
此时x+y＝5+3＝8或x+y＝5+（﹣3）＝2，
即x+y的值为：8或2；
（2）当xy＜0，
x＝5，y＝﹣3或x＝﹣5，y＝3，
此时|x﹣y|＝8或|x﹣y|＝8，
即|x﹣y|的值为：8；
（3）①x＝5时，y＝3时，x﹣y＝5﹣3＝2；
②x＝5时，y＝﹣3时，x﹣y＝5+3＝8；
③x＝﹣5时，y＝3时，x﹣y＝﹣5﹣3＝﹣8；
④x＝﹣5时，y＝﹣3时，x﹣y＝﹣5+3＝﹣2，
综上：x﹣y＝±2或±8．
【点评】此题考查了有理数的加减法以及绝对值，熟练掌握运算法则及绝对值的代数意义是解本题的关键．
21．若定义一种新的运算“*”，规定有理数a*b＝4ab，如2*3＝4×2×3＝24．
（1）求3*（﹣4）的值；
（2）求（﹣2）*（6*3）的值．
【分析】分别根据运算“*”的运算方法列式，然后进行计算即可得解．
【解答】解：（1）3*（﹣4），
＝4×3×（﹣4），
＝﹣48；
（2）（﹣2）*（6*3），
＝（﹣2）*（4×6×3），
＝（﹣2）*（72），
＝4×（﹣2）×（72），
＝﹣576．
【点评】本题考查了有理数的乘法，是基础题，理解新运算的运算方法是解题的关键．
22．在一个3×3的方格中填写了9个数字，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，得到的3×3的方格称为一个三阶幻方．
（1）在图1中空格处填上合适的数字，使它构成一个三阶幻方；
（2）如图2的方格中填写了一些数和字母，当x+y的值为多少时，它能构成一个三阶幻方．
【分析】（1）根据三个数的和为2+3+4＝9，依次列式计算即可求解；
（2）先求出下面中间的数，进一步得到右上面的数，从而得到x、y的值，相加可求x+y的值．
【解答】解：（1）2+3+4＝9，
9﹣6﹣4＝﹣1，
9﹣6﹣2＝1，
9﹣2﹣7＝0，
9﹣4﹣0＝5，
如图所示：
（2）﹣3+1﹣4＝﹣6，
﹣6+1﹣（﹣3）＝﹣2，
﹣2+1+4＝3，
如图所示：
x＝3﹣4﹣（﹣6）＝5，
y＝3﹣1﹣（﹣6）＝8，
x+y＝5+8＝13．
【点评】本题考查了有理数的加法，根据表格，先求出三个数的和是解题的关键，也是本题的突破口．
23．数学课上老师出了一道题计算：1+21+22+23+24+25+26+27+28+29，老师在教室巡视了一圈，发现同学们都做不出来，于是给出答案：
解：令s＝1+21+22+23+24+25+26+27+28+29①
则2s＝2+22+23+24+25+26+27+28+29+210②
②﹣①得s＝210﹣1
根据以上方法请计算：
（1）1+2+22+23+…+22015（写出过程，结果用幂表示）
（2）1+3+32+33+…+32015＝ （结果用幂表示）
【分析】（1）根据题意可以对所求式子变形，从而可以解答本题；
（2）根据题意可以对所求式子变形，从而可以解答本题．
【解答】解：（1）设s＝1+2+22+23+…+22015①，
则2s＝2+22+23+…+22015+22016②，
②﹣①，得
s＝22016﹣1，
即1+2+22+23+…+22015＝22016﹣1；
（2）设s＝1+3+32+33+…+32015①，
则3s＝3+32+33+…+32015+32016②，
②﹣①，得
2s＝32016﹣1，
∴s＝，
故答案为：．
【点评】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．第二章、有理数的运算 单元测试
（难度：困难）
一．选择题（共10小题）
1．m是有理数，则m+|m|（ ）
A．可以是负数 B．不可能是负数
C．一定是正数 D．可是正数也可是负数
2．数整数部分的个位数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．以上都不是
3．一根1m长的绳子，第一次剪去绳子的，第二次剪去剩下绳子的，如此剪下去，第100次剪完后剩下绳子的长度是（ ）
A． B． C． D．
4．已知a，b，c是有理数，且a+b+c＝0，abc（乘积）是负数，则的值是（ ）
A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1
5．对于实数a，b，如果a＞0，b＜0且|a|＜|b|，那么下列等式成立的是（ ）
A．a+b＝|a|+|b| B．a+b＝﹣（|a|+|b|） C．a+b＝﹣（|a|﹣|b|） D．a+b＝﹣（|b|﹣|a|）
6．设a为最小的正整数，b为最大的负整数，c是绝对值最小的有理数，则a+b﹣c的值为（ ）
A．0 B．2 C．﹣2 D．2或﹣2
7．“△”表示一种运算符号，其意义是：a△b＝2a﹣b，如果x△（1△3）＝2，那么x等于（ ）
A．1 B． C． D．2
8．取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1．这个结论在数学上还没有得到证明．但举例验证都是正确的．例如：取自然数5．经过下面5步运算可得1，即：如图所示．如果自然数m恰好经过7步运算可得到1，则所有符合条件的m的值有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
9．设a＝，b＝，则a、b的大小关系是（ ）
A．a＞b B．a＝b C．a＜b D．无法确定
10．如图，在一个由6个圆圈组成的三角形里，把1到6这6个数分别填入图的圆圈中，要求三角形的每条边上的三个数的和S都相等，那么S的最大值是（ ）
A．9 B．10 C．12 D．13
二．填空题（共6小题）
11．已知|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，且a＞b＞c，那么a+b﹣c＝ ．
12．小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车．假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是 分钟．
13．三个数a＝266，b＝344，c＝622中，最小的一个是 ．
14．如果|x+1|+（y+2）2＝0，并且ax﹣3ay＝1，那么a＝ ．
15．计算：1﹣（+2）+3﹣（+4）+5﹣（+6）…+2015﹣（+2016）＝ ．
16．观察下列等式：＝×（1﹣），＝×（﹣），＝×（﹣），＝×（﹣），…
根据你得出的规律写出第n个等式为 ，并根据该规律计算：+++…+＝ ．
三．解答题（共7小题）
17．计算
（1）27﹣18+（﹣7）﹣32；
（2）；
（3）；
（4）．
18．若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2．
（1）直接写出a+b，cd，m的值；
（2）求m+cd+的值．
19．某出租车驾驶员从公司出发，在南北向的人民路上连续接送5批客人，行驶路程记录如下（规定向南为正，向北为负，单位：km）：
第1批 第2批 第3批 第4批 第5批
5km 2km ﹣4km ﹣3km 10km
（1）接送完第5批客人后，该驾驶员在公司什么方向，距离公司多少千米？
（2）若该出租车每千米耗油0.2升，那么在这过程中共耗油多少升？
（3）若该出租车的计价标准为：行驶路程不超过3km收费10元，超过3km的部分按每千米加1.8元收费，在这过程中该驾驶员共收到车费多少元？
20．已知|x|＝5，|y|＝3．
（1）若x﹣y＞0，求x+y的值；
（2）若xy＜0，求|x﹣y|的值；
（3）求x﹣y的值．
21．若定义一种新的运算“*”，规定有理数a*b＝4ab，如2*3＝4×2×3＝24．
（1）求3*（﹣4）的值；
（2）求（﹣2）*（6*3）的值．
22．在一个3×3的方格中填写了9个数字，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，得到的3×3的方格称为一个三阶幻方．
（1）在图1中空格处填上合适的数字，使它构成一个三阶幻方；
（2）如图2的方格中填写了一些数和字母，当x+y的值为多少时，它能构成一个三阶幻方．
23．数学课上老师出了一道题计算：1+21+22+23+24+25+26+27+28+29，老师在教室巡视了一圈，发现同学们都做不出来，于是给出答案：
解：令s＝1+21+22+23+24+25+26+27+28+29①
则2s＝2+22+23+24+25+26+27+28+29+210②
②﹣①得s＝210﹣1
根据以上方法请计算：
（1）1+2+22+23+…+22015（写出过程，结果用幂表示）
（2）1+3+32+33+…+32015＝ （结果用幂表示）
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