第四章《相似三角形》复习学案
班级_________ 姓名________
知识点1:比例线段
1、 已知ab=cd，把这个等积式改成比例式后，错误的是（ C ）
A. B. C. D.
2、下列各组中得四条线段成比列得是（ D ）
A、4cm、2cm、1cm、3cm B、1cm、2cm、3cm、4cm
C、25cm、35cm、45cm、55cm D、1cm、2cm、20cm、40cm
3、若P是线段AB的黄金分割点（PA＞PB），设AB=1，则PA的长约为 （ D ）
A、0.191 B、0.382 C、0.5 D、0.618
4、已知线段，线段是的比例中项，则等于___________6
5、 若，则 .
知识点2：相似三角形的判定
1、下列命题中，是真命题的为（ D ）
A.锐角三角形都相似 B.直角三角形都相似
C.等腰三角形都相似 D.等边三角形都相似
2、已知△如图所示，则下列4个三角形中，与△相似的是（ C ）
3、如图，若P为△ABC的边AB上一点（AB>AC），则下列条件不一定能保证△ACP∽△ABC的有（ D ）
A、∠ACP=∠B B、∠APC=∠ACB C、 D、
4、如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，请你添加一个条件，使△ABC与△AED相似，你添加的条件是 ．
如∠ADE=∠C或∠AED=∠B或DE∥BC等等
知识点3：相似三角形的性质
1、在△ABC和△DEF中，AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D，如果△ABC的周长是16，面积是12，那么△DEF的周长、面积分别为 ( A )
A．8、3 B．8、6 C．4、3 D．4、6
2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB于点D．则△BCD与△ABC的周长之比为（ A ）
A. 1︰2 B. 1︰3
C. 1︰4 D. 1︰5
3、如果一个三角形的三边长为5、12、13，与其相似的三角形的最长的边为39，那么较大的三角形的周长为____90___，面积为________．270
4、若两个相似三角形的面积之比为1：4．周长之差为6，则这两个相似三角形的周长分别是_________．6和12
知识点4：相似三角形的应用
1、如图，小明站在C处看甲乙两楼楼顶上的点A和点E. C，E，A三点在同一条直线上，点B，E分别在点E，A的正下方且D，B，C三点在同一条直线上. B，C相距20米，D，C相距40米，乙楼高BE为15米，甲楼高AD为(小明身高忽略不计)（ D ）
A. 40米 B. 20米 C. 15米 D. 30米
第1题 第5题 第4题
2、在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，一棵大树的影长为4.8米，则这棵树的高度为 米. 9.6
3、如图所示，身高1.6m的小华站在距路灯杆5m的C点处，测得她在灯光下的影长CD为2.5m，则路灯的高度AB为______．4．8m
4、 如图，上体育课，甲、乙两名同学分别站在C、D的位置时，乙的影子恰好在甲的影子里边，已知甲，乙同学相距1米.甲身高1.8米，乙身高1.5米，则甲的影长是 米. 6
知识点5：综合运用
1、如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，AB的垂直平分线OD交AB于点O，交AC于点D，连接BD，下列结论错误的是（ D ）
A．
∠C=2∠A
B．
BD平分∠ABC
C．
S△BCD=S△BOD
D．
点D为线段AC的黄金分割点
2、如图，等腰直角三角形ABC顶点A在x轴上，∠BCA=90°，AC=BC=2，反比例函数y=（x＞0）的图象分别与AB，BC交于点D，E．连结DE，当△BDE∽△BCA时，点E的坐标为 （，）
3、如图，在正方形ABCD中，E是BC上的一点,连结AE，作BF⊥AE，垂足为H,交CD于F,作CG∥AE,交BF于G.
(1)求证CG=BH;
(2)FC2=BF·GF;
(3) =.
证明： （1）∵BF⊥AE，CG∥AE, CG⊥BF,
∴ CG⊥BF.
∵在正方形ABCD中，∠ABH+∠CBG=90o, ∠CBG+∠BCG=90o,
∠BAH+∠ABH=90o,
∴∠BAH=∠CBG, ∠ABH=∠BCG,
AB=BC,
∴△ABH≌△BCG,
∴CG=BH;
(2) ∵∠BFC=∠CFG, ∠BCF=∠CGF=90 o,
∴△CFG∽△BFC,
∴,
即FC2=BF·GF;
(3) 由（2）可知，BC2=BG·BF,
∵AB=BC,
∴AB2=BG·BF,
∴==
即=
4、如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，
（1）求证：AC2=AB?AD；
（2）求证：CE∥AD；
（3）若AD=4，AB=6，求的值．
（1）证明：∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAB，
∵∠ADC=∠ACB=90°，
∴△ADC∽△ACB，
∴AD：AC=AC：AB，
∴AC2=AB?AD；
（2）证明：∵E为AB的中点，
∴CE=AB=AE，
∴∠EAC=∠ECA，
∵∠DAC=∠CAB，
∴∠DAC=∠ECA，
∴CE∥AD；
（3）解：∵CE∥AD，
∴△AFD∽△CFE，
∴AD：CE=AF：CF，
∵CE=AB，
∴CE=×6=3，
∵AD=4，
∴，
∴．
第四章《相似三角形》检测卷
班级_________ 姓名_________ 得分__________
一、选择题（每题3分，共30分）
1、若，则下列等式中不正确的是（ ）。
A、 B、 C、 D、
2、若x是3和6的比例中项，则x的值为 （ ）
A、 B、 C、 D、
3、如图所示，在△ABC中，DE∥BC，若AD＝1，DB＝2，则的值为( )
A． B． C． D．
4、如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3、4及x，那么x的值（ ）
A. 只有1个 B. 可以有2个 C. 可以有3个 D. 有无数个
5、如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上。若测得BE=20m，EC=10m，CD=20m，则河的宽度AB等于（ ）
A. 60m B. 40m C. 30m D. 20m
第3题 第6题
6、如图所示，⊙O中，弦AB，CD相交于P点，则下列结论正确的是( )
A．PA·AB＝PC·PB B．PA·PB＝PC·PD
C．PA·AB＝PC·CD D．PA∶PB＝PC∶PD
7、如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1+S2的值为（ ）
A．16 B．17 C．18 D．19
8、如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF=4：25，则DE：EC=（ ）
A．
2：5
B．
2：3
C．
3：5
D．
3：2
第7题 第8题 第9题
9、如图，D是△ABC的边BC上一点，已知AB=4，AD=2．∠DAC=∠B，若△ABD的面积为a，则△ACD的面积为（ ）
A．a B． C． D．
10、若P是Rt△ABC的斜边BC上异于B，C的一点，过点P作直线截△ABC，截得的三角形与原△ABC相似，满足这样条件的直线共有( )
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
二、填空题（每题4分，共24分）
11、如图，DE是△ABC的中位线，则△ADE与△ABC的面积的比是 ．
第11题 第12题 第13题
12、如图3，在△ABC中，DE∥BC，AD＝1，AB＝3，DE＝2，则BC＝ ．
13、如图，AC⊥CD，垂足为点C，BD⊥CD，垂足为点D，AB与CD交于点O．若AC=1，BD=2，CD=4，则AB= ．
14、如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处，则小明的影子AM长为 米．
第14题 第16题
15、△ABC中，D、E分别是边AB与AC的中点，BC=4，下面四个结论：①DE=2；②△ADE∽△ABC；③△ADE的面积与△ABC的面积之比为 1：4；④△ADE的周长与△ABC的周长之比为 1：4；其中正确的有 ．（只填序号）
16、如图，在边长为9的正三角形ABC中，BD=3，∠ADE=60°，则AE的长为 ．
三、简答题（7小题，66分）
17、（6分）已知，如图，△ABC中，AB＝2，BC＝4，D为BC边上一点，BD＝1．
(1)求证：△ABD∽△CBA；
(2)作DE∥AB交AC于点E，请再写出另一个与△ABD相似的三角形，并直接写出DE的长．
18、（8分）如图所示，在5×5的方格纸上建立直角坐标系，A(1，0)，B(0，2)，试以5×5的格点为顶点作△ABC与△OAB相似(相似比不为1)，并写出C点的坐标．
19、（8分）如图所示，⊙O的内接△ABC中，∠BAC＝45°，∠ABC＝15°，AD∥OC并交BC的延长线于D点，OC交AB于E点．
(1)求∠D的度数；
(2)求证：AC2＝AD·CE．
20、（10分）某社区拟筹资金2000元，计划在一块上、下底分别是10米、20米的梯形空地上种植花木（如图所示），他们想在△AMD和△BMC地带种植单价为10元/米2的太阳花，当△AMD地带种满花后，已经花了500元，请你预算一下，若继续在△BMC地带种植同样的太阳花，资金是否够用？并说明理由.
.21、（10分）如图，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D=90°，AB=DE=3，AC=2DF=4．
(1) 判断这两个三角形是否相似？并说明为什么？
(2) 能否分别过A，D在这两个三角形中各作一条辅助线，使△ABC分割成的两个三角形与△DEF分割成的两个三角形分别对应相似？证明你的结论．
22、（12分）已知：如图，抛物线y＝x2－x－1与y轴交于C点，以原点O为圆心，OC长为半径作⊙O，交x轴于A，B两点，交y轴于另一点D．设点P为抛物线y＝x2－x－1上的一点，作PM⊥x轴于M点，求使△PMB∽△ADB时的点P的坐标．
23、（12分）如图所示，在平面直角坐标系xOy内已知点A和点B的坐标分别为(0，6)，(8，0)，动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P，Q移动的时间为t秒．
(1)求直线AB的解析式；
(2)当t为何值时，△APQ与△ABO相似?
(3)当t为何值时，△APQ的面积为个平方单位?
参考答案
一、选择题
1、D 2、D 3、C 4、B 5、B 6、B 7、B 8、B 9、C 10、C
二、填空题
11、1：4 12、6 13、5 14、5 15、①②③ 16、7
三、简答题
17、(1)，得△HBD∽△CBA；
(2)△ABC∽△CDE，DE＝1.5．
18、
C(4，4)或C(5，2)．
19、(1)连结OB．∠D＝45°．
(2)由∠BAC＝∠D，∠ACE＝∠DAC得△ACE∽△DAC．
20、解：∵AD∥BC, ∴△AMD∽△CMB,
∴. ∵△AMD的费用为500元, ∴△BMC的费用为2000元.
500+2000=2500>2000, ∴资金不够用.
21、解：(1) 不相似．在中，，；
在中，，，
．．与不相似．
(2) 能作如图所示的辅助线进行分割．
具体作法：作，交于；作，交于．
由作法和已知条件可知．
，，，，
．，，
．．
22、设P点的横坐标xP＝a，则P点的纵坐标yP＝a2－a－1．
则PM＝｜a2－a－1｜，BM＝｜a－1｜．因为△ADB为等腰直角三角形，所以欲使△PMB∽△ADB，只要使PM＝BM.即｜a2－a－1｜＝｜a－1｜．不难得a1＝0．
∴P点坐标分别为P1(0，－1)．P2(2，1)．
23、22．(1)
(2)或
(3)t＝2或3．
