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浙教版2022-2023学年九上数学第4章 相似三角形
专题2相似三角形与平行线
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图，l1∥l2∥l3，直线a，b与l1，l2，l3分别交于点A，B，C和点D，E，F．若，DE＝4，则DF的长是（ ）
A． B． C．6 D．10
（第1题） （第2题） （第3题） （第4题）
2．在△ABC中（如图），点D、E分别为AB、AC的中点，则S△ADE：S△ABC＝（ ）
A．1：1 B．1：2 C．1：3 D．1：4
3．如图，已知在中，点、、分别是边、、上的点，，，且，那么等于
A．5∶8 B．3∶8 C．3∶5 D．2∶5
4．如图，在平行四边形 中，点E是 上任意一点，过点E作 交 于点F，连接 并延长交 的延长线于点H，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则（ ）
A．1：4 B．1：5 C．1：6 D．1：7
（第5题） （第6题） （第7题） （第8题）
6．如图，在中，为延长线上一点，为上一点，．若，，则的长是（ ）
A． B． C．6 D．
7．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是边AB，AD的中点，BF，CE交于点M，若三角形BEM的面积为1，则四边形AEMF的面积为（ ）
A．3 B．4 C． D．5
8．如图，△ABC的中线AD，BE交于点F，EG∥BC，交AD于点G，则GF：AG等于（ ）
A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．3：5
9．如图，在 中，D在AC边上，AD：DC=1：2，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，若BE=1，则EC=（）
A． B．2 C．3 D．4
10．如图，直线 ，一等腰 的三个顶点 、 、 分别在直线 、 、 上， ， 交 于点 若 与 的距离为 ， 与 的距离为 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
（第9题） （第10题） （第11题） （第12题）
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，在△ABC中，AD为∠CAB的平分线，DE∥AB，若DE=3，CE=4，则AB的值
12．如图，BD是△ABC的中线，点E在线段BC上，连接AE交BD于点F，点G为AE中点，连接DG，若，则 ．
13．如图，在 中，E是AD边上一点，AE：ED=1：2，连结AC，BE交于点F.若 ，则 = .
（第13题） （第14题） （第15题） （第16题）
14．如图，在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，OA＝6，AB＝4，边OA在x轴上，若双曲线 经过边OB上一点D（4，m），并与边AB交于点E，则点E的坐标为 .
15．如图，已知M、N为的边上的两点，且满足，一条平行于的直线分别交、、的延长线于点D、E、F，则 ．
16．如图，在矩形ABCD中，E，F分别为边AB，AD的中点，BF与EC、ED分别交于点M，N.已知AB＝4，BC＝6，则MN的长为 .
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图： ， 分别交 、 、 于点 、 、 ，已知 ， ， ， ，求 、 的长．
18．如图，在 中， ， ， ，且 ．
（1）求 的长；
（2）求证： ．
19．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF．已知四边形BFED是平行四边形， 、
（1）若AB=8，求线段AD的长．
（2）若△ADE的面积为1，求平行四边形BFED的面积．
20．如图，在梯形中，，点在线段上，与相交于点，与的延长线相交于点，已知，，．求、的长．
21．如图，在△ABC中，CD是角平分线，DE平分∠CDB交BC于点E，且DE∥AC．
（1）求证：CD2＝CA CE．
（2）若，且，求AD的长
22．正方形边长为3，点是上一点，连接交于点.
（1）如图1，若，求的值；
（2）如图1，若，求证：点是的中点；
（3）如图2，点为上一点，且满足，设，，试探究与的函数关系.
23．如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线AC，延长AB至E，使BE＝AB，连接DE，分别交BC，AC于点F，G．
（1）求证：BF＝CF；
（2）若BC＝6，DG＝4，求FG的长；
（3）若△FCG面积为1，则四边形ABFG面积为多少？
24．如图
问题提出：如图（1），中，，是的中点，延长至点，使，延长交于点，探究的值.
（1）问题探究：
先将问题特殊化.如图（2），当时，直接写出的值；
（2）再探究一般情形.如图（1），证明（1）中的结论仍然成立.
（3）问题拓展：
如图（3），在中，，是的中点，是边上一点，，延长至点，使，延长交于点.直接写出的值（用含的式子表示）.
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浙教版2022-2023学年九上数学第4章 相似三角形
专题2相似三角形与平行线
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图，l1∥l2∥l3，直线a，b与l1，l2，l3分别交于点A，B，C和点D，E，F．若，DE＝4，则DF的长是（ ）
A． B． C．6 D．10
【答案】D
【解析】∵l1∥l2∥l3，
∴＝＝，又DE＝4，
∴EF＝6，
∴DF＝DE+EF＝10，
故答案为：D．
2．在△ABC中（如图），点D、E分别为AB、AC的中点，则S△ADE：S△ABC＝（ ）
A．1：1 B．1：2 C．1：3 D．1：4
【答案】D
【解析】∵点D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE=BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴.
故答案为：D.
3．如图，已知在中，点、、分别是边、、上的点，，，且，那么等于
A．5∶8 B．3∶8 C．3∶5 D．2∶5
【答案】A
【解析】，
，
，
，
，
．
故答案为：A．
4．如图，在平行四边形 中，点E是 上任意一点，过点E作 交 于点F，连接 并延长交 的延长线于点H，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 四边形 为平行四边形， ，
， ， ．
A、 ，
，
，即 ，结论A不符合题意；
B、 ， ，
，
，即 ，结论B不符合题意．
C、 ，
，
，即 ，结论C不符合题意；
D、 ，
，
，即 ，结论D符合题意；
故答案为：D.
5．如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则（ ）
A．1：4 B．1：5 C．1：6 D．1：7
【答案】C
【解析】∵O为平行四边形ABCD对角线的交点，
∴DO=BO，，
又∵E为OD的中点，
∴，
∴DE：EB=1：3，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
故答案为：C．
6．如图，在中，为延长线上一点，为上一点，．若，，则的长是（ ）
A． B． C．6 D．
【答案】A
【解析】如图
∵四边形是平行四边形，
∴，．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴，
∵，，
∴．
∴，
∴，（舍去）．
∴．
故答案为：A．
7．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是边AB，AD的中点，BF，CE交于点M，若三角形BEM的面积为1，则四边形AEMF的面积为（ ）
A．3 B．4 C． D．5
【答案】B
【解析】连接BD，延长BF、CD交于N，
∵E，F分别是边AB，AD的中点，
∴AB＝2BE，DF＝AF，
∴S△ABF＝S△DFB＝S△ABD＝S平行四边形ABCD，
同理S△BCE＝S平行四边形ABCD，
∴S△ABF＝S△BCE，
∴S△ABF﹣S△BEM＝S△BCE﹣S△BEM，
∴S四边形AEMF＝S△BCM，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，AB∥CD，
∴∠N＝∠ABF，
在△DNF和△ABF中
，
∴△DNF≌△ABF（AAS），
∴DN＝AB＝DC，
∴BE＝AB＝CN，
∵AB∥CD，
∴△BEM∽△NCM，
∴，
∴，
∵△BEM的面积为1，
∴△BCM的面积是4，
即四边形AEMF的面积是4，
故答案为：B．
8．如图，△ABC的中线AD，BE交于点F，EG∥BC，交AD于点G，则GF：AG等于（ ）
A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．3：5
【答案】B
【解析】∵BE为中线，
∴AE＝CE，
∵GE∥BC，
∴GE为△ADC的中位线，
∴AG＝DG，
∵AD为中线，
∴BD＝CD，
∴ ，
∵GE∥BD，
∴ ，
∴GF＝
DF，
∴GF＝
GD，
∴GF＝
AG，
即GF：AG＝1：3.
故答案为：B.
9．如图，在 中，D在AC边上，AD：DC=1：2，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，若BE=1，则EC=（）
A． B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】过点D作 交BC于F，如图，
∵ ，
∴ ，
∵O是BD的中点，
∴BO=OD，
∴BE=EF，
∵ ，
∴ ，
∴CF=2EF，
∴BE：EC=BE：3BE=1：3，
∵BE=1，
∴EC=3，
故答案为：C．
10．如图，直线 ，一等腰 的三个顶点 、 、 分别在直线 、 、 上， ， 交 于点 若 与 的距离为 ， 与 的距离为 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】过点A作 与点F ，交直线 于点G ，
，
，
，
∽ ，
与 的距离为 ， 与 的距离为4，
，
，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得：
，
，
在 中，由勾股定理得：
.
故答案为：C.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，在△ABC中，AD为∠CAB的平分线，DE∥AB，若DE=3，CE=4，则AB的值
【答案】
【解析】∵AD为∠CAB的平分线，DE∥AB，
∴∠DAE=∠DAB，∠DAB=∠EDA，
∴∠DAE=∠EDA，
∴AE=DE，
又∵DE=3，CE=4，
∴AC=3+4=7，
∵DE∥AB，
∴CE：CA=ED：AB，即4：7=3：AB，
∴AB=.
12．如图，BD是△ABC的中线，点E在线段BC上，连接AE交BD于点F，点G为AE中点，连接DG，若，则 ．
【答案】
【解析】∵BD是△ABC的中线，点G为AE中点，
∴DG∥BC，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为．
13．如图，在 中，E是AD边上一点，AE：ED=1：2，连结AC，BE交于点F.若 ，则 = .
【答案】11
【解析】∵AE：ED=1：2，
∴AE：AD=1：3
∵平行四边形ABCD，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴△AEF∽△BFC，
∴，
∴
∴S△BFC=9；
∴S△ABE=4S△AEF=4，S△AFB=3
∴S△ABC=S△ACD=S△AFB+S△BFC=3+9=12；
∴S四边形CDEF=S△ACD-S△AEF=12-1=11.
故答案为：11.
14．如图，在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，OA＝6，AB＝4，边OA在x轴上，若双曲线 经过边OB上一点D（4，m），并与边AB交于点E，则点E的坐标为 .
【答案】
【解析】作DF⊥OA于F，
∵点D(4，m)，
∴OF＝4，DF＝m，
∵∠OAB＝90°，
∴DF//AB，
∴△DOF∽△BOA，
∴ ＝ ，
∵OA＝6，AB＝4，
∴ ，
∴m＝ ，
∴D(4， )，
∵双曲线y＝ 经过点D，
∴k＝4× ＝ ，
∴双曲线为y＝ ，
把x＝6代入得y＝ ＝ ，
∴E(6， ).
故答案为：(6， ).
15．如图，已知M、N为的边上的两点，且满足，一条平行于的直线分别交、、的延长线于点D、E、F，则 ．
【答案】3
【解析】过点M作MG∥DF，点G在AB上，过点N作NH∥DF，H在AB上，NH交AM于I，
则有MG∥DF∥NH∥AC
∵GM∥NH，
∴△BMG∽△BNH
∴
又∵BM=，
∴
∵MG∥NH∥AC，
∴
∴
∵MG∥NH
∴△AHI∽△AGM
∴
又∵
∴
∴
又∵DF∥NH
∴△AHI∽△ADE，△ANI∽△AFE，
∴
∴
∴
故答案为：3.
16．如图，在矩形ABCD中，E，F分别为边AB，AD的中点，BF与EC、ED分别交于点M，N.已知AB＝4，BC＝6，则MN的长为 .
【答案】
【解析】如图1所示，延长CE，DA交于点Q，
∵四边形ABCD是矩形，BC=6，
∴∠BAD=90°，AD=BC=6，AD∥ BC，
∵F为AD的中点，
∴AF=DF=3，
在Rt△BAF中，由勾股定理得：
，
∵AD ∥ BC，
∴∠Q=∠ECB，
∵E为AB的中点，AB=4，
∴AE=BE=2，
在△QAE和△CBE中，
∴△QAE≌△CBE（AAS），
∴AQ=BC=6，即QF=6+3=9，
∵AD
BC，
∴△QMF∽△CMB，
∴ ，
∵BF=5，
∴BM=2，FM=3，
如图2所示，延长BF和CD，交于W，
同理AB=DW=4，CW=8，BF=FW=5，
∵AB
CD，
∴△BNE∽△WND，
∴ ，
∴ ，
解得：BN=
，
∴MN=BN BM=
2=
.
故答案为：
.
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图： ， 分别交 、 、 于点 、 、 ，已知 ， ， ， ，求 、 的长．
【答案】解：∵在 中， ，
∴ ．
∵ ， ， ，
∴ ．
∴ ．
∵在 中， ，
∴ ．
∵ ， ， ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
18．如图，在 中， ， ， ，且 ．
（1）求 的长；
（2）求证： ．
【答案】（1）解：设 ，则
∵ ，
∴
解得
∴ ；
（2）证明：∵ ，
∴
即 ．
∴ ．
19．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF．已知四边形BFED是平行四边形， 、
（1）若AB=8，求线段AD的长．
（2）若△ADE的面积为1，求平行四边形BFED的面积．
【答案】（1）解：由题意，得DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴
∵AB=8，
∴AD=2
（2）解：设△ABC的面积为S，△ADE的面积为S1，△CEF的面积为S2．
∵
∴
∵S1=1，
∴S=16．
∵
同理可得S2=9，
∴平行四边形BFED的面积=S-S1-S2=6．
20．如图，在梯形中，，点在线段上，与相交于点，与的延长线相交于点，已知，，．求、的长．
【答案】解：∵∥，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴
∴，
∴．
∵，，
∴．
∵∥，
∴△AGE∽△BGC，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
21．如图，在△ABC中，CD是角平分线，DE平分∠CDB交BC于点E，且DE∥AC．
（1）求证：CD2＝CA CE．
（2）若，且，求AD的长
【答案】（1）证明：∵CD是角平分线，
∴∠ACD＝∠DCE．
∵DE平分∠CDB，
∴∠CDE＝∠EDB，
又∵DE∥AC，
∴∠A＝∠EDB，
∴∠A＝∠CDE，
∴△ACD∽△DCE，
∴
∴CD2＝CA CE；
（2）解：∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD＝∠ACD，
∵DE∥BC，
∴∠EDC＝∠BCD，
∴∠ECD＝∠EDC，
∴DE＝CE，
∵DE∥BC，
∴△BDE∽△BAC，
∴即
解之：CE=DE=6，
∵DE∥BC，
∴∠ACD=∠CDE，∠A=∠EDB，
∵∠CDE＝∠EDB，
∴∠ACD=∠A，
∴AD=CD，
∵CD2＝CA CE，
∴AD2＝14×6，
解之：AD=.
22．正方形边长为3，点是上一点，连接交于点.
（1）如图1，若，求的值；
（2）如图1，若，求证：点是的中点；
（3）如图2，点为上一点，且满足，设，，试探究与的函数关系.
【答案】（1）解：∵ABCD是正方形，∴AB=BC=3，∠ABC=90°，AB∥CD，
∴AC=，
∴△ECF∽△BAF，∴，
∴，∴CF=；
（2）证明：如图，过点F作FH⊥BC于H，
∵，BC=3，∴FH=1，
∵FH⊥BC，AB⊥BC，∴FH∥AB，
∴△CFH∽△CAB，∴，
∴，
∵AB∥CD，∴△ECF∽△BAF，∴，
∴，
∴点是的中点；
（3）解：如图，
∵AB∥CD，∴△ECF∽△BAF，∴，
∴，，
∵△CAG和△CBF中：∠ACG=∠BCF，∠CAG=∠CBF，
∴△CAG∽△CBF，∴，
∵CG=3-y，∴，
∴（0≤x≤3）；
23．如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线AC，延长AB至E，使BE＝AB，连接DE，分别交BC，AC于点F，G．
（1）求证：BF＝CF；
（2）若BC＝6，DG＝4，求FG的长；
（3）若△FCG面积为1，则四边形ABFG面积为多少？
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠E＝∠EDC，
∵BE＝AB，
∴CD＝AB，
又∵∠E＝∠EDC，∠BFE＝∠DFC，
∴△EBF≌△DCF（AAS），
∴BF＝CF；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴△CFG∽△ADG，
∴＝，
∵BF＝CF＝BC＝AD，DG＝4，
∴＝，
∴FG＝2；
（3）解：由（2）得：＝，△CFG∽△ADG，△FCG面积为1
∴
∴
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴
∴四边形ABFG的面积＝＝6﹣1＝5．
24．如图
问题提出：如图（1），中，，是的中点，延长至点，使，延长交于点，探究的值.
（1）问题探究：
先将问题特殊化.如图（2），当时，直接写出的值；
（2）再探究一般情形.如图（1），证明（1）中的结论仍然成立.
（3）问题拓展：
如图（3），在中，，是的中点，是边上一点，，延长至点，使，延长交于点.直接写出的值（用含的式子表示）.
【答案】（1）解：
（2）证明：取的中点，连接.
∵是的中点，∴，.
∵，∴，∴.
∵，∴.
∴.
∴.
∴.∴.
∵，∴.
∴.
∴.
∴.
另解1：证明，得也可求解.
另解2：取的中点，证明也可以求解.
（3）解：
【解析】（1）取AB的中点G，连接DG，
∵点D是AC的中点，
∴DG是△ABC的中位线，∴DG∥BC，
∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC是等边三角形，
∵点D是AC的中点，∴BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝30°，
∵BD＝CD，
∴∠E＝∠DBC＝30°，
∴∠BFE=180°-∠ABC-∠E=180°-60°-30°=90°，∴DF⊥AB，
∵∠AGD＝∠ADG＝60°，
∴△ADG是等边三角形，∴AF＝AG，
∵AG＝AB，∴AF＝AB，
∴.
（3）取BC的中点H，连接DH，
由（2）同理可证明△DGH≌△DEC（ASA），
∴GH＝CE，∴HE＝CG，
∵，∴，∴，
∴，
∵DH∥BF，
∴△EDH∽△EFB，
∴，
∵DH＝AB，
∴，
∴．
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