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浙教版2022-2023学年九上数学第4章 相似三角形
专题3相似三角形与圆的综合
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图，圆内接四边形ABCD的BA，CD的延长线交于P，AC，BD交于E，则图中相似三角形有（ ）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
【答案】C
【解析】根据同弧所对的圆周角相等及相似三角形的判定定理可知图中相似三角形有4对，分别是：△ADE∽△BCE，△AEB∽△DEC，△PAD∽△PCB，△PBD∽△PCA．故选C．
2．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=5，BC=10，连接AC，BD，以BD为直径的圆交AC于点E．若DE=3，则AD的长为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】D
【解析】如图，连结BE，
∵BD为圆的直径，
∴∠DEB=90°=∠ABC，
又∵
∴∠EDB=∠BAC，
∴△ABC∽△DEB，
∴，
即，
解得BE=6，
∴BD=，
∴AD=
故答案为：D．
3．如图，AB为⊙O的直径，点D是弧AC的中点，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE交⊙O于点F，若AC=12，AE=3，则⊙O的直径长为( )
A．10 B．13 C．15 D．16
【答案】C
【解析】连接AD，BD，
∵DF⊥AB，点D是弧AC的中点，
∴，DF=2DE
∴，∠ADE=∠B
∴AC=DF，
∴2DE=12
∴DE=6，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠ADE=∠B，∠ADB=∠AED=90°，
∴△ADE∽△DBE，
∴
∴
解之：BE=12
∴AB=AE+BE=3+12=15.
故答案为：C.
4．如图， 是 的弦（非直径），点C是弦 上的动点（不与点A，B重合），过点C作垂直于 的弦 .若设 的半径为r，弦 的长为a， ，则弦 的长（ ）
A．与r，a，m的值均有关 B．只与r，a的值有关
C．只与r，m的值有关 D．只与a，m的值有关
【答案】D
【解析】如图，连接AD、BE，
∵DE为 的弦， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故DE的长只与a和m的值有关.
故答案为：D.
5．如图，已知⊙中，，，，过点A作DF的垂线AE，垂足为点E，那么线段AE的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，过点C作于H，
∵，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
解得，，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴∽，
∴，即
解得，
故答案为：B．
6．如图，在平面直角坐标系中，点 ， 的坐标分别为 ， ，过 ， ， 三点作圆，点 在第一象限部分的圆上运动，连结 ，过点 作 的垂线交 的延长线于点 ，下列说法：① ；② ；③ 的最大值为10.其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】C
【解析】连接AB，
∵∠DOC=90°，∠BOA=90°，
∴∠BOD+∠BOC=90°，∠AOC+∠BOC =90°，
∴∠AOC=∠BOD，①正确；
∵∠DOC=90°，∠BOA=90°，
∴∠OCB+∠D=90°，∠OAB+∠OBA =90°，
∵∠OCB=∠OAB，
∴∠OBA=∠D，
∵OA=2，OB=4，AB= ，
∴sin∠D=sin∠OBA= ，②错误；
∵∠DOC=∠BOA=90°，∠OCB=∠OAB，
∴△OCD∽△OAB，
∴
∵∠BOA=90°，
∴AB为圆的直径，
∴OC取最大值等于直径AB时CD的值最大，
∴CD的最大值 ，③正确.
故答案为：C.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
7．如图，半圆O的直径AC=2 ，点B为半圆的中点，点D在弦AB上，连结CD，作BF⊥CD于点E，交AC于点F，连结DF，当△BCE和△DEF相似时，BD的长为 ．
【答案】2 ﹣2或 ﹣1
【解析】①如图1，
当∠DFE=∠BCE时，
∵∠DEF=∠BEC，
∴△DEF∽△BEC，
∵AC是直径，
∴∠ABC=90°，
∵BF⊥CD，
∴∠CEB=90°，
∴∠BCE+∠CBE=90°，∠DBE+∠EBC=90°，
∴∠DBE=∠BCE=∠DFE，
∴DB=DF，
∵DE⊥BF，
∴EB=EF，
∴BC=CF，
∵点B为半圆的中点，
∴AB=BC，
∴∠A=45°，
∵∠DBF=∠DFB，∠CBF=∠CFB，∠DBF+∠CBF=90°，
∴∠DFB+∠CFB=90°，
∴∠DFC=∠DFA=90°，
∴∠A=∠ADF=45°，
∴AF=DF=BD，
在RT 中，∵AC=2 ，
∴AB=BC= AC=2，
∴FC=2，
∴BD=AF=AC﹣FC=2 ﹣2，
②如图2，
当∠FDE=∠BCE时，
∵∠DEF=∠BEC，
∴△DEF∽△CEB，DF∥BC，
∴∠ADF=∠ABC=90°，
∵∠ABC=∠BEC=90°，
∴∠BCE+∠CBE=90°，∠DBE+∠EBC=90°，
∴∠DBE=∠BCE=∠FDE，
∵∠BDF=∠DBC=90°，∠DBF=∠BCD，
∴△BDF∽△CBD，
∴ ，
∵∠A=45°，∠ADF=90°，
∴∠AFD=∠A=45°，
∴AD=DF，
设BD=x，由（1）可知：AB=BC=2，AD=DF=2﹣x，
∴ ，整理得：x2+2x﹣4=0，
解得：x=﹣1+ （或﹣1﹣ 舍弃）
∴BD= ﹣1．
故答案为2 ﹣2或 ﹣1．
8．如图，在 中，弦BC，DE交于点P，延长BD，EC交于点A， ， ，若 ，则DP的长为 .
【答案】
【解析】如图，作 交AB于 设 .
，
，
，
： ：3，
： ：3，
，
，
，
，
，BP： ：1，
， ，
，
，
负根已经舍弃 ，
。
故答案为 。
9．如图，在半径为5的⊙ 中，弦 ， 是弦 所对的优弧上的动点，连接 ，过点 作 的垂线交射线 于点 ，当 是以 为腰的等腰三角形时，线段 的长为 .
【答案】8或
【解析】①当AB=AP时，如图，连接OA、OB，延长AO交BP于点G，故AG⊥BP， 过点O作OH⊥AB于点H，
∵在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴ ，
由垂径定理可知 ，
∴ ，
在Rt△OAH中，
在Rt△CAP中， ，且
∴ ，
在Rt△PAG与Rt△PCA中，∠GPA=∠APC，∠PGA=∠PAC，
∴Rt△PAG∽Rt△PCA
∴ ，则 ，
∴ ；
②当AB=BP时，如下图所示，∠BAP=∠BPA，
∴在Rt△PAC中，∠C=90°-∠BPA=90°-∠BAP=∠CAB，
∴BC=AB=8
故答案为8或
10．如图，AB是半圆O的直径，D是半圆O上一点，C是 的中点，连结AC变BD于点E，连结AD，若BE=4DE，CE=6，则AB的长为 。
【答案】4
【解析】连接OC，BC
∵点C是的中点，OC是半径，
∴CO⊥BD，BH=DH
∵BE=4DE，
设DE=x，则BE=4x，
∴BD=5x，BH=DH=2.5x，
∴EH=2.5x-x=1.5x，
∵AB是直径，
∴∠ECB=∠EHC=90°
∵∠CEH=∠CEH，
∴△CEH∽△BEC，
∴
∴EC2=BE·EH=4x·1.5x=6x2.
∵EC=6即36=6x2.
∴x=
∴
∴
∵AB是直径，
∴∠D=∠EHC=90°，
∴AD∥CH，
∴即
∴AE=4，
∴AC=AE+EC=4+6=10，
∴.
故答案为：.
11．如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，∠B=45°，DE⊥AC于E交AB于F，若BC=2CD，AE=2，则线段BF= 。
【答案】
【解析】如图：连接BD，
∵∠BAD=∠BCD=90°，
∴A、B、C、D四点共圆，
∴∠CBD=∠CAD，
∵DE⊥AC，
∴∠AED=90°=∠BCD，
∴△AED∽△BCD，
∴AE∶DE=BC∶CD=2∶1，
∴DE=AE=1,
根据勾股定理得AD=；
延长BA、CD交于G，
∵∠B=45°，∠BCD=90°，
∴△BCG是等腰直角三角形，
∴BC=CG=2CD=2DG，
∵ ∠G=45°，∠GAD=90°，
∴△ADG是等腰直角三角形，
∴AG=AD=，DG=，
则CD=，BC=2，BG=BC=4；
∵∠ADE=∠FDA，∠FAD=∠AED=90°，
∴△AED∽△FAD，
∴AF∶AD=AE∶DE=2∶1，
∴AF=2AD=2，
∴BF=BG-AF-AG=.
故答案为：.
12．如图， 内接于半径为 的半 ， 为直径，点 是弧 的中点，连结 交 于点 ， 平分 交 于点 ，则 .若点 恰好为 的中点时， 的长为 .
【答案】；
【解析】（1）∵ 为直径，
∴∠ACB=90°.
∴∠BAC+∠ABC=90°
∵点 是弧 的中点，
∴∠ABM=∠CBM= ∠ABC.
∵ 平分 交 于点 ，
∴∠BAD=∠CAD= ∠BAC.
∴∠DAB+∠DBA= ∠ABC+ ∠BAC=45°.
∴ 45°.（2）如图连接AM.
∵AB是直径，
∴∠AMB=90°
∵∠ADM=45°，
∴MA=MD，
∵DM=DB，
∴BM=2AM，设AM=x，则BM=2x，
∵AB=4 ，
∴x2+4x2=160，
∴x=4 （负根已经舍弃），
∴AM=4 ，BM=8 ，
∵∠MAE=∠CBM,∠CBM=∠ABM.
∴∠MAE==∠ABM.
∵∠AME=∠AMB=90°，
∴△AME∽△BMA.
∴
∴
∴ME=2 .
故答案为：(1). (2). .
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
13．如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E．
（1）求证：BE=CE；
（2）若BD=2，BE=3，求AC的长．
【答案】（1）证明：连结AE，如图，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠AEC=90°，
∴AE⊥BC，
而AB=AC，
∴BE=CE
（2）连结DE，如图，
∵BE=CE=3，
∴BC=6，
∵∠BED=∠BAC，
而∠DBE=∠CBA，
∴△BED∽△BAC，
∴ = ，即 = ，
∴BA=9，
∴AC=BA=9．
14．如图，点C，P均在⊙O上，且分布在直径AB的两侧，BE⊥CP于点E．
（1）求证：△CAB∽△EPB；
（2）若AB=10，AC=6，BP=5，求CP的长．
【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，BE⊥CP，
∴∠ACB=∠BEP．
∵∠CAB=∠BPC，
∴△CAB∽△EPB
（2）解：∵AB=10，AC=6，
∴BC= =8．
∵△CAB∽△EPB，BP=5，
∴ = = ，即 = = ，
∴PE=3，BE=4，
∴CE= =4 ，
∴CP=4 +3
15．基本模型：如图1，点A，F，B在同一直线上，若∠A=∠B=∠EFC=90°，易得△AFE～△BCF．
（1）模型拓展：如图2，点A，F，B在同一直线上，若∠A=∠B=∠EFC，求证：△AFE～△BCF；
（2）拓展应用：如图3，AB是半圆⊙O的直径，弦长AC=BC=4 ，E，F分别是AC，AB上的一点，若∠CFE=45°，若设AE=y，BF=x，求y与x的函数关系式．
【答案】（1）证明：如图2，∵∠A=∠EFC，
∴∠E+∠EFA=∠EFA+∠CFB，
∴∠E=∠CFB，
∵∠A=∠B，
∴△AFE∽△BCF
（2）解：如图3，∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴AB= =8，
∵AC=BC，
∴∠A=∠B=45°，
∴∠A=∠B=∠CFE=45°，
由（1）可得△AFE∽△BCF，
∴ ，
即 ，
∴y=﹣ x2+ x（0≤x≤8），
16．如图，AB为⊙O直径，点D为AB下方⊙O上一点，点C为弧ABD中点，连接CD，CA.
（1）若∠ABD＝α，求∠BDC（用α表示）；
（2）过点C作CE⊥AB于H，交AD于E，∠CAD＝β，求∠ACE（用β表示）；
（3）在（2）的条件下，若OH＝5，AD＝24，求线段DE的长.
【答案】（1）解：连接AD，如图1所示：
设∠BDC＝γ，∠CAD＝β，
则∠CAB＝∠BDC＝γ，
∵点C为弧ABD中点，
∴ ，
∴∠ADC＝∠CAD＝β，
∴∠DAB＝β﹣γ，
∵AB为⊙O直径，
∴∠ADB＝90°，
∴γ+β＝90°，
∴β＝90°﹣γ，
∴∠ABD＝90°﹣∠DAB＝90°﹣（β﹣γ）＝90°﹣90°+γ+γ＝2γ，
∴∠ABD＝2∠BDC，
∴∠BDC＝ ∠ABD＝ α；
（2）解：连接BC，如图2所示：
∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB＝90°，即∠BAC+∠ABC＝90°，
∵CE⊥AB，
∴∠ACE+∠BAC＝90°，
∴∠ACE＝∠ABC，
∵点C为弧ABD中点，
∴ ，
∴∠ADC＝∠CAD＝∠ABC＝β，
∴∠ACE＝β；
（3）解：连接OC，如图3所示：
∴∠COB＝2∠CAB，
∵∠ABD＝2∠BDC，∠BDC＝∠CAB，
∴∠COB＝∠ABD，
∵∠OHC＝∠ADB＝90°，
∴△OCH∽△ABD，
∴ ＝ ＝ ，
∴BD＝2OH＝10，
∴AB＝ ＝ ＝26，
∴AO＝13，
∴AH＝AO+OH＝13+5＝18，
∵∠EAH＝∠BAD，∠AHE＝∠ADB＝90°，
∴△AHE∽△ADB，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴AE＝ ，
∴DE＝AD﹣AE＝24﹣ ＝ .
17．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，E，连结EB，交OD于点F．
（1）求证：OD⊥BE．
（2）若DE= ，AB=6，求AE的长．
（3）若△CDE的面积是△OBF面积的 ，求线段BC与AC长度之间的等量关系，并说明理由．
【答案】（1）证明：连接AD，
∵AB是直径，
∴∠AEB=∠ADB=90°，
∵AB=AC，
∴∠CAD=∠BAD，BD=CD，
∴ ，
∴OD⊥BE；
（2）解：∵∠AEB=90°，
∴∠BEC=90°，
∵BD=CD，
∴BC=2DE=2 ，
∵四边形ABDE内接于⊙O，
∴∠BAC+∠BDE=180°，
∵∠CDE+∠BDE=180°，
∴∠CDE=∠BAC，
∵∠C=∠C，
∴△CDE∽△CAB，
∴ ，即 ，
∴CE=2，
∴AE=AC-CE=AB-CE=4
（3）解：∵BD=CD，
∴S△CDE=S△BDE，
∵BD=CD，AO=BO，
∴OD∥AC，
∵△OBF∽△ABE，
∴ ，
∴S△ABE=4S△OBF，
∵ ，
∴S△ABE=4S△OBF=6S△CDE，
∴S△CAB=S△CDE+S△BDE+S△ABE=8S△CDE，
∵△CDE∽△CAB，
∴ ，
∴ ，
∵BD=CD，AB=AC，
∴ ，即AC= BC
18．如图1，在平面直角坐标系中，已知⊙M的半径为5，圆心M的坐标为(3，0)，⊙M交x轴于点D，交y轴于A，B两点，点C是 上的一点(不与点A、D、B重合)，连结AC并延长，连结BC，CD，AD。
（1）求点A的坐标；
（2）当点C在 上时。
①求证：∠BCD=∠HCD；
②如图2，在CB上取一点G，使CA=CG，连结AG。求证：△ABG∽△ADC；
（3）如图3，当点C在 上运动的过程中，试探究 的值是否发生变化？若不变，一个个直接写出该定值：若变化，请说明理由。
【答案】（1）解：如图，连结MA，，在Rt△OMA中，AM=5，OM=3，∴OA= ，∴A（0，4）.
（2）①证明： 如图，连结BD，
由圆的对称性可得AD=BD，则∠BAD=∠DBA
∵四边形ABDC为圆内接四边形，∴∠ABD=∠HCD
∵∠BAD与∠BCD所对的都是BD弧，∴∠BAD=∠BCD，
∴∠BCD=∠HCD.
②∵AC=CG∴∠CAG=∠CGA∵∠AGC+∠CAG=∠HCB，且由(2)得∠HCD=∠BCD∴∠AGC=∠BCD∴∠AGB=∠ACD在△AGB与△ACD中
∴△AGB∽△ACD
（3）解：不变，理由如下，
如图，延长CB至G，使CG=AC，连接AG交圆于E点，
∵四边形ABCD为圆内接四边形，
∴∠ABG=∠ADC，
∵AB⊥OD，
∴ ，
∵∠AGB=∠AEC-∠ECB，
∴∠AGB==
=，
∠CAG=，
∵∠AGB=∠CAG，
∴，
∴，
∴∠BAG=∠DAC，
∴△ABG∽△ADC，
∴，
∵OD⊥AB，
∴AB=2OA=8，
∵OD=OM+MD=3+5=8，
∴AD=，
∴.
19．定义：如果三角形的两个内角 与 满足 ，那么称这样的三角形为“类直角三角形”.
尝试运用
（1）如图1，在 中， ， ， ， 是 的平分线.
①证明 是“类直角三角形”；
②试问在边 上是否存在点 （异于点 ），使得 也是“类直角三角形”？若存在，请求出 的长；若不存在，请说明理由.
类比拓展
（2）如图2， 内接于 ，直径 ，弦 ，点 是弧 上一动点（包括端点 ， ），延长 至点 ，连结 ，且 ，当 是“类直角三角形”时，求 的长.
【答案】（1）①证明：如图1中，
∵ 是 的角平分线，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ 为“类直角三角形”.
②如图1中，假设在 边设上存在点 （异于点 ），使得 是“类直角三角形”.在
中，∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
（2）解：∵ 是直径，∴ ，∵ ， ，∴ ，
①如图2中，当 时，作点 关于直线 的对称点 ，连接 ， .则点 在 上，且 ，
∵ ，且 ，∴ ，∴ ， ， 共线，
∵∴ ，∴ ，∴ ，即
∴ .
②如图3中，由①可知，点 ， ， 共线，当点 与 共线时，由对称性可知， 平分 ，
∴ ，∵ ， ，∴ ，
∴ ，即 ，∴ ，且 中
解得
综上所述，当 是“类直角三角形”时， 的长为 或 .
20．如图1.已知⊙M与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，A、B两点的横坐标分别为﹣1和7，弦AB的弦心距MN为3，
（1）求⊙M的半径；
（2）求弦CD的长；
（3）如图2，P在弦CD上，且CP＝2，Q是弧BC上一动点，PQ交直径CF于点E，当∠CPQ＝∠CQD时，求CQ的长；
（4）如图3.若P点是弦CD上一动点，Q是弧BC上一动点，PQ交直径CF于点E，当∠CPQ与∠CQD互余时，求△PEM面积的最大值.
【答案】（1）解：连接MB，如图1所示：
∵A、B两点的横坐标分别为﹣1和7， ∴AB＝8，
∵MN⊥AB， ∴BN＝4，
在Rt△BMN中，由勾股定理得：BM＝ ＝ ＝5，
即⊙M的半径为5
（2）解：作MN⊥AB于N，MG⊥CD于G，如图2所示：
则AN＝4，MN＝3，MG＝ON＝AN﹣AO＝3，
∴MN＝MG，
∴CD＝AB＝8.
（3）解：∵∠CPQ＝∠CQD，∠PCQ＝∠QCD，
∴△CPQ∽△CQD，
，
∴CQ2＝CP×CD＝2×8＝16，
∴CQ＝4
（4）解：∵CF是⊙M的直径，
∴∠CDF＝90°，
∴∠F+∠DCF＝90°，
∵∠CQD＝∠F， ∴∠CQD+∠DCF＝90°，
∵∠CPQ+∠CQD＝90°， ∴∠DCF＝∠CPQ，
∴CE＝PE，
作EK⊥CP于K，PT⊥CM于T，如图3所示：
则CK＝PK， ＝ ，
设EK＝3x，则CK＝4x，CE＝PE＝5x，PC＝8x，
同（2）得：△CPT∽△CFD，
∴ ＝ ＝ ，
∴PT＝ x，CT＝ x，
∴△PEM的面积S＝ EM×PT＝ （5﹣5x）× x＝﹣12x2+12x＝﹣12（x﹣ ）2+3，
∵﹣12＜0， ∴S有最大值，
当x＝ 时，S的最大值为3，
即△PEM面积的最大值为3
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专题3相似三角形与圆的综合
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图，圆内接四边形ABCD的BA，CD的延长线交于P，AC，BD交于E，则图中相似三角形有（ ）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
（第1题） （第2题） （第3题） （第4题）
2．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=5，BC=10，连接AC，BD，以BD为直径的圆交AC于点E．若DE=3，则AD的长为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
3．如图，AB为⊙O的直径，点D是弧AC的中点，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE交⊙O于点F，若AC=12，AE=3，则⊙O的直径长为( )
A．10 B．13 C．15 D．16
4．如图， 是 的弦（非直径），点C是弦 上的动点（不与点A，B重合），过点C作垂直于 的弦 .若设 的半径为r，弦 的长为a， ，则弦 的长（ ）
A．与r，a，m的值均有关 B．只与r，a的值有关
C．只与r，m的值有关 D．只与a，m的值有关
5．如图，已知⊙中，，，，过点A作DF的垂线AE，垂足为点E，那么线段AE的长度为（ ）
A． B． C． D．
（第5题） （第6题）
6．如图，在平面直角坐标系中，点 ， 的坐标分别为 ， ，过 ， ， 三点作圆，点 在第一象限部分的圆上运动，连结 ，过点 作 的垂线交 的延长线于点 ，下列说法：① ；② ；③ 的最大值为10.其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
7．如图，半圆O的直径AC=2 ，点B为半圆的中点，点D在弦AB上，连结CD，作BF⊥CD于点E，交AC于点F，连结DF，当△BCE和△DEF相似时，BD的长为 ．
（第7题） （第8题） （第9题）
8．如图，在 中，弦BC，DE交于点P，延长BD，EC交于点A， ， ，若 ，则DP的长为 .
9．如图，在半径为5的⊙ 中，弦 ， 是弦 所对的优弧上的动点，连接 ，过点 作 的垂线交射线 于点 ，当 是以 为腰的等腰三角形时，线段 的长为 .
10．如图，AB是半圆O的直径，D是半圆O上一点，C是 的中点，连结AC变BD于点E，连结AD，若BE=4DE，CE=6，则AB的长为 。
（第10题） （第11题） （第12题）
11．如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，∠B=45°，DE⊥AC于E交AB于F，若BC=2CD，AE=2，则线段BF= 。
12．如图， 内接于半径为 的半 ， 为直径，点 是弧 的中点，连结 交 于点 ， 平分 交 于点 ，则 .若点 恰好为 的中点时， 的长为 .
三、解答题（本题有8小题，共78分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
13．（6分）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E．
（1）求证：BE=CE；
（2）若BD=2，BE=3，求AC的长．
14．（8分）如图，点C，P均在⊙O上，且分布在直径AB的两侧，BE⊥CP于点E．
（1）求证：△CAB∽△EPB；
（2）若AB=10，AC=6，BP=5，求CP的长．
15．（8分）基本模型：如图1，点A，F，B在同一直线上，若∠A=∠B=∠EFC=90°，易得△AFE～△BCF．
（1）模型拓展：如图2，点A，F，B在同一直线上，若∠A=∠B=∠EFC，求证：△AFE～△BCF；
（2）拓展应用：如图3，AB是半圆⊙O的直径，弦长AC=BC=4 ，E，F分别是AC，AB上的一点，若∠CFE=45°，若设AE=y，BF=x，求y与x的函数关系式．
16．（10分）如图，AB为⊙O直径，点D为AB下方⊙O上一点，点C为弧ABD中点，连接CD，CA.
（1）若∠ABD＝α，求∠BDC（用α表示）；
（2）过点C作CE⊥AB于H，交AD于E，∠CAD＝β，求∠ACE（用β表示）；
（3）在（2）的条件下，若OH＝5，AD＝24，求线段DE的长.
17．（10分）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，E，连结EB，交OD于点F．
（1）求证：OD⊥BE．
（2）若DE= ，AB=6，求AE的长．
（3）若△CDE的面积是△OBF面积的 ，求线段BC与AC长度之间的等量关系，并说明理由．
18．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，已知⊙M的半径为5，圆心M的坐标为(3，0)，⊙M交x轴于点D，交y轴于A，B两点，点C是 上的一点(不与点A、D、B重合)，连结AC并延长，连结BC，CD，AD。
（1）求点A的坐标；
（2）当点C在 上时。
①求证：∠BCD=∠HCD；
②如图2，在CB上取一点G，使CA=CG，连结AG。求证：△ABG∽△ADC；
（3）如图3，当点C在 上运动的过程中，试探究 的值是否发生变化？若不变，一个个直接写出该定值：若变化，请说明理由。
19．（12分）定义：如果三角形的两个内角 与 满足 ，那么称这样的三角形为“类直角三角形”.
尝试运用
（1）如图1，在 中， ， ， ， 是 的平分线.
①证明 是“类直角三角形”；
②试问在边 上是否存在点 （异于点 ），使得 也是“类直角三角形”？若存在，请求出 的长；若不存在，请说明理由.
类比拓展
（2）如图2， 内接于 ，直径 ，弦 ，点 是弧 上一动点（包括端点 ， ），延长 至点 ，连结 ，且 ，当 是“类直角三角形”时，求 的长.
20．（12分）如图1.已知⊙M与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，A、B两点的横坐标分别为﹣1和7，弦AB的弦心距MN为3，
（1）求⊙M的半径；
（2）求弦CD的长；
（3）如图2，P在弦CD上，且CP＝2，Q是弧BC上一动点，PQ交直径CF于点E，当∠CPQ＝∠CQD时，求CQ的长；
（4）如图3.若P点是弦CD上一动点，Q是弧BC上一动点，PQ交直径CF于点E，当∠CPQ与∠CQD互余时，求△PEM面积的最大值.
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