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第一章 有理数
一、正数与负数
→知识点回顾：
具有相反意义的量包含两个要素：一是意义相反；二是它们都是数量，而且是同类的量。简单来说，正数是大于零的数；负数是小于零的数；0既不是正数也不是负数。
二、有理数
→知识点回顾：
正整数、零和负整数统称为整数，负分数和正分数统称为分数，整数和分数统称为有理数。
正整数
整数 零 自然数
有理数 负整数
正分数
分数
负分数
三、数轴
→知识点回顾：
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
→要点点拨：
任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示，但数轴上的点表示的数不一定都是有理数,如。
原点、正方向和单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可。一般地，数轴上原点右边的点表示正数，左边的点表示负数；反过来也对，即正数用数轴上原点右边的点表示，负数用原点左边的点表示，零用原点表示。
四、相反数
→知识点回顾：
如果两个数符号不同，称其中一个数为另一个数的相反数。也称这两个数互为相反数。注意，零的相反数是零。
→要点点拨：
相反数可以用字母表示：
①a的相反数为-a
②a+b=0，即当a+b=0，则表示a、b互为相反数
③a+b的相反数为-（a+b），也可写成-a-b
在数轴上，表示互为相反数（零除外）的两个点，位于原点的两侧，并且到原点的距离相等。
相反数的易错点是多重符号的化简。在化简时由数字前面“-”号的个数来确定，若有偶数个时，化简结果为正，如-{-[-(-4)]}=4 ；若有奇数个时，化简结果为负，如-{+[-(-4)]}=-4 .
五、绝对值的性质
→知识点回顾：
一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值。a的绝对值记作|a|
一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是它本身。互为相反数的两个绝对值相等。
→要点点拨：
互为相反数的两个数的绝对值相等，即|a|=|a|.若a为正数，则满足|x|=a的x有两个值，如|x|=3，则x=±3.
去掉绝对值符号时，必须按照“先判后去”的原则，先判断这个数是正数、0或负数，再根据绝对值的意义去掉绝对值符号。当a ≥0时，|a|=a；当a≤0时，|a|=a.
任何有理数的绝对值都是非负数，即|a|≥0，即绝对值具有非负性。如果几个非负数的和为0，那么这几个非负数均为0.若几个非负数的和为零,则这几个数同时为零,即若|a|+|b|+|c|+……=0,则有|a|=0，|b|=0，|c|=0,……所以a=0,b=0,c=0.
6. 有理数的大小比较
→知识点回顾：
一般地，我们有：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数。
→要点点拨：
两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小。
模块必刷题
一．正数和负数（共3小题）
1．某人用400元购买了8套儿童服装，准备以一定的价格出售，如果以每套55元的价格为标准，超出的记为正数，不足的记为负数，记录如下：（单位：元）
+2，﹣3，+2，﹣1，﹣2，+1，﹣2，0
（1）当他卖完这8套服装后的总收入是多少？
（2）盈利（或亏损）了多少元？
【分析】（1）以55元为标准记录的8个数字相加×8，即可求出结论；
（2）若盈利，就用卖衣服的总价钱﹣400就是盈利的钱，若亏损，就用400﹣买衣服的总价钱，就是亏损的钱．
【解答】解：根据题意得
（1）+2﹣3+2﹣1﹣2+1﹣2+0＝﹣3，
8×55﹣3＝437（元），
答：这8套服装后的总收入是437元；
（2）437﹣400＝37元，
故盈利37元．
【点评】本题考查的是有理数的加减混合运算，注意相反意义的量的理解．
2．某检修小组乘一辆汽车沿东西走向的公路检修线路，约定向东走为正，某天从A地出发到收工时，行走记录如下（单位：km）：+15，﹣2，+5，﹣1，+10，﹣3，﹣2，+12，+4，﹣5，+6
（1）收工时，检修小组在A地的哪一边，距A地多远？
（2）若汽车每千米耗油3升，已知汽车出发时油箱里有180升汽油，问收工前是否需要中途加油？若加，应加多少升？若不加，还剩多少升汽油？
【分析】（1）根据有理数的加法，可得答案；
（2）根据单位耗油量乘以行车路程，可得答案．
【解答】解；（1）15+（﹣2）+5+（﹣1）+（10）+（﹣3）+（﹣2）+12+4+（﹣5）+6＝39（km）．
答：该小组在A地的东边，距A东面39km；
（2）（15+|﹣2|+5+|﹣1|+|﹣10|+|﹣3|+|﹣2|+12+4+|﹣5|+6）×3＝65×3＝195（升）．
小组从出发到收工耗油195升，
∵180升＜195升，
∴收工前需要中途加油，
∴应加：195﹣180＝15（升），
答：收工前需要中途加油，应加15升．
【点评】本题考查了正数和负数，解决本题的关键是进行有理数的加法运算．
3．如图，一只甲虫在5×5的方格（每小方格边长为1）上沿着网格线运动，它从A处出发去看望B，C，D处的其它甲虫，规定：向上向右走为正，向下向左走为负．如果从A到B记为：A→B（+1，+3）；从C到D记为：C→D（+1，﹣2）．其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向，那么图中
（1）A→C（ 3 ， 4 ），C→ B （﹣2， ﹣1 ）；
（2）若这只甲虫的行走路线为A→B→C→D，请计算该甲虫走过的路程；
（3）假如这只甲虫从A处去甲虫P处的行走路线依次为（+1，+4），（﹣1，﹣3），（+2，+3），请在图中标出P的位置．
【分析】（1）根据向右移动为正，向上移动为正，可得答案；
（2）根据有理数的加法，可得答案；
（3）根据点的坐标，可得答案．
【解答】解：（1）A→C（ 3，4），C→B（﹣2，﹣1），
故答案为：3，4；B，﹣1；
（2）A→B→C→D，该甲虫走过的路程如图，
1+3+2+1+1+2＝10；
（3）如图2中．点P即为所求．
【点评】本题考查了正数和负数，利用向右移动为正，向上移动为正是解题关键．
二．有理数（共7小题）
4．下列说法中，错误的是（ ）
A．正分数和负分数统称为分数
B．正整数和负整数统称为整数
C．整数和分数统称为有理数
D．正数和零统称为非负数
【分析】根据有理数的分类，即可解答．
【解答】解：A、正分数和负分数统称为分数，故A不符合题意；
B、正整数、负整数和0统称为整数，故B符合题意；
C、整数和分数统称为有理数，故C不符合题意；
D、正数和零统称为非负数，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了有理数，熟练掌握有理数的分类是解题的关键．
5．下列说法正确的是（ ）
A．整数包括正整数和负整数
B．零是整数，但不是正数，也不是负数
C．分数包括正分数、负分数和零
D．有理数不是正数就是负数
【分析】根据有理数的分类，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、整数包括正整数，负整数和0，故A不符合题意；
B、零是整数，但不是正数，也不是负数，故B符合题意；
C、分数包括正分数和负分数，故C不符合题意；
D、有理数不是正数就是负数或0，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了有理数，正数和负数，熟练掌握有理数的分类是解题的关键．
6．在π，﹣2，0.3，﹣，0.1010010001这五个数中，正有理数的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据有理数的概念来做即可．
【解答】解：在π，﹣2，0.3，﹣，0.1010010001这五个数中，
正有理数有0.3，0.1010010001，共计2个．
故选：B．
【点评】本题考查了有理数，做题的关键是掌握有理数的概念（整数、分数统称有理数；正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数．）．
7．在中与大小相等的分数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据分数的基本性质解答即可．
【解答】解：，，，，，
故在中与大小相等的分数有4个．
故选：C．
【点评】本题考查分数性质，掌握分数性质是求解本题的关键．
8．设三个互不相等的有理数，既可以表示为1，a+b，a的形式，也可以表示为0，，b的形式，则a2022+b2023的值等于 2 ．
【分析】根据题意可得，a+b＝0或a＝0，b＝1或＝1，再根据a为分母，所以a≠0，那只能是a+b＝0，然后再进行计算即可．
【解答】解：∵三个互不相等的有理数，既可以表示为1，a+b，a的形式，也可以表示为0，，b的形式，
∴这两个组的数分别对应相等，
∴a+b＝0或a＝0，b＝1或＝1，
又∵a≠0，
∴a+b＝0，
∴a＝﹣b，
∴＝﹣1，
∴≠1，
∴b＝1，
∴a＝﹣1，
∴a2022+b2023＝（﹣1）2022+12023＝1+1＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了有理数，根据题意分析求出a，b的值是解题的关键．
9．定义：对于任意两个有理数a，b，可以组成一个有理数对（a，b），我们规定（a，b）＝a+b﹣1．例如（﹣2，5）＝﹣2+5﹣1＝2．
根据上述规定解决下列问题：
（1）有理数对（2，﹣1）＝ 0 ；
（2）当满足等式（﹣5，3x+2m）＝5的x是正整数时，则m的正整数值为 1或4 ．
【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值；
（2）已知等式利用题中的新定义化简，根据x与m都为整数，确定出m的值即可．
【解答】解：（1）根据题中的新定义得：原式＝2+（﹣1）﹣1＝1﹣1＝0．
故答案为：0；
（2）已知等式化简得：﹣5+3x+2m﹣1＝5，
解得：x＝，
由x、m都是正整数，得到11﹣2m＝9或11﹣2m＝3，
解得：m＝1或4．
故答案为：1或4．
【点评】此题考查了解一元一次方程，以及有理数，弄清题中的新定义是解本题的关键．
10．观察下列两个等式：3+2＝3×2﹣1，4+﹣1，给出定义如下：
我们称使等式a+b＝ab﹣1成立的一对有理数a，b为“椒江有理数对”，记为（a，b），如：数对（3，2），（4，）都是“椒江有理数对”．
（1）数对（﹣2，1），（5，）中是“椒江有理数对”的是 （5，） ；
（2）若（a，3）是“椒江有理数对”，求a的值；
（3）若（m，n）是“椒江有理数对”，则（﹣n，﹣m） 不是 “椒江有理数对”（填“是”、“不是”或“不确定”）．
（4）请再写出一对符合条件的“椒江有理数对” （6，1.4）
（注意：不能与题目中已有的“椒江有理数对”重复）
【分析】（1）根据“椒江有理数对”的定义即可判断；
（2）根据“椒江有理数对”的定义，构建方程即可解决问题；
（3）根据“椒江有理数对”的定义即可判断；
（4）根据“椒江有理数对”的定义即可解决问题．
【解答】解：（1）﹣2+1＝﹣1，﹣2×1﹣1＝﹣3，
∴﹣2+1≠﹣2×1﹣1，
∴（﹣2，1）不是“椒江有理数对”，
∵5+＝，5×﹣1＝，
∴5+＝5×﹣1，
∴（5，）中是“椒江有理数对”；
（2）由题意得：
a+3＝3a﹣1，
解得a＝2；
（3）不是．
理由：﹣n+（﹣m）＝﹣n﹣m，
﹣n （﹣m）﹣1＝mn﹣1，
∵（m，n）是“椒江有理数对”，
∴m+n＝mn﹣1，
∴﹣n﹣m＝﹣（mn﹣1）＝﹣（﹣n）×（﹣m）+1＝﹣[（﹣n）×（﹣m）﹣1]，
∴（﹣n，﹣m）不是“椒江有理数对”；
（4）（6，1.4）等．
故答案为：（5，）；不是；（6，1.4）．
【点评】本题考查有理数的混合运算、“椒江有理数对”的定义，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
三．数轴（共9小题）
11．已知数轴上的点E、F、G、H表示的数分别是﹣4.8、1、2、﹣0.6，那么其中离原点最近的点是（ ）
A．点E B．点F C．点G D．点H
【分析】通过比较可知4.8＞2＞1＞0.6，再求解即可．
【解答】解：∵|﹣4.8|＝4.8，|﹣0.6|＝0.6，
∴4.8＞2＞1＞0.6，
∴﹣0.6距离原点最近，
故选：D．
【点评】本题考查数轴与实数，熟练掌握数轴上点的特征，绝对值的定义是解题的关键．
12．如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的4等分点处分别标上数字0、1、2、3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示数﹣1的点重合，再将圆沿着数轴向左滚动，则数轴上表示数﹣2013的点与圆周上重合的数字是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】由于圆的周长为4个单位长度，所以只需先求出数轴在此圆上环绕的距离，再用这个距离除以4，如果余数分别是0，1，2，3，则分别与圆周上表示数字0，3，2，1的点重合．
【解答】解：∵﹣1﹣（﹣2013）＝2012，2012÷4＝503，
∴数轴上表示数﹣2013的点与圆周上的数字0重合．
故选：A．
【点评】本题考查了数轴，找到表示数﹣2013的点与圆周上起点处表示的数字重合，是解题的关键．
13．如图，A、B是数轴上两点，P，Q是数轴上的两动点，点P由点A出发，以1个单位长度/秒的速度在数轴上移动，点Q由点B出发，以2个单位长度/秒的速度在数轴上移动，若P，Q两点同时开始和结束移动，设移动时间为t秒．下列四位同学的判断中正确的有（ ）
①小聪：若点P，Q相对而行，当t＝2时，点P和点Q重合；
②小明：若点P，Q沿x轴向左移动，当t＝6时，点P和点Q重合；
③小伶：若点P，Q沿x轴向右移动，当t＝2时，点P，Q之间的距离为8；
④小倒：当t＝4时，点P，Q之间的距离可能为6．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】在数轴上，由点P，Q的运动方向，速度及时间，通过计算，即可判断．
【解答】解：若点P，Q相对而行，当t＝2时，P，Q移动的路程和为：（1+2）×2＝6，故①符合题意；
若点P，Q沿x轴向左移动，当t＝6时，P，Q移动的路程差为：（2﹣1）×6＝6，故②符合题意；
若点P，Q沿x轴向右移动，当t＝2时，P，Q之间的距离：2×2+6﹣1×2＝8，故③符合题意；
若点P，Q相对而行，当t＝4时，P，Q之间的距离：2×4﹣6+1×4＝6，故④符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查有关数轴的概念，关键是由点P，Q的运动方向，速度及时间，通过计算，判断P，Q的位置．
14．已知a，b，c三个数在数轴上的位置如图所示，有以下4个结论：①a﹣b＜0；②﹣c＞a＞﹣b；③a+c＞0；④abc＜0；其中正确的结论的个数有（ ）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】利用数轴判断a，b，c的符号，并且通过a，b，c与原点的距离来判断|a|，|b|，|c|的大小，进而可以判断以上4个结论的正误．
【解答】解：由数轴知，c＜0＜a＜b，|c|＞|b|＞|a|，
∴①a﹣b＜0，①正确；
②﹣c＞a＞0＞﹣b，②正确；
③a+c＜0，③错误；
④abc＜0，④正确；
故选：B．
【点评】本题考查了绝对值的性质及实数如何比较大小，关键在于学生要理解知识并灵活运用．
15．如图，将一刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是1cm），刻度尺上“0cm”和“3cm”分别对应数轴上的4和1，那么刻度尺上“5.6cm”对应数轴上的数为（ ）
A．﹣1.4 B．﹣1.6 C．﹣2.6 D．1.6
【分析】由题意可列式4﹣5.6进行计算求解．
【解答】解：4﹣5.6＝﹣1.6，
故选：B．
【点评】此题考查了运用数轴解决实数计算问题的能力，关键是能准确结合题意与数轴进行列式、计算．
16．如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为﹣7，b，5，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对应刻度1.8cm，点C对齐刻度5.4cm．则数轴上点B所对应的数b为（ ）
A．1.8 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣5
【分析】根据刻度尺上的刻度与数轴上的单位长度的比值不变求解．
【解答】解：∵5.4÷（7+5）＝0.45（cm），
∴1.8÷0.45＝4，
∴﹣7+4＝﹣3，
故选：B．
【点评】本题考查了数轴，刻度尺上的刻度与数轴上的单位长度的比值不变是解题的关键．
17．等边△ABC在数轴上的位置如图所示，点A、C对应的数分别是0、﹣1，若△ABC绕顶点沿顺时针方向在数轴上连续翻转，第一次翻转后点B所对应的数为1，则翻转2022次后点C所对应的数为（ ）
A．不对应任何数 B．2020
C．2021 D．2022
【分析】此题是图形规律题，表示出前几次翻转，则能发现C点翻转是每三次向正方向移动3个单位的规律，据此可算出第2022次翻转点C移动的距离，则可算出此时点C对应的数．
【解答】解：由图可知，第一次翻转后点C不在数轴上，第二次翻转点C对应数字2，第三次翻转点C不动，
由此可知，每三次翻转点C沿数轴正方向移动3个单位，
∵2022刚好能被3整除，
∴在翻转2022次后，点C沿数轴正方向移动了2022个单位，即点C对应数为﹣1+2022＝2021．
故选：C．
【点评】本题考查了学生对于图形规律题的探索能力，表示出前几次翻转后点所对应的数，则能发现其中蕴含的规律是解决此题的关键．
18．一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是﹣14，10，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A'落在射线CB上，并且A'B＝6，则C点表示的数是（ ）
A．1 B．﹣3 C．1或﹣4 D．1或﹣5
【分析】设出点C所表示的数，根据点A、B所表示的数，表示出AC的距离，在根据A′B＝6，表示出A′C，由折叠得，AC＝A′C，列方程即可求解．
【解答】解：设点C所表示的数为x，AC＝x﹣（﹣14）＝x+14，
∵A′B＝6，B点所表示的数为10，
∴A′表示的数为10+6＝16或10﹣6＝4，
∴AA′＝16﹣（﹣14）＝30，
或AA′＝4﹣（﹣14）＝18，
根据折叠得，AC＝AA′，
∴x+14＝×30或x+14＝×18，
解得：x＝1或﹣5，
故选：D．
【点评】本题考查了数轴表示数的意义，掌握数轴上两点之间的距离公式是解决问题的关键，点A、B在数轴上表示的数分别为a、b，则AB＝|a﹣b|．
19．如图，数轴上，O点与C点对应点的数分别是0、60，将一根质地均匀的直尺AB放在数轴上（A在B的左边），若将直尺在数轴上水平移动，当A点移动到B点的位置时，B点与C点重合，当B点移动到A点的位置时，A点与O点重合．
（1）直尺AB的长为 20 个单位长度；
（2）若直尺AB在数轴上，且满足B点与C点的距离等于B点与O点距离的3倍时，此时A点对应的数为 ﹣5 ；
（3）当A点对应的数为20时，作为起始位置，直尺AB以2单位/秒的速度沿数轴匀速向右运动，同时点P从点A出发，以m个单位/秒的速度也沿数轴匀速向右移动，设运动时间为t秒．
①若B、P、C三点恰好在同一时刻重合，则m的值为 4 ；
②当t＝15时，B、P、C三个点中恰好有一个点到另外两点的距离相等，请直接写出所有满足条件的m的值．
【分析】（1）根据题意可得OA＝AB＝BC，即得AB＝20；
（2）根据AB＝20，OC＝60，BC＝3OB，即得OB＝60×＝15，进而求得A点表示的数；
（3）①B、C重合时t＝＝10，即得10m＝60﹣20，故m＝4；
②t＝15时，运动后B表示的数是40+15×2＝70，P表示的数是20+15m，C表示的数是60，分五种情况：（Ⅰ）当B是P、C中点时，（Ⅱ）当B与P重合时，（Ⅲ）当P是B、C中点时，（Ⅳ）当P与C重合时，（Ⅴ）当C是P、B中点时，分别列出方程，即可解得答案．
【解答】解：（1）∵当A点移动到B点的位置时，B点与C点重合，
∴AB＝BC，
∵当B点移动到A点的位置时，A点与O点重合．
∴OA＝AB，
∴OA＝AB＝BC，
∵OC＝60，
∴AB＝60×＝20，
故答案为：20；
（2）∵OC＝60，
∴OB+BC＝60，
∵BC＝3OB，
∴OB＝60＝15，
∴A点对应的数是15﹣20＝﹣5；
（3）①当A点对应的数为20时，
∴B运动前表示的数是20+20＝40，
∵直尺AB以2单位/秒的速度沿数轴匀速向右运动，
∴B、C重合时t＝（60﹣40）÷2＝10（秒），
∵点P从点A出发，以m个单位/秒的速度也沿数轴匀速向右移动，若B、P、C三点恰好在同一时刻重合，
∴10m＝60﹣20，
∴m＝4，
故答案为：4；
②t＝15时，运动后B表示的数是40+15×2＝70，P表示的数是20+15m，C表示的数是60，
（Ⅰ）当B是P、C中点时，
依题意有20+15m+60＝70×2，
解得m＝4；
（Ⅱ）当B与P重合时，
依题意有20+15m＝70，
解得m＝；
（Ⅲ）当P是B、C中点时，
依题意有70+60＝2（20+15m），
解得m＝3；
（Ⅳ）当P与C重合时，20+15m＝60；
解得m＝，
（Ⅴ）当C是P、B中点时，
依题意有20+15m+70＝60×2，
解得m＝2．
综上所述，m的值是2或或3或或4．
【点评】本题考查数轴上点表示的数，解题的关键是掌握线段和差及点运动后表示的数与运动前表示的数的关系．
四．相反数（共4小题）
20．（1）已知：x和2x﹣12互为相反数，求x的值
（2）已知：a是1的相反数，b的相反数是﹣3，c是最大的负整数，求a+b+c的值．
【分析】（1）直接利用互为相反数的定义得出x的值；
（2）直接利用相反数以及最大负整数的定义得出a，b，c的值即可得出答案．
【解答】解：（1）∵x和2x﹣12互为相反数，
∴x+2x﹣12＝0，
解得：x＝4；
（2）∵a是1的相反数，
∴a＝﹣1，
∵b的相反数是﹣3，
∴b＝3，
∵c是最大的负整数，
∴c＝﹣1，
∴a+b+c＝﹣1+3﹣1＝1．
【点评】此题主要考查了互为相反数的定义，正确把握互为相反数的定义是解题关键．
21．已知a、b互为相反数，非零数b的任何次幂都等于它本身．
（1）求a、b；
（2）求a2016+a2017；
（3）求++…+．
【分析】（1）依据相反数、有理数的乘方法则可求得a、b的值；
（2）将a的值代入进行计算即可；
（3）将a、b的值代入，然后依据拆项裂项法即可．
【解答】解：（1）∵a、b互为相反数，非零数b的任何次幂都等于它本身1，
∴a＝﹣1、b＝1．
（2）将a＝﹣1代入得：原式＝（﹣1）2016+（﹣1）2017＝1﹣1＝0；
（3）将a、b的值代入得：
原式＝﹣1×（++…+）
＝﹣1××（1﹣+﹣+…+﹣）
＝﹣1××
＝﹣．
【点评】本题主要考查的是求代数式的值，利用拆项裂项法求解是解题的关键．
22．a，b互为相反数，下列各数中，互为相反数的一组为（ ）
A．a2与b2
B．a3与b5
C．a2n与b2n （n为正整数）
D．a2n+1与b2n+1（n为正整数）
【分析】依据相反数的定义以及有理数的乘方法则进行判断即可．
【解答】解：A、a，b互为相反数，则a2＝b2，故A错误；
B、a，b互为相反数，则a3＝﹣b3，故a3与b5不一定互为相反数，故B错误；
C、a，b互为相反数，则a2n＝b2n，故C错误；
D、a，b互为相反数，由于2n+1是奇数，则a2n+1与b2n+1互为相反数，故D正确；
故选：D．
【点评】本题考查了相反数和乘方的意义，明确只有符号不同的两个数叫做互为相反数，还要熟练掌握互为相反数的两个数的偶数次方相等，奇次方还是互为相反数．
23．若M﹣1的相反数是3，那么﹣M的值是（ ）
A．+2 B．﹣2 C．+3 D．﹣3
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得关于M的方程，根据解方程，可得M的值，再根据在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数，可得答案．
【解答】解：由M﹣1的相反数是3，得
M﹣1＝﹣3，
解得M＝﹣2．
﹣M＝+2．
故选：A．
【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．
五．绝对值（共11小题）
24．下列说法中，正确的是（ ）
A．若x＞|y|，则x＞y B．若x≠y，则x2≠y2
C．若|x|＝|y|，则x＝y D．若|x|＞|y|，则x＞y
【分析】利用绝对值的定义和性质逐项进行判断即可．
【解答】解：A．由于x＞|y|，则x＞y，因此选项A符合题意；
B．若x与y是互为相反数，则x2＝y2，因此选项B不符合题意；
C．如果|x|＝|y|，那么x＝y或x＝﹣y，因此选项C不符合题意；
D．如果|x|＞|y|，那么x＞y或x＜y，因此选项D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查绝对值，掌握绝对值的定义，是正确判断的前提．
25．下列式子化简不正确的是（ ）
A．+（﹣2023）＝﹣2023 B．﹣（+2023）＝2023
C．﹣|+2023|＝﹣2023 D．|﹣（﹣2023）|＝2023
【分析】利用绝对值的定义，相反数的定义化简后判断即可．
【解答】解：+（﹣2023）＝﹣2023，A选项正确，不符合题意；
﹣（+2023）＝﹣2023，B选项错误，符合题意；
﹣|+2023|＝﹣2023，C选项正确，不符合题意；
|﹣（﹣2023）|＝2023，D选项正确，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了绝对值，相反数，做题的关键是掌握绝对值的定义，相反数的定义．
26．已知a与b的和为2，b与c互为相反数，若|c|＝1，则a的值为（ ）
A．1 B．3 C．1或3 D．﹣1
【分析】根据绝对值、相反数的定义解决此题．
【解答】解：由题意得，a+b＝2，b+c＝0．
∵|c|＝1，
∴c±1．
当c＝1，则b＝﹣1，a＝3．
当c＝﹣1，则b＝1，a＝1．
综上：a＝3或1．
故选：C．
【点评】本题主要考查绝对值、相反数，熟练掌握绝对值、相反数的定义是解决本题的关键．
27．下列说法正确的是（ ）
A．|x|＞x
B．当x＝1时，|x+1|+2取最小值
C．若x＞1＞y＞﹣1，则|x|＜|y|
D．若|x+1|≤0，|x+1|≥0，则x＝﹣1
【分析】根据绝对值的定义以及绝对值的非负性逐一分析四个选项，即可得出结论．
【解答】解：A、当x＝0时，|x|＝x，原说法错误，故此选项不符合题意；
B、∵|x+1|≥0，
∴当x＝﹣1时，|x+1|+2取最小值，原说法错误，故此选项不符合题意；
C、∵x＞1＞y＞﹣1，
∴|x|＞1，|y|＜1，
∴|x|＞|y|，原说法错误，故此选项不符合题意；
D、∵|x+1|≤0，|x+1|≥0，
∴x+1＝0，
∴x＝﹣1，原说法正确，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了绝对值，牢记绝对值的定义以及绝对值的非负性是解题的关键．
28．若mn≠0，的值不可能是（ ）
A．0 B．3 C．2 D．﹣2
【分析】由于mn≠0，则有两种情况需要考虑：①m、n同号；②m、n异号；然后根据绝对值的性质进行化简即可．
【解答】解：①当m、n同号时，原式＝1+1＝2，或原式＝﹣1﹣1＝﹣2，
②当m、n异号时，原式＝﹣1+1＝0．
故+的值不可能的是3．
故选：B．
【点评】本题主要考查的是绝对值的性质，能够正确的将m、n的符号分类讨论是解答此题的关键．
29．设abc≠0，且a+b+c＝0，则+++的值可能是（ ）
A．0 B．±1 C．±2 D．0或±2
【分析】根据有理数的加法，得a、b与c中可能有1个字母小于0，也可能有2个字母小于0．再根据绝对值的定义解决此题．
【解答】解：∵abc≠0，且a+b+c＝0，
∴a、b与c中可能有1个字母小于0，也可能有2个字母小于0．
当a、b与c中有1个字母小于0，如a＜0，则b＞0，c＞0，
∴+++＝﹣1+1+1﹣1＝0．
当a、b与c中有2个字母小于0，如a＜0，b＜0，则c＞0，
∴+++＝﹣1﹣1+1+1＝0．
综上：+++＝0．
故选：A．
【点评】本题主要考查绝对值、有理数的加法，熟练掌握有理数的加法法则、绝对值的定义、分类讨论的思想是解决本题的关键．
30．已知a、b、c均为不等于0的有理数，则的值为 3或1或﹣1或﹣3 ．
【分析】根据题意进行分类，再根据绝对值的定义解决此题．
【解答】解：当a、b与c均为正数时，即a＞0，b＞0，c＞0，则＝．
当a、b与c中有两个正数时，假设a＞0，b＞0，c＜0，则＝＝1．
当a、b与c中有一个正数时，假设a＞0，b＜0，c＜0，则＝＝1+（﹣1）+（﹣1）＝﹣1．
当a、b与c中没有正数时，假设a＜0，b＜0，c＜0，则＝＝﹣1+（﹣1）+（﹣1）＝﹣3．
综上：的值为3或1或﹣1或﹣3．
故答案为：3或1或﹣1或﹣3．
【点评】本题主要考查绝对值，熟练掌握绝对值的定义以及分类讨论的思想是解决本题的关键．
31．设a＝|x+1|，b＝|x﹣1|，c＝|x+3|，则a+2b+c的最小值为 6 ．
【分析】由于|x+1|+2|x﹣1|+|x+3|表示x到﹣1、﹣3的距离以及到1的距离的2倍之和，则当x在﹣1和1之间时，a+2b+c有最小值．
【解答】解：|x+1|+2|x﹣1|+|x+3|表示x到﹣1、﹣3的距离以及到1的距离的2倍之和，
所以当x在﹣1和1之间时，它们的距离之和最小，
此时a+2b+c＝6；
故答案为：6．
【点评】本题考查了绝对值和数轴上两点间的距离，熟练掌握用绝对值表示数轴上两点间的距离是解题关键．
32．已知a，b，c，d分别是一个四位数的千位，百位，十位，个位上的数字，且低位上的数字不小于高位上的数字，当|a﹣b|+|b﹣c|+|c﹣d|+|d﹣a|取得最大值时，这个四位数的最小值是 1119 ．
【分析】依题意a≤b≤c≤d 原式＝（b﹣a）+（c﹣b）+（d﹣c）+（d﹣a）＝2（d﹣a）最大，所以d＝9，a＝1，即可求解．
【解答】解：依题意a≤b≤c≤d，
则原式＝（b﹣a）+（c﹣b）+（d﹣c）+（d﹣a）＝2（d﹣a）最大，
则d＝9，a＝1 四位数要取最小值且可以重复，
故答案为1119．
【点评】此题考查了绝对值的性质，同时要根据低位上的数字不小于高位上的数字进行逻辑推理．
33．对于一个数x，我们用（x]表示小于x的最大整数，例如：（2.6]＝2，（﹣3]＝﹣4．
（1）填空：（10]＝ 9 ．（﹣2019]＝ ﹣2020 ，（]＝ 0 ；
（2）若a，b都是整数，且（a]和（b]互为相反数，求代数式a﹣（a+b）×3+b的值；
（3）若|（x]|+|（x﹣2]|＝6，求x的取值范围．
【分析】（1）根据（x]表示的意义，这个进行计算即可；
（2）根据a，b都是整数，且（a]和（b]互为相反数，得到a+b＝2，进而求值即可；
（3）分原点在表示数x的点的右侧和在表示数x﹣2数的左侧两种情况进行解答．
【解答】解：（1）根据（x]表示的意义得，
（10]＝9，（﹣2019]＝﹣2020，（]＝0，
故答案为：9，﹣2020，0；
（2）∵a，b都是整数，
∴（a]＝a﹣1，（b]＝b﹣1，
而（a]和（b]互为相反数，
∴a﹣1+b﹣1＝0，即a+b＝2，
因此a﹣（a+b）×3+b＝a﹣3a﹣3b+b＝﹣2（a+b）＝﹣4，
答：代数式a﹣（a+b）×3+b的值为﹣4；
（3）当原点在大数的右侧时，有（x]＝﹣2，此时，﹣2＜x≤﹣1，
当原点在小数的左侧时，有（x]＝4，此时，4＜x≤5，
故x的取值范围为﹣2＜x≤﹣1或4＜x≤5．
【点评】本题考查绝对值、相反数的意义，理解（x]的意义是正确解答的关键．
34．同学们都知道，|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索
（1）求|5﹣（﹣2）|＝ 7 ；
（2）同样道理|x+1008|＝|x﹣1005|表示数轴上有理数x所对点到﹣1008和1005所对的两点距离相等，则x＝ ﹣1.5
（3）类似的|x+5|+|x﹣2|表示数轴上有理数x所对点到﹣5和2所对的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得|x+5|+|x﹣2|＝7，这样的整数是 ﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2 ．
（4）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．
【分析】（1）5与﹣2两数在数轴上所对的两点之间的距离为5﹣（﹣2）＝7；
（2）在数轴上，找到﹣1008和1005的中点坐标即可求解；
（3）利用数轴解决：把|x+5|+|x﹣2|＝7理解为：在数轴上，某点到﹣5所对应的点的距离和到2所对应的点的距离之和为7，然后根据数轴可写出满足条件的整数x；
（4）把丨x﹣3丨+丨x﹣6丨理解为：在数轴上表示x到3和6的距离之和，求出表示3和6的两点之间的距离即可．
【解答】解：（1）|5﹣（﹣2）|＝7；
（2）（﹣1008+1005）÷2＝﹣1.5；
（3）式子|x+5|+|x﹣2|＝7理解为：在数轴上，某点到﹣5所对应的点的距离和到2所对应的点的距离之和为7，
所以满足条件的整数x可为﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2；
（4）有，最小值为﹣3﹣（﹣6）＝3．
故答案为：7；﹣1.5；﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2．
【点评】此题主要考查了去绝对值和数轴相联系的综合试题以及去绝对值的方法和去绝对值在数轴上的运用，难度较大，去绝对的关键是确定绝对值里面的数的正负性．
六．非负数的性质：绝对值（共2小题）
35．若|a+2|+|b﹣7|＝0，则a+b的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．5 D．﹣5
【分析】根据非负数的性质分别求出a、b，计算即可．
【解答】解：∵|a+2|+|b﹣7|＝0，
∴|a+2|＝0，|b﹣7|＝0，
∴a+2＝0，b﹣7＝0，
解得，a＝﹣2，b＝7，
则a+b＝5，
故选：C．
【点评】本题考查的是非负数的性质，掌握当几个非负数相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0是解题的关键．
36．式子|m﹣3|+6的值随着m的变化而变化，当m＝ 3 时，|m﹣3|+6有最小值，最小值是 6 ．
【分析】直接利用绝对值的性质分析得出答案．
【解答】解：式子|m﹣3|+6的值随着m的变化而变化，
当m＝3时，|m﹣3|+6有最小值，最小值是：6．
故答案为：3，6．
【点评】此题主要考查了绝对值，正确把握绝对值的性质是解题关键．
七．有理数大小比较（共7小题）
37．若a，b为有理数，a＞0，b＜0，且|a|＜|b|，那么a，b，﹣a，﹣b的大小关系是（ ）
A．b＜﹣a＜﹣b＜a B．b＜﹣b＜﹣a＜a C．b＜﹣a＜a＜﹣b D．﹣a＜﹣b＜b＜a
【分析】根据a＞0，b＜0，且|a|＜|b|，可用取特殊值的方法进行比较．
【解答】解：设a＝1，b＝﹣2，则﹣a＝﹣1，﹣b＝2，
因为﹣2＜﹣1＜1＜2，
所以b＜﹣a＜a＜﹣b．
故选：C．
【点评】此类题目比较简单，由于a，b的范围已知，可用取特殊值的方法进行比较，以简化计算．
38．比较大小：344 ＞ 433，﹣ ＜ ﹣，﹣（﹣3.2） ＝ |﹣3.2|（用“＝”，“＜”，“＞”填空）．
【分析】逆运用幂的乘方法则，把344、433化为指数相同的两个数，比较底数得结论；
利用两个负数比较大小的方法比较﹣与﹣；
利用相反数、绝对值的意义先化简，再比较﹣（﹣3.2）与|﹣3.2|的大小．
【解答】解：∵344＝（34）11＝8111，433＝（43）11＝6411，
又∵81＞64，
∴8111＞6411，即344＞433；
∵|﹣|＝＝，|﹣|＝＝，
又∵＞，
∴﹣＜﹣；
∵﹣（﹣3.2）＝3.2，|﹣3.2|＝3.2，
∴﹣（﹣3.2）＝|﹣3.2|．
故答案为：＞，＜，＝．
【点评】本题主要考查了有理数大小的比较，掌握相反数、绝对值的意义，两个负数比较大小的方法及幂的乘方法则是解决本题的关键．
39．有理数x，y在数轴上对应点如图所示：
（1）在数轴上表示﹣x，|y|；
（2）试把x，y，0，﹣x，|y|这五个数从小到大用“＜”号连接，
（3）化简：|x+y|﹣|y﹣x|+|y|．
【分析】（1）根据相反数、绝对值的定义在数轴上表示出即可；
（2）根据数轴上的数右边的总比左边的大，按照从左到右的顺序排列；
（3）先求出（x+y），（y﹣x）的正负情况，然后根据绝对值的性质去掉绝对值号，再合并同类项即可得解．
【解答】解：（1）如图，
；
（2）根据图象，﹣x＜y＜0＜|y|＜x；
（3）根据图象，x＞0，y＜0，且|x|＞|y|，
∴x+y＞0，y﹣x＜0，
∴|x+y|﹣|y﹣x|+|y|
＝x+y+y﹣x﹣y
＝y．
【点评】本题考查了数轴、相反数与绝对值的性质，有理数大小的比较，熟记数轴上的数，右边的总比左边的大是解题的关键．
40．已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，
（1）用＜，＞，＝填空：a+c ＜ 0，c﹣b ＞ 0，b+a ＜ 0，abc ＞ 0；
（2）化简：|a+c|+|c﹣b|﹣|b+a|．
【分析】（1）根据数轴，判断出a，b，c的取值范围，进而求解；
（2）根据绝对值的性质，去绝对值号，合并同类项即可．
【解答】解：（1）根据数轴可知：a＜b＜0＜c，且|c|＜|b|＜|a|，
∴a+c＜0，c﹣b＞0，b+a＜0，abc＞0，
故答案为：＜，＞，＜，＞；
（2）原式＝﹣（a+c）+（c﹣b）+（b+a）
＝﹣a﹣c+c﹣b+b+a
＝0．
【点评】本题主要考查数轴、绝对值、整式的加减等知识的综合运用，解决此题的关键是能够根据数轴上的信息，判断出a，b，c等字母的取值范围，同时解决此题时也要注意绝对值性质的运用．
41．已知四个数：a＝（﹣2）2，b＝﹣|﹣2|，c＝﹣（﹣1）2016，d＝﹣（﹣3）．
（1）计算a，b，c，d得a＝ 4 ，b＝ ﹣2 ，c＝ ﹣1 ，d＝ 3 ；
（2）把这四个数在数轴上分别表示出来；
（3）用“＜”把a，b，c，d连接起来是 b＜c＜d＜a ；
（4）用“＞”把|a|，|b|，|c|，|d|连接起来是 |a|＞|d|＞|b|＞|c| ．
【分析】（1）分别根据有理数乘方的法则、绝对值的性质计算出各数即可；
（2）根据（1）中各数的值在数轴上表示出来；
（3）根据数轴的特点用“＜”把a，b，c，d连接起来即可；
（4）先求出各数的绝对值，再比较出其大小即可．
【解答】解：（1）∵a＝（﹣2）2＝4，b＝﹣|﹣2|＝﹣2，c＝﹣（﹣1）2016＝﹣1，d＝﹣（﹣3）＝3，
∴a＝4，b＝﹣2，c＝﹣1，d＝3．
故答案为：4，﹣2，﹣1，3；
（2）由（1）知a＝4，b＝﹣2，c＝﹣1，d＝3，
在数轴上表示为：
；
（3）由各点在数轴上的位置可知，b＜c＜d＜a．
故答案为：b＜c＜d＜a；
（4）∵a＝4，b＝﹣2，c＝﹣1，d＝3，
∵|a|＝4，|b|＝2，|c|＝1，|d|＝3，
∴|a|＞|d|＞|b|＞|c|．
故答案为：|a|＞|d|＞|b|＞|c|．
【点评】本题考查的是有理数的大小比较，熟知数轴上右边的数总比左边的大是解答此题的关键．
42．对于一个数x，我们用（x】表示小于x的最大整数，例如：（2.6】＝2，（﹣3】＝﹣4．
（1）填空：（0】＝ ﹣1 ；（﹣2021】＝ ﹣2022 ；（】＝ 0 ．
（2）若a，b都是整数，且（a】和（b】互为相反数，求代数式a﹣6（a+b）+b的值．
（3）若|（x】﹣2|＝8，求x的取值范围．
【分析】（1）根据（x】的定义直接作答即可；
（2）根据题干信息得到a+b的值，然后代入原式求值；
（3）先去绝对值，然后根据（x】的值确定x的范围．
【解答】解：（1）比0小的最大整数为﹣1，比﹣2021小的最大整数为﹣2022，比小的最大整数为0；
故答案为：﹣1；﹣2022；0．
（2）∵（a】和（b】互为相反数，
∴（a】+（b】＝0，
又∵a，b都是整数，
∴（a】＝a﹣1，（b】＝b﹣1，
∴a﹣1+（b﹣1）＝0，
∴a+b＝2，
∴原式＝a+b﹣6（a+b）＝﹣10；
（3）∵|（x】﹣2|＝8，
∴（x】﹣2＝±8，
∴（x】的值为10或﹣6，
∴x的取值范围是：10＜x≤11或﹣6＜x≤﹣5．
【点评】本题考查了有理数的大小比较以及相反数，能够正确理解（x】的定义是解题的关键．
43．如图，数轴上有点a，b，c三点．
（1）c﹣b ＜ 0；a+c ＞ 0（填“＜”，“＞”，“＝”）；
（2）求++的值．
（3）化简|c﹣b|﹣|c|+|a﹣1|﹣b．
【分析】（1）根据数轴得出﹣1＜c＜0＜1＜a＜b＜2，再比较大小即可；
（2）根据数轴得出﹣1＜c＜0＜1＜a＜b＜2，再去掉绝对值符号，再求出答案即可；
（3）根据数轴得出﹣1＜c＜0＜1＜a＜b＜2，再去掉绝对值符号，最后求出答案即可．
【解答】解：（1）从数轴可知：﹣1＜c＜0＜1＜a＜b＜2，
所以c﹣b＜0，a+c＞0，
故答案为：＜，＞；
（2）从数轴可知：﹣1＜c＜0＜1＜a＜b＜2，
所以abc＜0，
所以++
＝+++
＝1+1+（﹣1）+（﹣1）
＝0；
（3）从数轴可知：﹣1＜c＜0＜1＜a＜b＜2，
所以c﹣b＜0，a﹣1＞0，
所以|c﹣b|﹣|c|+|a﹣1|﹣b＝b﹣c+c+a﹣1﹣b＝a﹣1．
【点评】本题考查了绝对值，有理数的加减，数轴，有理数的大小比较等知识点，能根据数轴得出﹣1＜c＜0＜1＜a＜b＜2是解此题的关键．
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第一章 有理数
一、正数与负数
→知识点回顾：
具有相反意义的量包含两个要素：一是意义相反；二是它们都是数量，而且是同类的量。简单来说，正数是大于零的数；负数是小于零的数；0既不是正数也不是负数。
二、有理数
→知识点回顾：
正整数、零和负整数统称为整数，负分数和正分数统称为分数，整数和分数统称为有理数。
正整数
整数 零 自然数
有理数 负整数
正分数
分数
负分数
三、数轴
→知识点回顾：
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
→要点点拨：
任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示，但数轴上的点表示的数不一定都是有理数,如。
原点、正方向和单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可。一般地，数轴上原点右边的点表示正数，左边的点表示负数；反过来也对，即正数用数轴上原点右边的点表示，负数用原点左边的点表示，零用原点表示。
四、相反数
→知识点回顾：
如果两个数符号不同，称其中一个数为另一个数的相反数。也称这两个数互为相反数。注意，零的相反数是零。
→要点点拨：
相反数可以用字母表示：
①a的相反数为-a
②a+b=0，即当a+b=0，则表示a、b互为相反数
③a+b的相反数为-（a+b），也可写成-a-b
在数轴上，表示互为相反数（零除外）的两个点，位于原点的两侧，并且到原点的距离相等。
相反数的易错点是多重符号的化简。在化简时由数字前面“-”号的个数来确定，若有偶数个时，化简结果为正，如-{-[-(-4)]}=4 ；若有奇数个时，化简结果为负，如-{+[-(-4)]}=-4 .
五、绝对值的性质
→知识点回顾：
一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值。a的绝对值记作|a|
一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是它本身。互为相反数的两个绝对值相等。
→要点点拨：
互为相反数的两个数的绝对值相等，即|a|=|a|.若a为正数，则满足|x|=a的x有两个值，如|x|=3，则x=±3.
去掉绝对值符号时，必须按照“先判后去”的原则，先判断这个数是正数、0或负数，再根据绝对值的意义去掉绝对值符号。当a ≥0时，|a|=a；当a≤0时，|a|=a.
任何有理数的绝对值都是非负数，即|a|≥0，即绝对值具有非负性。如果几个非负数的和为0，那么这几个非负数均为0.若几个非负数的和为零,则这几个数同时为零,即若|a|+|b|+|c|+……=0,则有|a|=0，|b|=0，|c|=0,……所以a=0,b=0,c=0.
6. 有理数的大小比较
→知识点回顾：
一般地，我们有：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数。
→要点点拨：
两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小。
模块必刷题
一．正数和负数（共3小题）
1．某人用400元购买了8套儿童服装，准备以一定的价格出售，如果以每套55元的价格为标准，超出的记为正数，不足的记为负数，记录如下：（单位：元）
+2，﹣3，+2，﹣1，﹣2，+1，﹣2，0
（1）当他卖完这8套服装后的总收入是多少？
（2）盈利（或亏损）了多少元？
2．某检修小组乘一辆汽车沿东西走向的公路检修线路，约定向东走为正，某天从A地出发到收工时，行走记录如下（单位：km）：+15，﹣2，+5，﹣1，+10，﹣3，﹣2，+12，+4，﹣5，+6
（1）收工时，检修小组在A地的哪一边，距A地多远？
（2）若汽车每千米耗油3升，已知汽车出发时油箱里有180升汽油，问收工前是否需要中途加油？若加，应加多少升？若不加，还剩多少升汽油？
3．如图，一只甲虫在5×5的方格（每小方格边长为1）上沿着网格线运动，它从A处出发去看望B，C，D处的其它甲虫，规定：向上向右走为正，向下向左走为负．如果从A到B记为：A→B（+1，+3）；从C到D记为：C→D（+1，﹣2）．其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向，那么图中
（1）A→C（ ， ），C→ （﹣2， ）；
（2）若这只甲虫的行走路线为A→B→C→D，请计算该甲虫走过的路程；
（3）假如这只甲虫从A处去甲虫P处的行走路线依次为（+1，+4），（﹣1，﹣3），（+2，+3），请在图中标出P的位置．
二．有理数（共7小题）
4．下列说法中，错误的是（ ）
A．正分数和负分数统称为分数
B．正整数和负整数统称为整数
C．整数和分数统称为有理数
D．正数和零统称为非负数
5．下列说法正确的是（ ）
A．整数包括正整数和负整数
B．零是整数，但不是正数，也不是负数
C．分数包括正分数、负分数和零
D．有理数不是正数就是负数
6．在π，﹣2，0.3，﹣，0.1010010001这五个数中，正有理数的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．在中与大小相等的分数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
8．设三个互不相等的有理数，既可以表示为1，a+b，a的形式，也可以表示为0，，b的形式，则a2022+b2023的值等于 ．
9．定义：对于任意两个有理数a，b，可以组成一个有理数对（a，b），我们规定（a，b）＝a+b﹣1．例如（﹣2，5）＝﹣2+5﹣1＝2．
根据上述规定解决下列问题：
（1）有理数对（2，﹣1）＝ ；
（2）当满足等式（﹣5，3x+2m）＝5的x是正整数时，则m的正整数值为 ．
10．观察下列两个等式：3+2＝3×2﹣1，4+﹣1，给出定义如下：
我们称使等式a+b＝ab﹣1成立的一对有理数a，b为“椒江有理数对”，记为（a，b），如：数对（3，2），（4，）都是“椒江有理数对”．
（1）数对（﹣2，1），（5，）中是“椒江有理数对”的是 ；
（2）若（a，3）是“椒江有理数对”，求a的值；
（3）若（m，n）是“椒江有理数对”，则（﹣n，﹣m） “椒江有理数对”（填“是”、“不是”或“不确定”）．
（4）请再写出一对符合条件的“椒江有理数对”
（注意：不能与题目中已有的“椒江有理数对”重复）
三．数轴（共9小题）
11．已知数轴上的点E、F、G、H表示的数分别是﹣4.8、1、2、﹣0.6，那么其中离原点最近的点是（ ）
A．点E B．点F C．点G D．点H
12．如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的4等分点处分别标上数字0、1、2、3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示数﹣1的点重合，再将圆沿着数轴向左滚动，则数轴上表示数﹣2013的点与圆周上重合的数字是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
13．如图，A、B是数轴上两点，P，Q是数轴上的两动点，点P由点A出发，以1个单位长度/秒的速度在数轴上移动，点Q由点B出发，以2个单位长度/秒的速度在数轴上移动，若P，Q两点同时开始和结束移动，设移动时间为t秒．下列四位同学的判断中正确的有（ ）
①小聪：若点P，Q相对而行，当t＝2时，点P和点Q重合；
②小明：若点P，Q沿x轴向左移动，当t＝6时，点P和点Q重合；
③小伶：若点P，Q沿x轴向右移动，当t＝2时，点P，Q之间的距离为8；
④小倒：当t＝4时，点P，Q之间的距离可能为6．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
14．已知a，b，c三个数在数轴上的位置如图所示，有以下4个结论：①a﹣b＜0；②﹣c＞a＞﹣b；③a+c＞0；④abc＜0；其中正确的结论的个数有（ ）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
15．如图，将一刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是1cm），刻度尺上“0cm”和“3cm”分别对应数轴上的4和1，那么刻度尺上“5.6cm”对应数轴上的数为（ ）
A．﹣1.4 B．﹣1.6 C．﹣2.6 D．1.6
16．如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为﹣7，b，5，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对应刻度1.8cm，点C对齐刻度5.4cm．则数轴上点B所对应的数b为（ ）
A．1.8 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣5
17．等边△ABC在数轴上的位置如图所示，点A、C对应的数分别是0、﹣1，若△ABC绕顶点沿顺时针方向在数轴上连续翻转，第一次翻转后点B所对应的数为1，则翻转2022次后点C所对应的数为（ ）
A．不对应任何数 B．2020
C．2021 D．2022
18．一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是﹣14，10，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A'落在射线CB上，并且A'B＝6，则C点表示的数是（ ）
A．1 B．﹣3 C．1或﹣4 D．1或﹣5
19．如图，数轴上，O点与C点对应点的数分别是0、60，将一根质地均匀的直尺AB放在数轴上（A在B的左边），若将直尺在数轴上水平移动，当A点移动到B点的位置时，B点与C点重合，当B点移动到A点的位置时，A点与O点重合．
（1）直尺AB的长为 个单位长度；
（2）若直尺AB在数轴上，且满足B点与C点的距离等于B点与O点距离的3倍时，此时A点对应的数为 ；
（3）当A点对应的数为20时，作为起始位置，直尺AB以2单位/秒的速度沿数轴匀速向右运动，同时点P从点A出发，以m个单位/秒的速度也沿数轴匀速向右移动，设运动时间为t秒．
①若B、P、C三点恰好在同一时刻重合，则m的值为 ；
②当t＝15时，B、P、C三个点中恰好有一个点到另外两点的距离相等，请直接写出所有满足条件的m的值．
四．相反数（共4小题）
20．（1）已知：x和2x﹣12互为相反数，求x的值
（2）已知：a是1的相反数，b的相反数是﹣3，c是最大的负整数，求a+b+c的值．
21．已知a、b互为相反数，非零数b的任何次幂都等于它本身．
（1）求a、b；
（2）求a2016+a2017；
（3）求++…+．
22．a，b互为相反数，下列各数中，互为相反数的一组为（ ）
A．a2与b2
B．a3与b5
C．a2n与b2n （n为正整数）
D．a2n+1与b2n+1（n为正整数）
23．若M﹣1的相反数是3，那么﹣M的值是（ ）
A．+2 B．﹣2 C．+3 D．﹣3
五．绝对值（共11小题）
24．下列说法中，正确的是（ ）
A．若x＞|y|，则x＞y B．若x≠y，则x2≠y2
C．若|x|＝|y|，则x＝y D．若|x|＞|y|，则x＞y
25．下列式子化简不正确的是（ ）
A．+（﹣2023）＝﹣2023 B．﹣（+2023）＝2023
C．﹣|+2023|＝﹣2023 D．|﹣（﹣2023）|＝2023
26．已知a与b的和为2，b与c互为相反数，若|c|＝1，则a的值为（ ）
A．1 B．3 C．1或3 D．﹣1
27．下列说法正确的是（ ）
A．|x|＞x
B．当x＝1时，|x+1|+2取最小值
C．若x＞1＞y＞﹣1，则|x|＜|y|
D．若|x+1|≤0，|x+1|≥0，则x＝﹣1
28．若mn≠0，的值不可能是（ ）
A．0 B．3 C．2 D．﹣2
29．设abc≠0，且a+b+c＝0，则+++的值可能是（ ）
A．0 B．±1 C．±2 D．0或±2
30．已知a、b、c均为不等于0的有理数，则的值为 ．
31．设a＝|x+1|，b＝|x﹣1|，c＝|x+3|，则a+2b+c的最小值为 ．
32．已知a，b，c，d分别是一个四位数的千位，百位，十位，个位上的数字，且低位上的数字不小于高位上的数字，当|a﹣b|+|b﹣c|+|c﹣d|+|d﹣a|取得最大值时，这个四位数的最小值是 ．
33．对于一个数x，我们用（x]表示小于x的最大整数，例如：（2.6]＝2，（﹣3]＝﹣4．
（1）填空：（10]＝ ．（﹣2019]＝ ，（]＝ ；
（2）若a，b都是整数，且（a]和（b]互为相反数，求代数式a﹣（a+b）×3+b的值；
（3）若|（x]|+|（x﹣2]|＝6，求x的取值范围．
34．同学们都知道，|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索
（1）求|5﹣（﹣2）|＝ ；
（2）同样道理|x+1008|＝|x﹣1005|表示数轴上有理数x所对点到﹣1008和1005所对的两点距离相等，则x＝
（3）类似的|x+5|+|x﹣2|表示数轴上有理数x所对点到﹣5和2所对的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得|x+5|+|x﹣2|＝7，这样的整数是 ．
（4）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．
六．非负数的性质：绝对值（共2小题）
35．若|a+2|+|b﹣7|＝0，则a+b的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．5 D．﹣5
36．式子|m﹣3|+6的值随着m的变化而变化，当m＝ 时，|m﹣3|+6有最小值，最小值是 ．
七．有理数大小比较（共7小题）
37．若a，b为有理数，a＞0，b＜0，且|a|＜|b|，那么a，b，﹣a，﹣b的大小关系是（ ）
A．b＜﹣a＜﹣b＜a B．b＜﹣b＜﹣a＜a C．b＜﹣a＜a＜﹣b D．﹣a＜﹣b＜b＜a
38．比较大小：344 433，﹣ ﹣，﹣（﹣3.2） |﹣3.2|（用“＝”，“＜”，“＞”填空）．
39．有理数x，y在数轴上对应点如图所示：
（1）在数轴上表示﹣x，|y|；
（2）试把x，y，0，﹣x，|y|这五个数从小到大用“＜”号连接，
（3）化简：|x+y|﹣|y﹣x|+|y|．
40．已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，
（1）用＜，＞，＝填空：a+c 0，c﹣b 0，b+a 0，abc 0；
（2）化简：|a+c|+|c﹣b|﹣|b+a|．
41．已知四个数：a＝（﹣2）2，b＝﹣|﹣2|，c＝﹣（﹣1）2016，d＝﹣（﹣3）．
（1）计算a，b，c，d得a＝ ，b＝ ，c＝ ，d＝ ；
（2）把这四个数在数轴上分别表示出来；
（3）用“＜”把a，b，c，d连接起来是 ；
（4）用“＞”把|a|，|b|，|c|，|d|连接起来是 ．
42．对于一个数x，我们用（x】表示小于x的最大整数，例如：（2.6】＝2，（﹣3】＝﹣4．
（1）填空：（0】＝ ；（﹣2021】＝ ；（】＝ ．
（2）若a，b都是整数，且（a】和（b】互为相反数，求代数式a﹣6（a+b）+b的值．
（3）若|（x】﹣2|＝8，求x的取值范围．
43．如图，数轴上有点a，b，c三点．
（1）c﹣b 0；a+c 0（填“＜”，“＞”，“＝”）；
（2）求++的值．
（3）化简|c﹣b|﹣|c|+|a﹣1|﹣b．
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