浙教版九上数学期末总复习导学稿(相似三角形)
知识链接（学生课前完成）（第1课时）
已知，则等于（ ）
A. 2 B. 3 C. D.
2．已知：如图2，在△ABC中，∠ADE＝∠C，则下列等式成立的是 （ ）
A.＝ B.＝ C.＝ D.＝
3. 已知如图，点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则下列结论中正确的是( )
A. B.
C. D.
4．若相似三角形周长比为3:2，则它们的面积比为（ ）
A．: B．9:4 C．3:2 D．4:9
5．下面给出了相似的一些命题：
（1）菱形都相似 （2）等腰直角三角形都相似
（3）正方形都相似 （4）矩形都相似 （5）正六边形都相似其中正确的有（ ）
A. 2 个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
6．下列四条线段不成比例的是（ ）
A. a=3,b=6,c=2,d=4 B. a=,b=8,c=5,d=15
C. a=,b=2,c=3,d= D. a=1,b=,c=,d=
如图, 在ABCD中, AB=10, AD=6, E是AD的中点, 在AB上取一点F, 使
△CBF∽△CDE, 则BF的长是( )
A.5 B.8.2 C.6.4 D.1.8
8.如图，点D、E、F分别是△ABC（AB＞AC）各边的中点，下列说法中，错误的是（ ）
A、FD∥AB B、 EF=BC
C、 EF与AD互相平分 D、 △DFE不是△ABC的位似图形
9.下列说法正确的是( )
A、所有的等腰三角形都相似 B、四个角都是直角的两个四边形一定相似
C、所有的正方形都相似 D、四条边对应成比例的两个四边形相似
10.如图，是菱形的对角线，，则△BMN ：菱形ABCD（ ）
A. B. C. D.
共同探索：
1.如图，在正△ABC中，点D是AC的中点，点E在BC上，且 ＝ ．求证：
（1）△ABE∽△DCE；
（2），求
2.如图，已知：等边三角形的边长为6，点、分别在边、上，且. 点从点开始以每秒1个单位长的速度沿射线方向运动，设点运动的时间为秒. 当时，直线与过点且平行于的直线相交于点，的延长线与的延长线相交于点，与相交于点.
（1）用的代数式表示；
（2）设△的面积为，写出与的函数关系式；
（3）当为何值时，点和点是线段的三等分点？
学生课堂跟进练习：
1.如图，在△ABC中，AB = 8cm，BC = 16cm ，点P从点A出发沿AB边想向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B出发沿BC边向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q同时出发，经过几秒后△PBQ和△ABC相似？.
2.如图，已知矩形ABCD的边长AB=2，BC=3，点P是AD边上的一动点（P异于A、D），Q是BC边上的任意一点. 连AQ、DQ，过P作PE∥DQ交AQ于E，作PF∥AQ交DQ于F. （1）求证：△APE∽△ADQ；
（2）设AP的长为x，试求△PEF的面积S△PEF关于x的函数关系式，并求当P在何处时，S△PEF取得最大值？最大值为多少？
（3）当Q在何处时，△ADQ的周长最小？（须给出确定Q在何处的过程或方法，不必给出证明）
3.如图，等腰三角形ABC中，若∠A=∠B=∠DPE，
（1）求证：△APD∽△BEP
（2）若，试求出AD的长.
定时训练（限时20分钟）（第2课时）
11、若，则=_______________.
12.如图，在△ABC中，EF∥BC，AE=2BE，则△AEF与梯形BCFE的面积比为________ ___.
13.如图，在□ABCD中，E为CD中点，AE与BD相交于点O，S△DOE=12cm2，则S△AOB等于 48 cm2.
14．在一张复印出来的纸上，一个等腰三角形的底边长由原图中的3 cm变成了6 cm，则腰长由原图中的2 cm变成了 4 cm．
15．如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且，则∠ACB= 90° ．
16．一个三角形的各边长扩大为原来的6倍，则这个三角形的周长扩大为原来
的 6 倍．
17．在相似的两个三角形中,已知其中一个三角形三边的长是3，4，5，另一个三角形有一边长是2，则另一个三角形的周长是 ．8或6或
18.如图，在钝角三角形ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是 3秒或4.8秒 .
19．如图，在正三角形ABC中，点D,E分别AB,AC在上，且DE//BC，如果BC=12cm，AD:DB=1:3,那么三角形ADE的周长=_____9___cm.
20.如图，等边三角形放在平面直角坐标系中，其中点为坐标原点，点的坐标为（，），点位于第二象限.已知点、点同时从坐标原点出发，点以每秒个单位长度的速度沿来回运动一次，点以每秒个单位长度的速度从往运动，当点到达点时，、两点都停止运动.在点、点的运动过程中，存在某个时刻，使得、两点与点或点构成的三角形为直角三角形，那么点的坐标为__________.
（，）、（，）、（，）、（，）.
四．提升探索：
1.如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于E，交DC的延长线于F，BG⊥AE于G，BG=，求△EFC的周长。
2.如图，DE是△ABC的中位线，延长DE至F使EF=DE，连接CF，求S△CEF：S四边形BCED的值。
浙教版九上数学期末总复习导学稿(相似三角形)答案
一．知识链接（学生课前完成）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
C
C
B
B
C
D
D
C
C
共同探索：
1.证明：(1)∵ΔABC是正三角形
∴∠B=∠C，AB=AC
∵点D是AC的中点 ∴AC=2CD
∵= ∴BE=2CE
∴= ∴ΔABE∽ΔDCE
(2) =
2.解：（1），∴△ADG ～△BDF ∴，又，，，
∴
（2）作，垂足为，∵
（3）①当点在线段上时，若点F、点C是线段BH的三等分点，
则BF＝FC＝CH，BC＝6，BF＝3，
即当时，点F、点C是BH的三等分点
②当点F在BC的延长线上时，若点F、点C是线段BH的三等分点，
则BC＝CF＝FH，CF＝6，BF＝12，
即当时，点F、点C是BH的三等分点
学生课堂跟进练习：
1.解：设经过x秒后△PBQ和△ABC相似
∵∠B为公共角
∴要使△PBQ和△ABC相似，只需或
即或，
解得x＝0.8或x＝2
2.解：（1）证∠APE=∠ADQ，∠AEP=∠AQD.
（2）注意到△APE∽△ADQ与△PDE∽△ADQ，及S△PEF=，
得S△PEF==. ∴当，即P是AD的中点时，S△PEF取得最大值.
（3）作A关于直线BC的对称点A′，连DA′交BC于Q，则这个点Q就是使△ADQ周长最小的点，此时Q是BC的中点.
3.（1）∵∠DPB=∠A+∠ADP=∠DPE +∠EPB，而∠A=∠DPE，
∴∠EPB=∠ADP；又∠A=∠B，∴△APD∽△BEP
（2）∵△APD∽△BEP，∴，即，∴
四．提升探索：
1.解析：判断出△ADF是等腰三角形，△ABE是等腰三角形，DF的长度，继而得到EC的长度，在Rt△BGE中求出GE，继而得到AE，求出△ABE的周长，根据相似三角形的周长之比等于相似比，可得出△EFC的周长．
解答：解：∵在?ABCD中，AB=CD=6，AD=BC=9，∠BAD的平分线交BC于点E，
∴∠BAF=∠DAF，
∵AB∥DF，AD∥BC，
∴∠BAF=∠F=∠DAF，∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE=6，AD=DF=9，
∴△ADF是等腰三角形，△ABE是等腰三角形，
∵AD∥BC，
∴△EFC是等腰三角形，且FC=CE，
∴EC=FC=9﹣6=3，
在△ABG中，BG⊥AE，AB=6，BG=4，
∴AG==2，
∴AE=2AG=4，
∴△ABE的周长等于16，
又∵△CEF∽△BEA，相似比为1：2，
∴△CEF的周长为8．
点评：本题主要考查了勾股定理、相似三角形、等腰三角形的性质，注意掌握相似三角形的周长之比等于相似比，此题难度较大．
2.解析：先利用SAS证明△ADE≌△CFE（SAS），得出S△ADE=S△CFE，再由DE为中位线，判断△ADE∽△ABC，且相似比为1：2，利用相似三角形的面积比等于相似比，得到S△ADE：S△ABC=1：4，则S△ADE：S四边形BCED=1：3，进而得出S△CEF：S四边形BCED=1：3．
解答：解：∵DE为△ABC的中位线，
∴AE=CE．
在△ADE与△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE（SAS），
∴S△ADE=S△CFE．
∵DE为△ABC的中位线，
∴△ADE∽△ABC，且相似比为1：2，
∴S△ADE：S△ABC=1：4，
∵S△ADE+S四边形BCED=S△ABC，
∴S△ADE：S四边形BCED=1：3，
∴S△CEF：S四边形BCED=1：3．
点评：本题考查了全等三角形、相似三角形的判定与性质，三角形中位线定理．关键是利用中位线判断相似三角形及相似比．
浙教版九上数学期末总复习相似三角形复习巩固练习
一.选择题
1．若，则（ ）
A． B． C． D．
2．在⊿ABC中，若各边的长度同时都扩大2倍，则锐角A的正弦值与余弦值的情况（ ）
A．都扩大2倍 B．都缩小2倍 C．都不变 D．正弦值扩大2倍, 余弦值缩小2倍
3．已知线段a＝2，b＝4，则线段a，b的比例中项为（ ）
A．3 B． C． D．
4.在直角三角形中，各边都扩大2倍，则锐角A的正弦值（ ）
A、缩小2倍 B、扩大2倍 C、不变 D、不能确定
5.如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=2，AB=6，DE=3，则BC的长为（ ）
A．9 B．6 C．4 D．3
6.两个相似三角形的面积比是9∶16，则这两个三角形的相似比是（ ）
A．9∶16 B．3∶4 C．9∶4 D．3∶16
如图，在?ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF=4：25，则DE：EC=（ ）
A. 2:5 B. 2:3 C. 3:5 D. 3:2
如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于E，交DC的延长线于F，BG⊥AE于G，BG=，则△EFC的周长为（ ）
A.11 B.10 C.9 D. 8
如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜6），连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为（ ）
A. 2 B. 2.5或3.5 C. 3.5或4.5 D. 2或3.5或4.5
10.如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点（不与A，B重合），对角线AC，BD相交于点O，过点P分别作AC，BD的垂线，分别交AC，BD于点E，F，交AD，BC于点M，N．下列结论：
①△APE≌△AME；②PM+PN=AC；③PE2+PF2=PO2；④△POF∽△BNF；⑤当△PMN∽△AMP时，点P是AB的中点．其中正确的结论有（ ）
A. 5 个 B. 4 个 C. 3 个 D. 2个
填空题
11.在比例尺为1：2000的地图上测得A、B两地间的图上距离为5cm，则A、B两地间的实际距离为________m.
12.与的比例中项是 .
13.如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处，则小明的影子AM长为 米．
14.如图，在△ABC中，D是AB边上的一点，连接CD，请添加一个适当的条件 ，使△ABC∽△ACD．（只填一个即可）
15.如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网4米的位置上，则球拍击球的高度h为
16.将一副三角尺如图所示叠放在一起，则的值是
17.如图，△ABC中，E、F分别是AB、AC上的两点，且，若△AEF的面积为2，则四边形EBCF的面积为
18.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，顶点A、C分别在x，y轴的正半轴上．点Q在对角线OB上，且QO=OC，连接CQ并延长CQ交边AB于点P．则点P的坐标为
19.如图，在边长为9的正三角形ABC中，BD=3，∠ADE=60°，则AE的长为
在平行四边形ABCD中，E在DC上，若DE：EC=1：2，则BF：BE=
三．解答题
1.如图，在菱形ABCD中，点E在CD上，连结AE并延长与BC的延长线交于点F．
（1）写出图中所有的相似三角形（不需证明）；
（2）若菱形ABCD的边长为6，DE：AB=3：5，试求CF的长．
2.如图，在△中，、分别是、上的点，且，，.
（1）若，求的长
（2）若△的面积为2，求△的面积.
3.已知：等腰Rt△ABC中，∠A=90°,如图1，E为AB上任意一点，以CE为斜边作等腰Rt△CDE，连结AD，则有AD∥BC，
（1）若将等腰Rt△ABC改为正△ABC，如图2所示，E为AB边上任一点，△CDE为正三角形，连结AD，上述结论还成立吗？答 。
（2）若△ABC为任意等腰三角形，AB=AC，如图3，E为AB上任一点，△DEC∽△ABC,连结AD，请问AD与BC的位置关系怎样？答：
（3）请你在上述3个结论中，任选一个结论进行证明。
4.如图，在△ABC中，AB=AC=a，BC=b（a＞b）．在△ABC内依次作∠CBD=∠A，∠DCE=∠CBD，∠EDF=∠DCE．求EF的长。
5.如图，点Ｂ在线段AC上，点D,E在AC同侧，，，AD=BC.
（1）求证：AC=AD+CE;
（2）若AD=3,CE=5，点P为线段AB上的动点，连接DP，作，交直线BE于点Q.（i)若点P与A,B两点不重合，求的值；
（ii)当点P从A点运动到AC的中点时，求线段DQ的中点所经过的路径（线段）长。（直接写出结果，不必写出解答 ）。
6.在矩形ABCD中，DC=2，CF⊥BD分别交BD、AD于点E、F，连接BF．
（1）求证：△DEC∽△FDC；
（2）当F为AD的中点时，求sin∠FBD的值及BC的长度．
浙教版九上数学期末总复习相似三角形复习巩固练习答案
选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
C
C
A
B
B
D
D
B
附10.解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC=∠DAC=45°．
∵在△APE和△AME中，，∴△APE≌△AME，故①正确；
∴PE=EM=PM，
同理，FP=FN=NP．
∵正方形ABCD中AC⊥BD，又∵PE⊥AC，PF⊥BD，
∴∠PEO=∠EOF=∠PFO=90°，且△APE中AE=PE件 ∴四边形PEOF是矩形．
∴PF=OE，∴PE+PF=OA，
又∵PE=EM=PM，FP=FN=NP，OA=AC，∴PM+PN=AC，故②正确；
∵四边形PEOF是矩形，∴PE=OF，在直角△OPF中，OF2+PF2=PO2，
∴PE2+PF2=PO2，故③正确．
∵△BNF是等腰直角三角形，而△POF不一定是，故④错误；
∵△AMP是等腰直角三角形，当△PMN∽△AMP时，△PMN是等腰直角三角形．
∴PM=PN，
又∵△AMP和△BPN都是等腰直角三角形，∴AP=BP，即P时AB的中点．故⑤正确．
故选B．
二．填空题
11. 100 12. ±1 13. 5 14. ∠ACD=∠ABC（答案不唯一）
15. 1.5米 16. 17. 18. （2，4﹣2） 19. 7 20. 3：5
三．解答题
1.解：（1）△ECF∽△ABF，△ECF∽△EDA，△ABF∽△EDA．
（2）∵ DE：AB=3：5， ∴ DE：EC=3：2，
∵ △ECF∽△EDA， ∴，
∴ ．
2.解：（1）∵， ∴△∽△
∴ 即 ∴
（2）∵ ∴△∽△
∴ 即 ∴
3.（1）成立 （或者AD//BC）
（2）成立 （或者AD//BC）
（3）记AC与BD的交点为O
△DEC∽△ABC 且△ABC等腰三角形
所以∠1+∠2=∠2+∠3 ∠1=∠3
又因为∠BAC=∠EDC
所以△AOE∽△DOC
又因为∠AOD=∠EOC
所以△AOD∽△EOC
∠5=∠DEC 又∠DEC=∠ACB
所以∠5=∠ACB，AD//BC
4.解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
又∵∠CBD=∠A，
∴△ABC∽△BDC，
同理可得：△ABC∽△BDC∽△CDE∽△DFE，
∴=，=，=，
解得：CD=，DE=，EF=．
5.（1）证明：∠A=∠C=90°DB⊥BE
有∠ADB+∠ABD=90°以及∠ABD+∠EBC=90°
∴∠ADB=∠EBC 又AD=BC
∴Rt△ADB≌Rt△EBC ?AB=EC
∴AC=AB+BC=EC+AD
（2） （ⅰ）连结DQ, ∠DPQ=∠DBQ=90°, ∴D,PB,Q四点共圆.
且DQ为该圆直径，那么就有∠DQP=∠DBP
∴Rt△DPQ∽Rt△DAB
（ⅱ)P到AC中点时，AP=4，AD=3，由勾股定理得DP=5
由?. 又
∴ 即为中点运动轨迹。
6.解：（1）∵∠DEC=∠FDC=90°，∠DCE=∠FCD，∴△DEC∽△FDC．
（2）∵F为AD的中点，AD∥BC，
∴FE：EC=FD：BC=1：2，FB=FC， ∴FE：FC=1：3，
∴sin∠FBD=EF：BF=EF：FC=；
设EF=x，则FC=3x，
∵△DEC∽△FDC，∴=，即可得：6x2=12，
解得：x=，则CF=3，
在Rt△CFD中，DF==， ∴BC=2DF=2．
