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第四章：代数式培优训练试题
选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1.下列结论中正确的是（ ）
A．单项式的系数是，次数是4 B．单项式m的次数是1，无系数
C．多项式是二次三项式 D．多项式是三次三项式
2.如果一个多项式的各项的次数都相同，那么这个多项式叫做齐次多项式．如：x3+3xy2+4xz2+2y3 是 3 次齐次多项式，若 ax+3b2﹣6ab3c2 是齐次多项式，则 x 的值为（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
3．一个多项式与x2－2x＋1的和是3x－2，则这个多项式为( )
A．x2－5x＋3 B．－x2＋x－1 C．－x2＋5x－3 D．x2－5x－13
4．如果单项式与的和仍然是一个单项式，则m、n的值是（ ）
A．m＝2，n＝2 B．m＝﹣1，n＝2 C．m＝﹣2，n＝2 D．m＝2，n＝﹣1
5.如图，直线上的四个点，，，分别代表四个小区，其中小区和小区相距，小区和小区相距，小区和小区相距，某公司的员工在小区有人，小区有人．小区有人，小区有人，现公司计划在，，，四个小区中选一个作为班车停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程总和最小，那么停靠点的位置应设在（ ）
A．小区 B．小区 C．小区 D．小区
6．若代数式的值与x的取值无关，则的值为（ ）
A．6 B．－6 C．2 D．－2
7．已知有理数 ， ， 在数轴上的位置如图，且 ，则 （ ）
A． B．0 C． D．
8.当x＝2时，代数式ax3+bx+1的值是2020，则当x＝﹣2时，代数式ax3+bx﹣3的值是（ ）
A．﹣2019 B．﹣2020 C．﹣2021 D．﹣2022
9.如果＝x2+6x+22，＝﹣x2+6x﹣3，那么M与N的大小关系是（ ）
A．M＞N B．M＜N C．M＝N D．无法确定
10.古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点（或圆球）在等距的排列下可以形成正三角形的数，如1，3，6，10，15，…．我国宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”其中的“落一形”堆垛就是每层为“三角形数”的三角锥的锥垛（如图所示顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球），若一个“落一形”三角锥垛有10层，则该堆垛球的总个数为（ ）
A．55 B．220 C．285 D．385
填空题（本题共6小题，每题4分，共24分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
11.若单项式与单项式是同类项，则m﹣n＝
12．当1≤m＜3时，化简|m﹣1|﹣|m﹣3|＝
13.已知关于x，y的多项式x2+mx﹣2y+n与nx2﹣3x+4y﹣7的差的值与字母x的取值无关，则n﹣m＝__________
14．已知一列按规律排列的代数式：a2，3a4，5a6，7a8，…，则第9个代数式是_____________
15．若a2﹣ab＝3，3ab﹣b2＝4，则多项式2（a2+ab﹣b2）+a2﹣2ab+b2的值是
16．数学真奇妙：两个有理数和，如果分别计算的值，发现有三个结果恰好相同，则
三．解答题（共6题，共66分）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
17（本题6分）．定义新运算“”与“”： ，
（1）计算的值；
（2）若， ，
求的值.
18.先化简，再求值：（1）已知x2﹣2y﹣5＝0，求3（x2﹣2xy）﹣（x2﹣6xy）﹣4y的值．
（2）已知多项式（2mx2﹣x2+3x+1）﹣（5x2﹣4y2+3x）化简后不含x2项．
求多项式2m3﹣[3m3﹣（4m﹣5）+m]的值．
19（本题8分）．已知代数式A＝﹣6x2y+4xy2﹣5，B＝﹣3x2y+2xy2﹣3．
（1）求A﹣B的值，其中|x﹣1|+（y+2）2＝0．
（2）请问A﹣2B的值与x，y的取值是否有关系，试说明理由．
20（本题10分）．如图是由非负偶数排成的数阵：
（1）写出图中“H”形框中七个数的和与中间数的关系，
（2）在数阵中任意做一个这样的“H”形框，（1）中的关系任然成立吗？并写出理由
（3）用这样的“H”形框能框出和为2023的七个数吗？如果能，求出七个数的中间数；如果不能，请写出理由.
21.（本题10分）（1）已知x+y＝6，xy＝﹣4，求：（5x+2y﹣3xy）﹣（2x﹣y+2xy）的值．
（2）已知：，且．
①求C；（用含x，y的代数式表示）
②若|x+2|+（y﹣3）2＝0，求（1）中C的值．
22（本题12分）.学校决定为体育组添置一批体育器材．学校准备订购一批篮球和跳绳，经过市场调查后发现篮球每个定价120元，跳绳每条定价20元．某体育用品商店提供A、B两种优惠方案：
A方案：买一个篮球送一条跳绳；
B方案：篮球和跳绳都按定价的90%付款．
已知要购买篮球50个，跳绳x条（x＞50）．
（1）若按A方案购买，一共需付款 元；（用含x的代数式表示）若按B方案购买，一共需付款 元．（用含x的代数式表示）
（2）当x＝100时，请通过计算说明此时用哪种方案购买较为合算？
（3）当x＝100时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？请写出你的购买方案，并计算需付款多少元？
23.（本题12分）将9个数填入幻方的九个格中，使处于同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的三个数的和相等，如图1所示．
（1）如图2所示，求a的值；
（2）如图3所示：
①若A＝2a，B＝7a+5，C＝6a﹣2，E＝5a+1，求整式D；
②若A＝2a2+6，B＝6a﹣3，D＝﹣a2﹣2a，求这九个整式的和是多少．
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第四章：代数式培优训练试题答案
选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1.答案：D
解析：A. 单项式 的系数是 ，次数是3，不符合题意；
B. 单项式 m 的次数是1，系数是1，不符合题意；
C.多项式x+x2y2+3y 是四次三项式， 不符合题意；
D.多项式 2x2+xy2+3 是三次三项式，正确，符合题意.
故选择：D.
2.答案：C
解析：由题意,得,解得.所以C选项是正确的.
故选择：C
3.答案：C
解析：设这个多项式为，
由题意得：
∴
故选择：C
4.答案：B
解析：由同类项的定义，
可知2＝n，m+2＝1，
解得m＝﹣1，n＝2．
故选：B．
5.答案：B
解析：若停靠点设在A小区，
则所有员工步行路程总和是：（米），
若停靠点设在B小区，则所有员工步行路程总和是：
（米），
若停靠点设在C小区，则所有员工步行路程总和是：
（米），
若停靠点设在D小区，则所有员工步行路程总和是：
（米），
其中是最小的，故停靠点应该设在B小区．
故选择：B．
6.答案：D
解析：
由结果与x的取值无关，得到a﹣2＝0，b+4＝0，
解得：a＝2，b＝-4，
，
故答案为：D．
7.答案：A
解析；∵ ，且 ， ， ，
∴ ， ， ，
∴
．
故答案为：A．
8.答案：D
解析：当x＝2时，代数式ax3+bx+1的值为2020，
则8a+2b+1＝2020，
8a+2b＝2019，
∴﹣8a﹣2b＝﹣2019，
则当x＝﹣2时，ax3+bx﹣3＝（﹣2）3a﹣2b﹣3＝﹣8a﹣2b﹣3＝﹣2019﹣3＝﹣2022，
故选：D．
9.答案：A
解析：∵M＝x2+6x+22，N＝﹣x2+6x﹣3，
∴M﹣N＝x2+6x+22﹣（﹣x2+6x﹣3）
＝x2+6x+22+x2﹣6x+3＝2x2+25，
∵x2≥0，
∴2x2+25＞0，
∴M＞N．
故选：A．
10.答案：A
解析：∵“三角形数”可以写为：
第1层：1，
第2层：3＝1+2，
第3层：6＝1+2+3，
第4层：10＝1+2+3+4，
第5层：15＝1+2+3+4+5，
∴第n层“三角形数”为，
∴若一个“落一形”三角锥垛有10层，则该堆垛球的总个数为＝55．
故选：A．
填空题（本题共6小题，每题4分，共24分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
11.答案：3
解析：∵单项式与单项式是同类项，
∴m﹣1＝3，n+1＝2，
解得m＝4，n＝1，
∴m﹣n＝4﹣1＝3．
故答案为：3．
12.答案：
解析：根据绝对值的性质可知，当1≤m＜3时，|m﹣1|＝m﹣1，|m﹣3|＝3﹣m，
故|m﹣1|﹣|m﹣3|＝（m﹣1）﹣（3﹣m）＝2m﹣4．
13.答案：4
解析：x2+mx﹣2y+n﹣（nx2﹣3x+4y﹣7）
＝x2+mx﹣2y+n﹣nx2+3x﹣4y+7
＝（1﹣n）x2+（m+3）x+n﹣6y+7．
∵差与字母x的取值无关．
∴1﹣n＝0，m+3＝0．
∴n＝1，m＝﹣3．
∴n﹣m＝4．
故答案为：4．
14.答案：
解析：系数的规律为：1、3、5、7……、2n﹣1，
次数的规律为：2、4、6、8……、2n，
∴第9个代数式为：17a18，
故答案为：17a18．
15.答案：13
解析：∵a2﹣ab＝3，3ab﹣b2＝4，
∴原式＝2a2+2ab﹣2b2+a2﹣2ab+b2
＝3a2﹣b2＝3（a2﹣ab）+（3ab﹣b2）
＝3×3+4＝9+4＝13．
故答案为：13．
16.答案：
解析：∵有意义，
∴b≠0，
∴a+b≠a﹣b，
∵a+b，a﹣b，ab，的值有三个结果恰好相同，
∴ab＝，
∴当a＝0，ab＝成立，
当a≠0时，即，
∴b＝±1，
当a＝0时，a+b＝b，a﹣b＝﹣b，ab＝0，＝0，
∴此时不能有三个结果恰好相同；
当b＝1时，a+b＝a+1，a﹣b＝a﹣1，ab＝a，＝a，
∴此时不能有三个结果恰好相同；
当b＝﹣1时，a+b＝a﹣1，a﹣b＝a+1，ab＝﹣a，＝﹣a，
∴a﹣1＝﹣a或a+1＝﹣a，
∴a＝或a＝；
∴能使三个结果恰好相同时，b的值为﹣1，
故答案为：﹣1．
三．解答题（共6题，共66分）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
17.解析：（1）
（2）
则
18.解析：（1）原式＝3x2﹣6xy﹣x2+6xy﹣4y＝2x2﹣4y，
∵x2﹣2y﹣5＝0，
∴x2﹣2y＝5，
则原式＝2（x2﹣2y）＝2×5＝10
（2）原式＝2mx2﹣x2+3x+1﹣5x2+4y2﹣3x＝（2m﹣6）x2+4y2+1
∵不含x的二次项
∴2m﹣6＝0
∴m＝3
∴2m3﹣[3m3﹣（4m﹣5）+m]＝2m3﹣3m3+4m﹣5﹣m＝﹣m3+3m﹣5
＝﹣27+9﹣5＝﹣23．
19.解析：（1）A﹣B＝（﹣6x2y+4xy2﹣5）﹣（﹣3x2y+2xy2﹣3）
＝﹣6x2y+4xy2﹣5+3x2y﹣2xy2+3＝﹣3x2y+2xy2﹣2．
∵|x﹣1|+（y+2）2＝0，|x﹣1|≥0，（y+2）2≥0，
∴x﹣1＝0，y+2＝0，
解得：x＝1，y＝﹣2．
∴A﹣B＝﹣3×12×（﹣2）+2×1×（﹣2）2﹣2
＝﹣3×1×（﹣2）+2×1×4﹣2＝6+8﹣2＝12；
（2）A﹣2B的值与x，y的取值无关．理由：
∵A﹣2B＝（﹣6x2y+4xy2﹣5）﹣2（﹣3x2y+2xy2﹣3）
＝﹣6x2y+4xy2﹣5+6x2y﹣4xy2+6＝1，
∴A﹣2B的值与x，y的取值无关．
20.解析：（1）∵22+40+58+42+26+44+62=294=7×42，
∴图中“H”形框中七个数的和是中间数的7倍；
（2）成立，
设中间数为x，则其余六个数分别为x-2，x+2，x-20，x+20，x-16，x+16，
∴x-2+x+2+x-20+x+20+x-16+x+16=7x，
所以图中“H”形框中七个数的和是中间数的7倍；
（3）不能，
2023÷7=289，
∵是非负偶数数阵，而289是奇数，
∴不能框出和为2023的七个数.
21.解析：（1）原式＝5x+2y﹣3xy﹣2x+y﹣2xy
＝3x+3y﹣5xy＝3（x+y）﹣5xy，
当x+y＝6，xy＝﹣4时，
原式＝3×6﹣5×（﹣4）＝18+20＝38．
（2）解SR ：①∵2A+B+C＝0，
∴C＝﹣2A﹣B，
∵A＝x2﹣xy+2y2，B＝﹣4x2+3xy，
∴原式＝﹣2（x2﹣xy+2y2）﹣（﹣4x2+3xy）
＝﹣2x2+3xy﹣4y2+4x2﹣3xy＝2x2﹣4y2．
②由题意可知：x＝﹣2，y＝3，
∴C＝2×4﹣4×9＝﹣28．
22.解析：（1）A方案购买可列式：50×120+（x﹣50）×20＝5000+20x（元）；
按B方案购买可列式：（50×120+20x）×0.9＝5400+18x（元）；
故答案为：（5000+20x），（5400+18x）；
（2）当x＝100时，
A方案购买需付款：5000+20x＝5000+20×100＝7000（元）；
按B方案购买需付款：5400+18x＝5400+18×100＝7200（元）；
∵7000＜7200，
∴当x＝100时，应选择A方案购买合算；
（3）由（2）可知，当x＝100时，A方案付款7000元，B方案付款7200元，
按A方案购买50个篮球配送50个跳绳，按B方案购买50个跳绳合计需付款：
120×50+20×50×90%＝6900，
∵6900＜7000＜7200，
∴省钱的购买方案是：
按A方案买50个篮球，剩下的50条跳绳按B方案购买，付款6900元．
23.解析：（1）∵5+3+13＝21，∴21﹣5﹣7＝9，
∴13+a+9＝21，∴a＝﹣1．
答：a的值为﹣1．
（2）①∵A+B+C＝2a+7a+5+6a﹣2＝15a+3，
C+E＝5a﹣2+5a+1＝11a﹣1
∴G＝（A+B+C）﹣（C+E）＝（15a+3）﹣（11a﹣1）＝4a+4，
∴D＝（A+B+C）﹣A﹣G＝15a+3﹣2a﹣（4a+4）＝9a﹣1，
答：整式D为9a﹣1．
②∵A＝2a2+6，B＝6a﹣3，D＝﹣a2﹣2a，
设C＝m∴A+B+C＝2a2+6a+3+m，
G＝（A+B+C）﹣（A+D）＝（2a2+6a+3+C）﹣（2a2+6+﹣a2﹣2a）＝a2+8a﹣3+m，
E＝（A+B+C）﹣C﹣G＝A+B﹣G＝a2﹣2a+6﹣m，
根据图1、图2中的规律：
最中间的一个数的3倍＝同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的三个数的和
∴A+B+C＝3E∴2a2+6a+3+m＝3a2﹣6a+18﹣3m
∴4m＝a2﹣12a+15，∴m＝（a2﹣12a+15）
∴九个整式的和为：9E＝9（a2﹣2a+6﹣m）＝9a2﹣18a+54﹣9m
答：这九个整式的和是．
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