课件13张PPT。第四章 相似形三角形
4.1比例线段(一)阅读思考题
2与-3的比；- 4与6 的比如何表示？
可写成什么形式？其比值相等吗？
(2) 比例定义：四个实数a,b,c,d，如果
那么a、b、c、d叫做成比例.
象这样，如果两个数的比值与另两个数的比值相等，那么我们就说这四个数成比例.
例如： 2，-3，-4，6四个数成比例. （注意四个数字的书写顺序）a,d叫做比例外项，b,c叫做比例内项.约定:比例式中的字母取值都不为零练习1：1、判断下列四个数能否成比例，若成比例，请写出比例式.
(1)2，3，4，9; (2)0.3，2，0.6，4; (3)分别计算上述两个比例式的两个内项的积与两个外项的积：由此你得出什么结论？外项之积等于内项之积(不成比例)(成比例)(成比例)比例的外项之积等于内项之积反过来呢?比例的基本性质两边同乘以bd(比例式)(等积式) (思考)由ad=bc,可以写出有关a,b,c,d成立的几个比例式？例１ 根据下列条件，求ａ：ｂ的值.
（１） ２ａ＝３ｂ ； （２）例2：已知 ，判断下列比例式是否成立，并说明理由.
（1） 练习２：１求下列比例式中的x值
（1）4:3=5:x，那么x= ，（2）3:x=6:12，那么x= .6x=3练习3：设比值法小结:3.用设比值法解决比例中的一些计算问题1.比例定义：四个实数a,b,c,d，
如果 ,那么a、b、c、d叫做成比例.想一想 在平面直角坐标系中,过点(a,b)和原点的直线是一个怎样的正比例函数的图象?如果a,b,c,d四个数成比例,你认为点(a,b),点(c,d)和原点在同一条直线上吗?课件18张PPT。4.1比例线段(2)温故知新比例有如下基本性质:（内项之积等于外项之积）比例式变形的常用方法:已知四个实数a、b、c、d ，那么 称a、b、c、d 四个实数成比例 下列四个数按一定的顺序是否成比例，为什么？(1) 5 ，3，6，10 (2) 7 ，3，4，8 (3) 1,m-1,m2-1,m+11、把四个数按从大到小（从小到大）排列，再看前两个数的比是否等于后两个数的比;2、看四个数中有没有其中两个数的积等于另两个数 的积.比例式具有顺序性解∵3：5=6：10
∴3，5，6，10这四个数成比例解 ∵3：4≠7：8
∴无论按何顺序，上述四数均不能成比例∵(m-1)(m+1)=1×(m2-1)
∴1,m-1,m+1,m2-1这四个数成比例判断四个数成比例的方法：１、设线段ＡＢ＝２cm，ＡＣ＝４cm,
两条线段的长度比是 2、设线段ＡＢ＝200cm，ＡＣ＝４m,
两条线段的长度比是 200：４＝200:４00＝ 同一单位下，两条线段的长度比叫做这两条线段的比２:４＝合作学习1:21:2C′ABCA′B′11合作学习ABCA′B′11C′合作学习做一做 已知线段a=10mm，b=6cm，c=2cm，d=3cm.问：这四条线段是否成比例？为什么?解：这四条线段成比例∵a=10mm=1cm你还有其他方法验证吗？∴线段a、c、d、b成比例.想一想判断四条线段是否成比例的方法有哪些? (1)把四条线段按大小排列好，判断前两条线段的比和后两条线段的比是否相等.(2)查看是否有两条线段的积等于其余两条线段的积.例1、如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高。请找出一组比例线段，并说明理由.分析：(1)根据比例基本性质，要判断四条线段是否成比例，只要采取什么方法(看其中两条线段的乘积是否等于另两条线段的乘积)(2)已知条件中有三角形的高，我们通常可以把高与什么知识联系起来？(3)根据三角形的面积公式，你能得到一个怎样的等式？根据所得的等式可以写出怎样的比例式。 解：记三角形ABC的面积为S，则AC×BC=2S，CD×AB=2S∴AC×BC=CD×AB∴AC，CD，AB，BC是比例线段练一练3、如图在平行四边形ＡＢＣＤ中，DE⊥AB,DF⊥BC,找出图中的一组比例线，并说明理由．解 ∵S平行四边形=AB·DE=BC·DF∴AB，BC，DF，DE是成 比例线段.4.如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于E，AC、BD相交于点O.
求证：AE、AO、BD、AB成比例.证明 由菱形性质可知
S△ABC = S△ABD =1/2S菱形ABCD
∴BC·AE=BD·AO
∵BC=AB，
∴AB·AE=BD·AO∴AE、AO、BD、AB成比例. 已知A、B两地相距40km，问在比例尺为1:5 000 000的地图上,A、B两地相距多少厘米？想一想比例尺=图上距离：实际距离解：设在地图上A、B两地相距x厘米，
∵40km=40×105cm
∴x:40×105=1:5000 000
5000 000x=4×106
∴x=(4×106) ÷(5×106)=0.8(cm)
答：在地图上A、B两地相距0.8厘米例2、如图表示我过台湾省几个城市的位置关系，问基隆市在高雄市的哪个方向？到高雄的实际距离是多少km?北高雄台南台中台北基隆比例尺１：９００００００解：从图上量出高雄市到基隆市的距离约35mm,设实际距离为s，则∴S＝35×9000000
=315000000(mm)即s＝315(km) 量得图中∠α=28°答：基隆市在高雄市的北偏东28°的方向，到高雄市的实际距离约为315km处.2、已知a、b、c、d是比例线段，其中a＝6cm，
b＝8cm，c＝24cm,则线段d的长度是多少？3、已知三角形三条边之比为a：b：c=2：3：4，三角形的周长为18cm，求各边的长.4、已知AB两地的实际距离是60km，画在图上的距离6cm，求这幅图的比例尺. 在中国地图上，连结上海、香港、台湾三地构成一个三角形，用刻度尺测得它们之间的距离如图如示.飞机从台湾直飞上海的距离约为1286km，那么 飞机从台湾绕道香港再到上海的飞行距离约为___________km.解 设台湾与香港的距离为x km ，香港与上海的距离为ykm，则：3858知识回顾：说说你在这节课中的收获与体会再见！探究与思考 现在有一棵很高的古树，欲测出它的高度，你有什么好的方法吗？ 课件23张PPT。4.1比例线段(3) 取一张长与宽之比为 的长方形，将它对折，请判断图中两个长方形长与宽这４条线段是否成比例，如果成比例，请写出比例式abbc一、动手折一折解：这四条线段成比例这个比例式有什么特别之处吗？一般地，如果三个数a,b,c满足比例式
， 则b就
叫a,c的比例中项.b是a、c的比例中项定义： ?例题分析 例1. (1) 1是不是 的比例中项？如果是比例中项，请写出相应的比例式.
(2) 2和8的比例中项是________数的比例中项与线段比例中项是两个不同的概念,前者是一对相反数,后者是一个正数.温馨提示:±4解：设线段a、b的比例中项为x，则
x2=a×b=∵x>0, ∴x=3.∴线段a、b的比例中项为3.是 著名画家达?芬奇的名画＜蒙娜丽莎＞，画中脸部被围在矩形ＡＢＣＤ中，图中四边形ＢＣＥＦ为正方形，而在线段上的点Ｆ把线段分成两条线段，其中ＤＣＥEF即：较长的线段是较短的线段与整条线段的比例中项.(不合题意，舍去).思考: (1)一条线段有几个黄金分割点？追溯黄金分割的历史文化 早在古希腊，数学家、天文学家欧多克索斯（Eudoxus，约前400——前347）曾提出：能否将一条线段分成不相等的两部分，使较短线段与较长线段的比等于较长线段与原线段的比？这就是黄金分割问题. 天文学家开普勒（Johannes Kepler,1571——1630）把这种分割线段的方法称为神圣分割，并指出，毕达哥拉斯定理（勾股定理）和黄金分割“是几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠玉”。 而历史上最早正式在书中使用“黄金分割”这个名称的是欧姆（Martin Ohm，1792——1872）。19世纪以后，“黄金分割”的说法逐渐流行起来…。追溯黄金分割的历史文化 打开地图，你就会发现那些好茶产地大多位于北纬30度左右。特别是红茶中的极品“祁红”，产地在安徽的祁门，也恰好在此纬度上。这不免让人联想起许多与北纬30度有关的地方。奇石异峰，名川秀水的黄山，庐山，九寨沟等等。中国三大淡水湖也恰好在这黄金分割的纬度上。耐人寻味的0.618耐人寻味的0.618蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比, 普通树叶的宽与长之比也接近0.618; 生活中用的纸为黄金矩形，这样的长方形让人看起来舒服顺眼，正规裁法得到的纸张，不管其大小，如对于8开、16开、32开等，都仍然是近似的黄金矩形。 节目主持人报幕，绝对不会站在舞台的中央，而总是站在舞台的1／3处，站在舞台上侧近于0.618的位置才是最佳的位置;你知道芭蕾舞演员跳舞时为什么要掂起脚尖吗?芭蕾舞演员的身段是苗条的，但下半身与身高的比值也只有0.58左右，演员在表演时掂起脚尖，身高就可以增加6-8cm.这时比值就接近0.618了,给人以更为优美的艺术形象.耐人寻味的0.618古埃及胡夫金字塔古希腊巴特农神庙文明古国埃及的金字塔，形似方锥，大小各异。但这些金字塔底面的边长与高这比都接近于0.618.古希腊的一些神庙，在建筑时高和宽也是按黄金比0.618来建立，他们认为这样的长方形看来是较美观；其大理石柱廓，就是根据黄金分割律分割整个神庙的.耐人寻味的0.6181、已知:点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，
ＡＢ＝２.求：
（1）AC，BC的值；
（2）AC：BC的值（结果保留2个有效数字）做一做2、上海东方明珠电视塔高468m,上大球体是塔身的黄金分割点,它到塔底部的距离大约是多少米(精确到0.1m)?解：468×0.618≈289.2m468m?∴上大球体到塔 底部的距离大约是289.2米.3.在人体下半身与身高的比例上，越接近0.618，越给人美感，遗憾的是，即使是身体修长的芭蕾舞演员也达不到如此的完美.某女士身高1.68米，下半身1.02米，她应该选择多高的高跟鞋看起来更美呢？解：设她应选择 x 厘米高的高跟鞋，由题意得：解得：x≈4.7
答：她应选择约4.7厘米高的高跟鞋看起来更美.选一选1、已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC>CB
则下列等式成立的是（ ）
(A) AB2=AC?CB (B) CB2=AC?AB
(C) AC2=CB?AC (D) AC2=AB?BCD2、写作业时，要想使写出来的作业看起来美观，写字大小约占格子的（ ）D作法:（2）连接AC，在CA上截取CD=CB（3）在AB上截取AP=AD例、已知线段ＡＢ＝a,用直尺和圆规作出它的黄金分割点.点P就是线段AB的黄金分割点已知线段AB如图所示：（1）做出AB的黄金分割点（只要求作出图形，并保留作图痕迹）；（2）做一个长方形，使它的长是AB，宽与长之比为黄金比.试一试试一试什么是黄金分割.
如何去确定黄金分割点或黄金比.
将所学知识网络化.
要用数学美去装点和美化生活.
与同伴谈谈你对黄金分割的收获与体会.再见！0.6180.618☆再作∠C的平分线,交BD于E,
△CDE也是黄金三角形……☆顶角为36°的等腰三角形称为 黄金三角形 ☆点D是线段AC的黄金分割点.拓展提高3、如图，设AB是已知线段，以AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连结EB，延长DA至点F，使EF=EB。以线段AF为边作正方形AFGH，则点H是线段AB的黄金分割点，你能说出这种方法的道理吗？拓展提高课件20张PPT。4.2 相似三角形问题1：这两个三角形是否为相似形？观察下图中两幅图形的形状和大小有什么关系？相似形定义：我们把形状相同的两个图形称为相似形.几何语言：相似用符号“∽”来表示,读做“相似于”性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例。观察并思考 如图,在方格纸内先任意画一个△ABC,然后画△ABC经某一相似变换(如放大或缩小若干倍)后得到△A’B’C’.定义：对应角相等,对应边成比例的两个三角形,叫做相似三角形.∴△A’B’C’∽△ABC如△A’B’C’与△ABC相似,
记作“△A’B’C’∽△ABC”∵△A’B’C’∽△ABC几何语言：问题1: △A’B’C’与△ABC对应角之间有什么关系?问题2: △A’B’C’与△ABC对应边之间有什么关系? 根据图形和条件分别说出两个三角形的对应角和对应边的比例式.找一找 ∠E= ∠C
∠D= ∠B
∠EAD= ∠CAB对应边： ∠E= ∠C
∠D= ∠B
∠EAD= ∠CAB对应边：对应角：对应角：对应角：∠A= ∠A
∠ADE= ∠B
∠AED= ∠C对应边：对应角：∠A= ∠A
∠ADB= ∠ABC
∠ABD= ∠C对应边：找一找 根据图形和条件分别说出两个三角形的对应角和对应边的比例式.性质: 相似三角形的对应角相等,对应边成比例. 相似三角形对应边的比,叫做两个相似三角形的相似比(或相似系数) .，△ABC与△A′B′C′的相似比为2例1:已知:如图,D,E分别是AB,AC边的中点.
求证:△ADE∽△ABC.证明：∵D，E分别是AB，AC的中点，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C在△ADE和△ABC中，∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∠A=∠A∴△ADE∽△ABC（相似三角形的定义）例2、已知:如图,D,E分别是△ABC的AB,AC边上的点, △ABC∽△ADE.已知AD﹕DB=1﹕2,BC=9cm,求DE的长.解：∵△ABC∽△ADE（相似三角形的对应边成比例）∴DE=3（cm）答：DE的长为3cm。1、在下面的两组图形中,各有两个相似三角形,试确定x ,y ,m ,n 的值. 2、如果一个三角形的三边长分别为5、12和13，与其相似的三角形的最长边为39，你知道这个三角形的其它边是多少吗？练一练:x=32y=15m=85°,n=50°其余两边分别为15,36. 如图(2),D,E分别是△ABC的AB,AC边上的点，△ADE∽△ACB.∠ADE＝∠C, AD＝2 cm,DB＝4 cm,AC＝10cm,求AE的长.
3.如图,D是AB上一点, △ABC∽△ADB,∠ADB=65°,∠C=43°.
(1)求∠ABD, ∠ABC的度数;
(2) 若AD＝2 cm, AB=3 cm ，求AC的长解 (1)∵ △ABC∽△ADB
∴ ∠ABD= ∠C=43°.
∠ABC= ∠ADB=65°.
(2) ∵ △ABC∽△ADB
已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB=Rt∠，∠A=30°，CD⊥AB于点D.
求证：△ADC∽△CDB.探索与思考证明 在Rt△ABC中，∵ ∠A=30°
∴∠B=60°
∵ CD⊥AB于点D
∴∠ADC=∠BDC=90°
∵∠A+∠ACD=90°
∠BCD+∠ACD=90°
∴∠A=∠BCD=30°
同理∠ACD=∠B设BD=a，则在Rt△BCD中可得：在Rt△ACD中可得：∴ △ADC∽△CDB体会.分享 请你谈谈对相似三角形的认识，让大家与你分享吧!对应角相等对应边成比例——“∽”k≠1 两个形状相同，大小不等的相似三角形k=1 两个全等三角形，是相似三角形的特例相似三角形定义相似比
（对应边的比值）
表示法一、基本知识： 1、寻找对应边的方法2、利用相似三角形的性质求角度或者线段长。 边的大小对应角的对边二、基本方法：（数形结合、分类讨论）收 获布 置 作 业1、数学作业本（1）P26-27
2、选做题：
如图，在△ABC中，D、E、F分别是AB、
AC、BC边上的中点
则：（1）图中有几对相似三角形？
（2）若△DEF∽ △CBA，请说明理由。谢谢光临，多多指教祝同学们学习进步！小明打算制作两个相似的三角形框架，
其中一个三角形框架的三边长分别为4，6，9。
已知另一个三角形一条边长度为3，
则余下的那两条边的长度，你能帮助他确定吗？探索与思考辩一辩：（1）两个直角三角形一定相似吗？（2）两个等腰三角形一定相似吗？有没有哪类特殊三角形一定相似呢？１、两个全等三角形一定相似吗？为什么？２.两个直角三角形一定相似吗？为什么？两个等腰直角三角形呢？３.两个等腰三角形一定相似吗？为什么？两个等边三角形呢？ 1.相似.因为对应角相等,对应边成比例.２.两个直角三角形不一定相似.因为对应角不一定相等,对应边也不一定成比例;两个等腰直角三角形相似.因为对应角相等,对应边成比例.３.两个等腰三角形不一定相似;
两个等边三角形相似.想一想相似比是多少？为什么？相似三角形的传递性：如果△ABC∽△A1B1C1 ，
而△A1B1C1 ∽△A2B2C2
那么△ABC∽△A2B2C2 。如果△ABC∽△A1B1C1
而△A1B1C1 ∽△A2B2C2
那么△ABC与△A2B2C2是否相似？想一想课件23张PPT。浙教版九年级上册
4.3 两个三角形相似的判定（1）如果那么ΔABC∽ΔA/B/C/ 全等三角形是相似比为1的相似三角形. 一、复习引入。1.相似三角形的定义是什么？ 2.相似三角形与全等三角形有什么内在的联系？合作学习 如图在△ABC中,点D,E分别在AB,AC上,且DE‖BC,则△ADE与△ABC相似吗?
(1) 这两个三角形的三个内角是否对应相等?
(2) 这两个三角形的边长,它们是否对应成比例?平行移动DE的位置再试一试.D′E′ 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交,所构成的三角形与原三角形相似.(预备定理)试一试1、如图，已知EF∥CD∥AB，请说出图中的相似三角形2、如图，已知DE∥BC∥GF，请找出图中所有的相似三角形.△OEF∽△OCD∽△OAB△ABC∽△AED∽△AFG 当∠Ａ＝∠Ａ/，∠Ｂ＝∠Ｂ/时， 下面的两个三角形相似吗？证明：在ΔABC的边AB、AC上分别截AD=A/B/,AE=A/C/， 连结DE.∵ AD=A/B/,∠A=∠A/，AE=A/C/∴ ΔADE≌ΔA/B/C/，∴ ∠ADE=∠B/，又∵ ∠B/=∠B，∴ ∠ADE=∠B，∴ DE//BC，∴ ΔADE∽ΔABC∴ ΔA/B/C/∽ΔABC已知：在△ABC 和△A/B/C/ 中,求证:ΔABC∽ △A/B/C/ (预备定理) 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.
可以简单说成：有两个角对应相等的两个三角形相似.数学语言:三角形相似的判定定理1：1.请选择下列结论中，不正确的是（ ）Ａ、有一个角为９０°的两个等腰三角形相似
Ｂ、有一个角为６０°的两个等腰三角形相似
Ｃ、有一个角为３０°的两个等腰三角形相似
Ｄ、有一个角为１００°的两个等腰三角形相似
Ｃ热身运动例2、为了测量河的宽度AB,地质勘探人员采用了如下方法:从A处沿与AB垂直的直线方向走４０m到达Ｃ处，插一根标杆，然后沿同方向继续走１５m到达Ｄ处，再右转９０度走到Ｅ处，使Ｂ，Ｃ，Ｅ三点恰好在一条直线上，量得ＤＥ＝２０m．请你帮他们算出AB的宽度.40m15m20m解：∵ＡＢ⊥ＡＤ，ＤＥ⊥ＡＤ ∵AC=40,CD=15,DE=20∴△ABC∽△DEC∵∠ACB=∠DCE,∴∠BAC=∠EDA=Rt∠40m15m20m 如图，在ΔABC中 ，点D、E分别是边AB、AC上的点，连结DE，利用所学的知识讨论：当具备怎样的条件时，ΔADE与 ΔABC相似？ DE∥BC∠ADE=∠C
或∠AED=∠B.常见典型三角形相似探索●●类型一：截取型 1.过Rt△ABC的斜边AB上一点D作一条直线与另一边ＡＣ或者BC相交，使截得的小三角形与△ABC相似，这样的直线有几条？ACD ●ＡＢ发散探究截取型的应用 已知：如图，在ΔABC中，AD、BE分别是BC、AC上的高，AD、BE相交于点F.（2）图中还有与ΔAEF相似的三角形吗？请一一写出 .（1）求证：ΔAEF∽ΔADC；F答:有ΔAEF∽ΔADC∽ΔBEC∽ΔBDF.证明：∵AD、BE分别是△ABC的高
∴∠AEF=∠ADC=90°
又∵∠EAF=∠DAC
∴ ΔAEF∽ΔADC●● 求证：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似.已知：在RtΔABC中，CD是斜边AB上的高.证明: ∵ ∠A=∠A，∠ADC=∠ACB=900，此结论可以称为“母子相似定理”.
在今后题目中要多加留意. ∴ ΔACD∽ΔABC（两角对应相等，两 三角形相似）.同理 ΔCBD ∽ ΔABC .∴ ΔABC∽ΔCBD∽ΔACD.求证： 如图，四边形ABCD内接于圆O，对角线AC、BD相交于点E.（2）若延长AD、BC相交于点F，则又新增加哪几对相似三角形？(1)写出图中各对相似三角形；F(3)若AC平分∠BAD，则图中共有哪几对相似三角形？(2) △ACF∽△BDF；
△CDF∽△ABF.(3)△ADE ∽ △BCE ∽ △ACB;
△ABE∽ △DCE ∽ △CAD.(1)△ADE ∽ △BCE;
△ABE∽ △DCE●●●●说说你在这节课中的收获与体会预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。判定定理1:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.
简单说成:两个角对应相等,两三角形相似. 已知：ΔABC和ΔDEF中，∠A=400，∠B=800,∠E=800， ∠F=600.求证：ΔABC∽ΔDEF 证明：
∵ 在ΔABC中, ∠A=400，∠B=800，
∴ ∠C=1800－∠A －∠B＝600
∵ 在ΔDEF中，∠E=800，∠F=600
∴ ∠B=∠E，∠C=∠F
∴ ΔABC∽ΔDEF（有两个角对应相等的两个三角形相似）灵活运用下列结论中，正确的个数是（ ）①任意两个等腰三角形都相似
②任意两个等边三角形都相似
③任意两个直角三角形都相似
④任意两个等腰直角三角形都相似请判断Ｂ热身运动A.一个 B.二个 C.三个 C.四个●P2.如图，△ABC中，AB=4，AC=5，BC=6，点P在AB上，AP=1.
过点P画一条直线，与△ABC课件20张PPT。浙教版九年级上册
4.3 两个三角形相似的判定（2）相似三角形的判定： 预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似.判定定理1:有两个角对应相等的两三角形相似. 母子相似定理：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似.几何语言：
∵DE‖BC，
∴△ADE∽△ABC几何格式：
∵∠A=∠A′，∠B=∠B′，
∴△ABC∽△ABC∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴△ABC∽△ACD∽△CDB合作探究再量一量∠C与∠C’的大小，看看你有什么发现。△ABC与△A/B/C/相似吗？命题:如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似. 如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似.可以简单说成“两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似”判定定理2的几何语言：∴△A′B′C′∽△ABC三角形相似的判定定理2A 把方格纸中的△ABC的各边放大到原来的2倍，得到△A/B/C/合作探究 相似三角形的判定定理3：三边对应成比例的两个三角形相似.△ABC与△A/B/C/相似吗？△ABC与△A/B/C/的三边有什么数量关系？几何语言表示： ∴△ABC∽△A′B′C′相似三角形的判定方法共有哪些？2、平行于三角形一边的判定方法(预备定理)；3、有两个角对应相等的判定方法 ; 4、有两边对应成比例及夹角相等的判定方法 ;5、有三边对应成比例的判定方法 . 温馨提示：
当我们在应用这些判定方法解题的时候一定要做到正确的选择！1、根据定义判定；整理与小结三角形相似与全等的三种常用判定方法的区别和联系 两边对应成比例，夹角相等两边对应相等，夹角相等
SAS两个角对应相等两个角和一边对应相等
ASA或AAS三边对应成比例三边对应相等
SSSＤＥCAB（1） 判断下图中的各对三角形是否相似？辨一辨∴△ABC∽△FDE∴△ABC∽△ADE（2）判断图中的各对三角形是否相似.辨一辨(相似)(相似)(相似)(不相似)求证:DE∥BC证明：∴△ABC∽△ADE∴ ∠ADE=∠B∴ DE∥BC又∵∠A=∠A分析：设小正方形的边长为1，则比较容易计算三边的长度，然后寻找三边的对应关系；例2、如图判断4×4方格中的两个三角形是否相似,并说明理由.EDFBACEDFBAC例2、如图判断4×4方格中的两个三角形是否相似,并说明理由.解：根据勾股定理，得：∴△ABC∽△EFD(相似三角形的判定定理3)1.如图，△ABC中，D是AB上一点，且AC2=AD·AB.
求证：∠ACD=∠B.
2.在直角梯形BACD中,AC⊥CD,AC=CD=4AB, E是AC中点.
求证:△ABE∽△CED
a2a2a4a练一练3.如图,D为△ABC的边AB上一点.若使△ACD与△ABC相似,可添加一个什么条件?你有几种添加条件的不同方法?ＤA方法一:添加一个角相等方法二:添加两边对应成比例如 ∠ACD=∠B
或∠ADC=∠ACB 或 AC2=AD·AB●●练一练探究活动: 在有平行横线的练习薄上画一条线段AB,使线段两端点A,B恰好在两条平行线上,线段AB就被平行线分成了相等的三小段,你能说出这一事实的数学原理吗?如果只给你圆规和直尺,你会把任意一条线段AB五等分吗?请试一试,并说明你的画法的依据.ABC1C2D3D1D2说说你在这节课中的收获与体会 相似三角形的判定定理3：三边对应成比例的两个三角形相似.当CH＝？时，△ADE与以G、C、H为顶点的三角形相似． 拓展提高ABCＤＥHG（1 ）（2 ）ABC Ｄ Ｅ HG请你找出图中的相似三角形,并简要说明理由．当CH＝？时，△ADE与以G、H、C为顶点的三角形相似． CH＝1CH＝0.5△ADE∽△AEG∽△ECG△ADE∽△AGH∽△ABG∽△GCH①②③②④①③再见课件23张PPT。4.4相似三角形的
性质及其应用（1） 某施工队在道路拓宽施工时遇到这样一个问题，马路旁边原有一个面积为100平方米，周长为80米的三角形绿化地，由于马路拓宽绿地被削去了一个角，变成了一个梯形，原绿化地一边AB的长由原来的30米缩短成18米.现在的问题是:被削去的部分面积有多大？它的周长是多少？ 你能够将上面生活中的问题
转化为数学问题吗？问题情境30m你能吗解:如图，已知DE//BC,AB=30m,BD=18m,
ΔABC的周长为80m，面积为100m2,
求ΔADE的周长和面积.数学问题30m算一算：
ΔABC与ΔA’B’C’的相似比是多少？
ΔABC与ΔA’B’C’的周长比是多少?
面积比是多少？4×4正方形网格看一看：
ΔABC与ΔA’B’C’有什么关系？ 为什么？
验一验：
是不是任何相似三角形都有此关系呢？你能加以验证吗？（相似）2相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方探究新知已知：如图，△ABC ∽△A'B'C'，且相似比为k，
求证：△ABC 和△A'B'C'的周长比等于k，
△ABC和△A'B'C'的面积比等于k2（相似三角形的对应边成比例）∴AB=kA’B’，BC=kB’C’，AC=kA’C’ 证明：∵△ABC∽△A’B’C’且相似比为k探究新知 A’B’C’证明:如图，AD，A’D’分别是BC，
B’C’边上的高
∵△ABC∽△A’B’C’，∴∠B= ∠B’∵∠ADB=∠A’D’B’=90O
∴ △ABD∽△A’B’D’已知：如图，△ABC ∽△A'B'C'，且相似比为k，
求证：△ABC 和△A'B'C'的周长比等于k，
△ABC和△A'B'C'的面积比等于k2探究新知相似三角形的周长比等于相似比，
面积比等于相似比的平方两个相似三角形的对应高之比等于相似比归纳小结两个相似三角形的对应中线、对应角平分线之比也等于相似比1、已知两个三角形相似，请完成下列表格相似比周长比面积比24100100100002．．．．．．．．．注意：周长比等于相似比，已知相似比或周长比，求面积比要平方，而已知面积比，求相似比或周长比则要开方。巩固练习1、上课时，老师将一个六边形投影在屏幕上，发现原图中一条5cm的边长变成了15cm，那么此时投影仪的放大比例是 .巩固练习1：35：39：259：16(1)若FG//BC，且AD＝DF＝FB，则Ｓ△ADE:Ｓ四边形DFGE:Ｓ四边形FBCG=_________(2)若M是BC的中点，AM交DE于点N，Ｓ△ADE:Ｓ四边形DBCE=1：3，且AM=15，则AN=_________3、△ABC中，DE//BC，巩固练习(3)若DE=1cm，BC=3cm，△ADE的周长=10cm，则梯形BCED的周长= .1：3：57.522cm30m 4.如图，已知DE//BC，AB=30m，BD=18m，ΔABC的周长为80m，面积为100m2，求ΔADE的周长和面积. (拓展一)若过E作EF//AB交BC于F，其他条件不变，则ΔEFC的面积等于多少？□BDEF面积为多少？解：∵DE∥BC
∴△ADE∽△ABC∵AB=30m，BD=18m， ΔABC的周长为80m，面积为100m2∴ ΔADE的周长=32(m)
ΔADE的面积=16(cm2)ADEBC拓展延伸S1S2解：∵DE∥BC，EF∥AB
∴△ADE∽△EFC∽△ABC
∴S△ADE：S△EFC：S△ABC =AE2：EC2：AC2∴AE：EC：AC=2：3：5
∴S△ADE：S△EFC：S△ABC =4：9：25∴ S □BDEF =ADE(拓展三)若设SΔABC=S，SΔADE=S1，SΔEFC=S2.请证明：BC拓展延伸证明：DE//BCEF//ABS1S2类比猜想 如图，点P是线段DE上的任意一点，过点P作FG//AB，MN//AC，若记SΔDPM= S1， SΔPEF= S2， SΔGNP= S3，SΔABC= S，S与S1、 S2、S3之间是否也有类似结论？猜想并加以验证.验证：由已知可得：△DPM∽△GNP由△DPM∽△BCA得 如图是某市部分街道图，比例尺为1：10 000, 请估计三条道路围成的三角形地块ABC的实际周长和面积。例题讲解解：地图上的比例尺为1：10000，就是地图上的△ABC与实际三角形地块的相似比为1：10000，量得地图上AB=3.4cm，BC=3.8cm，AC=2.5cm。则地图上△ABC的周长为3.4+3.8+2.5=9.7(cm)∴三角形地块的实际周长为9.7×104cm，即970m。量得BC这上的高为2.2cm
∴地图上△ABC的面积为∴三角形地块的实际面积为4.18×108cm2，即41800m2
答：估计三角形地块的实际周长为970米，实际面积为41800平方米。 如图是某市部分街道图，比例尺为1：10 000, 请估计三条道路围成的三角形地块ABC的实际周长和面积。例题讲解1、在一张比例尺为1：5000的地图上，一块多边形地区的周长是72cm，面积是320cm2，求这个地区的实际周长和面积（以km和km2作单位）提高练习探究活动小结本节课你有哪些收获？１.这节课我们学到了哪些知识？２.我们是用哪些方法获得这些知识的？３.通过本节课的学习，你有没有新的想法或发现？
你觉得还有什么问题需要继续讨论吗？作业1.作业本
2. 课课通
3、预习4.4（2）
备用练习2、在△ABC中，DE ?? BC，E、D分别在AC、AB上，EC=2AE，则S△ADE：S△ABC=______， S△ADE：S四边形DBCE=______.4、ΔABC中，AE是角平分线，D是AB上的一点，CD交AE于G，∠ACD=∠B，且AC=2AD.则ΔACD∽ Δ______.它们的相似比K =_______，ABCED在10倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相比，三角形的边长、周长、角、面积，哪些被放大了10倍？其余的量放大的倍数如何？开动脑筋三角形中的边长放大10倍，周长放大10倍，角度不变，面积放大100倍。课件24张PPT。4.4相似三角形的性质及其应用(2)浙教版九年级《数学》上册相似三角形的性质有哪些？1、相似三角形对应角相等；2、相似三角形对应边成比例； 3、相似三角形的周长之比等于相似比；4、相似三角形的面积之比等于相似比的平方；5、相似三角形的对应边上的高、对应边上的中线、
对应角的角平分线之比等于相似比。例1.如图，屋架跨度的一半OP=6m，高度OQ=2.35m，木匠师傅现要在屋顶上开一个天窗，已知天窗高度AC=1.22m，AB在水平位置.请你帮木匠师傅求出天窗的宽AB（结果保留3个有效数字）.62.351.22解 由题意得 AB∥PO，
∴∠ABC=∠OPQ.
又∵∠CAB=∠POQ=Rt∠，
∴△ABC∽△OPQ，答：AB长约为2.67m 步枪在瞄准时的示意图如图，从眼睛到准星的距离OE为80cm，步枪上准星宽度AB为2mm，目标的正面宽度CD为50cm，求眼睛到目标的距离OF.解 ∵AB∥CD
∴△OAB∽△OCD
答：眼睛到目标的距离为200m.说明：解此题的关健是利用相似三角形对应高的比等于相似比. 检查视力时，规定人与视力表之间的距离为5m，现因房间两墙间的距离为3m，因此使用平面镜来解决房间小的问题.如图，视力表AB的上、下边从A、B发出的光线经平面镜MM′的上、下边反射后射入人眼C处.如果视力表的全长为0.8m，为使墙面镜子能呈现完整的视力表，请你计算出镜长MM′至少为多少米.HH′解 由平面镜成像原理知：
四边形ABMM′≌四边形A′B′M′M
∴A′B′=AB=0.8m
MM′与A′B′距离等于MM′与AB距离=3m
过点C作A′B′垂线，垂足为H′，交MM′于H，
则有CH′=5m
由MM′∥A′B′知，CH⊥MM′，且CH=5-3=2m
∵MM′∥A′B′
∴△CMM′∽△CA′B′
∴MM′=0.32m 如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120毫米，高AD=80毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，问加工成的正方形零件的边长是多少？解：设正方形PQMN的边长为x毫米.即答：这个正方形的 边长是48毫米.∴ ∴△APN∽ △ABC∵PN∥BC，∴ x=48（毫米）三角形与内接正方形、矩形边长关系设△ABC的边长BC=a，BC上的高AD=h. 设正方形EFGH的边长为x，则有 设矩形EFGH的边EF=x ，边EH=y，则有利用影长测物体的高度 小明是个有心人，是个爱动脑筋的孩子 .在一次户外游玩中,他发现一棵白杨树,他特别想知道“这棵白杨树到底有多高”.于是他从附近的店里借来皮尺（足够长）、标杆（2.40米）、镜子等工具，他只选了其中的部分工具，就设计出了测量白杨树高的方案，并求出了此树的高度.同学们，你们知道小明的方案是如何设计的吗？他是如何求出树高的？ 方案1：小明把长为2.40m的标杆CD直立在地面上，如果量出树的影长为2.80m，标杆的影长为1.47m，这时树高多少？你能解决这个问题吗？ （精确到0.1m） ABCDEF2.402.801.47在有阳光的天气时解 ∵太阳光是平行光线，
∴CF∥AE，
∴∠CFD=∠AEB，
又∵∠CDF=∠ABE=Rt∠,
∴△CDF∽△ABE 小明把一小镜子放在离树（AB）8米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=2.8m，观察者目高CD=1.6m，这时树高多少？你能解决这个问题吗？ （精确到0.1m） ABEDC82.81.6在无阳光的天气时解 根据平面镜成像光线入射角等于反射角原理得：
∠CED=∠AEB
又∠CDE=∠ABE=Rt∠
∴△CDE∽△ABE答：树高为 数学兴趣小组想测量一棵树的高度，在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米．同时另一名同学测量一棵树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），其影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米，则树高为 米． 1m0.8m1.2m2.4mABCDE由三角形相似得：∴AE=3m
∴树高AB=3+1.2=4.2(m)4.2关键点：竖直影高是树高的一部分.如何解决影长不全落在地面上的问题？ 兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为1.2米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.6米，求树的高. 1m1.2mABCDEF由三角形相似得：∴AF=4(m)
∴树高AB=4+0.3=4.3(m)关键点：
(1)竖直影高是树高的一部分;
(2)台阶上水平影长是地面影长的延伸. 如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上．已知铁塔底座宽CD=12 m，塔影长DE=18 m，小明和小华的身高都是1.6m，同一时刻，小明站在点E处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m和1m，那么塔高AB为（ ）
A．24m B．22m C．20 m D．18 m 1.6m1mF2m18mA关键点：化斜坡上影长为水平影长.9m 小聪想利用树影测量树高.他在某时刻测得小树的高为1.2m，树影的长为0.8m，但当他马上测量大树时，因该大树在坡角为30°的斜坡附近，影子一部分在水平地面上，一部分落在斜坡上(如图)，他先测得水平地面上的影AB的长为3.4m，又测得斜坡上的影BC的长为2.8m，请你帮小聪求出树AD的高(精确到0.1m).1.2m0.8mEF解 作CE⊥AD于E，CF⊥AB于F.
在Rt△BCF中，∵∠CBF=30°
∴由相似三角形性质得：解得 DE≈8.74
∴树高AD≈8.74+1.4≈10.1(m)一 、相似三角形的应用主要体现在哪些方面？二、解决方法三、解决步骤一般步骤：①审题 ②找相似或构造相似三角形
③利用相似三角形解决问题谈谈你的收获课堂小结常找相似三角形或构造相似三角形求解1、求线段长度；
2、求三角形内接正方形、矩形的边长；3、测物体高度（用皮尺等工具无法直接测得的高） 小明不仅爱动脑筋，而且还是个乐于助人的孩子。一次同学小刚拿来一题请教小明：如图，零件的外径为a，要求它的厚度x.现用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）去量，若OA:OC=OB:OD=3，且量得CD=b，求厚度x.小明思索了一会儿，马上给小刚讲解起来。你知道他是如何分析并解答的吗？（分析：如图，要想求厚度x，根据条件可知，首先得求出内孔直径AB.而在图中可构造出相似三角形，通过相似三角形的性质，从而求出AB的长度。）2.如图,铁道口的栏杆短臂长1m,长臂长16m,当短臂端点下降0.5m时,长臂端点升高 m。 1m16m0.5m8？1.某一时刻树的影长为8米,同一时刻身高为1.5米的人的影长为3米,则树高为 . 反馈4米1、独立作业：见作业本(1)2、合作作业：
进一步思考测量树高的方案.结束寄语不经历风雨，怎么见彩虹,没有人能随随便便成功!希望同学们做一个生活的有心人，
勤于思考，乐于助人！(深圳市中考题)如图:小明在打网球时,要使球恰好能打过网 ,而且落在离网５米的位置上，则拍击球的高度h应为（ ） A、2.7米 B、1.8米 C、0.9米 D、 6米 Ａ 小明是一个有心人，一天,他经过一盏路灯时,发现自己的影子刚好在灯杆AB的影子上(如图,即FD在FB上),小明想:这几天老师正在讲相似三角形,我何不实践一下，求出路灯杆AB的高呢?ABDFC他知道自己的身高是1.6m，于是他测出FD=1m,FB=4m.同学们:你们认为小明能求出灯杆AB的高吗?他是如何求的呢?课件15张PPT。4.5相似多边形ABCDA1B1C1D1如图:四边形A1B1C1D1是四边形ABCD经过相似变换所得的像,议一议:这两个四边形的对应角之间有什么关系?对应边之间有什么关系?求出这两个四边形的对应边的长度,并分别量出这两个四边形各个内角的度数,合作学习 对应角相等,对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.对应顶点的字母写在对应的位置上定义解:两个矩形纸张相似.理由如下:设原来的纸张为矩形ABCD,对折线EF把矩形ABCD分为两个全等的矩形.在矩形ABFE中∴两个矩形的对应角相等,对应边成比例∴矩形ABFE与矩形BCDA相似.2∶3相似.理由是：各对应角相等，各对应边成比例3.如图，两个正六边形的边长分别为a和b，它们相似吗？为什么？2. 下面两个矩形是否相似，若相似，求它们对应边的比；若不相似，请说明理由.练一练1.课本P120课内练习第1题 .300：315≠150：165
所以两矩形不相似.4.一块长为3m，宽为1.5m的矩形材料如图所示，镶在其外围的木质边框宽度为7.5cm,边框的内外边缘所成的矩形相似吗？答：不相似。因为内部的矩形的长为 300cm,宽为150cm；外部矩形的长为315cm，宽为165cm.练一练1、如图:四边形A1B1 C1D1与四边形ABCD相似,相似比是k,求这两个四边形的周长比.2、（1）连结第一题图两个相似四边形的对角线BD，B1D1，所得的△CBD和△C1B1D1相似吗？另外的一对三角形是否也相似呢？相似比是多少？（2）这两个四边形
的面积之比与相似比有什么关系？做一做 相似多边形的对应角相等，对应边成比例.相似多边形的性质 相似多边形的周长之比等于相似比;面积之比等于相似比的平方.1、如图，矩形ABCD∽矩形BCFE，且AD=AE，求AB：AD的值.练一练2、在如图所示的相似四边形中，求未知的边长x和角度α的大小.X=20合作探究 把一个长方形（如图）划分成三个全等的长方形.若使每一个小长方形与原长方形相似，则原长方形应满足什么条件？ab∴长方形应满足宽是长的 倍.延伸: 矩形纸张的长与宽的比为 ,对开后所得的矩形纸张与原来的矩形纸张相似,学以致用 继续对开,叠放起来,你发现了什么有趣的现象?你能给出数学解释吗?xy这组矩形右上顶点的坐标都在直线 上 如图1，把一张标准纸一次又一次对开，得到“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸、“16开”纸…．已知标准纸的短边长为a．
（1）如图2，把这张标准纸对开得到的“16开”张纸按如下步骤折叠：第一步 将矩形的短边AB与长边AD对齐折叠，点B落在AD上的点B′处，铺平后得折痕AE；第二步将长边AD与折痕AE对齐折叠，点D正好与点E重合，铺平后得折痕AF．则AD:AB的值是 ，AD、AB的长分别是 ， ．
（2）“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸的长与宽之比是否都相等？若相等，直接写出这个比值；若不相等，请分别计算它们的比值．
（3）如图3，由8个大小相等的小正方形构成“L”型图案，它的四个顶点E、F、G、H分别在“16开”纸的边上，求DG的长． 均都相等，比值为（3）如图3，由8个大小相等的小正方形构成“L”型图案，它的四个顶点E、F、G、H分别在“16开”纸的边上，求DG的长．x2x1.各对应角相等、各对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.3.相似多边形对应边的比叫做相似比.2.对应顶点的字母写在对应的位置上.相似多边形的对应角相等，对应边成比例.4相似多边形的性质相似多边形的周长之比等于相似比;面积之比等于相似比的平方.
