浙教版九上数学期末总复习解直角三角形导学稿
知识链接（学生课前完成）（第1课时）
1. 如果是正三角形的一个内角，那么的值等于（ ）
A． B． C． D．1
2. 如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，若AB＝5，AC＝4，则tan∠B＝（ ）
A. B. C. D.
3．如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则sin∠ABC等于（ ）
A. B. C. D.
4. 在中国地理图册上，连结上海、香港、台湾三地构成一个三角形，用刻度尺测得它们之间的距离如图所示，飞机从台湾直飞上海的距离约为1286千米，那么飞机从台湾绕道香港
再到上海的飞行距离约为( )
A. 3858千米 B. 3456千米 C. 2400千米 D. 3800千米
5.如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（ ）
A． B． C． D．
6.如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是（ ）
A．200米 B. 米 C. 米 D. 米
7.如图，Rt△ABC,∠C=900,AB=6,cosB=,则BC的长为（ ）
A. 4 B. 2 C. D.
8.为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出如下图形，其中，，AF交BE于D，C在BD上．有四位同学分别测量出以下四组数据：①BC，∠ACB； ②CD，∠ACB，∠ADB；③EF，DE，BD；④DE，DC，BC．能根据所测数据，求出A，B间距离的有（ ）
A. 1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组
某时刻海上点P处有一客轮，测得灯塔A位于客轮P的北偏东30°方向，且相距20海里.客轮以60海里/小时的速度沿北偏西60°方向航行小时到达B处，
那么tan∠ABP=( )A. B.2 C. D.
10.如图，为测量某物体AB的高度，在D点测得A点的仰角为30o，朝物体AB方向前进20米到达点C，再次测得A点的仰角为60o，则物体的高度为（ ）
A.10米 B.10米 C.20米 D.
二．共同探索：
1.如图，为了开发利用海洋资源，某勘测飞机预测量一岛屿两端A．B的距离，飞机在距海平面垂直高度为100米的点C处测得端点A的俯角为60°，然后沿着平行于AB的方向水平飞行了500米，在点D测得端点B的俯角为45°，求岛屿两端A．B的距离（结果精确到0.1米，参考数据：）
2.如图，小山岗的斜坡AC的坡度是tanα=，在与山脚C距离200米的D处，测得山顶A的仰角为26.6°，求小山岗的高AB（结果取整数：参考数据：sin26.6°=0.45，cos26.6°=0.89，tan26.6°=0.50）．
3.如图某天上午9时,向阳号轮船位于A处，观测到某港口城市P位于轮船的北偏西67.5°，轮船以21海里/时的速度向正北方向行驶，下午2时该船到达B处，这时观测到城市P位于该船的南偏西36.9°方向，求此时轮船所处位置B与城市P的距离？（参考数据：sin36.9°≈，tan36.9°≈，sin67.5°≈，tan67.5°≈）
4.如图，沿AC方向开山修一条公路，为了加快施工进度，要在小山的另一边寻找点E同时施工．从AC上的一点B取∠ABD=127°，沿BD方向前进，取∠BDE=37°，测得BD=520m，并且AC,BD和DE在同一平面内．
（1）施工点E离D多远正好能使 A,C,E成一直线（结果保留整数）；
（2）在（1）的条件下，若BC=80m,求公路CE段的长（结果保留整数）
（参考数据：sin37°=0.60，cos37°=0.80，tan37°=0.75）
学生课堂跟进练习：
1.如图，2013年4月10日，中国渔民在中国南海黄岩岛附近捕鱼作业，中国海监船在A地侦察发现，在南偏东60o方向的B地，有一艘某国军舰正以每小时13海里的速度向正西方向的C地行驶，企图抓捕正在C地捕鱼的中国渔民。此时，C地位于中国海监船的南偏东45o方向的10海里处，中国海监船以每小时30海里的速度赶往C地救援我国渔民，能不能及时赶到？（≈1.41，≈1.73，≈2.45）
2.如图，已知斜坡AB长60米，坡角（即∠BAC）为30°，BC⊥AC，现计划在斜坡中点D处挖去部分坡体（用阴影表示）修建一个平行于水平线CA的平台DE和一条新的斜坡BE．（请讲下面2小题的结果都精确到0.1米，参考数据：≈1.732）．
（1）若修建的斜坡BE的坡角（即∠BEF）不大于45°，则平台DE的长最多为 米；
（2）一座建筑物GH距离坡角A点27米远（即AG=27米），小明在D点测得建筑物顶部H的仰角（即∠HDM）为30°．点B、C、A、G、H在同一个平面内，点C、A、G在同一条直线上，且HG⊥CG，问建筑物GH高为多少米？
定时训练（限时20分钟）（第2课时）
1．在Rt△ABC中，∠A＝90o，如果BC＝5，sinB＝0.6，那么AC＝
2.已知Rt△ABC中，∠C＝90o, AC＝，BC＝2，则tanB＝
3.已知sinα·cos30°＝,则锐角α＝ 度．
4. 如图，小亮同学从A地沿北偏西60o方向走100m到B地，再从B地向正南方向走200m到C地，此时小亮同学离A地__________ m（精确到个位数）
5．有一个直角梯形零件，，斜腰的长为，，则该零件另一腰的长是__________．（结果不取近似值）
6.如图是小李设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点处放一水平的平面镜，光线从点出发经平面镜反射后刚好射到古城墙的顶端处，已知⊥，⊥，且测得=1.1米，=1.9米，=19米， 那么该古城墙的高度是 _米.
7．如图，小明晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，从C处继续往前走2米到达E处时，测得影子EF的长为2米，Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ在同一条直线上，已知小明的身高是1.6米，那么路灯A的高度等于 米.
8.如图，在平面直角坐标系O中，已知点A（3，3）和点B（7，0），则sin∠ABO的值
等于 .
9.如图，tan∠1=
10.如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18cm，深为30cm，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡BC的坡度，则AC的长度是 cm．
四．提升探索：
1.某宾馆为庆祝开业，在楼前悬挂了许多宣传条幅，如图所示，一条幅从楼顶A处放下，在楼前点C处拉直固定，小明为了测量此条幅的长度，他先在楼前D处测得楼顶A点的仰角为31°，再沿DB方向前进16米到达E处，测得点A的仰角为45°，已知点C到大厦的距离BC=7米，,请根据以上数据求条幅的长度（结果保留整数.参考数据：）
2.如图，一艘货轮在A处发现其北偏东45o方向有一海盗船，立即向位于正东方向B处的海警舰发出求救信号，并向海警舰靠拢，海警舰立即沿正西方向对货轮实施救援，此时距货轮200海里，并测得海盗船位于海警舰北偏西60o方向的C处。
（1）求海盗船所在C处距货轮航线AB的距离。
（2）若货轮以45海里/时的速度向A处沿正东方向海警舰靠拢，海盗以50海里/时的速度由C处沿正南方向对货轮进行拦截：问海警舰的速度应为多少时才能抢在海盗之前去救货轮（结果保留根号）
浙教版九上数学期末总复习解直角三角形导学稿答案
一．知识链接（学生课前完成）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
D
A
A
B
D
A
C
D
A
二．共同探索：
1.解：过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F，
∵AB∥CD，
∴∠AEF=∠EFB=∠ABF=90°，
∴四边形ABFE为矩形．
∴AB=EF，AE=BF．
由题意可知：AE=BF=100米，CD=500米．
在Rt△AEC中，∠C=60°，AE=100米．
∴CE===（米）．
在Rt△BFD中，∠BDF=45°，BF=100．
∴DF===100（米）．
∴AB=EF=CD+DF﹣CE=500+100﹣≈600﹣×1.73≈600﹣57.67≈542.3（米）．
答：岛屿两端A．B的距离为542.3米．
点评：本题考查了仰俯角问题，解决此类题目的关键是正确的将仰俯角转化为直角三角形的内角并用解直角三角形的知识解答即可，解决此类题型的关键是数学转化思想即不规则图形转化为我们所熟悉的特殊图形进行计算．难度中等．
解：∵在直角三角形ABC中，=tanα=，
∴BC=
∵在直角三角形ADB中， ∴=tan26.6°=0.50
即：BD=2AB
∵BD﹣BC=CD=200 ∴2AB﹣AB=200 解得：AB=300米，
点评：本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并求解．
3.解：过点P作PC⊥AB，垂足为C，设PC=x海里．在Rt△APC中，∵tan∠A=，∴AC=．在Rt△PCB中，∵tan∠B=，∴BC=．∵AC＋BC=AB=21×5，∴，解得.∵，∴（海里）．∴向阳号轮船所处位置B与城市P的距离为100海里．
点评：本题考查方位角、直角三角形、锐角三角函数的有关知识．解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高，构造直角三角形．
学生课堂跟进练习：
1.解：如图过点A作AD⊥BC，交BC 的延长线于点D，根据题意得出
∠DAC=45°，∠DAB=60°，
∵AD⊥BC，∴sin∠DAC=，cos∠DAC=，cos∠DAC=,
即是tan45°=,CD=10, cos45°=,AD=10×=,
∵tan60°=∴BD=×=
∴BC=－≈5.20（海里），
中国海监船以每小时30海里的速度赶往C地所需时间是（时），
某国军舰以每小时13海里的速度向正西方向的C地所需时间是=（时），
因为＞，所以中国海监船以每小时30海里的速度赶往C，能及时救援我国渔民.
点评：结合图形信息解直角三角形问题，注意转化方法的运用，即是构造直角三角形，灵活运用锐角三角函数构造相关的三角函数式，进行有关线段以及角度计算，多个数据注意按照某种要求比较其大小，得出问题的答案.
2.解：（1）∵修建的斜坡BE的坡角（即∠BEF）不大于45°，
∴∠BEF最大为45°，
当∠BEF=45°时，EF最短，此时ED最长，
∵∠DAC=∠BDF=30°，AD=BD=30，
∴BF=EF=BD=15，
DF=15，
故：DE=DF﹣EF=15（﹣1）≈11.0；
（2）过点D作DP⊥AC，垂足为P．
在Rt△DPA中，DP=AD=×30=15，
PA=AD?cos30°=×30=15．
在矩形DPGM中，MG=DP=15，DM=PG=15+27，
在Rt△DMH中，
HM=DM?tan30°=×（15+27）=15+9．
GH=HM+MG=15+15+9≈45.6．
答：建筑物GH高为45.6米．
点评：此题主要考查了解直角三角形中坡角问题，根据图象构建直角三角形，进而利用锐角三角函数得出是解题关键
三．定时训练（限时20分钟）
1. 3 2. 3. 30 4. 173 5. 5 6. 11
7. 4.8 8. 9. 10. 210
四．提升探索：
1.解：设米，∴
在Rt△ABD中，即
∴
即(米)
在中
即条幅的长度约为25米.
点评：解直角三角形中，除了直角外，还知道两个元素（至少有一个是边），就能求出其余的边和角. 有时题目中一个直角三角形所给条件只有一个，需要有两个直角三角形联立才可.
2.解：（1）如图所示，过点C作AB的垂线CD，设CD的长为,那么可知：
，
； ；
（海里）.
（2）设海警舰的速度应为才能抢在海盗之前去救货轮.
海盗从C点到D点所用的时间为：
海警舰要抢在海盗之前去救货轮，则
答：(1) 海盗船所在C处距货轮航线AB的距离为海里
（2）海警舰的速度应为海里/时才能抢在海盗之前去救货轮.
点评：本题考查了学生把实际问题转化为数学问题的能力以及利用方程思想求值的能力，
在解直角三角形的过程中，作垂线构造直角三角形是常用的方法，这就要求学生不仅要会
读题， 还要会看图，在解方程的过程中，还用到了分母有理化的思想，难度中等.
浙教版九上数学期末总复习解直角三角形巩固练习
一．选择题
1.sin60°的相反数是（ ）
A. B. C. D.
2.把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的正弦函数值（ ）
A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的3倍 D．不能确定
3.某时刻海上点P处有一客轮，测得灯塔A位于客轮P的北偏东30°方向，且相距20海里.客轮以60海里/小时的速度沿北偏西60°方向航行小时到达B处，那么tan∠ABP=（ ）A. B.2 C. D.
4.如图，为测量某物体AB的高度，在D点测得A点的仰角为30o，朝物体AB方向前进20米到达点C，再次测得A点的仰角为60o，则物体的高度为（ ）
A.10米 B.10米 C.20米 D.
5.在Rt△ABC中，∠C=900，AC=4，AB=5，则sinB的值是( )．
A. B. C. D.
6.如图，在塔AB前得平地上选择一点C，测出看塔顶的仰角为30°，从C点向塔底B走100米到达D点，测出看塔顶的仰角为45°，则塔AB的高为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
7.小明想测一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米，已知斜坡的坡角为，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为（ ）
A. 米 B. 12米 C 米 D. 10米
8.某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1：，堤坝高BC=50m，则迎水坡面AB的长度是（ ）A．100m B．100m C．150m D．50m
9.在一次数学活动中，李明利用一根拴有小锤的细线和一个半圆形量角器制作了一个测角仪，去测量学校内一座假山的高度CD．如图5，已知李明距假山的水平距离BD为12m，他的眼睛距地面的高度为1.6m，李明的视线经过量角器零刻度线OA和假山的最高点C，此时，铅垂线OE经过量角器的60°刻度线，则假山的高度为（ ）
A．(4＋1.6)m B．(12＋1.6)m词 C．(4＋1.6)m D．4m
10.已知，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰直角△ABC的三个项点分别在这三条平行直线上，则的值是（ ）
A. B. C. D.
二．填空题
11.计算：cos245°+tan30°·sin60°=________．
12.在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,则sinA=________.
13.如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，则tan∠APD的值是
14.观察下列等式
①sin30°= cos60°= ②sin45°= cos=45°=
③sin60°= cos30°= 根据上述规律，计算sin2a+sin2（90°﹣a）=
15.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠C=45°，AD=1，BC=4，则CD=_____
16.如图，边长为1的小正方形网格中，⊙O的圆心在格点上，则∠AED的余弦值是 ．
三．解答题
17完成下列各题（1）已知：sinα·cos60o＝，求锐角α；
（2）计算：．
18．如图，AB和CD是同一地面上的两座相距39米的楼房，在楼AB的楼顶A点测得楼
CD的楼顶C的仰角为45°，楼底D的俯角为30°．求楼CD的高（结果保留根号）．
19．如图，Rt△ABC的斜边AB＝5，cosA＝。
(1)用尺规作图作线段AB的垂直平分线l(保留作图痕迹，
不要求写作法、证明)；
(2)若直线l与AB、BC、AC的延长线分别相交于O、D、E两点，求DE的长。
如图，一段河坝的横截面为梯形ABCD，试根据图中数据，
求出坝底宽AD．（i=CE：ED，单位：m）
21．如图，线段AB、DC分别表示甲、乙两建筑物的高。某初三课外兴趣活动小组为了测量两建筑物的高，用自制测角仪在B处测得D点的仰角为α，在A处测得D点的仰角为β。已知甲、乙两建筑物之间的距离BC为m。请你通过计算用含α、β、m的式子分别表示出甲、乙两建筑物的高度。
22．如图，△ABC中，∠C=90o，点D在AC上，已知∠BDC=45o，BD=10，AB=20．求∠A的度数．
23．如图，某校教学楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，教学楼在建筑物的墙上留下高2米的影子CE；而当光线与地面夹角是45°时，教学楼顶A在地面上的影子F与墙角C有13米的距离（B、F、C在一条直线上）
⑴求教学楼AB的高度；
⑵学校要在A、E之间挂一些彩旗，请你求出A、E之间的距离（结果保留整数）.
（参考数据：sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈ ）
24．黄岩岛是我国南海上的一个岛屿，其平面图如图甲所示，小明据此构造出该岛的一个数学模型如图乙所示，其中∠A=∠D=90°，AB=BC=15千米，CD=千米，请据此解答如下问题：（1） 求该岛的周长和面积（结果保留整数，参考数据≈1.414 ） （2） 求∠ACD的余弦值.
浙教版九上数学期末总复习解直角三角形巩固练习答案
选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
A
D
A
D
D
A
A
A
D
二．填空题
11. 1 12. 13.2 14. 1 15. 3 16.
三．解答题
17.（1）已知：sinα·cos60o＝，求锐角α；
（2）计算：．
18．解：作AE⊥CD于E，则CE=AE=39，
ED=AE=,
所以CD=CE+ED=
19．（1）略
（2）因为Rt△ABC的斜边AB＝5，cosA＝
所以AC=3，BC=4，AO= ，
利用Rt△AOE可得
同理利用Rt△BOD可得
所以
20．解：作BF⊥AD于点F．则BF=CE=4m，
在直角△ABF中，AF===3m，
在直角△CED中，根据i=，则ED===4m．
则AD=AF+EF+ED=3+4.5+4=（7.5+4）m．答：坝底宽AD为（7.5+4）m．
点评：本题考查了坡度坡角的问题，把梯形的计算通过作高线转化成直角三角形的计算是解决本题的基本思路．
21．解：过点A作AM⊥CD于M 在Rt△BCD中，tanα=
∴CD=BC·tanα=m tanα
在Rt△AMD中，tanβ=
∴DM=AM·tanβ=m tanβ
∴AB=CD–DM=m(tanα–tanβ)
点评：本题考查了锐角三角函数的运用，利用含有字母和三角函数的式子表示线段的长。
22．解：在Rt△BDC中，因为sin∠BDC=，
所以BC=BD×sin∠BDC=10×sin45o=10×=10．
在Rt△ABC中，因为sin∠A===，所以∠A=30o．
点评：本题考查的是解直角三角形问题，涉及到锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值，难度适中．解题的关键是选择正确的边角关系解直角三角形．
23．解：⑴过点E作EM⊥AB，垂足为M.设AB为x.
Rt△ABF中，∠AFB=45°，∴BF=AB=x，∴BC=BF+FC=x+13
在Rt△AEM中，∠AEM=22°，AM=AB-BM=AB-CE=x-2，∴tan22°= ，
=，x=12.即教学楼的高12m.
⑵由（1）可得ME=BC=x+13=12+13=25.在Rt△AME中，cos22°= ，
∴ＡＥ＝ ≈ ≈２７．即ＡＥ之间的距离约为２７ｍ．
点评：本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
24．解答：（1）结AC，∵AB=BC=15千米，∠B=90°，
∴∠BAC=∠ACB=45°，AC=15千米.
又∵∠D=90°，
∴AD==12（千米）
∴周长=AB+BC+CD+DA=30+3+12=30+4.242+20.784≈55（千米）.
面积=S△ABC+S△ADC=×15×15+×12×3=+18≈157（平方千米）.
（2）cos∠ACD=.
点评：解直角三角形时，如果已知两边，通常先根据勾股定理求出第三边，再根据三角函数求出其中的一个锐角，最后再利用两锐角互余求出另一个角.如果已知锐角和一边在解直角三角形时，先由两锐角互余，求出另一个锐角，然后利用恰当的三角函数求出另外两条边，或者利用三角函数求出另一条边后，再利用勾股定理求出第三边.如果是非直角三角形通常是添加辅助线，将非直角三角形问题转化为直角三角形问题．
