圆的基本性质
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文档简介
圆的基本性质
一、圆的概念
集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；
2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；
3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合
轨迹形式的概念：
1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；
（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；
3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；
4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；
5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系
1、点在圆内 点在圆内；
2、点在圆上 点在圆上；
3、点在圆外 点在圆外；
三、直线与圆的位置关系
1、直线与圆相离 无交点；
2、直线与圆相切 有一个交点；
3、直线与圆相交 有两个交点；
四、圆与圆的位置关系
外离（图1） 无交点 ；
外切（图2） 有一个交点 ；
相交（图3） 有两个交点 ；
内切（图4） 有一个交点 ；
内含（图5） 无交点 ；
五、垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：
①是直径 ② ③ ④ 弧弧 ⑤ 弧弧
中任意2个条件推出其他3个结论。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
即：在⊙中，∵∥
∴弧弧
六、圆心角定理
圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，
只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，
即：①；②；
③；④ 弧弧
七、圆周角定理
1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。
即：∵和是弧所对的圆心角和圆周角
∴
2、圆周角定理的推论：
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；
即：在⊙中，∵、都是所对的圆周角
∴
推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。
即：在⊙中，∵是直径 或∵
∴ ∴是直径
推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
即：在△中，∵
∴△是直角三角形或
注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。
八、圆内接四边形
圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。
即：在⊙中，
∵四边形是内接四边形
∴
例题选讲
1. 小红的衣服被一个铁钉划了一个呈直角三角形的一个洞，其中三角形两边长分别为1cm和2cm，若用同色圆形布将此洞全部覆盖，那么这个圆布的直径最小应等于 。
2.⊙O的半径为6㎝，OA、OB、OC的长分别为5㎝、6㎝、7㎝，则点A、B、C与⊙O的位置关系是：点A在⊙O_____，点B在⊙O_______。
3. 如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上，∠ACB=40°，则∠AOB=____，∠OAB=_____。
4. 如图，方格纸上一圆经过(2，5)、(-2，2)、(2，-3)、(6，2)四点，则该圆圆心的坐标为 ( )
A．(2，-1) B．(2，2) C．(2，1) D．(3，1)
例1：如图,要把破残的圆片复制完整, 已知弧上的三点A、B、C，
（1）用尺规作图法，找出弧ABC所在圆的圆心O（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）设△ABC是等腰三角形，底边BC = 10cm，腰AB = 6 cm，求圆片的半径R（结果保留根号）；
（3）若在（2）题中的R的值满足n〈R〈m（m、n为正整数），试估算m和n的值.
例2：1）如图，在半径为5cm的⊙O中，圆心O到弦AB的距离为3cm，则弦AB的长是_______ ; 弦AB所对的圆心角的度数为___________。
（2）如图，在⊙O中，弦AB＝60，弓高CD＝9，求圆的半径。
（3）已知点P是半径为5的⊙Ο内一定点，且PO=4，则过点P的所有弦中，弦长可取到的整数值共有的条数是 。
例3：如图所示，AB是⊙O的弦，半径OC、OD分别交AB于点E、F，且AE=BF，请你找出弧AC与弧BD的数量关系，并给予证明．
例4：如图，在⊙O中，直径AB=10，弦AC=6，∠ACB的平分线交⊙O于点D。求BC和AD的长。
例5 ：如图，是⊙O的内接三角形，，为⊙O弧AB上一点，延长至点，使．
（1）求证：；（2）若，求证：．
例6：如图，在⊙O中，AB=2CD，那么（ ）
分析：
解：解法（一），如图，过圆心O作半径OF⊥AB，垂足为E，
∵
在△AFB中，有AF+FB>AB
∴选A。
解法（二），如图，作弦DE=CD，连结CE
在△CDE中，有CD+DE>CE
∴2CD>CE
∵AB=2CD，∴AB>CE
∴选A。
例7如图，点A，B，C，在⊙O上，∠ABO＝32°，∠ACO＝38°，则∠BOC等于（ ）
A．60° B．70° C．120° D．140°
考点：圆周角定理．
分析：过A、O作⊙O的直径AD，分别在等腰△OAB、等腰△OAC中，根据三角形外角的性质求出θ＝2α＋2β．
解答：解：过A作⊙O的直径，交⊙O于D；
△OAB中，OA＝OB，
则∠BOD＝∠OBA＋∠OAB＝2×32°＝64°，
同理可得：∠COD＝∠OCA＋∠OAC＝2×38°＝76°，故∠BOC＝∠BOD＋∠COD＝140°．
点评：本题考查了圆周角定理，涉及了等腰三角形的性质及三角形的外角性质，解答本题的关键是求出∠COD及∠BOD的度数．
例8如图，⊙O的直径AB＝12，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为P，且BP：AP＝1：5，则CD的长为（ ）．
A． B． C． D．
答案：D．
考点：垂径定理与勾股定理．
点评：连接圆的半径，构造直角三角形，再利用勾股定理与垂径定理解决．
例9如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB=8，CD=2，则EC的长为（ ）
A． 2 B． 8 C． 2 D． 2
【答案】D．
【解析】∵⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，AB=8，
∴AC=AB=4，
设⊙O的半径为r，则OC=r﹣2，
在Rt△AOC中，
∵AC=4，OC=r﹣2，
∴OA2=AC2+OC2，即r2=42+（r﹣2）2，解得r=5，
∴AE=2r=10，
连接BE，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ABE=90°，
在Rt△ABE中，
∵AE=10，AB=8，
∴BE===6，
在Rt△BCE中，
∵BE=6，BC=4，
∴CE===2．
【方法指导】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
例10：小敏在作⊙O的内接正五边形时，先做了如下几个步骤：
（1）作⊙O的两条互相垂直的直径，再作OA的垂直平分线交OA于点M，如图1；
（2）以M为圆心，BM长为半径作圆弧，交CA于点D，连结BD，如图2．若⊙O的半径为1，则由以上作图得到的关于正五边形边长BD的等式是（ ）
A． BD2=OD B． BD2=OD C． BD2=OD D． BD2=OD
【答案】C．
【解析】如图2，连接BM，
根据题意得：OB=OA=1，AD⊥OB，BM=DM，
∵OA的垂直平分线交OA于点M，
∴OM=AM=OA=，
∴BM==，
∴DM=，
∴OD=DM﹣OM=﹣=，
∴BD2=OD2+OB2===OD．
例11：如图，已知⊙O的直径AB=6，E、F为AB的三等分点，M、N为上两点，且∠MEB= ∠NFB= 60°，则EM＋FN= ．
【答案】．
【解析】分析：如图，延长ME交⊙O于G，根据圆的中心对称性可得FN=EG，过点O作OH⊥MN于H，连接MO，根据圆的直径求出OE，OM，再解直角三角形求出OH，然后利用勾股定理列式求出MH，再根据垂径定理可得MG=2MH，从而得解．
解：如图，延长ME交⊙O于G．
∵E、F为AB的三等分点，∠MEB=∠NFB=60°，
∴FN=EG．
过点O作OH⊥MN于H，连接MO．
∵⊙O的直径AB=6，
∴OE=OA－AE=×6－×6=1，OM=×6=3．
∵∠MEB=60°，
∴OH=OE sin60°=1×=．
在Rt△MOH中，MH===．
根据垂径定理，MG=2MH=2×=．
EM＋FN=．所以应填．
例题12：如图AB是半圆的直径，图1中，点C在半圆外；图2中，点C在半圆内，请仅用无刻度的直尺按要求画图．
（1）在图1中，画出△ABC的三条高的交点；
（2）在图2中，画出△ABC中AB边上的高．
【思路分析】图1点C在圆外，要画三角形的高，就是要过点B作AC的垂线，过点A作BC的垂线，但题目限制了作图的工具（无刻度的直尺，只能作直线或连接线段），说明必须用所给图形本身的性质来画图（这就是创新作图的魅力所在），作高就是要构造90度角，显然由圆的直径就应联想到“直径所对的圆周角为90度”.设AC与圆的交点为E, 连接BE,就得到AC边上的高BE；同理设BC与圆的交点为D, 连接AD,就得到BC边上的高AD，则BE与AD的交点就是△ABC的三条高的交点；题（2）是题（1）的拓展、升华，三角形的三条高相交于一点，受题（1）的启发，我们能够作出△ABC的三条高的交点P，再作射线PC与AB交于点D，则CD就是所求作的AB边上的高．
[解]在图1中，点P即为所求；在图2中，CD即为所求．
例13：（1）请分别作出下图中三个三角形的外接圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）比较三角形外接圆圆心，得出结论。
即时训练：我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆。例如线段的最小覆盖圆就是以线段为直径的圆。若在中，，，，则的最小覆盖圆的半径是；若在中，，，，则的最小覆盖圆的半径是。
例14：如图，中弦于，，，，则的半径为
，。
即时练习：如图，半径为的圆内有两条互相垂直的弦和，它们的交点到圆心的距离等于，则。
思考：如图，圆内有两条互相垂直的弦和，若圆的半径为，则
。
例15：如图，已知是的直径，，，那么
。
即时训练：如图，是的直径。
（1）如图①，垂直于的两条弦，把圆周等分，则的度数是，的度数是；
（2）如图②，垂直于的三条弦，，把圆周等分，分别求，，
的度数；
（3）如图③，垂直于的条弦，，，…，把圆周等分，请你用含的代数式表示的度数（只需直接写出答案）。
例16：如图，，、分别是半径和的中点，与的大小有什么
关系？为什么？
即时训练：如图，射线交一圆于点、，射线交该圆于点、，且。求证：；
练习：
1．如图，BD为⊙O的直径，∠A=30°，则∠CBD的度数为（ ）
A．30° B．60° C．80° D．120°
如图，AB是⊙O的直径，BC，CD，DA是⊙O的弦，且BC=CD=DA，则∠BCD等于（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
3．如图，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠EOD=40°，则∠DCF等于（ ）
A．80° B．50° C．40° D．20°
4、如图，点A、B、C是⊙O上的三点，∠BAC=40°，则∠OBC的度数是________
5．如图，已知圆心角∠AOB的度数为100°，则圆周角∠ACB等于____________ 。
6.在半径为2的⊙O中，弦AB的长为，则弦AB所对的圆心角∠AOB的度数是__________
7．如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且AB=6，BC=3．
求∠BAC的度数；（2）如果OE⊥AC，垂足为E，求OE的长；（3）求∠ADC的度数．
8. 如图，已知△ABC的一个外角∠CAM＝120°，AD是∠CAM的平分线，且AD的反向延长线与△ABC的外接圆交于点F，连接FB、FC，且FC与AB交于E，
(1)判断△FBC的形状，并说明理由；
(2)请探索线段AB、AC与AF之间满足条件的关系式并说明理由.
9 9.已知：⊿ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，
（1）如图（1），当∠A为锐角时，连接BE，试判断∠BAC与∠CBE的关系，并证明你的结论；
（2）如图（1）中的边AB不动，边AC绕点A按逆时针旋转，当∠BAC为钝角时，如图（2）CA的延长线与⊙O相交于E，请问：∠BAC与∠CBE的关系是否与（1）中你所得出的关系相同？若相同加以证明；若不同，请说明理由。
10.已知：为的直径，是弦，于，于，连结，;
求证：（1）；（2）。
11.如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为，则该半圆的半径为______。
12.如图，弦垂直于的直径，垂足为，且，，则的长为______。
13.如图，的直径与弦相交于点，交角为，若，则等于。
Ｃ
Ｅ
Ａ
Ｏ
Ｄ
Ｂ
A
B
O
C
F
B
C
D
M
A
E
一、圆的概念
集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；
2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；
3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合
轨迹形式的概念：
1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；
（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；
3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；
4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；
5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系
1、点在圆内 点在圆内；
2、点在圆上 点在圆上；
3、点在圆外 点在圆外；
三、直线与圆的位置关系
1、直线与圆相离 无交点；
2、直线与圆相切 有一个交点；
3、直线与圆相交 有两个交点；
四、圆与圆的位置关系
外离（图1） 无交点 ；
外切（图2） 有一个交点 ；
相交（图3） 有两个交点 ；
内切（图4） 有一个交点 ；
内含（图5） 无交点 ；
五、垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：
①是直径 ② ③ ④ 弧弧 ⑤ 弧弧
中任意2个条件推出其他3个结论。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
即：在⊙中，∵∥
∴弧弧
六、圆心角定理
圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，
只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，
即：①；②；
③；④ 弧弧
七、圆周角定理
1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。
即：∵和是弧所对的圆心角和圆周角
∴
2、圆周角定理的推论：
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；
即：在⊙中，∵、都是所对的圆周角
∴
推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。
即：在⊙中，∵是直径 或∵
∴ ∴是直径
推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
即：在△中，∵
∴△是直角三角形或
注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。
八、圆内接四边形
圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。
即：在⊙中，
∵四边形是内接四边形
∴
例题选讲
1. 小红的衣服被一个铁钉划了一个呈直角三角形的一个洞，其中三角形两边长分别为1cm和2cm，若用同色圆形布将此洞全部覆盖，那么这个圆布的直径最小应等于 。
2.⊙O的半径为6㎝，OA、OB、OC的长分别为5㎝、6㎝、7㎝，则点A、B、C与⊙O的位置关系是：点A在⊙O_____，点B在⊙O_______。
3. 如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上，∠ACB=40°，则∠AOB=____，∠OAB=_____。
4. 如图，方格纸上一圆经过(2，5)、(-2，2)、(2，-3)、(6，2)四点，则该圆圆心的坐标为 ( )
A．(2，-1) B．(2，2) C．(2，1) D．(3，1)
例1：如图,要把破残的圆片复制完整, 已知弧上的三点A、B、C，
（1）用尺规作图法，找出弧ABC所在圆的圆心O（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）设△ABC是等腰三角形，底边BC = 10cm，腰AB = 6 cm，求圆片的半径R（结果保留根号）；
（3）若在（2）题中的R的值满足n〈R〈m（m、n为正整数），试估算m和n的值.
例2：1）如图，在半径为5cm的⊙O中，圆心O到弦AB的距离为3cm，则弦AB的长是_______ ; 弦AB所对的圆心角的度数为___________。
（2）如图，在⊙O中，弦AB＝60，弓高CD＝9，求圆的半径。
（3）已知点P是半径为5的⊙Ο内一定点，且PO=4，则过点P的所有弦中，弦长可取到的整数值共有的条数是 。
例3：如图所示，AB是⊙O的弦，半径OC、OD分别交AB于点E、F，且AE=BF，请你找出弧AC与弧BD的数量关系，并给予证明．
例4：如图，在⊙O中，直径AB=10，弦AC=6，∠ACB的平分线交⊙O于点D。求BC和AD的长。
例5 ：如图，是⊙O的内接三角形，，为⊙O弧AB上一点，延长至点，使．
（1）求证：；（2）若，求证：．
例6：如图，在⊙O中，AB=2CD，那么（ ）
分析：
解：解法（一），如图，过圆心O作半径OF⊥AB，垂足为E，
∵
在△AFB中，有AF+FB>AB
∴选A。
解法（二），如图，作弦DE=CD，连结CE
在△CDE中，有CD+DE>CE
∴2CD>CE
∵AB=2CD，∴AB>CE
∴选A。
例7如图，点A，B，C，在⊙O上，∠ABO＝32°，∠ACO＝38°，则∠BOC等于（ ）
A．60° B．70° C．120° D．140°
考点：圆周角定理．
分析：过A、O作⊙O的直径AD，分别在等腰△OAB、等腰△OAC中，根据三角形外角的性质求出θ＝2α＋2β．
解答：解：过A作⊙O的直径，交⊙O于D；
△OAB中，OA＝OB，
则∠BOD＝∠OBA＋∠OAB＝2×32°＝64°，
同理可得：∠COD＝∠OCA＋∠OAC＝2×38°＝76°，故∠BOC＝∠BOD＋∠COD＝140°．
点评：本题考查了圆周角定理，涉及了等腰三角形的性质及三角形的外角性质，解答本题的关键是求出∠COD及∠BOD的度数．
例8如图，⊙O的直径AB＝12，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为P，且BP：AP＝1：5，则CD的长为（ ）．
A． B． C． D．
答案：D．
考点：垂径定理与勾股定理．
点评：连接圆的半径，构造直角三角形，再利用勾股定理与垂径定理解决．
例9如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB=8，CD=2，则EC的长为（ ）
A． 2 B． 8 C． 2 D． 2
【答案】D．
【解析】∵⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，AB=8，
∴AC=AB=4，
设⊙O的半径为r，则OC=r﹣2，
在Rt△AOC中，
∵AC=4，OC=r﹣2，
∴OA2=AC2+OC2，即r2=42+（r﹣2）2，解得r=5，
∴AE=2r=10，
连接BE，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ABE=90°，
在Rt△ABE中，
∵AE=10，AB=8，
∴BE===6，
在Rt△BCE中，
∵BE=6，BC=4，
∴CE===2．
【方法指导】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
例10：小敏在作⊙O的内接正五边形时，先做了如下几个步骤：
（1）作⊙O的两条互相垂直的直径，再作OA的垂直平分线交OA于点M，如图1；
（2）以M为圆心，BM长为半径作圆弧，交CA于点D，连结BD，如图2．若⊙O的半径为1，则由以上作图得到的关于正五边形边长BD的等式是（ ）
A． BD2=OD B． BD2=OD C． BD2=OD D． BD2=OD
【答案】C．
【解析】如图2，连接BM，
根据题意得：OB=OA=1，AD⊥OB，BM=DM，
∵OA的垂直平分线交OA于点M，
∴OM=AM=OA=，
∴BM==，
∴DM=，
∴OD=DM﹣OM=﹣=，
∴BD2=OD2+OB2===OD．
例11：如图，已知⊙O的直径AB=6，E、F为AB的三等分点，M、N为上两点，且∠MEB= ∠NFB= 60°，则EM＋FN= ．
【答案】．
【解析】分析：如图，延长ME交⊙O于G，根据圆的中心对称性可得FN=EG，过点O作OH⊥MN于H，连接MO，根据圆的直径求出OE，OM，再解直角三角形求出OH，然后利用勾股定理列式求出MH，再根据垂径定理可得MG=2MH，从而得解．
解：如图，延长ME交⊙O于G．
∵E、F为AB的三等分点，∠MEB=∠NFB=60°，
∴FN=EG．
过点O作OH⊥MN于H，连接MO．
∵⊙O的直径AB=6，
∴OE=OA－AE=×6－×6=1，OM=×6=3．
∵∠MEB=60°，
∴OH=OE sin60°=1×=．
在Rt△MOH中，MH===．
根据垂径定理，MG=2MH=2×=．
EM＋FN=．所以应填．
例题12：如图AB是半圆的直径，图1中，点C在半圆外；图2中，点C在半圆内，请仅用无刻度的直尺按要求画图．
（1）在图1中，画出△ABC的三条高的交点；
（2）在图2中，画出△ABC中AB边上的高．
【思路分析】图1点C在圆外，要画三角形的高，就是要过点B作AC的垂线，过点A作BC的垂线，但题目限制了作图的工具（无刻度的直尺，只能作直线或连接线段），说明必须用所给图形本身的性质来画图（这就是创新作图的魅力所在），作高就是要构造90度角，显然由圆的直径就应联想到“直径所对的圆周角为90度”.设AC与圆的交点为E, 连接BE,就得到AC边上的高BE；同理设BC与圆的交点为D, 连接AD,就得到BC边上的高AD，则BE与AD的交点就是△ABC的三条高的交点；题（2）是题（1）的拓展、升华，三角形的三条高相交于一点，受题（1）的启发，我们能够作出△ABC的三条高的交点P，再作射线PC与AB交于点D，则CD就是所求作的AB边上的高．
[解]在图1中，点P即为所求；在图2中，CD即为所求．
例13：（1）请分别作出下图中三个三角形的外接圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）比较三角形外接圆圆心，得出结论。
即时训练：我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆。例如线段的最小覆盖圆就是以线段为直径的圆。若在中，，，，则的最小覆盖圆的半径是；若在中，，，，则的最小覆盖圆的半径是。
例14：如图，中弦于，，，，则的半径为
，。
即时练习：如图，半径为的圆内有两条互相垂直的弦和，它们的交点到圆心的距离等于，则。
思考：如图，圆内有两条互相垂直的弦和，若圆的半径为，则
。
例15：如图，已知是的直径，，，那么
。
即时训练：如图，是的直径。
（1）如图①，垂直于的两条弦，把圆周等分，则的度数是，的度数是；
（2）如图②，垂直于的三条弦，，把圆周等分，分别求，，
的度数；
（3）如图③，垂直于的条弦，，，…，把圆周等分，请你用含的代数式表示的度数（只需直接写出答案）。
例16：如图，，、分别是半径和的中点，与的大小有什么
关系？为什么？
即时训练：如图，射线交一圆于点、，射线交该圆于点、，且。求证：；
练习：
1．如图，BD为⊙O的直径，∠A=30°，则∠CBD的度数为（ ）
A．30° B．60° C．80° D．120°
如图，AB是⊙O的直径，BC，CD，DA是⊙O的弦，且BC=CD=DA，则∠BCD等于（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
3．如图，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠EOD=40°，则∠DCF等于（ ）
A．80° B．50° C．40° D．20°
4、如图，点A、B、C是⊙O上的三点，∠BAC=40°，则∠OBC的度数是________
5．如图，已知圆心角∠AOB的度数为100°，则圆周角∠ACB等于____________ 。
6.在半径为2的⊙O中，弦AB的长为，则弦AB所对的圆心角∠AOB的度数是__________
7．如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且AB=6，BC=3．
求∠BAC的度数；（2）如果OE⊥AC，垂足为E，求OE的长；（3）求∠ADC的度数．
8. 如图，已知△ABC的一个外角∠CAM＝120°，AD是∠CAM的平分线，且AD的反向延长线与△ABC的外接圆交于点F，连接FB、FC，且FC与AB交于E，
(1)判断△FBC的形状，并说明理由；
(2)请探索线段AB、AC与AF之间满足条件的关系式并说明理由.
9 9.已知：⊿ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，
（1）如图（1），当∠A为锐角时，连接BE，试判断∠BAC与∠CBE的关系，并证明你的结论；
（2）如图（1）中的边AB不动，边AC绕点A按逆时针旋转，当∠BAC为钝角时，如图（2）CA的延长线与⊙O相交于E，请问：∠BAC与∠CBE的关系是否与（1）中你所得出的关系相同？若相同加以证明；若不同，请说明理由。
10.已知：为的直径，是弦，于，于，连结，;
求证：（1）；（2）。
11.如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为，则该半圆的半径为______。
12.如图，弦垂直于的直径，垂足为，且，，则的长为______。
13.如图，的直径与弦相交于点，交角为，若，则等于。
Ｃ
Ｅ
Ａ
Ｏ
Ｄ
Ｂ
A
B
O
C
F
B
C
D
M
A
E
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