与圆及圆锥有关的计算
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文档简介
与圆的弧长及圆锥有关的计算
【知识要点】
1. 圆的周长为 ，1°的圆心角所对的弧长为 ，n°的圆心角所对的弧长为 ，弧长公式为 .
2. 圆的面积为 ，1°的圆心角所在的扇形面积为 ，n°的圆心角所在的扇形面积为S= = = .
3. 圆柱的侧面积公式：S=.（其中为 的半径，为 的高）
4. 圆锥的侧面积公式：S=.（其中为 的半径，为 的长）
圆锥的全面积公式为： .
圆锥的侧面展开图是 ，这个扇形的半径等于 弧长等于圆锥的
例1：写出扇形弧长公式和面积公式，并证明。
即时训练：（2013兰州）圆锥底面圆的半径为3m，其侧面展开图是半圆，则圆锥母线长为（ ）
A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm
即时训练：(2013湖州)在学校组织的实践活动中，小新同学用纸板制作了一个圆锥模型，它的底面半径为1，高为，则这个圆锥的侧面积为（ ）
A．4π B．3π C．π D．2π
即时训练：（2013杭州）四边形ABCD是直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，且BC=CD=2，AB=3，把梯形ABCD分别绕直线AB，CD旋转一周，所得几何体的表面积分别为S1，S2，则|S1﹣S2|= （平方单位）
例2：扇形的圆心角为，半径为，，是的三等分点，则图中阴影部分的面积和是。
即时训练：（2013山西）如图，四边形ABCD是菱形，∠A=60°，AB=2，扇形BEF的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是（ ）
－ B．－ C．π－ D．π－
即时训练：（2013广东省）如图，三个小正方形的边长都为1，则图中阴影部分面积的和是 ．（结果保留）
例3：已知的边长为，以各边为直径在正方形内画圆周，则所围成的阴影部分的面积是多少？
即时训练：（2013 东营）如图，正方形ABCD中，分别以B、D为圆心，以正方形
的边长a为半径画弧，形成树叶形（阴影部分）图案，则树叶形图案的周长为（ ）
B． C． D．
即时训练：（2013山东德州）如图，扇形AOB的半径为1，∠AOB＝900，以AB为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为（ ）
B、 C、 D、
例4：如图，在扇形纸片中，，，在桌面内的直线上。现将此扇形沿按顺时针方向旋转（旋转过程中无滑动），当落在上时，停止旋转，则点所经过的路线长为（ ）
即时训练：（2013贵州省六盘水）把边长为1的正方形纸片OABC放在直线m上，OA边在直线m上，然后将正方形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转90°，此时，点O运动到了点O1处（即点B处），点C运动到了点C1处，点B运动到了点B1处，又将正方形纸片AO1C1B1绕B1点，按顺时针方向旋转90°…，按上述方法经过4次旋转后，顶点O经过的总路程为 ，经过61次旋转后，顶点O经过的总路程为 ．
例5：半径为，圆心角为的扇形做成圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的周长是；半径是；圆锥的高是；侧面积是。
即时训练：（2013湖北孝感）用半径为10cm，圆心角为216°的扇形做成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为 cm．
即时训练：（2013湖南郴州）圆锥的侧面积为6πcm2，底面圆的半径为2cm，则这个圆锥的母线长为 cm．
即时训练：（2013·聊城）已知一个扇形的半径为60cm，圆心角为150°，用它围成一个圆锥的侧面，那么圆锥的底面半径为 cm．
例6：在中，，，，将三角形以为轴旋转一周，求所得的圆锥的表面积和体积。
即时训练：如图，若圆的直径与弦的夹角为,切线与的延长线交于点，且圆的半径为，将三角形以为轴旋转一周，求所得的圆锥的表面积和体积。
例7：如图，圆锥的轴截面是边长为的正三角形，是母线的中点，
求：（1）在圆锥的侧面上从点到点的最短路线的长；（2）在圆锥的侧面上从点回到点的最短路线的长；（3）在圆锥的侧面上从点爬到母线中点的最段路线的长。
即时训练：交圆于点、，交圆于点、，如弧，弧，则的度数为。
思考：如图中，弦与直径的夹角为，交点为点。若，则圆的半径为。
练习
1、如图，、是上的两个点，是直径，若，则的度数是（ ）
2、如图，、、、四点在上，四边形的一个外角，则等于（ ）
A、35° B、70° C、110° D、140°
3、已知如图、是的两条直径，弦//，求证：。
4、已知：如图所示，点是外的一点，与相交于点、，与 相交于、，。
求证：（1）平分；
（2）；
（3）。
5、已知、为圆的两直径，弦平行，弧的度数为，求的度数。
6、如图，，，的大小关系。
7、如图，正方形内接于，为的中点，直线交于点，如果 的半径为，则点到的距离（ ）
A、 B、 C、 D、
8、内接于圆，，弦//，
求证：①平分；
②。
9、如图，已知、两点的坐标分别为、，是外接圆上的一点，且，则点的坐标为。
10、用三种方法证明：如图，已知在中，半径，是延长线上一点， 交于，求证：弧的度数是的倍。
11、如图，已知的两条半径与互相垂直，为上的一点，且，求的度数。
12、如图，为半圆的直径，，，…，是半圆上的个点，满足
，对于线段，，…，，，，…，，当时，有对互相平行的线段；当取任意大于的整数时，试探索这条线段中有多少对互相平行的线段，写出你的结论。
13、如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN=30°，B为AN弧的中点，点P是直径MN上一个动点，则PA+PB的最小值为（ ）
A、2 B、 C、1 D、2
14、如图，为半圆的直径，半径, 为的中点，过点作//，
求证：（1）四边形为菱形；（2）。
15、已知的半径，扇形的面积等于，则弧所对的圆周角的度数是（ ）
A、120° B、90° C、60° D、30°
16、如图，把直角三角形的斜边放在定直线上，按顺时针方向在上转动两次，使它转到的位置。若，，则顶点运动到点的位置时，点两次运动所经过的路程是______。（计算结果不取近似值）
17、在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型．若扇形的半径为，圆心角为，则圆的半径为________。
18、圆锥的轴截面是一个等边三角形，则这个圆锥的底面积、侧面积、表面积的比是______。
19、如图，有一直径为的圆形铁皮，要从中剪出一个最大的圆心角是的扇形。
（1）求剪掉部分即阴影部分的面积（结果保留π）；
（2）用所留的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面半径是多少？
20、如图，在正方形铁皮上剪下圆形和扇形，使之恰好围成如图所示的圆锥模型，设圆的半径为，扇形的半径为，则圆半径与扇形半径之间的关系是（ ）
A、 B、 C、 D、
21、如图，扇形OAB的圆心角为90°，分别以OA，OB为直径在扇形内作半圆，P和Q分别表示两个阴影部分的面积。
（1）P和Q的面积之和；
（2）猜想P和Q的面积大小关系？并说明理由。
6、经过一个带盖的圆锥形容器的轴的剖面是一个等腰三角形(如图a),它的腰长等于圆锥的
母线长,底边长等于圆锥底面的直径,其尺寸如图a所示(单位:)。
(1)求圆锥形容器的侧面积和它的侧面展开图的圆心角α；
(2)图b是一个直径等于的半圆形铁皮,如何把它裁剪,可以做成这个带盖的圆锥形容器(不考虑缝接处的用料，在图b中用虚线画出裁剪线，注明必要的角度、线段长；画图工具不限，不要求写画法)。
A
B
C
D
【知识要点】
1. 圆的周长为 ，1°的圆心角所对的弧长为 ，n°的圆心角所对的弧长为 ，弧长公式为 .
2. 圆的面积为 ，1°的圆心角所在的扇形面积为 ，n°的圆心角所在的扇形面积为S= = = .
3. 圆柱的侧面积公式：S=.（其中为 的半径，为 的高）
4. 圆锥的侧面积公式：S=.（其中为 的半径，为 的长）
圆锥的全面积公式为： .
圆锥的侧面展开图是 ，这个扇形的半径等于 弧长等于圆锥的
例1：写出扇形弧长公式和面积公式，并证明。
即时训练：（2013兰州）圆锥底面圆的半径为3m，其侧面展开图是半圆，则圆锥母线长为（ ）
A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm
即时训练：(2013湖州)在学校组织的实践活动中，小新同学用纸板制作了一个圆锥模型，它的底面半径为1，高为，则这个圆锥的侧面积为（ ）
A．4π B．3π C．π D．2π
即时训练：（2013杭州）四边形ABCD是直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，且BC=CD=2，AB=3，把梯形ABCD分别绕直线AB，CD旋转一周，所得几何体的表面积分别为S1，S2，则|S1﹣S2|= （平方单位）
例2：扇形的圆心角为，半径为，，是的三等分点，则图中阴影部分的面积和是。
即时训练：（2013山西）如图，四边形ABCD是菱形，∠A=60°，AB=2，扇形BEF的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是（ ）
－ B．－ C．π－ D．π－
即时训练：（2013广东省）如图，三个小正方形的边长都为1，则图中阴影部分面积的和是 ．（结果保留）
例3：已知的边长为，以各边为直径在正方形内画圆周，则所围成的阴影部分的面积是多少？
即时训练：（2013 东营）如图，正方形ABCD中，分别以B、D为圆心，以正方形
的边长a为半径画弧，形成树叶形（阴影部分）图案，则树叶形图案的周长为（ ）
B． C． D．
即时训练：（2013山东德州）如图，扇形AOB的半径为1，∠AOB＝900，以AB为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为（ ）
B、 C、 D、
例4：如图，在扇形纸片中，，，在桌面内的直线上。现将此扇形沿按顺时针方向旋转（旋转过程中无滑动），当落在上时，停止旋转，则点所经过的路线长为（ ）
即时训练：（2013贵州省六盘水）把边长为1的正方形纸片OABC放在直线m上，OA边在直线m上，然后将正方形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转90°，此时，点O运动到了点O1处（即点B处），点C运动到了点C1处，点B运动到了点B1处，又将正方形纸片AO1C1B1绕B1点，按顺时针方向旋转90°…，按上述方法经过4次旋转后，顶点O经过的总路程为 ，经过61次旋转后，顶点O经过的总路程为 ．
例5：半径为，圆心角为的扇形做成圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的周长是；半径是；圆锥的高是；侧面积是。
即时训练：（2013湖北孝感）用半径为10cm，圆心角为216°的扇形做成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为 cm．
即时训练：（2013湖南郴州）圆锥的侧面积为6πcm2，底面圆的半径为2cm，则这个圆锥的母线长为 cm．
即时训练：（2013·聊城）已知一个扇形的半径为60cm，圆心角为150°，用它围成一个圆锥的侧面，那么圆锥的底面半径为 cm．
例6：在中，，，，将三角形以为轴旋转一周，求所得的圆锥的表面积和体积。
即时训练：如图，若圆的直径与弦的夹角为,切线与的延长线交于点，且圆的半径为，将三角形以为轴旋转一周，求所得的圆锥的表面积和体积。
例7：如图，圆锥的轴截面是边长为的正三角形，是母线的中点，
求：（1）在圆锥的侧面上从点到点的最短路线的长；（2）在圆锥的侧面上从点回到点的最短路线的长；（3）在圆锥的侧面上从点爬到母线中点的最段路线的长。
即时训练：交圆于点、，交圆于点、，如弧，弧，则的度数为。
思考：如图中，弦与直径的夹角为，交点为点。若，则圆的半径为。
练习
1、如图，、是上的两个点，是直径，若，则的度数是（ ）
2、如图，、、、四点在上，四边形的一个外角，则等于（ ）
A、35° B、70° C、110° D、140°
3、已知如图、是的两条直径，弦//，求证：。
4、已知：如图所示，点是外的一点，与相交于点、，与 相交于、，。
求证：（1）平分；
（2）；
（3）。
5、已知、为圆的两直径，弦平行，弧的度数为，求的度数。
6、如图，，，的大小关系。
7、如图，正方形内接于，为的中点，直线交于点，如果 的半径为，则点到的距离（ ）
A、 B、 C、 D、
8、内接于圆，，弦//，
求证：①平分；
②。
9、如图，已知、两点的坐标分别为、，是外接圆上的一点，且，则点的坐标为。
10、用三种方法证明：如图，已知在中，半径，是延长线上一点， 交于，求证：弧的度数是的倍。
11、如图，已知的两条半径与互相垂直，为上的一点，且，求的度数。
12、如图，为半圆的直径，，，…，是半圆上的个点，满足
，对于线段，，…，，，，…，，当时，有对互相平行的线段；当取任意大于的整数时，试探索这条线段中有多少对互相平行的线段，写出你的结论。
13、如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN=30°，B为AN弧的中点，点P是直径MN上一个动点，则PA+PB的最小值为（ ）
A、2 B、 C、1 D、2
14、如图，为半圆的直径，半径, 为的中点，过点作//，
求证：（1）四边形为菱形；（2）。
15、已知的半径，扇形的面积等于，则弧所对的圆周角的度数是（ ）
A、120° B、90° C、60° D、30°
16、如图，把直角三角形的斜边放在定直线上，按顺时针方向在上转动两次，使它转到的位置。若，，则顶点运动到点的位置时，点两次运动所经过的路程是______。（计算结果不取近似值）
17、在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型．若扇形的半径为，圆心角为，则圆的半径为________。
18、圆锥的轴截面是一个等边三角形，则这个圆锥的底面积、侧面积、表面积的比是______。
19、如图，有一直径为的圆形铁皮，要从中剪出一个最大的圆心角是的扇形。
（1）求剪掉部分即阴影部分的面积（结果保留π）；
（2）用所留的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面半径是多少？
20、如图，在正方形铁皮上剪下圆形和扇形，使之恰好围成如图所示的圆锥模型，设圆的半径为，扇形的半径为，则圆半径与扇形半径之间的关系是（ ）
A、 B、 C、 D、
21、如图，扇形OAB的圆心角为90°，分别以OA，OB为直径在扇形内作半圆，P和Q分别表示两个阴影部分的面积。
（1）P和Q的面积之和；
（2）猜想P和Q的面积大小关系？并说明理由。
6、经过一个带盖的圆锥形容器的轴的剖面是一个等腰三角形(如图a),它的腰长等于圆锥的
母线长,底边长等于圆锥底面的直径,其尺寸如图a所示(单位:)。
(1)求圆锥形容器的侧面积和它的侧面展开图的圆心角α；
(2)图b是一个直径等于的半圆形铁皮,如何把它裁剪,可以做成这个带盖的圆锥形容器(不考虑缝接处的用料，在图b中用虚线画出裁剪线，注明必要的角度、线段长；画图工具不限，不要求写画法)。
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