圆的基本性质（一）——垂径定理、弦、圆心角和圆周角

圆的基本性质（一）——垂径定理、弦、圆心角和圆周角
垂径定理及推论：对于一个圆和一条直线来说，如果具备下列四个条件中的任何两个，那么也具有其它三个：①垂直于弦，②过圆心，③平分弦，④平分弦所对的弧（当以①、③为题设时，“弦”不能是直径）。
典型例题
一、利用垂径平分弦所对的弧，来处理角的关系
例1 如图1，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠EOD＝40°,则∠DCF等于（ ）
A.80° B. 50° C. 40° D. 20°
二、利用垂径垂直平分弦，证相有关线段相等
例2如图，AB为⊙O的直径，CD为弦，过C、D分别作CN⊥CD、DM⊥CD，分别交AB于N、M，请问图中的AN与BM是否相等，说明理由．
变式一：变式二：
例3 如图2，矩形ABCD与圆心在AB上的⊙O交于点G、B、F、E， GB＝8cm，AG＝1cm，DE＝2cm，则EF＝ cm .
变式一：圆内两条互相平行的弦AB、CD，其中AB=16cm，CD=12cm，圆的半径为10，求AB、CD间的距离。
变式二：如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于E，若AE＝2cm，BE＝6cm，∠CEA＝30o，求：（1）CD的长；（2）│DH-CG│。
变式三 如图，半径为2的圆内有两条互相垂直的弦AB和CD，它们的交点E到圆心O的距离等于1，则＝（ ）
A、28 B、26 C、18 D、35
变式四 如图5，在⊙O中，AB、AC是互相垂直的两条弦， AB＝8cm，AC＝6cm，那么⊙O的半径OA的长（ ）
A．4 cm B．5 cm C．6 cm D．8 cm
三、利用垂径定理，构造直角三角形，利用勾股定理解题
例3 （长春市）某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，图3是水平放置的破裂管道有水部分的截面．（1）请你补全这个输水管道的圆形截面；（2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB＝16cm，水面最深地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径．
例4 有一座圆弧形拱桥，桥下水面AB宽7.2m，拱顶CD高出水面2.4m.现有一艘宽EF为3m，船舱顶部为长方形并高出水面2m的船要经过这里，此船能顺利通过这座桥吗
同步练习
1、在半径为5cm的⊙O中，有一点P满足OP＝3 cm，则过P的整数弦有 条。
2、如图，⊙O中弦AB⊥CD于E，AE＝2，EB＝6，ED＝3，则⊙O的半径为 。
3、等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝120o，BC＝10 cm，则△ABC的外接圆半径为 。
4、圆内一弦与直径相交成30o的角，且分直径为1 cm和5 cm两段，则此弦长为 。
二、解答题：
1、如图，Rt△ABC中，∠C＝90o，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB、BC分别交于点D、E，求AB、AD的长。
2、如图，⊙O的半径为10cm，G是直径AB上一点，弦CD经过点G，CD＝16cm，AE⊥CD于E，BF⊥CD于F，求AE－BF的值。
3、如图，AB、AC为⊙O的两条弦，D、E分别为、中点，求证：AM=AN.
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课下练习
1. 已知：AB交圆O于C、D，且AC＝BD.你认为OA＝OB吗？为什么？
2. 如图所示，是一个直径为650mm的圆柱形输油管的横截面，若油面宽AB=600mm，求油面的最大深度。
3. 如图所示，AB是圆O的直径，以OA为直径的圆C与圆O的弦AD相交于点E。你认为图中有哪些相等的线段？为什么？
4. 如图所示，OA是圆O的半径，弦CD⊥OA于点P，已知OC=5，OP=3，则弦CD=________________。
5. 如图所示，在圆O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E，若AC=2cm，则圆O的半径为____________cm。
6. 如图所示，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，E为垂足，若AB=9，BE=1，则CD=______________。
7. 如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，以AC为直径作圆与斜边交于点P，则BP的长为____________。
8. 如图所示，四边形ABCD内接于圆O，∠BCD=120°，则∠BOD=____________度。
9. 如图所示，圆O的直径为10，弦AB的长为6，M是弦AB上的一动点，则线段的OM的长的取值范围是（ ） A. 3≤OM≤5 B. 4≤OM≤5 C. 3＜OM＜5 D. 4＜OM＜5
10. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 到圆心的距离大于半径的点在圆内 B. 圆的半径垂直于圆的切线
C. 圆周角等于圆心角的一半 D. 等弧所对的圆心角相等
11. 若圆的一条弦把圆分成度数的比为1：3的两条弧，则劣弧所对的圆周角等于（ ）
A. 45° B. 90° C. 135° D. 270°
12. 如图所示，A、B、C三点在圆O上，∠AOC=100°，则∠ABC等于（ ）
A. 140° B. 110° C. 120° D. 130°
13. △ABC中，∠C=90°，AB=，BC=，以点A为圆心，以长为半径画圆，则点C在圆A___________，点B在圆A_________；
14. 圆的半径等于，圆内一条弦长2，则弦的中点与弦所对弧的中点的距离等于_____________；
15. 如图所示，已知AB为圆O的直径，AC为弦，OD∥BC交AC于D，OD=，求BC的长；
16. 如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D。已知：AB，CD。（1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）；（2）求（1）中所作圆的半径。
在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4cm，D是AB边的中点，以点C为圆心，4cm为半径作圆。则A、B、C、D四点在圆内有_____________。
如图所示，圆O的直径AB和弦CD交于E，已知AE=6cm，EB=2cm，∠CEA=30°，求CD。
第18题 第19题
19. 如图所示，已知O是∠EPF的平分线上的一点，以O为圆心的圆心角的两边分别交于点A、B、C、D求证：PB=PD，若角的顶点P在圆上或圆内，上述还成立吗？请说明。
　　　　　　　　　　　　　
参考答案1. 过点O作于E
2. 175mm 3. 略　　4. 8 5. 6. 7. 3.6　　8. 120 9. B
10. D 11. A　12. D13. 内部、外部 14. 15. BC=4cm　16. （2）
17. C、D 18. 19. （1）证明：过O作
（2）上述结论仍成立：
如图所示
图4
图3