第二单元《有理数的运算》单元测试卷(困难)（含解析）

浙教版初中数学七年级上册第二单元《有理数的运算》单元测试卷
考试范围：第二章；考试时间：120分钟；总分：120分
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
小亮设计了一种“幻圆”游戏，将，，，，，，，分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的个数字之和都相等，他已经将，，，这四个数填入了圆圈，则图中的值为( )
A. 或
B. 或
C. 或
D. 或
等边三角形在数轴上的位置如图所示，点、对应的数分别是、，若三角形绕顶点沿顺时针方向连续翻转，第一次翻转后点所对应的数为，则翻转次后点所对应的数为( )
A. 不对应任何数 B. C. D.
“幻方”最早记载于春秋时期的大戴礼记中，如图所示，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，现，，，，，，，填入如图所示的“幻方”中，部分数据已填入，则图中的值为( )
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A. B. C. D.
计算的值( )
A. B. C. D.
，，的代数和比它们的绝对值的和小( )
A. B. C. D.
正整数、满足，则等于( )
A. 或 B. C. D.
已知且则的值是
A. B. C. 或 D. 或
下列结论：
互为相反数的两个数的商为；
在数轴上与表示数的点相距个单位长度的点对应的数是或；
当，则；
带有负号的数一定是负数．
其中正确的结论有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
某种药品的说明书上，贴有如图所示的标签，一次服用这种药品的剂量范围是( )
A. B. C. D.
五位数是的倍数，其中是的倍数，那么的最小值为( )
A. B. C. D.
观察下列等式：，，，，，，，根据其中的规律可得的结果的个位数字是( )
A. B. C. D.
对于有理数，，定义一种新运算，规定，则( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
绝对值小于的所有整数的和是________。
已知，，如果，那么__________．
如图，在数轴上有一点，将点向右移动个单位得到点，点向右移动个单位得到点，点、、分别表示有理数、、、、三点在数轴上的位置如图所示，、、三个数的乘积为负数．若这三个数的和与其中的一个数相等，则的值为 ．
将一根绳子对折一次后从中间剪一刀，绳子变成段；对折两次后从中间剪一刀，绳子变成段；将这根绳子对折次后从中间剪一刀，绳子变成________段．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
将连续的奇数，，，，，排成如图所示的数表．
十字形框中的五个数之和与中间数有什么关系
设中间数为，如何用代数式表示十字形框中五个数之和
若将十字形框上下左右移动，可框住另外五个数，这五个数还有上述的规律吗
十字形框中的五个数之和能等于吗能等于吗
本小题分
材料：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义，如表示、在数轴上对应的两点之间的距离：，所以表示、在数轴上对应的两点之间的距离：，所以表示在数轴上对应的点到原点的距离．
一般地，点、、在数轴上分别表示有理数、、，那么到的距离与到的距离之和可表示为______用含绝对值的式子表示．
利用数轴探究：
满足的的所有值是______；
的最小值是______．
求的最小值是______，此时的值是______．
本小题分
阅读理解，完成下列各题：
定义：已知、、为数轴上任意三点，若点到点的距离是它到点的距离的倍，则称点是的倍点．例如：如图，点是的倍点，点不是的倍点，但点是的倍点，根据这个定义解决下面问题：
在图中，点______ 的倍点填写“是”或“不是”；的倍点是点__________填写或或或；
如图，、为数轴上两点，点表示的数是，点表示的数是，若点是的倍点，则点表示的数是__________；
若、为数轴上两点，点在点的左侧，，一动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，设运动时间为秒，求当为何值时，点恰好是和两点的倍点用含的代数式表示．
本小题分
如图，，两点在数轴上对应的数分别为，，且点在点的左边，，，．

求出______，_______；
现有一只电子蚂蚁从点出发，以个单位长度每秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁从点出发，以个单位长度每秒的速度向左运动．
设两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇，求出点对应的数是多少？
经过多长时间两只电子蚂蚁在数轴上相距个单位长度？
本小题分
在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数--“好数”．
定义：对于三位自然数，各位数字都不为，且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除，则称这个自然数为“好数”．
例如：是“好数”，因为，，都不为，且，能被整除；
不是“好数”，因为，不能被整除．
判断，是否是“好数”？并说明理由；
求出百位数字比十位数字大的所有“好数”的个数，并说明理由．
本小题分
阅读下列材料：即当时，．
用这个结论解决下面问题：
已知，是有理数，当时，求的值
已知，，是有理数，当时，求的值
已知，，是有理数，，，求的值．
本小题分
先阅读后解题．
已知，求和的值．
解：把等式的左边分解因式：．
即．
因为，．
所以，即，．
利用以上解法，解下列问题：
已知：，求和的值．
已知，，是的三边长，满足且为等腰三角形，求．
本小题分
已知：是最小的正整数，且、满足，请回答问题：
请直接写出、、的值： ______ ， ______ ， ______ ．
数轴上，，所对应的点分别为，，，点是，之间的一个动点，其对应的数为，请化简请写出化简过程．
在、的条件下，点、、开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动同时，点和点分别以每秒个单位单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
本小题分
我们知道：在分析和研究数学问题时，当问题所述对象不能进行统一研究时，我们就需要根据数学对象的本质属性，将对象区分为不同种类，然后逐类进行分析和研究，最后综合各类结果得到整个问题的答案，这一思想方法，我们称之为“分类讨论思想”。这一数学思想用处非常广泛，我们经常用这种方法解决问题，例如：我们在讨论的值时，就会对进行分类讨论：当；当
___________，___________．
___________，___________．
若，试求的所有可能的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了有理数的加法．解决本题的关键是知道横竖两个圈的和都是．
由于八个数的和是，所以需满足两个圈的和是，横、竖的和也是列等式可得结论．
【解答】
解：设小圈上的数为，大圈上的数为，
，
横、竖以及内外两圈上的个数字之和都相等，
两个圈的和是，横、竖的和也是，
则，得，
，得，
，，
当时，，则，
当时，，则，
的值为或．
故选：．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了学生对于图形规律题的探索能力，表示出前几次翻转后点所对应的数，则能发现其中蕴含的规律是解决此题的关键．
此题是图形规律题，表示出前几次翻转，则能发现点翻转是每三次向正方向移动个单位的规律，据此可算出第次翻转点移动的距离，则可算出此时点对应的数．
【解答】
解：由图可知，第一次翻转后点不在数轴上，第二次翻转点对应数字，第三次翻转点不动，
由此可知，每三次翻转点沿数轴正方向移动个单位，
刚好能被整除，
在翻转次后，点沿数轴正方向移动了个单位，即点对应数为．
故选：．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题要先读懂题意，根据题意获取数量关系，再用尝试法，直到找到合理的数值，本题综合性比较强，比较注重逻辑推理．
由题意可知，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．所以有，进而得，，，再利用尝试法，把相应的数据带入验证，可得，，，的值，并代入计算可得结论．
【解答】
解：由题意可得：
，
所以有，，，
由图中可知，，，的值，由，，，，，中取得，
不妨取，则，，
这时，的值从，，中取得，
当和，计算验证，都不符合题意，
所以时，符合题意．
具体数值如下图所示，
所以，，，，
则．
故选：．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了有理数的加减混合运算，解决本题的关键是寻找规律．
根据有理数的加减混合运算法则先算括号内的，进而即可求解．
【解答】
解：原式
．
故选：．
5.【答案】
【解析】解：，，
．
故选：．
先求得这个三个数的和，然后再求得它们的绝对值的和，最后用它们绝对值的和减去这三个数的和即可．
本题主要考查的是有理数的加减、绝对值的性质，根据题意列出算式是解题的关键．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了整数的乘法，本题中根据或分类讨论是解题的关键．易得、均为整数，分类讨论即可求得、的值即可解题．
【解答】
解：、是正整数，且最小的正整数为，
是整数且最小整数为，是整数且最小的整数为
，或，
存在两种情况：，，解得：，，；
，解得：；
或，
故选：．

7.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查绝对值，有理数的乘法，熟悉有理数的运算法则是解题的关键绝对值的定义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是有理数的加法符号法则：同号的两个数相加，取原来的符号；异号的两个数相加，取绝对值较大的数的符号．规律总结：互为相反数的绝对值相等
【解答】
解：，，
，．
又，
，；或，．
则．
故选C．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了有理数的除法、相反数的定义、数轴上两点间的距离、绝对值的性质、正数及负数，掌握好基本概念及运算法则是解题关键．
【解答】
解：互为相反数的两个数的商为除外，故此选项错误；
在数轴上与表示数的点相距个单位长度的点对应的数是，则，则或，故此选项正确；
当一个数的绝对值为其相反数时，这个数为非正数，即，故此选项错误；
号只有放在正数前时，才是负数，带“”号的数不一定是负数，它有可能是正数．
故选A．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题属于基础题，考查了对有理数的除法运算的实际运用．
一次服用这种药品的剂量服用次数每天服用这种药品的总剂量．当每天服用的总剂量最少，且次数最多时，一次服用这种药品的剂量最少；当每天服用的总剂量最多，且次数最少时，一次服用这种药品的剂量最多．
【解答】
解：当每天，分次服用时，一次服用这种药品的剂量是；
当每天，分次服用时，一次服用这种药品的剂量是．
所以一次服用这种药品的剂量范围是．
故选C．
10.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查被和整除数的特征，解答时要注意结论中的要求．
首先由是的倍数，最小只能是，确定五位数的前四位，再由被整除确定个位，问题得解．
【解答】
解：五位数，是的倍数，其最小值是，
又因五位数是的倍数，即能被整除，
所以只能取；
因此五位数的最小值是．
故选：
11.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了尾数特征，正确得出尾数变化规律是解题关键．首先得出尾数变化规律，进而得出的结果的个位数字．
【解答】
解：因为，，，，，，，
所以个位数个数一循环，
所以，
也就是个位数字按，，，循环了次．
因为，
所以的结果的个位数字是：．
故选：．
12.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
原式利用题中的新定义计算即可得到结果．
【解答】
解：根据题中的新定义得：原式，
故选D．
13.【答案】
【解析】解：根据绝对值的意义得
绝对值小于的所有整数为，，．
所以．
故答案为：．
绝对值的意义：一个数的绝对值表示数轴上对应的点到原点的距离．
互为相反数的两个数的和为依此即可求解．
此题考查了绝对值的意义，并能熟练运用到实际当中．
14.【答案】或
【解析】
【分析】
此题主要考查了绝对值得性质，以及有理数的加法，关键是掌握绝对值的性质，绝对值等于一个正数的数有两个，根据绝对值的性质可得，，再根据，可得，，，然后计算出即可．
【解答】
解：，，
，，
，
，，则：；
，，则，
故答案为或．

15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了数轴，有理数的乘法，考查分类讨论的数学思想，根据这三个数的和与其中的一个数相等分情况讨论是解题的关键．
设的值为，则的值为，的值为，根据这三个数的和与其中的一个数相等分情况讨论即可得出答案．
【解答】
解：设的值为，则的值为，的值为，
当时，，
，，，
乘积大于，不合题意；
当时，，
，，，
乘积大于，不合题意；
当时，，
，，，
乘积小于，符合题意；
故答案为：．
16.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了有理数的乘方，培养学生通过观察、归纳、抽象出数列的规律的能力，要求学生首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案．将一根绳子对折次从中间剪断，绳子变成段：有将一根绳子对折次，从中间剪断，绳子变成段；有依此类推，将一根绳子对折次，从中间剪一刀全部剪断后，绳子变成段．
【解答】
解：对折次从中间剪断，变成段；
对折次，从中间剪断，变成段．
对折次，从中间剪一刀全部剪断后，绳子变成段．
故答案为．
17.【答案】 解：，
十字形框中的五个数之和是中间数的倍；
设中间数为，则其余的个数分别为，，，，由题意，得
．
答：个数之和为；
十字形框上下左右移动，则上下两数之和为中间数的倍，左右两数之和为中间数的倍，框住的五个数的和仍是中间的数的倍；
不是的倍数，
十字形框中的五个数之和不能等于，
，为偶数，
十字形框中的五个数之和也不能等于．
【解析】本题考查了规律型中数字的变化，根据十字框中个数的特点找出十字框中的五个数的和是中间数的倍是解题的关键．注意结合数的排列规律发现左右和上下相邻两个数之间的大小关系，从而完成解答
算出这个数的和，和进行比较；
由中的规律即可求解；
根据中的代数式的和等于，然后列式计算就可以作出判断．
18.【答案】解：
和

；
【解析】解：到的距离为，与到的距离为，
到的距离与到的距离之和可表示为，
故答案为：；
根据绝对值的几何含义可得，表示数轴上与的距离与与的距离之和，
若，则，即；
若，则，方程无解，舍去；
若，则，即，
满足的的所有值是和，
分情况讨论：
当时，，，所以；
当时，，，所以；
当时，，，所以；
综上所述，所以的最小值是．
由前面规律可知，当取最小值时，在和之间；
当时，有最小值，
即最小值为，此时．
故答案为：，．
根据两点间的距离公式，可得到的距离与到的距离之和；
根据两点间的距离公式，分类讨论，即可解答；
为有理数，所以要根据与的正负情况分类讨论，再去掉绝对值符号化简计算．
本题考查了列代数式，数轴与绝对值的概念，读懂题目信息，理解绝对值的几何意义是解题的关键．解题时注意：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
19.【答案】解：是；
或；
依题意得，．
当为的倍点时，，
解得
当为的倍点且在点的左侧时，，
解得
当为的倍点且在点的右侧时，，
解得
综上所述，的值为或或
【解析】
【分析】
此题主要考查了对倍点的理解和认识，解本题的关键是分清倍点的两种不同的情况．
根据图形及新定义可直接解得；
设点表示的数是，根据题意列方程求解即可；
点恰好是和两点的倍点，可分为三种情况讨论，解得有三个值．
【解答】
解：，，
，
点是的倍点．
，，
，
的倍点是点．
点是的倍点，
，
设点表示的数是，
由题意得，
解得或．
见答案．
20.【答案】解：；；
由题意可得，
相遇所需的时间：秒
点对应的数是：，
即点对应的数为：；
相遇前两只电子蚂蚁在数轴上相距个单位长度：
秒
相遇后两只电子蚂蚁在数轴上相距个单位长度：
秒，
综上可得，经过秒或秒的时间两只电子蚂蚁在数轴上相距个单位长度．
【解析】
【分析】
本题考查有理数的运算、绝对值、数轴，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用分类讨论的数学思想解答．
根据题意可得、的符号相反，且，根据可得的值，本题得以解决；
根据题意可以求得两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇时点对应的数值；
根据题意和分类讨论的数学思想可以解答本题．
【解答】
解：，两点在数轴上对应的数分别为，，且点在点的左边，，，，
，，
即的值是，的值是；
见答案．
21.【答案】解：是“好数”，因为，，都不为，且，能被整除，
不是“好数”，因为，不能被整除；
，，，，，，共个，理由：
设十位数数字为，则百位数字为的整数，
，
当时，，
能被，整除，
满足条件的三位数有，，
当时，，
能被，，整除，
满足条件的三位数有，，，
当时，，
能被整除，
满足条件的三位数有，
当时，，
能被整除，
满足条件的三位数有，
即满足条件的三位自然数为，，，，，，共个．
【解析】此题主要考查了数的整除问题，新定义，理解并灵活运用新定义是解本题的关键．
根据“好数”的意义，判断即可得出结论；
设十位数数字为，则百位数字为的整数，得出百位数字和十位数字的和为，再分别取，，，，计算判断即可得出结论．
22.【答案】解：已知，是有理数，当时，
，，
，，
，异号，．
故的值为或．
已知，，是有理数，当时，
，，，
，，，
，，两负一正，
，，两正一负，．
故的值为或
已知，，是有理数，，，
所以，，，，，两正一负，
所以
．

【解析】此题考查了有理数的除法，有理数的加法，以及绝对值的意义，熟练掌握运算法则和注意分类讨论思想的运用是解本题的关键．
分种情况讨论即可求解；
分种情况讨论即可求解；
根据已知得到，，，、、两正一负，进一步计算即可求解．
23.【答案】解：，
，
，
，，
，，
，；
，
，
，
，，
，，
，，
为等腰三角形，
或．
【解析】先将等式左边化为两个完全平方式，根据非负数的和为零可得和的值；
同理可得和的值，再由三角形的三边关系可得的值．
此题考查配方法的应用和非负数的性质，解题的关键是要学会拼凑出完全平方式．
24.【答案】
【解析】解：且，，
，，
，．
是最小的正整数，
，．
故答案为：，，．
点为一动点，其对应的数为，点在到之间运动，
，
，，
．
的值不随着时间的变化而改变．
理由：设三个点运动的时间为秒，
则秒后，、、三点所对应的数分别为：、、，
则，
，
．
故BC的值不随着时间的变化而改变．
由已知，根据非负数定义，得到，，再由为最小正整数，得到，；
由点的位置，得到的取值范围，再由绝对值的性质化简即可；
分别表示、、三点秒后所对应的数，再表示、距离，即可得到的值．
本题为数轴上的动点问题，考查非负数的性质、数轴上点所对应数的表示，应用了数形结合思想．
25.【答案】解：， ；
，；， ；
当，，时，，
当，，三个字母中有一个字母小于，其它两个字母大于时，不妨设，，，则，
，
当，，三个字母中有一个字母大于，其它两个字母小于时，不妨设，，，则，
，
当，，时，，，
综上所述，的所有可能的值为，，．
【解析】
【分析】
本题主要考查了绝对值，有理数的除法以及常用数学思想之分类讨论思想，解题的关键是讨论，，的取值情况．
根据绝对值的定义即可得到结论；
分类讨论：当时，当时，当时，当时，根据绝对值的定义即可得到结论；
分类讨论：当，，时，
当，，三个字母中有一个字母小于，其它两个字母大于时，当，，三个字母中有一个字母大于，其它两个字母小于时，当，，时，根据绝对值的定义即可得到结论．
【解答】
解：，
，
故答案为：，；
当时，；
当时，；
当，时，；
当，时，；
故答案为，；，；
见答案．
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