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浙教版2022-2023学年九上数学第3章 圆的基本性质 培优测试卷3
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图，B，C是⊙O上两点，且∠α＝96°，A是⊙O上一个动点（不与B，C重合），则∠A为（ ）
A．48° B．132° C．48°或132° D．96°
【答案】C
【解析】在优弧BC上取一点A′，连接BA′，CA′.
∵∠A′＝ ∠BOC，∠BOC＝96°，
∴∠A′＝48°，
∵∠A+∠A′＝180°，
∴∠A＝132°，
∴∠A＝48°或132°.
故答案为：C.
2．如图，三角形与⊙O叠合得到三条相等的弦AB、CD、EF，则以下结论正确的是（ ）
A．2∠AOB＝∠AEB B． ＝ ＝
C． ＝ ＝ D．点O是三角形三条中线的交点
【答案】B
【解析】∵∠AOB与∠AEB是 所对的圆心角和圆周角，
∴ ，故A错误；
∵在同圆中，弦AB=CD=EF，则 ＝ ＝ ，故B正确；
无法证明 ＝ ＝ ，故C错误；
∵三角形不是圆的内接三角形，则点O不是三角形中线的交点，故D错误；
故答案为：B.
3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝7，点D在边BC上，CD＝3，以点D为圆心作⊙D，其半径长为r，要使点A恰在⊙D外，点B在⊙D内，那么r的取值范围是（ ）
A．4＜r＜5 B．3＜r＜4 C．3＜r＜5 D．1＜r＜7
【答案】A
【解析】在中，°，，，
．
，，
．
以点为圆心作，其半径长为，要使点恰在外，点在内，
的范围是，
故答案为：A．
4．以下命题：
①三角形的内心是三角形三边中垂线的垂点；②任意三角形都有且只有一个外接圆；③圆周角相等，则弧相等.④经过两点有且只有一个圆，其中真命题的个数为（ ）个.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】①三角形的外心是三角形三边中垂线的垂点，本小题说法是假命题；②任意三角形都有且只有一个外接圆，本小题说法是真命题；③在同圆或等圆中，圆周角相等，则弧相等，本小题说法是假命题；④经过两点有无数个圆，本小题说法是假命题；
故答案为：A.
5．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度至△AB′C′处，使得点C恰好在线段B′C′上，若∠ACB=75°，则∠BCB′的度数为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
【答案】C
【解析】∵将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度至△AB'C'处
∴AC=AC′，∠ACB=∠AC′B′=75°
∴∠ACC′=∠AC′B′=75°
∴∠ACB′=105°
∵∠BCB′=∠ACB′ ∠ACB
∴∠BCB′=105° 75°=30°
故答案为：C.
6．如图，B，C是⊙A上的两点，AB的垂直平分线与⊙A交于E，F两点，与线段AC交于点D．若∠BFC=18°，则∠DBC=（ ）
A．30° B．32° C．36° D．40°
【答案】C
【解析】∵∠BFC=18°，
∴∠BAC=2∠BFC=36°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB= =72°．
又EF是线段AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴∠A=∠ABD=36°，
∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=72°﹣36°=36°．
故答案为：C．
7．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，M为EF的中点，连接DM，若⊙O的半径为2，则MD的长度为（ ）
A． B． C．2 D．1
【答案】A
【解析】连接OM、OD、OF，如图所示：
∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，M为EF的中点，
∴OM⊥OD，OM⊥EF，∠MFO=60°，
∴∠MOD=∠OMF=90°，
∴OM=OF sin∠MFO=2× = ，
∴MD= = = ；
故选：A．
8．如图，在⊙O中，直径AB垂直弦CD，E为BC弧上一点，下列结论：①∠1=∠2；②∠3=2∠4；③∠3+∠5=180°,其中正确的是( )
A．①③ B．②③ C．①②③ D．①②
【答案】D
【解析】(1)∵AB⊥CD，
∴弧BC=弧BD，
∴∠2=∠BAC，∠BAD=∠BAC，
∵OC=OA，
∴∠1=∠BAC，
∴∠1=∠2，
∴结论①正确；
( 2 )∵弧BC=弧BD，
∴∠4=∠2，
∵∠1=∠2=∠BAC，
∴∠4=∠2=∠1=∠BAC，
∴∠3=∠1+∠BAC=2∠1，
∴∠3=2∠4，
∴结论②正确；
( 3 )∵四边形ACEB为圆的内接四边形，
∴∠5+∠BAC=180°，
∵∠BAC=∠1，∠3=2∠1，
∴∠3=2∠BAC，
∠5+ ∠3=180°，
∴结论③错误，
总上所述，结论①②正确，
故答案为：D.
9．如图，在⊙O中，弦AB∥CD，OP⊥CD，OM＝MN，AB＝18，CD＝12，则⊙O的半径为（ ）
A．4 B．4 C．4 D．4
【答案】C
【解析】如图，连接OA，OC．
∵OP⊥CD，CD∥AB，
∴OP⊥AB，
∴CN＝DN＝6，AM＝MB＝9，
设OA＝OC＝r，OM＝MN＝a，
则有
解得，r＝4.
故答案为：C.
10．有一张矩形纸片ABCD，已知AB=2，AD=4，上面有一个以AD为直径的半圆（如图1），E为边AB上一点，将纸片沿DE折叠，A点恰好落在BC上，此时半圆还露在外面的部分（如图2，阴影部分）的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设阴影部分所在的圆心为O，AD与半圆弧交于点F，如图，连接OF，
由折叠的性质知：AD=BC=4，CD=2，
∴AC=2= CD，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴∠DAC=45°，
∵OD∥BC，
∴∠ODF=45°，
∴OD=OF=2，
∴∠ODF=∠OFD=45°，
∴∠DOF=180°-45°-45°=90°，
∴S阴影部分=S扇形DOF-S△ODF
=π-2．
故答案为：A．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．已知⊙O的半径为10，弦AB//CD， AB=12， CD=16，则AB和CD的距离为 .
【答案】2或14
【解析】过点O作OF⊥AB于点F，交CD于点E，连接OD，OB，
当AB和CD在圆心的同一侧时，、
∵AB∥CD，
∴OE⊥CD，
∴∠OED=∠OFB=90°，DE=CD=8，BF=AB=6，
∴，
∴EF=OF-OE=8-6=2；
当AB和CD在圆心的异侧时，
EF=OE+OF=6+8=14；
∴AB和CD的距离为2或14.
故答案为：2或14
12．过⊙O内一点P的最长弦长为10cm，最短弦长为8cm，那么OP的长为 cm．
【答案】3
【解析】如图，
∵过⊙O内一点P的最长弦长为10cm，最短弦长为8cm
∴AB=10cm，CD=8cm，
∵AB⊥CD，
∴CD=8，
∴
∵CO=5cm，
在Rt△CPO中
,
故答案为：3.
13．如图，⊙O的半径为6，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，D是⊙O上一点，∠CDB＝22.5°，则AB＝ .
【答案】
【解析】∵∠CDB＝22.5°，
∴∠COB＝2∠CDB＝45°，
∵OC⊥AB，
∴∠OBA＝∠COB＝45°，
∴∠OAB＝∠OBA＝45°，
∵半径为6，
∴AB＝ OA＝6 ，
故答案为：6 .
14．如果半径为5的一条弧的长为 ，那么这条弧所对的圆心角为 。
【答案】108°
【解析】由弧长的公式将l=3π，r=5代入弧长的公式可得3π=，可求得n=108°。
故答案为：108°
15．如图，CD是⊙O的直径，∠EOD＝84°，AE交⊙O于点B，且AB＝OC，则∠A的度数是 ．
【答案】28°
【解析】由AB＝OC，得AB＝OB，∠A＝∠AOB．
由BO＝EO，得∠BEO＝∠EBO．
由∠EBO是△ABO的外角，
得∠EBO＝∠A＋∠AOB＝2∠A，∠BEO＝∠EBO＝2∠A．
由∠EOD是△AOE的外角，得∠A＋∠AEO＝∠EOD，
即∠A＋2∠A＝84°，
解得：∠A＝28°．
故答案为28°．
16．如图,在⊙O中,C是弦AB上的点,AC=2,CB=8.连接OC,过点C作DC⊥OC,与⊙O交于点D,DC的长为 .
【答案】4
【解析】（相似法）延长DC交⊙O于点E，连接AD、BE，
∵OC⊥DE，∴DC=CE，
∵∠D=∠B，∠ACD=∠ECB∴△ADC∽△EBC
∴
∵AC CB=DC CE∴DC2=2×8=16，
∵DC>0，
∴DC=4
（勾股定理）过点O作OE⊥AB于E，延长DC交⊙O于点F，由垂径定理与勾股定理得：
OC2+CD2=OD2,①
OE2+BE2=OB2,②
CE2+OE2=OC2③
有①②得：OC2+CD2=OE2+BE2
代入③得：CE2+OE2+CD2=OE2+BE2
有垂径定理得：CE=3,BE=5
∴DC=4
故答案为：4.
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图， 的半径为2，四边形 内接于 ，圆心 到 的距离等于 .
（1）求 的长；
（2）求 的度数.
【答案】（1）解：过点 作 于点 ，如图，
则在 中， ； ，
∴
∴ ；
（2）解：连接 ，如图：
∵由（1）知，在 中， ，
∴ ，
∵弧 =弧AC，
∴ ，
∴ ．
18．如图，AB是⊙O的直径，点C、D均在⊙O上，∠ACD＝30°，弦AD＝4cm．
（1）求⊙O的直径．
（2）求 的长．
【答案】（1）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°．
∵同弧所对的圆周角相等，∴∠ABD＝∠ACD＝30°．
∵AD＝4，
∴AB＝8．
∴⊙O的直径为8cm．
（2）解：连结OD，则∠AOD＝2∠ACD＝60°．
∴ 的长为 ．
19．如图，已知 、 是 的直径，弦 于 ．
（1）若 cm， cm，求 的半径；
（2）若 ，求 的度数．
【答案】（1）解：设半径为r
∵弦 ，
∴
∵
∴
在△DOE中，
∴
解得
即 的半径为10cm．
（2）解：连接BD
∵ 是 的直径
∴
∴
∵弦
∴
∴
∵
∴
∴
20．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，点F在DC的延长线上，AF交⊙O于G．
（1）求证：∠FGC＝∠ACD；
（2）若AE=CD=8，试求⊙O的半径．
【答案】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，CD⊥AB，
∴AB垂直平分CD，
∴AC=AD，
∴∠ACD=∠D，
∵四边形AGCD内接于⊙O，
∴∠AGC+∠D=180°，
∵∠AGC+∠FGC=180°，
∴∠D=∠FGC，
∴∠ACD=∠FGC；
（2）解：连接OC，
∵AB为⊙O的直径，CD⊥AB，AE=CD=8，
∴CE=ED=4，
设OA=OC=r，则OE=8-r，
在Rt△COE中，，
即，
解得r=5，
即⊙O的半径为5.
21． 中， ， ，将 绕点 按顺时针旋转 得到 ，连接 ， ，它们交于 点．
（1）求证： ．
（2）当 ，求 的度数．
【答案】（1）证明：∵ 绕点 按顺时针方向旋转角 得到 ，
∴ ， ， ，
∴ ，
，即 ，
在 和 中， ，
∴ ，∴
（2）解：∵ ，∴ ，
而 ，∴ ，
∵ ， ，∴ ，
∴
22．如图，在中，，点在BC边上，过A，B，F三点的交AC于点，作直径AE，连结EF并延长交AC于点，连结BE，BD，此时.
（1）求证：；
（2）当为BC的中点，且时，求的直径长.
【答案】（1）证明：连接AF，
是的直径，
，
，
，
，
是的直径，
垂直平分AF，
；
（2）解：当为BC的中点，，
的直径长为2.
23．如图，四边形 内接于 ， ， ，垂足为E.
（1）若 ，求 的度数；
（2）求证： .
【答案】（1）解： ， ，
，
四边形 是 的内接四边形，
，
（2）证明： ，
，
，
，
，
，
，
；
24．已知△ABC和△ADE都是等腰三角形，AB＝AC，AD＝AE，∠DAE＝∠BAC．
（1）（初步感知）特殊情形：如图①，若点D，E分别在边AB，AC上，则DB EC．（填＞、＜或＝）
（2）发现证明：如图②，将图①中△ADE的绕点A旋转，当点D在△ABC外部，点E在△ABC内部时，求证：DB＝EC．
（3）条直线上，则∠CDB的度数为 ；线段CE，BD之间的数量关系为 ．
（4）如图④，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点C、D、E在同一直线上，AM为△ADE中DE边上的高，则∠CDB的度数为 ；线段AM，BD，CD之间的数量关系为 ．
【答案】（1）=
（2）解：
理由：由旋转性质可知，
在和中，
，
；
（3）；
（4）；
【解析】（1），，
，
即
故答案为：，
(3)如图③，设，交于O，
和都是等边三角形，
，，，
，
在和中，
，
，，
，
；
故答案是：，；
（4）是等腰直角三角形，
，
，
在和中，
，
，，
，
，
都是等腰直角三角形，为中边上的高，
，
；
故答案为：，；
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1 / 1中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版2022-2023学年九上数学第3章 圆的基本性质 培优测试卷3
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图，B，C是⊙O上两点，且∠α＝96°，A是⊙O上一个动点（不与B，C重合），则∠A为（ ）
A．48° B．132° C．48°或132° D．96°
（第1题） （第2题） （第3题） （第5题） （第6题）
2．如图，三角形与⊙O叠合得到三条相等的弦AB、CD、EF，则以下结论正确的是（ ）
A．2∠AOB＝∠AEB B． ＝ ＝
C． ＝ ＝ D．点O是三角形三条中线的交点
3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝7，点D在边BC上，CD＝3，以点D为圆心作⊙D，其半径长为r，要使点A恰在⊙D外，点B在⊙D内，那么r的取值范围是（ ）
A．4＜r＜5 B．3＜r＜4 C．3＜r＜5 D．1＜r＜7
4．以下命题：
①三角形的内心是三角形三边中垂线的垂点；②任意三角形都有且只有一个外接圆；③圆周角相等，则弧相等.④经过两点有且只有一个圆，其中真命题的个数为（ ）个.
A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度至△AB′C′处，使得点C恰好在线段B′C′上，若∠ACB=75°，则∠BCB′的度数为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
6．如图，B，C是⊙A上的两点，AB的垂直平分线与⊙A交于E，F两点，与线段AC交于点D．若∠BFC=18°，则∠DBC=（ ）
A．30° B．32° C．36° D．40°
7．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，M为EF的中点，连接DM，若⊙O的半径为2，则MD的长度为（ ）
A． B． C．2 D．1
（第7题） （第8题） （第9题） （第10题）
8．如图，在⊙O中，直径AB垂直弦CD，E为BC弧上一点，下列结论：①∠1=∠2；②∠3=2∠4；③∠3+∠5=180°,其中正确的是( )
A．①③ B．②③ C．①②③ D．①②
9．如图，在⊙O中，弦AB∥CD，OP⊥CD，OM＝MN，AB＝18，CD＝12，则⊙O的半径为（ ）
A．4 B．4 C．4 D．4
10．有一张矩形纸片ABCD，已知AB=2，AD=4，上面有一个以AD为直径的半圆（如图1），E为边AB上一点，将纸片沿DE折叠，A点恰好落在BC上，此时半圆还露在外面的部分（如图2，阴影部分）的面积是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．已知⊙O的半径为10，弦AB//CD， AB=12， CD=16，则AB和CD的距离为 .
12．过⊙O内一点P的最长弦长为10cm，最短弦长为8cm，那么OP的长为 cm．
13．如图，⊙O的半径为6，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，D是⊙O上一点，∠CDB＝22.5°，则AB＝ .
（第13题） （第15题） （第16题）
14．如果半径为5的一条弧的长为 ，那么这条弧所对的圆心角为 。
15．如图，CD是⊙O的直径，∠EOD＝84°，AE交⊙O于点B，且AB＝OC，则∠A的度数是 ．
16．如图,在⊙O中,C是弦AB上的点,AC=2,CB=8.连接OC,过点C作DC⊥OC,与⊙O交于点D,DC的长为 .
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图， 的半径为2，四边形 内接于 ，圆心 到 的距离等于 .
（1）求 的长；
（2）求 的度数.
18．如图，AB是⊙O的直径，点C、D均在⊙O上，∠ACD＝30°，弦AD＝4cm．
（1）求⊙O的直径．
（2）求 的长．
19．如图，已知 、 是 的直径，弦 于 ．
（1）若 cm， cm，求 的半径；
（2）若 ，求 的度数．
20．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，点F在DC的延长线上，AF交⊙O于G．
（1）求证：∠FGC＝∠ACD；
（2）若AE=CD=8，试求⊙O的半径．
21． 中， ， ，将 绕点 按顺时针旋转 得到 ，连接 ， ，它们交于 点．
（1）求证： ．
（2）当 ，求 的度数．
22．如图，在中，，点在BC边上，过A，B，F三点的交AC于点，作直径AE，连结EF并延长交AC于点，连结BE，BD，此时.
（1）求证：；
（2）当为BC的中点，且时，求的直径长.
23．如图，四边形 内接于 ， ， ，垂足为E.
（1）若 ，求 的度数；
（2）求证： .
24．已知△ABC和△ADE都是等腰三角形，AB＝AC，AD＝AE，∠DAE＝∠BAC．
（1）（初步感知）特殊情形：如图①，若点D，E分别在边AB，AC上，则DB EC．（填＞、＜或＝）
（2）发现证明：如图②，将图①中△ADE的绕点A旋转，当点D在△ABC外部，点E在△ABC内部时，求证：DB＝EC．
（3）条直线上，则∠CDB的度数为 ；线段CE，BD之间的数量关系为 ．
（4）如图④，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点C、D、E在同一直线上，AM为△ADE中DE边上的高，则∠CDB的度数为 ；线段AM，BD，CD之间的数量关系为 ．
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