3.4.2圆心角 课件（共24张PPT）

(共24张PPT)
3.4.2圆心角
浙教版 九年级上册
教学目标
教学目标：
掌握”在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个圆心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等”这个圆的性质.
重点：关于圆心角,弧,弦,弦心距之间相互关系的性质
难点：圆心角定理的应用
复习回顾
在⊙O中，当圆心角∠AOB ∠A'OB'时，它们所对的弧
和 ，弦AB和A'B'相等.
O
A
B
A'
B'
(A')
(B')
AB=A'B'
点A与点A'重合；
点B与点B'重合；
AB与A'B'重合；
与 重合.
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.
新知讲解
思考：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它所对的圆心角，所对的弦是否也相等呢？
O
A
B
A'
B'
(A')
(B')
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等.
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等.
AB A'B'
∠AOB ∠A'OB'
AB A'B'
∠AOB ∠A'OB'
新知讲解
问题：相等的弦心距所对的圆心角相等吗？
已知：在⊙O中，AB、CD是两条弦，OE⊥AB，OF⊥CD
垂足为E、F，OE=OF
求证： ∠AOB= ∠COD AB=CD AB=CD
⌒ ⌒
新知讲解
证明：∵OE⊥AB，OF⊥CD
在Rt △AOE和Rt △COF中
∴ Rt △AOE ≌ Rt △COF
∴ ∠AOE= ∠COF
∵OA=OB OC=OD OE⊥AB，OF⊥CD
∴ ∠ AOB=2∠AOE ∠COD=2∠COF
∴∠AOB= ∠COD
⌒ ⌒
∴AB=CD AB=CD
新知讲解
一般地，圆有下面的性质：
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余的各组量都相等.
B
E
D
A
F
C
O
∠AOB=∠COD
AB=CD
OE=OF
AB=CD
⌒
⌒
⑴ ∠AOB=∠COD
⑵ AB=CD
⑶ OE=OF
⑷ AB=CD
新知讲解
已知：如图，AB，CD是⊙O的两
条弦，OE，OF为AB、CD的弦心距，
根据这节课所学的定理及推论填空：
（2）如果OE=OF，那么______________, ， ；
⌒
⌒
（3）如果AB=CD，那么 ， ， ；
（1）如果∠AOB=∠COD，那么 ， ， ;
OE=OF AB=CD AB=CD
⌒
⌒
∠AOB=∠COD AB=CD AB=CD
⌒
⌒
∠AOB=∠COD AB=CD OE=OF
∠AOB=∠COD OE=OF AB=CD
⌒
⌒
A
B
C
F
D
E
O
（4）如果AB=CD，那么 ， ， .
新知讲解
例3、如图，等边三角形ABC内接于⊙O,连结OA,OB,OC．延长AO,分别交BC于点P，交BC于点D，连结BD,CD.判断四边形BDCO是哪一种特殊四边形，并说明理由.
新知讲解
Ｏ
Ｃ
Ｂ
Ａ
Ｄ
Ｐ
解：四边形BDCO是菱形，理由如下：
∵AB=BC=CA
∴∠AOB=∠BOC=∠COA=120°
∴∠BOD=180°-∠AOB=60°
同理：∠COD=60°
又∵OB=OD
∴OB=OD=BD
同理：OC=CD
∴OB=OC=BD=CD
∴四边形BDCO是菱形
新知讲解
例4、已知：如图, △ABC为等边三角形，以AB为直径的圆O分别交AC,BC于点D,E. 求证：
解: 连结OD,OE
在等边三角形ABC中，∠A=60°
∵OA=OD
∴△AOD为等边三角形
∴∠AOD=60°
同理∠BOE=60°
∴∠DOE= 180°-∠AOD-∠BOE=60°
∴∠DOE= ∠AOD=∠BOE
∴
课堂练习
1. 如图，在⊙O中：
(1)若∠AOC=∠BOC，BC=5，则AC= .
(2)若AC=BC，∠BOC=70°，则∠AOC= .
C
O
A
B
·
5
70°
课堂练习
2．如图，在⊙O中，已知弦AB＝DE，OC⊥AB，OF⊥DE，垂足分别为C，F，则下列说法中正确的有(　　)
①∠DOE＝∠AOB；②AB＝DE；③OF＝OC；④AC＝EF
A．1个　　　 　B．2个　　　 　C．3个　　　　D．4个
(
(
D
课堂练习
3．如图，在⊙O中，已知弦AB＝DE，OC⊥AB，OF⊥DE，垂足分别为C，F，则下列说法中正确的有(　　)
①∠DOE＝∠AOB；②AB＝DE；③OF＝OC；④AC＝EF
A．1个　　　 　B．2个　　　 　C．3个　　　　D．4个
(
(
D
课堂练习
解：
∵BC=CD=DE
4.如图，AB是⊙O 的直径，BC=CD=DE.∠COD=35°，求∠AOE 的度数．
·
A
O
B
C
D
E
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
课堂练习
5.如图，已知AB、CD为⊙O的两条弦，AD=BC
求证:AB＝CD.
.
C
A
B
D
O
(
(
∵AD=BC
(
(
课堂练习
6. 如图，在⊙O中，弦AC，BD相交于点P，且AB CD，
求证：AC BD.
解：∵AB CD，
∴
又∵ ，
∴
∴ AC BD
A
O
B
C
·
D
P
课堂练习
7.如图,已知BD,CE是☉O的两条弦,OA平分∠DAE.求证:AB=AC.
分析:作OM⊥BD于M,ON⊥CE于N,根据角平分线的性质得到OM=ON,根据圆心角、弧、弦之间的关系得到BD=CE,证明△AMO≌△ANO,得到AM=AN,得到答案.
课堂练习
证明:作OM⊥BD于M,ON⊥CE于N,
∵OA平分∠DAE,∴OM=ON,∴BD=CE.
∵OM⊥BD,ON⊥CE,
∴△AMO≌△ANO,∴AM=AN,∴AB=AC.
课堂练习
8.如图，已知点O是∠EPF 的平分线上一点，P点在圆外，以O为圆心的圆与∠EPF 的两边分别相交于A、B和C、D.
求证：AB=CD
分析： 联想到“角平分线的性质”，作弦心距OM、ON，
要证AB=CD ，只需证OM=ON.
.
P
A
B
E
C
D
F
O
课堂练习
.
M
N
P
A
B
E
C
D
F
O
课堂小结
在同圆或等圆中,如果 ①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,
④两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
谢谢
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