3.5.1圆周角 课件（共23张PPT）

(共23张PPT)
3.5.1圆周角
浙教版 九年级上册
教学目标
教学目标：
1、理解圆周角概念,理解圆周角与圆心角的异同;
2、掌握圆周角的性质和直径所对圆周角的特征.
重点：圆周角与圆心角的关系,圆周角的性质和直径所对圆周角的特征.
难点：发现并证明圆周角定理.
回顾复习
1.什么叫圆心角？指出图中的圆心角？
顶点在圆心的角叫圆心角, ∠BOC.
A
在同圆（或等圆）中，如果圆心角、弧、弦有一组量相等，那么它们所对应的其余两个量都分别相等。
2.圆心角、弧、弦之间的关系：
新知讲解
　问题：图中∠ACB 的顶点和边有哪些特点？
A
O
B
C
圆周角的概念：
顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角．
顶点在圆上
两边都和圆相交
（两个条件必须同时具备，缺一不可）
针对训练
·
C
O
A
B
·
C
O
B
·
C
O
B
A
A
·
C
O
A
B
·
C
O
B
·
C
O
B
A
A
下列各图中的∠BAC是否为圆周角并简述理由.
（2）
（1）
（3）
（5）
（6）
顶点不在圆上
顶点不在圆上
边AC没有和圆相交
√
√
√
新知讲解
猜想：∠BAC＝∠BOC
命题：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
如图，量出圆周角∠BAC与同弧上所对的圆心角∠BOC的度数，两者之间有什么关系？当点A在BEC上移动的过程中，∠BAC与圆心O有几种不同的位置关系？量一量每次变化后∠BAC的度数，你发现了什么？给出你的猜想 并证明
发现：∠BAC的度数保持不变，等于其对应圆心角的一半
即：∠BOC＝2∠BAC
⌒
新知讲解
圆周角和圆心角的关系：
1.首先考虑一种特殊情况：
当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的一边(BC)上时,
∵∠AOC是△ABO的外角，
∴∠AOC=∠B+∠A.
∵OA=OB，
●O
A
B
C
∴∠A=∠B.
∴∠AOC=2∠B.
即 ∠ABC=∠AOC.
新知讲解
2.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的内部时,
●O
即 ∠ABC =∠AOC.
A
B
C
D
∠ABD =∠AOD,∠CBD =∠COD,
∴ ∠ABD + ∠CBD = （∠AOD+ ∠COD）,
新知讲解
如果圆心不在圆周角的一边上,
3.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时,
过点B作直径BD.由1可得:
∴∠ABC =∠AOC.
D
∠ABD =∠AOD,∠CBD =∠COD,
A
B
C
●O
新知讲解
圆周角定理：
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.
∵∠ACB和∠AOB是AB所对
的圆周角和圆心角，
∴∠ACB= ∠AOB.
圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半.
圆周角与所对的弧度数又有什么关系呢？
几何语言：
针对训练
1.如图，在⊙O中，
（1）若∠ACB=32 ，则∠AOB=______.
64
（2）若AB的度数等于70 ，则∠ACB=_____.
35
（3）若∠OAB=35 ，则∠ACB=_____.
55
新知讲解
如图，BC是⊙O的直径．请问：BC所对的圆周角∠BAC是锐角、直角还是钝角？
∵OA=OB=OC，
∴△AOC、△BOA都是等腰三角形.
∴ ∠OAC=∠OCA，∠OBA=∠OAB.
又∵ ∠OBA+∠OCA+∠CAB=180°，
∴ ∠BAC=∠OAC+∠OAB=180°÷2=90°.
解：∠BAC是直角，理由如下:
连接AO，
若圆周角∠BAC＝90°，那么它所对的弦BC经过圆心吗？
新知讲解
半圆(或直径)所对的圆周角是直角，
90°的圆周角所对的弦是直径．
圆周角和直径的关系:
BC是圆O的直径
∠BAC=90°
直径对直角
直角对直径
新知讲解
例1、如图 ，等腰三角形ABC 的顶角∠BAC 为 50°，以 腰AB为直径作半圆，交BC为点D，交AC于点E，求BD，DE和AE的度数.
⌒
⌒
⌒
新知讲解
解： 连结BE，AD
∵ AB是圆的直径
∴∠AEB=∠ADB=90°(直径所对的圆周角是直角)
∵∠BAC=50°
∴∠ABE=90°-∠BAC=90°-50°=40°
又∵△ABC是等腰三角形，
∴∠ABC=∠C=
∠BAD=∠CAD=BAC=50°=25°
⌒
由圆周角定理，得BD2∠BAD=2×25°=50°
⌒
⌒
DE2∠CAD=2×25°=50°,AE=2∠ABE=2×40°=80°
课堂练习
1.已知△ABC的三个顶点在⊙O上,∠BAC=60°,
∠ABC=45°, 则∠AOB= ．
B
A
C
O
150°
2.如图，已知BD是⊙O的直径，⊙O的弦AC⊥BD于点E，若∠AOD=60°，则∠DBC的度数为（ ）
A.30° B.40° C.50° D.60°
A
课堂练习
3．如图，已知圆心角∠BOC＝100°，点A为优弧 上一点，则圆周角∠BAC的度数为 ．
50°
课堂练习
4.如图，点A、B、C、D在☉O上，点A与点D在点B、C所在直线的同侧，∠BOC=70 ，
（1）∠BAC= ____ .
理由是 ;
(2)∠BDC= ，
理由是 .
（3）∠BAC ____ ∠BDC
35
35
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
=
课堂练习
5.如图,在☉O中,弦BC=1,点A是圆上一点, 且∠A =30°,则☉O的半径是( 　　)
A.1 B.2 C. D.
A
课堂练习
6.如图，AB是☉O的直径，∠A=80°.求∠ABC的大小.
O
C
A
B
解： ∵AB是☉O的直径，
∴∠ACB=90°
∴∠ABC=180°-∠A-∠ACB
=180°-90°-80°=10°.
课堂小结
圆心角
类比
圆周角
圆周角定义
圆周角定理
圆周角定理的推论
1.顶点在圆上，
2.两边都与圆相交的角（二者必须同时具备）
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.
半圆(或直径)所对的圆周角是直角．
90°的圆周角所对的弦是直径．
谢谢
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