(共21张PPT)
3.3.1垂径定理
浙教版 九年级上册
教学目标
教学目标：
1.通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性；
2.掌握垂径定理，理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题；
3.掌握辅助线的作法——过圆心作一条与弦垂直的线段。
重点：垂径定理及其应用
难点：垂径定理的证明
新知导入
赵州桥
37m
7.23m
你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
观察思考
赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.
合作探究
探究：把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．
合作探究
如图，AB是⊙O的一条弦, 直径CD⊥AB, 垂足为E.你能发现图中有哪些相
等的线段和劣弧 为什么
线段: AE=BE
弧: AC=BC, AD=BD
⌒
⌒
⌒
⌒
理由：
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合，AC和BC,AD与BD重合．
⌒
⌒
⌒
⌒
·
O
A
B
D
E
C
新知讲解
题设：
①CD是⊙O直径
②CD AB
①直径
②垂直于弦
E
C
O
A
B
D
垂径定理：
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
结论：
①平分弦
②平分弦所对的两条弧
①AE BE
② ，
新知讲解
已知：如图，⊙O的直径交弦AB(不是直径)于点P，AP=BP.
求证：CD⊥AB，AC=BC
⌒
⌒
证明：连结OA，OB，则AO=BO
∴△AOB是等腰三角形
∵AP=BP
∴CD⊥AB
∴AC=BC (垂直于弦的直径平分弦所对的弧)
⌒
⌒
针对训练
想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？
是
不是，因为没有垂直
是
不是，因为CD没有过圆心
A
B
O
C
D
E
O
A
B
C
A
B
O
E
C
A
B
D
C
O
E
新知讲解
例1、已知AB如图，用直尺和圆规作这条弧的中点.
⌒
E
1. 连结AB;
⌒
2. 作AB的垂直平分线CD,交AB与点E;
作法:
∴点E就是所求AB的中点.
⌒
分析:要平分AB,只要画垂直于弦AB的直径.而这条直径应在弦AB的垂直平分线上.
⌒
新知讲解
例2、一条排水管的截面如图所示. 已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16. 求截面圆心O到水面的距离.
C
8
8
解: 作OC⊥AB于C,
由垂径定理得:AC=BC==0.5×16=8
由勾股定理得:
答: 截面圆心O到水面的距离为6.
D
圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距.
例如, 上图中, OC的长就是弦AB的弦心距.
归纳总结
解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心距（垂线段），或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.
O
O
O
A
A
A
B
B
B
C
C
D
E
M
N
方法总结
在圆中有关弦长a,半径r, 弦心距d（圆心到弦的距离）的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.
涉及垂径定理时辅助线的添加方法
O
A
B
C
·
课堂练习
1.下列说法中，正确的是( )
A．直径是圆的对称轴
B．经过圆心的直线是圆的对称轴
C．与圆相交的直线是圆的对称轴
D．与半径垂直的直线是圆的对称轴
B
2. 在⊙O中，若CD AB于M，AB为直径，则下列结论不正确的是( )
A. B.
C. AM OM D. CM DM
M
A
O
C
D
B
C
课堂练习
DE
AD
⌒
⌒
BD
△ODE
16
·
O
A
B
E
课堂练习
5.已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为 .
5cm
6. ⊙O的直径AB=20cm, ∠BAC=30°则弦AC= .
10
课堂练习
7. 已知⊙O的直径AB 10，弦CD AB于M，OM 3，则CD .
M
A
O
C
D
B
8
5
3
4
8. 在⊙O中，弦CD AB于M，AB为直径，若CD 10， AM 1，则⊙O的半径为 .
M
B
O
C
D
A
r
1
5
r 1
(r 1)2 52 r2
13
解决有关弦的问题时，半径是常用的一种辅助线的添法．往往结合勾股定理计算.
课堂练习
9.如图a、b,一弓形弦长为 cm，弓形所在的圆的半径为7cm，则弓形的高为 .
C
D
C
B
O
A
D
O
A
B
图a
图b
5cm或12cm
课堂练习
10.如图， ⊙ O的弦AB＝8cm ，直径CE⊥AB于D，DC＝2cm，求半径OC的长.
·
O
A
B
E
C
D
解：连接OA，∵ CE⊥AB于D，
∴ .
设OC=x cm，则OD= x-2,根据勾股定理，得
解得 x=5，
即半径OC的长为5cm.
x2=42+(x-2)2，
课堂小结
垂径定理
内容
辅助线
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧
两条辅助线：连半径，作弦心距
构造Rt△利用勾股定理计算或建立方程.
基本图形及变式图形
谢谢
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