3.3.2垂径定理 课件（共20张PPT）

3.3.2垂径定理
浙教版 九年级上册
教学目标
教学目标：
1.进一步探索和掌握垂径定理的推论,明确理解“知二得三”的意义.
2.利用垂径定理及其推论解决相应的数学问题
重点：垂径定理的推论
难点：垂径定理及推论的应用
新知导入
如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命题吗？
①过圆心 ；②垂直于弦； ③平分弦；
④平分弦所对的优弧 ； ⑤平分弦所对的劣弧.
上述五个条件中的任何两个条件都可以推出
其他三个结论吗？
合作探究
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE.
（1）CD⊥AB吗？为什么？
（2）
B
D
（2）由垂径定理可得AC =BC， AD =BD.
⌒
⌒
⌒
⌒
（1）连接AO,BO,则AO=BO,
又AE=BE， OE=OE
∴△AOE≌△BOE（SSS），
∴∠AEO=∠BEO=90°，
∴CD⊥AB.
⌒
AC与BC相等吗？ AD与BD相等吗？为什么？
⌒
⌒
⌒
D
O
A
B
E
C
证明：
新知讲解
思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？
如不能，请举出反例.
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
垂径定理的推论1：
·
O
A
B
C
D
特别说明：圆的两条直径是互相平分的.
新知讲解
由CD是直径
AM=BM
可推得
⌒
⌒
AC=BC,
⌒
⌒
AD=BD.
CD⊥AB,
●O
C
D
●
M
A
B
┗
新知讲解
.
O
A
E
B
D
C
新知讲解
平分弧的直径垂直平分弧所对的弦
由CD是直径
AM=BM
可推得
⌒
⌒
AC=BC,
⌒
⌒
AD=BD.
CD⊥AB,
当AC=BC时，将图形沿直径CD所在的直线对折，则AC与BC重合.所以点A与点B重合，即A，B关于直线CD对称，所以CD垂直平分弦AB，这就证明了定理2.
垂径定理的推论2：
方法总结
“知二推三”
(1)垂直于弦
(2)过圆心
(3)平分弦
(4)平分弦所对的优弧
(5)平分弦所对的劣弧
注意:当具备了(1)(3)时,应对另一 条弦增加”不是直径”的限制.
温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理,几种条件要相互转化,形成整体,才能运用自如.
针对训练
判断下列说法是否正确：
1.垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
2.平分弦的直径垂直于弦.
C
O
A
B
D
E
C
O
A
B
D
3.平分一条直径的弦必垂直于这条直径.
过圆心
不是直径
新知讲解
例3 赵州桥的跨径（桥拱圆弧所对的弦的长）为 37.02 m,拱高(桥拱圆弧的中点到弦的距离)为7.23m, 求赵州桥的桥拱圆弧的半径(精确到0.01m).
A
B
D
解：如图，用AB表示桥拱圆弧，设AB所在的圆的圆心为O，半径为R，C为AB的中点，连结OC，交AB于点D，就有OC垂直平分AB，
所以CD就是拱高.由题意，得
∴AD=????????AB=0.5×37.02=18.51 ,
?
OD=OC-DC=（R-7.23）(m).
在Rt△OAD中，OA2=OD2+AD2
∴R2=18.512+(R-7.23)2,
解得R≈27.31.
答:赵州桥的桥拱圆弧的半径约为27.31m.
C
AB=37.02m,CD=7.23m,
(m)
O
方法归纳
在圆中有关弦长a,半径r, 弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.
涉及垂径定理时辅助线的添加方法：
弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：
弓形中重要数量关系：
A
B
C
D
O
h
r
d
d+h=r
O
A
B
C
·
课堂练习
1．如图表示一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果输水管的半径为????cm，水面宽????????为????cm，则水的最大深度????????为（??? ）
A．????cm B．????cm C．????cm D．????cm
?
C
2．一个圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB＝16m，半径OA＝10m，则高度CD的长为（　 ）
A．2m B．4m C．6m D．8m
B
课堂练习
3.如图， 在⊙O中，AB是⊙O的直径，????????=????????=????????，AB=8，M是AB上的一动点，CM+DM的最小值是______．
?
????
?
4.如图，在半径为1的扇形AOB中，∠????????????=?????????，点P是弧AB上任意一点（不与点A，B重合）????????⊥????????，????????⊥????????，垂足分别为C，D，则CD的长为________．
?
????????
?
课堂练习
课堂练习
6.⊙O的半径为13cm，AB、CD是⊙O的两条弦，AB∥CDAB=24cm，CD=10cm，求AB和CD之间的距离.
M
A
O
C
D
B
N
解：过点O向AB，CD作垂线，垂足分别为M，N，连接OB，OD.
由垂径定理可得：
BM? AB?12cm，DN? CD?5cm
又∵OB?OD?13cm
在Rt△OBM， Rt△ODN中，
由勾股定理得：OM?5cm，ON?12cm
∴AB和CD之间的距离MN?OM?ON?7cm
或MN?OM?ON?17cm
M
N
O
A
C
D
B
分类讨论
课堂练习
7.如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆上的点，且OD⊥AC于点E，连接BE，BC，若AC=8，DE=2．
（1）求半圆的半径长；（2）求BE的长．
解：（1）∵????????⊥????????于点????且????????=????
∴????????=????????=????????????????=????，
设半径为????，则????????=?????????
在Rt????
课堂小结
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
垂径定理的推论：
推论2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦
由CD是直径
AM=BM
可推得
⌒
⌒
AC=BC,
⌒
⌒
AD=BD.
CD⊥AB,
由CD是直径
AM=BM
可推得
⌒
⌒
AC=BC,
⌒
⌒
AD=BD.
CD⊥AB,
谢谢
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