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第二章 有理数的运算
一、有理数加法
→知识点回顾：
→要点点拨：
有理数的加法和小学学过的加法有很大的区别，小学学习的加法都是非负数，不考虑符号，而有理数的加法涉及运算结果的符号；有理数的加法在进行运算时，首先要判断两个加数的符号，是同号还是异号？是否有零？接下来确定用法则中的哪一条。法则中，都是先强调符号，后计算绝对值，在应用法则的过程中一定要“先算符号”，“再算绝对值”。
有理数加法的运算律
①加法交换律：a＋b＝b＋a；
②加法结合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）。
根据有理数加法的运算律，进行有理数的运算时，可以任意交换加数的位置，也可以先把其中的几个数加起来，利用有理数的加法运算律，可使运算简便。
有理数减法
→知识点回顾：
三、有理数乘法
→知识点回顾：
→要点点拨：
有理数的乘法满足的运算律：
①乘法交换律：；
②乘法结合律：；
③乘法分配律：
有理数乘法运算步骤：先确定积的符号，再求出各因数的绝对值的积。
四、有理数除法
→知识点回顾：
五、倒数
→知识点回顾：
→要点点拨：
①零没有倒数
②求分数的倒数，就是把分数的分子分母颠倒位置。一个带分数要先化成假分数。
③正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。
六、有理数的乘方
→知识点回顾：
→要点点拨：
特别地，，（为正整数）
正数的任何次幂都是正数，负数的奇数次幂是负数和，负数的偶数次幂是正数
七、科学记数法
→知识点回顾：
八、近似数
用和实际情况完全相符合的数来表示某一个量，这样的数叫做准确数。用和实际数很接近的一个数来表示某一个量，这个数就叫做近似数。
模块必刷题
一．有理数的加法（共7小题）
1．如果a、b是有理数，则下列各式子成立的是（ ）
A．如果a＜0，b＜0，那么a+b＞0
B．如果a＞0，b＜0，那么a+b＞0
C．如果a＞0，b＜0，那么a+b＜0
D．如果a＜0，b＞0，且|a|＞|b|，那么a+b＜0
【分析】利用有理数的加法法则判断即可得到结果．
【解答】解：A、如果a＜0，b＜0，那么a+b＜0，不符合题意；
B、如果a＞0，b＜0，且|a|＞|b|，那么a+b＞0，不符合题意；
C、如果a＞0，b＜0，且|a|＜|b|，那么a+b＜0，不符合题意；
D、如果a＜0，b＞0，且|a|＞|b|，那么a+b＜0，符合题意．
故选：D．
【点评】此题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2．m是有理数，则m+|m|（ ）
A．可以是负数 B．不可能是负数
C．一定是正数 D．可是正数也可是负数
【分析】根据m大于0，可得m+是正数，根据m等于0，可得m+|m|等于0，根据m小于0，可得m+|m|等于0．
【解答】解：当m＞0时，m+|m|＞0，
当m＝0时，m+|m|＝0，
当m＜0时，m+|m|＝0，
故选：B．
【点评】本题考查了有理数的加法，分类讨论是解题关键，根据分类先化简，再进行有理数的加法运算．
3．已知|x|＝2，|y|＝5，且x＞y，则x+y＝ ﹣3或﹣7 ．
【分析】先求得x、y的值，然后根据x＞y分类计算即可．
【解答】解：∵|x|＝2，|y|＝5，
∴x＝±2，y＝±5．
∵x＞y，
∴x＝2，y＝﹣5或x＝﹣2，y＝﹣5．
∴x+y＝2+（﹣5）＝﹣3或x+y＝﹣2+（﹣5）＝﹣7．
故答案为：﹣3或﹣7．
【点评】本题主要考查的是有理数的加法、绝对值的性质，分类讨论是解题的关键．
4．已知|x|＝8，|y|＝3，|x+y|＝x+y，则x+y＝ 5或11
【分析】根据题意，利用绝对值的代数意义确定出x与y的值，即可求出x+y的值．
【解答】解：∵|x|＝8，|y|＝3，
∴x＝±8、y＝±3，
又|x+y|＝x+y，即x+y≥0，
∴x＝8、y＝3或x＝8、y＝﹣3，
当x＝8、y＝3时，x+y＝11；
当x＝8、y＝﹣3时，x+y＝5；
故答案为：5或11．
【点评】此题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5．先阅读第（1）小题，仿照其解法再计算第（2）小题：
（1）计算：
解：原式＝
＝
＝
＝
＝15+
＝13；
（2）计算．
【分析】首先分析（1）的运算方法：将带分数分解为一个整数和一个分数；然后重新组合分组：整数一组，分数一组；分别计算求值．
【解答】解：原式＝（﹣205）+400++（﹣204）+（﹣）+（﹣1）+（﹣）
＝（400﹣205﹣204﹣1）+（﹣﹣）
＝﹣10．
【点评】此题要求学生首先阅读（1），结合有理数运算的法则，理解（1）式运算的原理及应用，然后仿照（1）的方法，进行计算．
6．在一个3×3的方格中填写了9个数字，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，得到的3×3的方格称为一个三阶幻方．
（1）在图1中空格处填上合适的数字，使它构成一个三阶幻方；
（2）如图2的方格中填写了一些数和字母，当x+y的值为多少时，它能构成一个三阶幻方．
【分析】（1）根据三个数的和为2+3+4＝9，依次列式计算即可求解；
（2）先求出下面中间的数，进一步得到右上面的数，从而得到x、y的值，相加可求x+y的值．
【解答】解：（1）2+3+4＝9，
9﹣6﹣4＝﹣1，
9﹣6﹣2＝1，
9﹣2﹣7＝0，
9﹣4﹣0＝5，
如图所示：
（2）﹣3+1﹣4＝﹣6，
﹣6+1﹣（﹣3）＝﹣2，
﹣2+1+4＝3，
如图所示：
x＝3﹣4﹣（﹣6）＝5，
y＝3﹣1﹣（﹣6）＝8，
x+y＝5+8＝13．
【点评】本题考查了有理数的加法，根据表格，先求出三个数的和是解题的关键，也是本题的突破口．
7．（1）比较大小；
①|﹣2|+|3| ＞ |﹣2+3|；
②|4|+|3| ＝ |4+3|；
③|﹣|+|﹣| ＝ |﹣+（﹣）|；
④|﹣5|+|0| ＝ |﹣5+0|．
（2）通过（1）中的大小比较，猜想并归纳出|a|+|b|与|a+b|的大小关系，并说明a，b满足什么关系时，|a|+|b|＝|a+b|成立？
【分析】（1）①根据绝对值的意义得到|﹣2|+|3|＝2+3＝5，|﹣2+3|＝1，比较大小即可求解；
②根据绝对值的意义得到|4|+|3|＝4+3＝7，|4+3|＝7，比较大小即可求解；
③根据绝对值的意义得到|﹣|+|﹣|＝+＝，|﹣+（﹣）|＝，比较大小即可求解；
④根据绝对值的意义得到|﹣5|+|0|＝5+0＝5，|﹣5+0|＝5，比较大小即可求解；
（2）根据前面的结论可得到，当a、b同号或a、b中至少有1个0时等号成立时，|a+b|＝|a|+|b|．
【解答】解：（1）①|﹣2|+|3|＞|﹣2+3|；
②|4|+|3|＝|4+3|；
③|﹣|+|﹣|＝|﹣+（﹣）|；
④|﹣5|+|0|＝|﹣5+0|．
（2）|a|+|b|与|a+b|的大小关系：|a+b|≤|a|+|b|，
a，b满足同号或a、b中至少有1个0时等号成立时，|a+b|＝|a|+|b|．
故答案为：＞；＝；＝；＝．
【点评】本题考查了有理数的加法和绝对值：若a＞0，则|a|＝a；若a＝0，则|a|＝0；若a＜0，则|a|＝﹣a．
二．有理数的减法（共2小题）
8．有理数m，n在数轴上的位置如图所示，则下列关系式中正确的有（ ）
①m+n＜0；②n﹣m＞0；③n＞0；④m＞0．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】利用数轴上点位置确定出m，n的符号和它们绝对值的大小，再利用有理数的加减法法则解答即可．
【解答】解：由题意得：m＞0，n＜0，|m|＜|n|，
∴m+n＜0，n﹣m＜0．
∴①④正确，②③错误，
∴正确的个数有2个，
故选：B．
【点评】本题主要考查了有理数的加减法，绝对值的意义，数轴，利用数轴上点位置确定出m，n的符号和它们绝对值的大小是解题的关键．
9．规定：对于确定位置的三个数a，b，c，计算，将这三个数的最小值称为a，b，c的“白马数”．例如，对于1，﹣2，3，因为．所以1，﹣2，3的“白马数”为．调整﹣1，6，x这三个数的位置，得到不同的“白马数”，若其中的一个“白马数”为2，则x＝ ﹣7或8 ．
【分析】利用分类讨论的方法得到三个数的位置，再利用“白马数”的定义解答即可．
【解答】解：由题意得：﹣1，6，x这三个数的位置为：6，﹣1，x或6，x，﹣1或x，6，﹣1．
当三个数的位置为：6，﹣1，x时，
6﹣（﹣1）＝7，若＝2，则x＝2，
∵＝﹣1＜2，
∴x＝2不合题意，舍去．
若＝2，则x＝﹣7，
∵＞2，
∴x＝﹣7符合题意；
当三个数的位置为：6，x，﹣1时，
若6﹣x＝2，则x＝4，
∵＞2，＜2，
∴x＝4不合题意，舍去，
若＝2，则x＝5，
∵6﹣5＝1＜2，
∴x＝5 不合题意，舍去，
综上，x的值为﹣7．
当三个数的位置为：x，6，﹣1时，
若x﹣6＝2，则x＝8，
∵＞2，＝＞2，
∴x＝8符合题意，
∴x＝8．
若＝2，则x＝3，
∵3﹣6＝﹣3＜2，
∴x＝3不符合题意，舍去．
综上，x的值为﹣7或8．
故答案为：﹣7或8．
【点评】本题主要考查了有理数的减法，本题是新定义型，理解并熟练应用新规定是解题的关键．
三．有理数的加减混合运算（共3小题）
10．规定图形表示运算a﹣b+c，图形表示运算x+z﹣y﹣w，则+＝ 0 （直接写出答案）．
【分析】根据题中的新定义化简，计算即可得到结果．
【解答】解：根据题意得：1﹣2+3+4+6﹣5﹣7＝0．
故答案为：0．
【点评】此题考查了有理数的加减混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
11．观察下列两个等式：2﹣＝2×+1，5﹣＝5×+1．给出定义如下：使等式a﹣b＝ab+1成立的对有理数a，b为“共生有理数对”，记为（a，b）．如：数对（2，），（5，）都有“共生有理数对”．
（1）数对（﹣2，1），（3，）中是“共生有理数对”的是 （3，） ；
（2）若（4，b）是“共生有理数对”，则b＝ ．
（3）小丁说：“若（a，b）是‘共生有理数对’，则（﹣b，﹣a）一定是‘共生有理数对’．”小丁说的正确吗？如果正确，请验证他的说法；如果不正确，请举出反例．
【分析】（1）利用“共生有理数对”的定义对两个数对进行判断即可得出结论；
（2）利用“共生有理数对”的定义列出关于b的方程，解方程即可得出结论；
（3）利用“共生有理数对”的定义进行验证即可．
【解答】解：（1）∵﹣2﹣1＝﹣3，（﹣2）×1+1＝1，
∴2﹣1≠（﹣2）×1+1，
∴数对（﹣2，1）不是“共生有理数对”；
∵3﹣＝，3×+1＝，
∴3﹣＝3×+1，
∴数对（3，）是“共生有理数对”，
故答案为：（3，）；
（2）∵（4，b）是“共生有理数对”，
∴4﹣b＝4b+1，
解得：b＝，
故答案为：；
（3）小丁说的正确，理由：
∵（a，b）是‘共生有理数对’，
∴a﹣b＝ab+1．
∵﹣b﹣（﹣a）＝﹣b+a＝a﹣b＝ab+1，
∴﹣b﹣（﹣a）＝（﹣b）（﹣a）+1，
∴（﹣b，﹣a）一定是‘共生有理数对’，
∴小丁说的正确．
【点评】本题主要考查了有理数的加减混合运算，有理数，本题是新定义型，理解并熟练应用新定义解答是解题的关键．
12．（1）0﹣11
（2）（﹣13）+（﹣8）
（3）（﹣2）﹣（﹣9）
（4）（﹣4）﹣5
（5）23+（﹣17）+6+（﹣22）
（6）（﹣）+（﹣）++（﹣）
（7）0﹣（﹣6）+2﹣（﹣13）﹣（+8）
（8）﹣4.2+5.7﹣8.4+10．
【分析】（1）将减法转化为加法，然后按照加法法则计算即可；
（2）利用有理数的加法法则计算即可；
（3）将减法转化为加法，然后按照加法法则计算即可；
（4）将减法转化为加法，然后按照加法法则计算即可；
（5）先将正数和正数相加，负数和负数相加，最后按照加法法则计算；
（6）先将互为相反数的两数相加，然后再按照加法法则计算即可；
（7）先将算式统一为加法运算，然后再按照加法法则计算即可；
（8）先将正数和正数相加，负数和负数相加，最后按照加法法则计算．
【解答】解：（1）0﹣11
＝0+（﹣11）
＝﹣11；
（2）（﹣13）+（﹣8）
＝﹣（13+8）
＝﹣21；
（3）（﹣2）﹣（﹣9）
＝﹣2+9
＝7；
（4）﹣
＝﹣4+（﹣5）
＝﹣（4+5）
＝﹣10；
（5）23+（﹣17）+6+（﹣22）
＝23+6+[（﹣17）+（﹣22）]
＝29+（﹣39）
＝﹣10；
（6）（﹣）+（﹣）++（﹣）
＝（﹣）++（﹣）+（﹣）
＝0+（﹣1）
＝﹣1；
（7）0﹣（﹣6）+2﹣（﹣13）﹣（+8）
＝0+6+2+13﹣8
＝13；
（8）﹣4.2+5.7﹣8.4+10
＝﹣4.2﹣8.4+5.7+10
＝﹣12.6+15.7
＝3.1．
【点评】本题主要考查的是有理数的加减混合运算，掌握有理数的加减运算法则是解题的关键．
四．有理数的乘法（共5小题）
13．现有四种说法：
①几个有理数相乘，当负因数有奇数个时，积为负；
②几个有理数相乘，积为负时，负因数有奇数个；
③当x＜0时，|x|＝﹣x；
④当|x|＝﹣x时，x＜0．
其中正确的说法是（ ）
A．②③ B．③④ C．②③④ D．①②③④
【分析】根据0乘以任意数都得0和0的绝对值还是0知，①④错误．
【解答】解：①几个有理数相乘，只要有一个因数为0，不管负因数有奇数个还是偶数个，积都为0，而不会是负数，错误；
②正确；
③正确；
④当|x|＝﹣x时，x≤0，错误．
故选：A．
【点评】本题主要考查了绝对值的定义及有理数的乘法法则．有理数这一部分应该时时刻刻考虑到一个特别的数字0．
14．学习有理数的乘法后，老师给同学们一道这样的题目：计算，看谁算的又快又对．
小瑞很快给出了他的解法：原式＝．
小晨经过思考后也给出了他的解法：
原式＝
＝39×（﹣5）+ （ ﹣5 ）
＝﹣195+
＝ ﹣199 ．
（1）请补全小晨的解题过程，并在括号里写出他用了什么运算原理？
（2）你还有不同于小瑞、小晨的解法吗？
（3）用你认为最合适的方法计算：．
【分析】（1）通过乘法分配律计算即可；
（2）可以根据原式＝（40﹣）×（﹣5）进一步计算即可；
（3）根据＝（30﹣）×（﹣8）进一步计算即可．
【解答】解：（1）原式＝
＝39×（﹣5）+
＝﹣195+（﹣）
＝﹣199，
故答案为：，﹣5，﹣，﹣199；
（2）有，可以这样计算：
原式＝（40﹣）×（﹣5）
＝40×（﹣5）﹣×（﹣5）
＝﹣200+
＝﹣；
（3）
＝（30﹣）×（﹣8）
＝30×（﹣8）﹣×（﹣8）
＝﹣240+
＝﹣239．
【点评】本题考查了有理数的乘法，有理数的加法，熟练掌握有理数的乘法分配律是解题的关键．
15．计算：
（1）（﹣）×（﹣）×（﹣）；
（2）（﹣5）×（﹣）××0×（﹣325）．
【分析】（1）直接利用有理数的乘法运算法则计算得出答案；
（2）直接利用有理数的乘法运算法则计算得出答案．
【解答】解：（1）（﹣）×（﹣）×（﹣）
＝﹣××
＝﹣；
（2）（﹣5）×（﹣）××0×（﹣325）
＝0．
【点评】此题主要考查了有理数的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
16．若定义一种新的运算“*”，规定有理数a*b＝4ab，如2*3＝4×2×3＝24．
（1）求3*（﹣4）的值；
（2）求（﹣2）*（6*3）的值．
【分析】分别根据运算“*”的运算方法列式，然后进行计算即可得解．
【解答】解：（1）3*（﹣4），
＝4×3×（﹣4），
＝﹣48；
（2）（﹣2）*（6*3），
＝（﹣2）*（4×6×3），
＝（﹣2）*（72），
＝4×（﹣2）×（72），
＝﹣576．
【点评】本题考查了有理数的乘法，是基础题，理解新运算的运算方法是解题的关键．
17．已知有理数a，b，c满足，求的值．
【分析】根据可以看出，a，b，c中必有两正一负，从而可得出求的值．
【解答】解：∵，
∴a，b，c中必有两正一负，即abc之积为负，
∴＝﹣1．
【点评】本题考查了有理数的乘法，注意从所给条件中获得有用信息，即a，b，c中必有两正一负．
五．倒数（共3小题）
18．a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数．如：2的差倒数是＝﹣1，﹣1的差倒数是＝．已知a1＝，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…，依此类推，则a2011＝ ﹣ ．
【分析】根据定义求得a1，a2，a3，a4…的值，观察规律，即可猜想结果．
【解答】解：a1＝﹣
a2＝＝；
a3＝＝4；
a4＝＝﹣，
因而一下三个一次循环，故a2011＝﹣．
故答案是：﹣
【点评】本题主要考查了代数式的求值，正确根据定义得到规律是解决本题的关键．
19．已知a和b互为相反数，c和d互为倒数，m是绝对值等于2的数，求式子（a+b）+m﹣cd+m．
【分析】根据相反数之和为0，倒数之积等于1，可得a+b＝0，cd＝1，再根据绝对值的性质可得m＝±2，然后代入计算即可．
【解答】解：∵a和b互为相反数，c和d互为倒数，m是绝对值等于2的数，
∴当m＝2时，原式＝0+2﹣1+2＝3；
当m＝﹣2时，原式＝0﹣2﹣1﹣2＝﹣5．
【点评】此题主要考查了代数式求值，关键是掌握相反数之和为0，倒数之积等于1是解题的关键．
20．有三个有理数a，b，c，已知a＝，（n为正整数）且a与b互为相反数，b与c互为倒数．
（1）当n为奇数时 你能求出a，b，c各是几吗？
（2）当n为偶数时，你能求a，b，c三数吗？若能请算出结果，不能请说明理由．
（3）根据（1）中的结论，求：ab﹣bn﹣（b﹣c）2015的值．
【分析】（1）当n为奇数时，先求出a，再根据相反数和倒数的定义可求b，c各是几；
（2）当n为偶数时，先求出a，再根据相反数和倒数的定义可求b，c各是几；
（3）根据（1）中的结论代入计算即可求解．
【解答】解：（1）当n为奇数时，a＝＝2，
∵a与b互为相反数，b与c互为倒数，
∴b＝﹣2，c＝﹣；
（2）当n为偶数时，a＝＝﹣2，
∵a与b互为相反数，b与c互为倒数，
∴b＝2，c＝；
（3）∵a＝2，b＝﹣2，c＝﹣，
∵ab﹣bn﹣（b﹣c）2015＝2×（﹣2）+2n﹣（﹣2+）2015＝﹣4+2n+（）2015．
【点评】本题考查倒数、相反数、本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
六．有理数的除法（共6小题）
21．下列结论：①一个数和它的倒数相等，则这个数是±1和0；②若﹣1＜m＜0，则m＜m2＜；③若a+b＜0，且，则|a+2b|＝﹣a﹣2b；④若m是有理数，则|m|+m是非负数；⑤若c＜0＜a＜b，则（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）＞0；其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】利用倒数的意义，有理数的大小比较法则，有理数的运算法则对每个结论进行逐一判断即可．
【解答】解：∵0没有倒数，
∴①的结论错误；
∵若﹣1＜m＜0，
∴m2＞0，＜﹣1，
＜m＜m2，
∴②的结论不正确；
∵若a+b＜0，且，
∴a＜0，b＜0，
∴a+2b＜0，
∴|a+2b|＝﹣a﹣2b，
∴③的结论正确；
∵m是有理数，
∴当m≥0时，|m|＝m，|m|+m＝2m≥0，
当m＜0时，|m|＝﹣m，|m|+m＝﹣m+m＝0，
∴④的结论正确；
∵若c＜0＜a＜b，
∴a﹣b＜0，b﹣c＞0，c﹣a＜0，
∴（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）＞0，
∴⑤的结论正确，
综上，正确的结论有：③④⑤，
故选：C．
【点评】本题主要考查了有理数的加法，有理数的乘法，有理数的除法，绝对值的意义，倒数，正确利用上述法则与性质对每个结论进行逐一判断是解题的关键．
22．把分数的分子扩大3倍，分母缩小2倍，所得的分数是原来的 6 ．
【分析】利用题意列出算式解答即可．
【解答】解：把分数的分子扩大3倍，分母缩小2倍，则，
∴所得的分数是原来的6倍，
故答案为：6．
【点评】本题主要考查了有理数的除法，利用题意列出算式解答是解题的关键．
23．
【分析】根据有理数的乘除运算解答即可．
【解答】解：
＝
＝．
【点评】此题考查有理数的乘除，关键是根据有理数的乘除运算解答．
24．计算：
（1）（﹣）×（﹣3）÷（﹣1）÷3；
（2）（﹣8）÷×（﹣1）÷（﹣9）．
【分析】各式利用除法法则把除法转化成乘法运算，通过约分即可得到结果．
【解答】解：（1）（﹣）×（﹣3）÷（﹣1）÷3＝﹣×××＝﹣；
（2）（﹣8）÷×（﹣1）÷（﹣9）＝﹣8×××＝﹣2．
【点评】此题考查了有理数的乘除法，熟练掌握乘除法则是解本题的关键．
25．阅读下列材料：
计算：÷（﹣+）．
解法一：原式＝÷﹣÷+÷＝×3﹣×4+×12＝．
解法二：原式＝÷（﹣+）＝÷＝×6＝．
解法三：原式的倒数＝（﹣+）÷＝（﹣+）×24＝×24﹣×24+×24＝4．
所以，原式＝．
（1）上述得到的结果不同，你认为解法 一 是错误的；
（2）请你选择合适的解法计算：（﹣）÷（﹣+﹣）．
【分析】（1）我认为解法一是错误的；
（2）选择解法三求出值即可．
【解答】解：（1）上述得到的结果不同，我认为解法一是错误的；
故答案为：一；
（2）原式的倒数为：（﹣+﹣）÷（﹣）＝（﹣+﹣）×（﹣42）＝﹣7+9﹣28+12＝﹣35+21＝﹣14，
则原式＝﹣．
【点评】此题考查了有理数的除法，熟练掌握除法法则是解本题的关键．
26．一个能被13整除的自然数我们称为“十三数”，“十三数”的特征是：若把这个自然数的末三位与末三位以前
的数字组成的数之差，如果能被13整除，那么这个自然数就一定能被13整除．例如：判断383357能不能被13整除，这个数的末三位数字是357，末三位以前的数字组成的数是383，这两个数的差是383﹣357＝26，26能被13整除，因此383357是“十三数”．
（1）判断3253和254514是否为“十三数”，请说明理由．
（2）若一个四位自然数，千位数字和十位数字相同，百位数字与个位数字相同，则称这个四位数为“间同数”．
①求证：任意一个四位“间同数”能被101整除．
②若一个四位自然数既是“十三数”，又是“间同数”，求满足条件的所有四位数的最大值与最小值之差．
【分析】（1）根据“十三数”的特征，列出算式求解即可；
（2）①设任意一个四位“间同数”为（1≤a≤9，0≤b≤9，a、b为整数），列式计算可得10a+b，从而求解；
②解法一：可以结合①，101（10a+b）是13的倍数，根据a，b是1﹣9的整数，那么当a取得最大时，是9，对应的b是1，最小的话是a＝1，对应的b＝3，计算差可得结论；
解法二：同理设出这个四位“间同数”为（1≤a≤9，0≤b≤9，a、b为整数），可知101b+9a是13的倍数，分别讨论可得结论．
解法三：可借助于第一小问．4位的间同数可表示为101（10a+b），因其能被13整除，而101不能被13整除，所以10a+b是13的倍数，故10a+b最小为13，最大为91．从而可得结论；也可以从101（10a+b）是13的倍数，所以这样的四位数需是13×101的倍数．故最小为1313，最大为9191．
【解答】（1）解：3253不是“十三数”，254514是“十三数”，理由如下：
∵3﹣253＝﹣250，不能被13整除，
∴3253不是“十三数”，
∵254﹣514＝﹣260，﹣260÷13＝﹣20
∴254514是“十三数”；
（2）①证明：设任意一个四位“间同数”为（1≤a≤9，0≤b≤9，a、b为整数），
∵＝＝＝10a+b，
∵a、b为整数，
∴10a+b是整数，
即任意一个四位“间同数”能被101整除；
②解：解法一：由①可知：这个四位“间同数”表示为101（10a+b），它是13的倍数，
∵1≤a≤9，0≤b≤9，a、b为整数，
∴当a＝9，b＝1时，最大为9191，
当a＝1，b＝3时，最小为1313，
∴9191﹣1313＝7878；
解法二：设任意一个四位“间同数”为（1≤a≤9，0≤b≤9，a、b为整数），
∵＝，
∵这个四位自然数是“十三数”，
∴101b+9a是13的倍数，
当a＝1，b＝3时，101b+9a＝303+9＝312，312÷13＝24，此时这个四位“间同数”为：1313；
当a＝2，b＝6时，101b+9a＝606+18＝624，624÷13＝48，此时这个四位“间同数”为：2626；
当a＝3，b＝9时，101b+9a＝909+27＝736，936÷13＝72，此时这个四位“间同数”为：3939；
当a＝5，b＝2时，101b+9a＝202+45＝247，247÷13＝19，此时这个四位“间同数”为：5252；
当a＝6，b＝5时，101b+9a＝505+54＝559，559÷13＝43，此时这个四位“间同数”为：6565；
当a＝7，b＝8时，101b+9a＝808+63＝871，871÷13＝67，此时这个四位“间同数”为：7878；
当a＝9，b＝1时，101b+9a＝101+81＝182，182÷13＝14，此时这个四位“间同数”为：9191；
综上可知：这个四位“间同数”最大为9191，最小为1313，
9191﹣1313＝7878，
则满足条件的所有四位数的最大值与最小值之差为7878；
解法三：由①可设4位的间同数可表示为101（10a+b），因其能被13整除，而101不能被13整除，所以10a+b是13的倍数，故10a+b最小为13，最大为91
∴最大值与最小值之差为：101（91﹣13）＝7878．
【点评】此题主要考查了新定义，数的整除，解本题的关键是理解新定义，掌握数的整除是解本题的难点．
七．有理数的乘方（共4小题）
27．下列各组数中，其值相等的是（ ）
A．32和23 B．（﹣2）2和﹣22
C．（﹣3）3和﹣33 D．（﹣3×2）2和﹣32×22
【分析】根据乘方的意义及运算法则分别计算，然后比较即可．
【解答】解：A、∵32＝3×3＝9，23＝2×2×2＝8，∴32和23的值不相等，故A不符合题意；
B、（﹣2）2＝（﹣2）×（﹣2）＝4，﹣22＝﹣2×2＝﹣4，∴（﹣2）2和﹣22的值不相等，故B不符合题意；
C、（﹣3）3＝（﹣3）×（﹣3）×（﹣3）＝﹣27，﹣33＝﹣3×3×3＝﹣27，∴（﹣3）3和﹣33的值相等，故C符合题意；
D、（﹣3×2）2＝（﹣6）2＝36，﹣32×22＝﹣9×4＝﹣36，∴（﹣3×2）2和﹣32×22的值不相等，故D不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了幂的意义及积的乘方，熟练掌握幂的概念及积的乘方法则是解题的关键．
28．观察下列算式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，…通过观察，用所发现的规律确定215的个位数字是 8 ．
【分析】首先观察可得规律：2n的个位数字每4次一循环，又由15÷4＝3…3，即可求得答案．
【解答】解：观察可得规律：2n的个位数字每4次一循环，
∵15÷4＝3…3，
∴215的个位数字是8．
故答案为：8．
【点评】此题考查了有理数的乘方的知识．此题属于规律性题目，难度不大，注意得到规律：2n的个位数字每4次一循环是解此题的关键．
29．我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码0和1），它们两者之间可以互相换算，如将（101）2，（1011）2换算成十进制数应为：
；
按此方式，将二进制（1101）2换算成十进制数的结果是 13 ．
【分析】根据题目信息，利用有理数的乘方列式进行计算即可得解．
【解答】解：（1101）2＝1×23+1×22+0×21+1×20＝8+4+0+1＝13．
故答案为：13．
【点评】本题考查了有理数的乘方，读懂题目信息，理解二进制与十进制的数的转化方法是解题的关键．
30．阅读下列各式：（a b）2＝a2b2，（a b）3＝a3b3，（a b）4＝a4b4…
回答下列三个问题：
（1）验证：（2×）100＝ 1 ，2100×（）100＝ 1 ；
（2）通过上述验证，归纳得出：（a b）n＝ anbn ； （abc）n＝ anbncn ．
（3）请应用上述性质计算：（﹣0.125）2017×22016×42015．
【分析】（1）先算括号内的乘法，再算乘方；先乘方，再算乘法；
②根据有理数乘方的定义求出即可；
③根据同底数幂的乘法计算，再根据积的乘方计算，即可得出答案．
【解答】解：（1）（2×）100＝1，2100×（）100＝1；
②（a b）n＝anbn，（abc）n＝anbncn，
③原式＝（﹣0.125）2015×22015×42015×[（﹣0.125）×（﹣0.125）×2]
＝（﹣0.125×2×4）2015×
＝（﹣1）2015×
＝﹣1×
＝﹣．
故答案为：1，1；anbn，anbncn．
【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法和积的乘方，掌握运算法则是解答此题的关键．
八．非负数的性质：偶次方（共1小题）
31．若（a﹣1）2+|b+2|＝0，则（a+b）2022的值是（ ）
A．﹣1 B．1 C．0 D．2022
【分析】根据绝对值以及偶次方的非负性解决此题．
【解答】解：∵（a﹣1）2≥0，|b+2|≥0，
∴当（a﹣1）2+|b+2|＝0，则a﹣1＝0，b+2＝0．
∴a＝1，b＝﹣2．
∴（a+b）2022＝[1+（﹣2）]2022＝（﹣1）2022＝1．
故选：B．
【点评】本题主要考查偶次方、绝对值，熟练掌握偶次方的非负性以及绝对值的非负性是解决本题的关键．
九．有理数的混合运算（共2小题）
32．若“！”是一种数学运算符号，并且1！＝1，2！＝2×1＝2，3！＝3×2×1＝6，4！＝4×3×2×1，…，则的值为（ ）
A． B．99! C．9900 D．2！
【分析】由题目中的规定可知100！＝100×99×98×…×1，98！＝98×97×…×1，然后计算的值．
【解答】解：∵100！＝100×99×98×…×1，98！＝98×97×…×1，
所以＝100×99＝9900．
故选：C．
【点评】本题考查的是有理数的混合运算，根据题目中的规定，先得出100！和98！的算式，再约分即可得结果．
33．计算：
（1）﹣40﹣（﹣19）+（﹣24）；
（2）÷（﹣）×（﹣）；
（3）（﹣﹣+）÷（﹣）；
（4）2×（﹣5）+23﹣3÷；
（5）（﹣3）2×[﹣+（﹣）]；
（6）﹣14+（﹣3）×[（﹣4）2+2]﹣（﹣2）3÷4．
【分析】（1）根据有理数的加减运算的法则进行求解即可；
（2）把除法转为乘法，再进行乘法运算即可；
（3）把除法转为乘法，再利用乘法分配律进行运算即可；
（4）先算乘方，除法转为乘法，再算乘法，最后算加减即可；
（5）先算乘方，再利用乘法的分配律进行运算即可；
（6）先算乘方，再算括号里的加法，接着算乘法，最后算加减即可．
【解答】解：（1）﹣40﹣（﹣19）+（﹣24）
＝﹣40+19﹣24
＝﹣21﹣24
＝﹣45；
（2）÷（﹣）×（﹣）
＝×（﹣）×（﹣）
＝；
（3）（﹣﹣+）÷（﹣）
＝（﹣﹣+）×（﹣36）
＝﹣++﹣
＝﹣9+20+12﹣21
＝2；
（4）2×（﹣5）+23﹣3÷
＝2×（﹣5）+8﹣3×2
＝﹣10+8﹣6
＝﹣8；
（5）（﹣3）2×[﹣+（﹣）]
＝9×（﹣）
＝9×（﹣）+9×（﹣）
＝﹣6﹣5
＝﹣11；
（6）﹣14+（﹣3）×[（﹣4）2+2]﹣（﹣2）3÷4
＝﹣1+（﹣3）×（16+2）﹣（﹣8）×
＝﹣1+（﹣3）×18+2
＝﹣1﹣54+2
＝﹣53．
【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
一十．近似数和有效数字（共3小题）
34．近似数5.0×102精确到（ ）
A．十分位 B．个位 C．十位 D．百位
【分析】根据近似数的精确度求解．
【解答】解：近似数5.0×102精确到十位．
故选：C．
【点评】本题考查了近似数和有效数字：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．
35．某种鲸鱼的体重约为1.36×105kg，关于这个近似数，下列说法正确的是（ ）
A．它精确到百位 B．它精确到0.01
C．它精确到千分位 D．它精确到千位
【分析】根据近似数的精确度求解．
【解答】解：1.36×105精确到千位．
故选：D．
【点评】本题考查了近似数和有效数字：经过四舍五入得到的数为近似数；从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．
36．我们把由“四舍五入”法对非负有理数x精确到个位的值记为＜x＞．如：＜0＞＝＜0.48＞＝0，＜0.64＞＝＜1.493＞＝1，＜2＞＝2，＜2.5＞＝＜3.12＞＝3，…
解决下列问题：
（1）填空：①若＜x＞＝6，则x的取值范围是 5.5≤x＜6.5 ；
②若＜x＞＝，则x的值是 0，， ；
（2）若m为正整数，试说明：＜x+m＞＝＜x＞+m恒成立．
【分析】（1）根据取近似值的方法确定x的取值范围即可，反过来也可确定未知数的值；
（2）分0≤a＜时和≤a＜1时两种情况分类讨论即可．
【解答】解：（1）①5.5≤x＜6.5
②0，，
（2）说明：设x＝n+a，其中n为x的整数部分（n为非负整数），a为x的小数部分 （0≤a＜1）
分两种情况：
（Ⅰ）当0≤a＜时，有＜x＞＝n
∵x+m＝（n+m）+a，
这时（n+m）为（x+m）的整数部分，a为（x+m）的小数部分，
∴＜x+m＞＝n+m
又＜x＞+m＝n+m
∴＜x+m＞＝＜x＞+m．
（Ⅱ）当≤a＜1时，有＜x＞＝n+1
∵x+m＝（n+m）+a
这时（n+m）为（x+m）的整数部分，a为（x+m）的小数部分，
∴＜x+m＞＝n+m+1
又＜x＞+m＝n+1+m＝n+m+1
∴＜x+m＞＝＜x＞+m．
综上所述：＜x+m＞＝＜x＞+m．
【点评】本题考查了近似数与有效数字的知识，在确定取值范围时候，学生很容易出错，应引起重视．
一十一．科学记数法—表示较小的数（共1小题）
37．雾霾天气影响着我国北方中东部地区，给人们的健康带来严重的危害．为了让人们对雾霾有所了解．摄影师张超通过显微镜，将空气中细小的霾颗粒放大1000倍，发现这些霾颗粒平均直径为10微米 20微米，其中20微米（1米＝1000000微米）用科学记数法可表示为（ ）
A．2×105米 B．0.2×10﹣4米 C．2×10﹣5米 D．2×10﹣4米
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：20微米＝20÷1 000 000米＝0.00002米＝2×10﹣5米，
故选：C．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
两个有理数相加有以下几种情况：
①两个正数相加； ②两个负数相加；
③异号两数相加； ④正数或负数或零与零相加。
有理数的加法法则
①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；
③一个数同0相加，仍得这个数。
有理数的减法的意义与小学学过的减法的意义相同。已知两个加数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法。减法是加法的逆运算。
有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数.
设，则，
．
因此，．
有理数乘法的法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与零相乘，都得零。
几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定；当负因数的个数为奇数个，积为负；当负因数的个数为偶数个，积为正；几个数相乘，如果有一个因数为零，积为零。
有理数除法法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。零除以任何一个不为零的数，都得零。
乘积是1的两个有理数互为倒数，即ab＝1，那么a和b互为倒数；
倒数也可以看成是把分子分母的位置颠倒过来.
一般地，将个相同的因数相乘，记作，即。
求个相同因数的积的运算，叫做乘方。乘方的结果叫做幂。在中，叫做底数，叫做指数，读作的次方，看作是的次方的结果时，读作的次幂。
把一个数写成（其中，是正整数），这种形式的记数方法叫做科学记数法。
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第二章 有理数的运算
一、有理数加法
→知识点回顾：
→要点点拨：
有理数的加法和小学学过的加法有很大的区别，小学学习的加法都是非负数，不考虑符号，而有理数的加法涉及运算结果的符号；有理数的加法在进行运算时，首先要判断两个加数的符号，是同号还是异号？是否有零？接下来确定用法则中的哪一条。法则中，都是先强调符号，后计算绝对值，在应用法则的过程中一定要“先算符号”，“再算绝对值”。
有理数加法的运算律
①加法交换律：a＋b＝b＋a；
②加法结合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）。
根据有理数加法的运算律，进行有理数的运算时，可以任意交换加数的位置，也可以先把其中的几个数加起来，利用有理数的加法运算律，可使运算简便。
有理数减法
→知识点回顾：
三、有理数乘法
→知识点回顾：
→要点点拨：
有理数的乘法满足的运算律：
①乘法交换律：；
②乘法结合律：；
③乘法分配律：
有理数乘法运算步骤：先确定积的符号，再求出各因数的绝对值的积。
四、有理数除法
→知识点回顾：
五、倒数
→知识点回顾：
→要点点拨：
①零没有倒数
②求分数的倒数，就是把分数的分子分母颠倒位置。一个带分数要先化成假分数。
③正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。
六、有理数的乘方
→知识点回顾：
→要点点拨：
特别地，，（为正整数）
正数的任何次幂都是正数，负数的奇数次幂是负数和，负数的偶数次幂是正数
七、科学记数法
→知识点回顾：
八、近似数
用和实际情况完全相符合的数来表示某一个量，这样的数叫做准确数。用和实际数很接近的一个数来表示某一个量，这个数就叫做近似数。
模块必刷题
一．有理数的加法（共7小题）
1．如果a、b是有理数，则下列各式子成立的是（ ）
A．如果a＜0，b＜0，那么a+b＞0
B．如果a＞0，b＜0，那么a+b＞0
C．如果a＞0，b＜0，那么a+b＜0
D．如果a＜0，b＞0，且|a|＞|b|，那么a+b＜0
2．m是有理数，则m+|m|（ ）
A．可以是负数 B．不可能是负数
C．一定是正数 D．可是正数也可是负数
3．已知|x|＝2，|y|＝5，且x＞y，则x+y＝ ．
4．已知|x|＝8，|y|＝3，|x+y|＝x+y，则x+y＝
5．先阅读第（1）小题，仿照其解法再计算第（2）小题：
（1）计算：
解：原式＝
＝
＝
＝
＝15+
＝13；
（2）计算．
6．在一个3×3的方格中填写了9个数字，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，得到的3×3的方格称为一个三阶幻方．
（1）在图1中空格处填上合适的数字，使它构成一个三阶幻方；
（2）如图2的方格中填写了一些数和字母，当x+y的值为多少时，它能构成一个三阶幻方．
7．（1）比较大小；
①|﹣2|+|3| |﹣2+3|；
②|4|+|3| |4+3|；
③|﹣|+|﹣| |﹣+（﹣）|；
④|﹣5|+|0| |﹣5+0|．
（2）通过（1）中的大小比较，猜想并归纳出|a|+|b|与|a+b|的大小关系，并说明a，b满足什么关系时，|a|+|b|＝|a+b|成立？
二．有理数的减法（共2小题）
8．有理数m，n在数轴上的位置如图所示，则下列关系式中正确的有（ ）
①m+n＜0；②n﹣m＞0；③n＞0；④m＞0．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．规定：对于确定位置的三个数a，b，c，计算，将这三个数的最小值称为a，b，c的“白马数”．例如，对于1，﹣2，3，因为．所以1，﹣2，3的“白马数”为．调整﹣1，6，x这三个数的位置，得到不同的“白马数”，若其中的一个“白马数”为2，则x＝ ．
三．有理数的加减混合运算（共3小题）
10．规定图形表示运算a﹣b+c，图形表示运算x+z﹣y﹣w，则+＝ （直接写出答案）．
11．观察下列两个等式：2﹣＝2×+1，5﹣＝5×+1．给出定义如下：使等式a﹣b＝ab+1成立的对有理数a，b为“共生有理数对”，记为（a，b）．如：数对（2，），（5，）都有“共生有理数对”．
（1）数对（﹣2，1），（3，）中是“共生有理数对”的是 ；
（2）若（4，b）是“共生有理数对”，则b＝ ．
（3）小丁说：“若（a，b）是‘共生有理数对’，则（﹣b，﹣a）一定是‘共生有理数对’．”小丁说的正确吗？如果正确，请验证他的说法；如果不正确，请举出反例．
12．（1）0﹣11
（2）（﹣13）+（﹣8）
（3）（﹣2）﹣（﹣9）
（4）（﹣4）﹣5
（5）23+（﹣17）+6+（﹣22）
（6）（﹣）+（﹣）++（﹣）
（7）0﹣（﹣6）+2﹣（﹣13）﹣（+8）
（8）﹣4.2+5.7﹣8.4+10．
四．有理数的乘法（共5小题）
13．现有四种说法：
①几个有理数相乘，当负因数有奇数个时，积为负；
②几个有理数相乘，积为负时，负因数有奇数个；
③当x＜0时，|x|＝﹣x；
④当|x|＝﹣x时，x＜0．
其中正确的说法是（ ）
A．②③ B．③④ C．②③④ D．①②③④
14．学习有理数的乘法后，老师给同学们一道这样的题目：计算，看谁算的又快又对．
小瑞很快给出了他的解法：原式＝．
小晨经过思考后也给出了他的解法：
原式＝
＝39×（﹣5）+ （ ）
＝﹣195+
＝ ．
（1）请补全小晨的解题过程，并在括号里写出他用了什么运算原理？
（2）你还有不同于小瑞、小晨的解法吗？
（3）用你认为最合适的方法计算：．
15．计算：
（1）（﹣）×（﹣）×（﹣）；
（2）（﹣5）×（﹣）××0×（﹣325）．
16．若定义一种新的运算“*”，规定有理数a*b＝4ab，如2*3＝4×2×3＝24．
（1）求3*（﹣4）的值；
（2）求（﹣2）*（6*3）的值．
17．已知有理数a，b，c满足，求的值．
五．倒数（共3小题）
18．a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数．如：2的差倒数是＝﹣1，﹣1的差倒数是＝．已知a1＝，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…，依此类推，则a2011＝ ．
19．已知a和b互为相反数，c和d互为倒数，m是绝对值等于2的数，求式子（a+b）+m﹣cd+m．
20．有三个有理数a，b，c，已知a＝，（n为正整数）且a与b互为相反数，b与c互为倒数．
（1）当n为奇数时 你能求出a，b，c各是几吗？
（2）当n为偶数时，你能求a，b，c三数吗？若能请算出结果，不能请说明理由．
（3）根据（1）中的结论，求：ab﹣bn﹣（b﹣c）2015的值．
六．有理数的除法（共6小题）
21．下列结论：①一个数和它的倒数相等，则这个数是±1和0；②若﹣1＜m＜0，则m＜m2＜；③若a+b＜0，且，则|a+2b|＝﹣a﹣2b；④若m是有理数，则|m|+m是非负数；⑤若c＜0＜a＜b，则（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）＞0；其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
22．把分数的分子扩大3倍，分母缩小2倍，所得的分数是原来的 ．
23．
24．计算：
（1）（﹣）×（﹣3）÷（﹣1）÷3；
（2）（﹣8）÷×（﹣1）÷（﹣9）．
25．阅读下列材料：
计算：÷（﹣+）．
解法一：原式＝÷﹣÷+÷＝×3﹣×4+×12＝．
解法二：原式＝÷（﹣+）＝÷＝×6＝．
解法三：原式的倒数＝（﹣+）÷＝（﹣+）×24＝×24﹣×24+×24＝4．
所以，原式＝．
（1）上述得到的结果不同，你认为解法 是错误的；
（2）请你选择合适的解法计算：（﹣）÷（﹣+﹣）．
26．一个能被13整除的自然数我们称为“十三数”，“十三数”的特征是：若把这个自然数的末三位与末三位以前
的数字组成的数之差，如果能被13整除，那么这个自然数就一定能被13整除．例如：判断383357能不能被13整除，这个数的末三位数字是357，末三位以前的数字组成的数是383，这两个数的差是383﹣357＝26，26能被13整除，因此383357是“十三数”．
（1）判断3253和254514是否为“十三数”，请说明理由．
（2）若一个四位自然数，千位数字和十位数字相同，百位数字与个位数字相同，则称这个四位数为“间同数”．
①求证：任意一个四位“间同数”能被101整除．
②若一个四位自然数既是“十三数”，又是“间同数”，求满足条件的所有四位数的最大值与最小值之差．
七．有理数的乘方（共4小题）
27．下列各组数中，其值相等的是（ ）
A．32和23 B．（﹣2）2和﹣22
C．（﹣3）3和﹣33 D．（﹣3×2）2和﹣32×22
28．观察下列算式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，…通过观察，用所发现的规律确定215的个位数字是 ．
29．我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码0和1），它们两者之间可以互相换算，如将（101）2，（1011）2换算成十进制数应为：
；
按此方式，将二进制（1101）2换算成十进制数的结果是 ．
30．阅读下列各式：（a b）2＝a2b2，（a b）3＝a3b3，（a b）4＝a4b4…
回答下列三个问题：
（1）验证：（2×）100＝ ，2100×（）100＝ ；
（2）通过上述验证，归纳得出：（a b）n＝ ； （abc）n＝ ．
（3）请应用上述性质计算：（﹣0.125）2017×22016×42015．
八．非负数的性质：偶次方（共1小题）
31．若（a﹣1）2+|b+2|＝0，则（a+b）2022的值是（ ）
A．﹣1 B．1 C．0 D．2022
九．有理数的混合运算（共2小题）
32．若“！”是一种数学运算符号，并且1！＝1，2！＝2×1＝2，3！＝3×2×1＝6，4！＝4×3×2×1，…，则的值为（ ）
A． B．99! C．9900 D．2！
33．计算：
（1）﹣40﹣（﹣19）+（﹣24）；
（2）÷（﹣）×（﹣）；
（3）（﹣﹣+）÷（﹣）；
（4）2×（﹣5）+23﹣3÷；
（5）（﹣3）2×[﹣+（﹣）]；
（6）﹣14+（﹣3）×[（﹣4）2+2]﹣（﹣2）3÷4．
一十．近似数和有效数字（共3小题）
34．近似数5.0×102精确到（ ）
A．十分位 B．个位 C．十位 D．百位
35．某种鲸鱼的体重约为1.36×105kg，关于这个近似数，下列说法正确的是（ ）
A．它精确到百位 B．它精确到0.01
C．它精确到千分位 D．它精确到千位
36．我们把由“四舍五入”法对非负有理数x精确到个位的值记为＜x＞．如：＜0＞＝＜0.48＞＝0，＜0.64＞＝＜1.493＞＝1，＜2＞＝2，＜2.5＞＝＜3.12＞＝3，…
解决下列问题：
（1）填空：①若＜x＞＝6，则x的取值范围是 ；
②若＜x＞＝，则x的值是 ；
（2）若m为正整数，试说明：＜x+m＞＝＜x＞+m恒成立．
一十一．科学记数法—表示较小的数（共1小题）
37．雾霾天气影响着我国北方中东部地区，给人们的健康带来严重的危害．为了让人们对雾霾有所了解．摄影师张超通过显微镜，将空气中细小的霾颗粒放大1000倍，发现这些霾颗粒平均直径为10微米 20微米，其中20微米（1米＝1000000微米）用科学记数法可表示为（ ）
A．2×105米 B．0.2×10﹣4米 C．2×10﹣5米 D．2×10﹣4米
两个有理数相加有以下几种情况：
①两个正数相加； ②两个负数相加；
③异号两数相加； ④正数或负数或零与零相加。
有理数的加法法则
①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；
③一个数同0相加，仍得这个数。
有理数的减法的意义与小学学过的减法的意义相同。已知两个加数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法。减法是加法的逆运算。
有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数.
设，则，
．
因此，．
有理数乘法的法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与零相乘，都得零。
几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定；当负因数的个数为奇数个，积为负；当负因数的个数为偶数个，积为正；几个数相乘，如果有一个因数为零，积为零。
有理数除法法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。零除以任何一个不为零的数，都得零。
乘积是1的两个有理数互为倒数，即ab＝1，那么a和b互为倒数；
倒数也可以看成是把分子分母的位置颠倒过来.
一般地，将个相同的因数相乘，记作，即。
求个相同因数的积的运算，叫做乘方。乘方的结果叫做幂。在中，叫做底数，叫做指数，读作的次方，看作是的次方的结果时，读作的次幂。
把一个数写成（其中，是正整数），这种形式的记数方法叫做科学记数法。
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