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第三章 实数（综合复习）
一、平方根的概念与性质
→知识点回顾：
→要点点拨：
①一个正数有2个平方根，它们互为相反数；
②负数没有平方根；
③零的平方根记作，=0；
④正数的两个平方根可以用“”表示，其中表示的正平方根（一般叫算数平方根），读作“根号”；表示的负平方根，读作“负根号”。
二、算术平方根的概念与性质：
→知识点回顾：
→要点点拨：
一个正数的算术平方根有1个；0的算术平方根是0；负数没有算术平方根。即只有非负数有算术平方根，如果有意义，那么。
1）；
2）
3）；
4）
三、实数
→知识点回顾：
→要点点拨：
①相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
（1）实数a的相反数是 -a； （2）a和b互为相反数a+b=0
②倒数：（1）实数a（a≠0）的倒数是；
（2）a和b 互为倒数；
（3）注意0没有倒数
③绝对值：
（1）一个数a 的绝对值有以下三种情况：
（2）实数的绝对值是一个非负数，从数轴上看，一个实数的绝对值，就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。
（3）去掉绝对值符号（化简）必须要对绝对值符号里面的实数进行数性（正、负）确认，再去掉绝对值符号。
四、立方根
→知识点回顾：
→要点点拨：
求一个数a的立方根的运算叫做开立方。正数的立方根是一个正数，负数的立方根是一个负数，零的立方根等于零。任意一个数都有立方根，而且只有一个立方根.也就是说：(1)，(2)。
五、实数的运算
→知识点回顾：
模块必刷题
一．平方根（共3小题）
1．若2m﹣4与3m﹣1是同一个数的平方根，则m的值是（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．﹣3或1
【分析】依据平方根的性质列方程求解即可．
【解答】解：当2m﹣4＝3m﹣1时，m＝﹣3，
当2m﹣4+3m﹣1＝0时，m＝1．
故选：D．
【点评】本题主要考查的是平方根的性质，明确2m﹣4与3m﹣1相等或互为相反数是解题的关键．
2．若一个正数的平方根是2a﹣1和a﹣2，则a＝ 1 ．
【分析】根据平方根的性质（一个正数的平方根互为相反数）解决此题．
【解答】解：由题意得，2a﹣1+a﹣2＝0．
∴a＝1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查平方根，熟练掌握平方根的性质是解决本题的关键．
3．已知3a+1的平方根是±2，2a﹣b+3的平方根是±3，求a﹣2b的值．
【分析】依据平方根的定义可得到3a+1＝4，2a﹣b+3＝9，然后解方程组求得a、b的值，然后再代入计算即可．
【解答】解：∵3a+1的平方根是±2，2a﹣b+3的平方根是±3，
∴3a+1＝4，2a﹣b+3＝9，解得：a＝1，b＝﹣4．
∴a﹣2b＝1﹣2×（﹣4）＝1+8＝9．
【点评】本题主要考查的是平方根的定义，依据平方根的定义列出方程组是解题的关键．
二．算术平方根（共9小题）
4．的平方根是（ ）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．±4
【分析】根据算术平方根以及平方根的定义解答即可．
【解答】解：∵＝4，
∴的平方根是±＝±2．
故选：C．
【点评】本题主要考查算术平方根以及平方根，熟练掌握算术平方根以及平方根的定义是解决本题的关键．
5．如果（0＜x＜150）是一个整数，那么整数x可取得的值共有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【分析】如果（0＜x＜150）是一个整数，则它一定是一个数的平方的形式．把150分解因数得5，5，2，3，凑质数的平方即可解决问题．
【解答】解：∵＝，
而（0＜x＜150）是一个整数，且x为整数，
∴5×5×2×3x一定可以写成平方的形式，
所以可以是6，24，54，96共有4个．
故选：B．
【点评】本题主要考查了算术平方根的性质，解题关键是把150分解因数得5，5，2，3，凑质数的平方即可．
6．在草稿纸上计算：①；②；③；④，观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出下面式子的值＝ 406 ．
【分析】先分别求出①②③④的结果，发现的规律①＝1；②＝1+2；③＝1+2+3；④＝1+2+3+4．以此类推，＝1+2+3+4+…+28，由此即可求解．
【解答】解：∵①＝1；
②＝3＝1+2；
③＝6＝1+2+3；
④＝10＝1+2+3+4，
∴＝1+2+3+4+…+28＝406．
【点评】此题主要考查了学生的分析，总结归纳的能力，要会从题中数据的特点找到规律，并利用规律解题．
7．2022年5月10日，庆祝中国共产主义青年团成立100周年大会在北京人民大会堂隆重举行．习近平总书记指出，青春孕育无限希望，青年创造美好明天．一个民族只有寄望青春、永葆青春，才能兴旺发达．为了全面贯彻总书记的讲话精神，某市决定在一块面积为1100m 的正方形空地上建一个足球场以供全民健身．已知足球场的面积为540m2，其中长是宽的倍，足球场的四周必须留出1m宽的空地，这块空地能否成功建一个符合规定的足球场？
【分析】求出足球场的长、宽，再求出正方形的边长，比较长方形的长加1，即（长+1）与正方形边长的大小关系即可．
【解答】解：设足球场的宽为xm，则长为m，由题意得，
＝540，
解得x＝18（取正值），
x＝30，
即足球场的长为30m，宽为18m，
又∵正方形空地的面积为1100m2，
∴正方形的边长为m，
∵332＝1089，342＝1156，
∴33＜＜34，
又∵30+1＜33，
∴可以建一个符合规定的足球场．
【点评】本题算术平方根，求出足球场的长、宽，正方形的边长是解决问题的关键．
8．已知一个正数的两个平方根是m+3和2m﹣15．
（1）求这个正数是多少？
（2）的平方根又是多少？
【分析】（1）依据一个正数有两个平方根，它们互为相反数即可解得即可求出m；
（2）利用（1）的结果及平方根的定义即可求解．
【解答】解：（1）∵m+3和2m﹣15是同一个正数的平方根，则这两个数互为相反数．
即：（m+3）+（2m﹣15）＝0
解得m＝4．
则这个正数是（m+3）2＝49．
（2）＝3，则它的平方根是±．
【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数．
9．观察下列各式及其验证过程：
验证：＝；
验证：＝＝＝；
验证：＝；
验证：＝＝＝．
（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想4的变形结果并进行验证；
（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为任意自然数，且n≥2）表示的等式，并给出证明．
【分析】（1）通过观察，不难发现：等式的变形过程利用了二次根式的性质a＝（a≥0），把根号外的移到根号内；再根据“同分母的分式相加，分母不变，分子相加”这一法则的倒用来进行拆分，同时要注意因式分解进行约分，最后结果中的被开方数是两个数相加，两个加数分别是左边根号外的和根号内的；
（2）根据上述变形过程的规律，即可推广到一般．表示左边的式子时，注意根号外的和根号内的分子、分母之间的关系：根号外的和根号内的分子相同，根号内的分子是分母的平方减去1﹣﹣﹣其中 根号内的分母是分子的平方减去1．
【解答】解：（1）．验证如下：
左边＝＝＝＝＝右边，
故猜想正确；
（2）．证明如下：
左边＝＝＝＝＝右边．
【点评】此题是一个找规律的题目，主要考查了二次根式的性质．观察时，既要注意观察等式的左右两边的联系，还要注意右边必须是一种特殊形式．
10．已知实数a，b，c满足：b＝+4，c的平方根等于它本身．求的值．
【分析】根据平方根的定义先求出a、b、c的值，再代入所求代数式计算即可．
【解答】解：∵﹣（a﹣3）2≥0，
∴a＝3
把a代入b＝+4得：
∴b＝4
∵c的平方根等于它本身，
∴c＝0
∴＝．
【点评】此题在于考查了平方根和算术平方根的定义，注意负数没有平方根．
11．观察与猜想：
＝＝＝2
＝＝＝3
（1）与分别等于什么？并通过计算验证你的猜想
（2）计算（n为正整数）等于什么？
【分析】（1）观察不难发现，被减数放到根号外，减少作为被开方数即可；
（2）减数的分子与被减数相同，分母是被减数的平方加1，根据此规律写出即可，再按照题目提供的信息进行验证．
【解答】解：（1）＝4，
验证：＝＝＝4，
＝5
验证：＝＝＝5；
（2）＝＝＝n．
【点评】本题考查了算术平方根，读懂题目信息，理解算术平方根的定义是解题的关键．
12．（1）填写下表．
a 0.0001 0.01 1 100 10000
0.01 0.1 1 10 100
想一想上表中已知数a的小数点的移动与它的算术平方根的小数点移动间有何规律？
（2）利用规律计算：已知，，，用k的代数式分别表示a、b．
（3）如果，求x的值．
【分析】（1）应从被开方数的小数点，以及相应的算术平方根的小数点的移动来找规律．
（2）被开方数的小数点向左移动了2位，算术平方根a的小数点相对于k应向左移动1位，即缩小10倍．被开方数的小数点向右移动了2位，算术平方根b的小数点应相对于k向右移动1位，即扩大10倍．
（3）算术平方根扩大100倍，那么被开方数应扩大10000倍．
【解答】解：（1）0.01，0.1，1，10，100，
被开方数的小数点每移动两位，它的算术平方根的小数点向相同方向移动一位．
（2）∵，，，
∴，b＝10k．
（3）∵，
∴x＝70000．
【点评】本题主要考查了算术平方根的性质，解题需注意被开方数的小数点和相应的算术平方根的小数点之间的互换关系．
三．非负数的性质：算术平方根（共1小题）
13．实数a、b满足+4a2+4ab+b2＝0，则ba的值为（ ）
A．2 B． C．﹣2 D．﹣
【分析】先根据完全平方公式整理，再根据非负数的性质列方程求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【解答】解：整理得，+（2a+b）2＝0，
所以，a+1＝0，2a+b＝0，
解得a＝﹣1，b＝2，
所以，ba＝2﹣1＝．
故选：B．
【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
四．实数与数轴（共3小题）
14．如图，在数轴上点A表示的数a、点B表示数b，a、b满足|a﹣30|+（b+6）2＝0．点O是数轴原点．
（1）点A表示的数为 30 ，点B表示的数为 ﹣6 ，线段AB的长为 36 ．
（2）若点A与点C之间的距离表示为AC，点B与点C之间的距离表示为BC，请在数轴上找一点C，使AC＝2BC，则点C在数轴上表示的数为 6或﹣42 ．
（3）现有动点P、Q都从B点出发，点P以每秒1个单位长度的速度向终点A移动；当点P移动到O点时，点Q才从B点出发，并以每秒3个单位长度的速度向右移动，且当点P到达A点时，点Q就停止移动，设点P移动的时间为t秒，问：当t为多少时，P、Q两点相距4个单位长度？
【分析】（1）根据偶次方以及绝对值的非负性即可求出a、b的值，可得点A表示的数，点B表示的数，再根据两点间的距离公式可求线段AB的长；
（2）分两种情况：点C在线段AB上，点C在射线AB上，进行讨论即可求解；
（3）分0＜t≤6、6＜x≤9和9＜t≤36三种情况考虑，根据两点间的距离公式结合PQ＝4即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）∵|a﹣30|+（b+6）2＝0，
∴a﹣30＝0，b+6＝0，
解得a＝30，b＝﹣6，
AB＝30﹣（﹣6）＝36．
故点A表示的数为30，点B表示的数为﹣6，线段AB的长为36．
（2）点C在线段AB上，
∵AC＝2BC，
∴AC＝36×＝24，
点C在数轴上表示的数为30﹣24＝6；
点C在射线AB上，
∵AC＝2BC，
∴AC＝36×2＝72，
点C在数轴上表示的数为30﹣72＝﹣42．
故点C在数轴上表示的数为6或﹣42；
（3）经过t秒后，点P表示的数为t﹣6，点Q表示的数为，
（i）当0＜t≤6时，点Q还在点B处，
∴PQ＝t﹣6﹣（﹣6）＝t＝4；
（ii）当6＜x≤9时，点P在点Q的右侧，
∴（t﹣6）﹣[3（t﹣6）﹣6]＝4，
解得：t＝7；
（iii）当9＜t≤36时，点P在点Q的左侧，
∴3（t﹣6）﹣6﹣（t﹣6）＝4，
解得：t＝11．
综上所述：当t为4秒、7秒和11秒时，P、Q两点相距4个单位长度．
故答案为：30，﹣6，36；6或﹣42．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用、数轴、两点间的距离公式、绝对值以及偶次方的非负性，根据两点间的距离公式结合点之间的关系列出一元一次方程是解题的关键，本题属于中档题，难度不大，但解题过程稍显繁琐，细心仔细是得分的关键．
15．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小白在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究：
操作一：
（1）折叠纸面，若使表示的点1与﹣1表示的点重合，则﹣2表示的点与 2 表示的点重合；
操作二：
（2）折叠纸面，若使1表示的点与﹣3表示的点重合，回答以下问题：
①表示的点与数 ﹣2﹣ 表示的点重合；
②若数轴上A、B两点之间距离为8（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，则A、B两点表示的数分别是 ﹣5和3 ；
操作三：
（3）在数轴上剪下9个单位长度（从﹣1到8）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）．若这三条线段的长度之比为1：1：2，则折痕处对应的点所表示的数可能是 或或 ．
【分析】（1）根据对称性找到折痕的点为原点O，可以得出﹣2与2重合；
（2）根据对称性找到折痕的点为﹣1，
①设表示的点与数a表示的点重合，根据对称性列式求出a的值；
②因为AB＝8，所以A到折痕的点距离为4，因为折痕对应的点为﹣1，由此得出A、B两点表示的数；
（3）分三种情况进行讨论：设折痕处对应的点所表示的数是x，如图1，当AB：BC：CD＝1：1：2时，所以设AB＝a，BC＝a，CD＝2a，得a+a+2a＝9，a＝，得出AB、BC、CD的值，计算也x的值，同理可得出如图2、3对应的x的值．
【解答】解：操作一，
（1）∵表示的点1与﹣1表示的点重合，
∴折痕为原点O，
则﹣2表示的点与2表示的点重合，
故答案为：2；
操作二：
（2）∵折叠纸面，若使1表示的点与﹣3表示的点重合，
则折痕表示的点为﹣1，
①设表示的点与数a表示的点重合，
则﹣（﹣1）＝﹣1﹣a，
a＝﹣2﹣；
②∵数轴上A、B两点之间距离为8，
∴数轴上A、B两点到折痕﹣1的距离为4，
∵A在B的左侧，
则A、B两点表示的数分别是﹣5和3；
故答案为：①﹣2﹣，②﹣5和3；
操作三：
（3）设折痕处对应的点所表示的数是x，
如图1，当AB：BC：CD＝1：1：2时，
设AB＝a，BC＝a，CD＝2a，
a+a+2a＝9，
a＝，
∴AB＝，BC＝，CD＝，
x＝﹣1++＝，
如图2，当AB：BC：CD＝1：2：1时，
设AB＝a，BC＝2a，CD＝a，
a+a+2a＝9，
a＝，
∴AB＝，BC＝，CD＝，
x＝﹣1++＝，
如图3，当AB：BC：CD＝2：1：1时，
设AB＝2a，BC＝a，CD＝a，
a+a+2a＝9，
a＝，
∴AB＝，BC＝CD＝，
x＝﹣1++＝，
综上所述：则折痕处对应的点所表示的数可能是或或．
故答案为：或或．
【点评】本题考查了实数和数轴的关系，及数轴上的折叠变换问题，明确①数轴上折叠后重合的点到折痕的距离相等，②数轴上任意两点的距离为两点坐标的绝对值；本题第三问有难度，采用了分类讨论的思想．
16．如图，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）填空：
①A、B两点间的距离AB＝ 10 ，线段AB的中点表示的数为 3 ；
②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为 ﹣2+3t ；点Q表示的数为 8﹣2t ．
（2）求当t为何值时，PQ＝AB；
（3）当点P运动到点B的右侧时，PA的中点为M，N为PB的三等分点且靠近于P点，求PM﹣BN的值．
【分析】（1）①根据点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，即可得到A、B两点间的距离以及线段AB的中点表示的数；②依据点P，Q的运动速度以及方向，即可得到结论；
（2）由t秒后，点P表示的数﹣2+3t，点Q表示的数为8﹣2t，于是得到PQ＝|（﹣2+3t）﹣（8﹣2t）|＝|5t﹣10|，列方程即可得到结论；
（3）依据PA的中点为M，N为PB的三等分点且靠近于P点，运用线段的和差关系进行计算，即可得到PM﹣BN的值．
【解答】解：（1）①8﹣（﹣2）＝10，﹣2+×10＝3，
故答案为：10，3；
②由题可得，点P表示的数为﹣2+3t，点Q表示的数为8﹣2t；
故答案为：﹣2+3t，8﹣2t；
（2）∵t秒后，点P表示的数﹣2+3t，点Q表示的数为8﹣2t，
∴PQ＝|（﹣2+3t）﹣（8﹣2t）|＝|5t﹣10|，
又PQ＝AB＝×10＝5，
∴|5t﹣10|＝5，
解得：t＝1或3，
∴当t＝1或3时，PQ＝AB；
（3）∵PA的中点为M，N为PB的三等分点且靠近于P点，
∴MP＝AP＝×3t＝t，
BN＝BP＝（AP﹣AB）＝×（3t﹣10）＝2t﹣，
∴PM﹣BN＝t﹣（2t﹣）＝5．
【点评】本题考查了实数和数轴以及一元一次方程的应用应用，解题的关键是掌握点的移动与点所表示的数之间的关系，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程求解．
五．估算无理数的大小（共6小题）
17．试估算+5在哪两个整数之间（ ）
A．2和3 B．3和4 C．6和7 D．8和9
【分析】根据算术平方根的定义估算无理数的大小，进而得出5+的大小，确定其整数部分即可．
【解答】解：∵＜，即3＜＜4，
∴8＜5+＜9，
故选：D．
【点评】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的前提．
18．规定用符号[m]表示一个实数m的整数部分，例如：[]＝0，[3.14]＝3．按此规定[]的值为 4 ．
【分析】求出的范围，求出+1的范围，即可求出答案．
【解答】解：∵3＜＜4，
∴3+1＜+1＜4+1，
∴4＜+1＜5，
∴[+1]＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了估计无理数的应用，关键是确定+1的范围，题目比较新颖，是一道比较好的题目．
19．已知a的立方根是2，b是的整数部分，c是9的平方根，求a+b+c的算术平方根．
【分析】根据立方根、平方根的定义以及估算无理数的大小，确定a、b、c的值，再代入求出a+b+c的值，最后求其算术平方根即可．
【解答】解：∵a的立方根是2，
∴a＝8，
∵b是的整数部分，而3＜＜4，
∴b＝3，
又∵c是9的平方根，
∴c＝3或c＝﹣3，
∴a+b+c＝8+3+3＝14或a+b+c＝8+3﹣3＝8，
∴a+b+c的算术平方根为或2．
故答案为：或2．
【点评】本题考查平方根、算术平方根、立方根以及估算无理数的大小，掌握平方根、算术平方根、立方根的定义是正确解答的前提．
20．我们知道，是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分．即的整数部分是1，小数部分是﹣1，请回答以下问题：
（1）的小数部分是 ﹣3 ，5﹣的小数部分是 4﹣ ．
（2）若a是的整数部分，b是的小数部分．求a+b﹣+1的平方根．
（3）若7+＝x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y+的值．
【分析】（1）根据算术平方根的定义，估算无理数，5﹣的大小，进而确定它们的整数部分、小数部分即可；
（2）根据算术平方根的定义，估算无理数，的大小，进而确定它们的整数部分、小数部分，即确定a、b的值，再代入计算出a+b﹣+1的值，最后求其平方根即可；
（3）估算无理数7+的值，确定x、y的值，代入计算x﹣y+的值即可．
【解答】解：（1）∵3＜＜4，
∴的整数部分是3，小数部分为﹣3，
∵3＜＜4，
∴﹣4＜﹣＜﹣3，
∴1＜5﹣＜2，
∴5﹣的整数部分是1，小数部分为5﹣﹣1＝4﹣，
故答案为：﹣3，4﹣；
（2）∵＜＜，即9＜＜10，
∴的整数部分a＝9，
又∵1＜＜2，
∴的整数部分为1，的小数部分b＝﹣1，
∴a+b﹣+1＝9+﹣1﹣+1＝9，
∴a+b﹣+1的平方根为±＝±3；
（3）∵2＜＜3，
∴9＜7+＜10，
又∵7+＝x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，
∴x＝9，y＝7+﹣9＝﹣2，
∴x﹣y+＝9﹣+2+
＝11，
答：x﹣y+的值为11．
【点评】本题考查平方根、算术平方根以及估算无理数的大小，理解算术平方根、平方根的定义是正确解答的前提，确定a、b、x、y的值是得出正确答案的关键．
21．观察：因为＜＜，即2＜＜3，所以的整数部分为2，小数部分为﹣2．
请你观察上述规律后解决下面的问题：
（1）规定用符号[m]表示实数m的整数部分，例如：[]＝0，[]＝2．按此规定，那么[+1]的值为 4 ．
（2）若的整数部分为a，小数部分为b，|c|＝，求c（a﹣b﹣6）+12的值．
【分析】（1）根据算术平方根的定义，估算无理数的大小，进而确定+1的大小即可；
（2）估算无理数的大小，确定a、b的值，再根据绝对值的定义得出c的值，再代入计算即可．
【解答】解：（1）∵＜＜，即3＜＜4，
∴4＜+1＜5，
∴+1的整数部分为4，
即[+1]＝4，
故答案为：4；
（2）∵＜，即3＜＜4，
∴的整数部分a＝3，小数部分b＝﹣3，
∵|c|＝，
∴c＝±，
当a＝3，b＝﹣3，c＝时，
c（a﹣b﹣6）+12＝（3﹣+3﹣6）+12
＝﹣11+12
＝1；
当a＝3，b＝﹣3，c＝﹣时，
c（a﹣b﹣6）+12＝﹣（3﹣+3﹣6）+12
＝11+12
＝23；
答：c（a﹣b﹣6）+12的值为1或23．
【点评】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义估算无理数的大小，进而确定整数部分、小数部分是正确解答的前提．
22．阅读下面文字，然后回答问题．
大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，所以的小数部分我们不可能全部写出来，由于的整数部分是1，将减去它的整数部分，差就是它的小数部分，因此的小数部分可用﹣1表示．
由此我们得到一个真命题：如果＝x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，那么x＝1，y＝﹣1．
请解答下列问题：
（1）如果＝a+b，其中a是整数，且0＜b＜1，那么a＝ 2 ，b＝ ﹣2 ；
（2）如果﹣＝c+d，其中c是整数，且0＜d＜1，那么c＝ ﹣3 ，d＝ 3﹣ ；
（3）已知2+＝m+n，其中m是整数，且0＜n＜1，求|m﹣n|的值．
【分析】（1）估算出2＜＜3，依此即可确定出a，b的值；
（2）估算出2＜＜3，可得﹣3＜﹣＜﹣2，依此即可确定出c，d的值；
（3）根据题意确定出m与n的值，代入求出|m﹣n|即可．
【解答】解：（1）∵＝a+b，其中a是整数，且0＜b＜1，
2＜＜3，
∴a＝2，b＝﹣2；
（2）∵﹣＝c+d，其中c是整数，且0＜d＜1，
2＜＜3，
﹣3＜﹣＜﹣2，
∴c＝﹣3，d＝3﹣；
（3）∵2+＝m+n，其中m是整数，且0＜n＜1，
∴m＝4，n＝﹣2，
则|m﹣n|＝|4﹣+2|＝6﹣．
故答案为：2，﹣2；﹣3，3﹣，6﹣．
【点评】此题考查了估算无理数的大小，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题．
六．立方根（共7小题）
23．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据立方根、算术平方根的定义计算．
【解答】解：A、原式＝3，∴不符合题意；
B、原式＝﹣，∴不符合题意；
C、原式＝4，∴不符合题意；
D、原式＝﹣0.6，∴符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了立方根、算术平方根，掌握立方根、算术平方根的定义的应用是解题关键．
24．已知a的算术平方根是12.3，b的立方根是﹣45.6，x的平方根是±1.23，y的立方根是456，则x和y分别是（ ）
A．，y＝1000b B．x＝100a，
C．， D．，y＝﹣1000b
【分析】根据算术平方根、平方根、立方根的定义解决此题．
【解答】解：∵a的算术平方根是12.3，x的平方根是±1.23，
∴，．
∴．
∴a＝100x．
∴x＝．
∵b的立方根是﹣45.6，y的立方根是456，
∴，．
∴．
∴．
∴y＝﹣1000b．
故选：D．
【点评】本题主要考查算术平方根、平方根、立方根，熟练掌握算术平方根、平方根、立方根的定义是解决本题的关键．
25．若＝2.938，＝6.329，则＝ 293.8 ．
【分析】将变形为＝×100，再代入计算即可求解．
【解答】解：
＝
＝×100
＝2.938×100
＝293.8．
故答案为：293.8．
【点评】考查了立方根，关键是将变形为×100
26．已知x﹣2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，求x2+y2的平方根．
【分析】根据平方根、立方根的定义求出x、y即可解决问题．
【解答】解：∵x﹣2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，
∴x﹣2＝4，2x+y+7＝27，
∴x＝6，y＝8，
∴x2+y2＝100，
∴100的平方根为±10．
【点评】本题考查平方根、立方根的定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
27．我们知道a+b＝0时，a3+b3＝0也成立，若将a看成a3的立方根，b看成b3的立方根，我们能否得出这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．
（1）试举一个例子来判断上述猜测结论是否成立；
（2）若与互为相反数，求1﹣的值．
【分析】1、用2与﹣2来验证即可．
2、根据题的结论计算．
【解答】解：（1）∵2+（﹣2）＝0，
而且23＝8，（﹣2）3＝﹣8，有8﹣8＝0，
∴结论成立；
∴即“若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．”是成立的．
（2）由（1）验证的结果知，1﹣2x+3x﹣5＝0，
∴x＝4，
∴1﹣＝1﹣2＝﹣1．
【点评】本题主要考查了立方根的定义，是开放题，根据题中的信息：“若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．”答题．
28．（1）已知2x﹣1的平方根是±6，2x+y﹣1的算术平方根是5，求2x﹣3y+11的立方根．
（2）已知x是1的平方根，求代数式（x2017﹣1）（x2018﹣712）（x2019+1）（x2020+712）+1000x的立方根．
【分析】（1）根据平方根、算术平方根的定义，构建方程组即可解决问题；
（2）求出x的值，即可解决问题；
【解答】解：（1）由题意，解得2x＝37，y＝﹣11，
∴2x﹣3y+11＝37+33+11＝81，
∴2x﹣3y+11的立方根为：3．
（2）∵x是1的平方根，
∴x＝±1，
当x＝1时，原式＝1000，1000的立方根为10，
当x＝﹣1时，原式＝﹣1000，﹣1000的立方根为﹣10．
【点评】本题考查立方根、平方根、算术平方根的定义，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
29．已知是m+n+3的算术平方根，是m+2n的立方根，求B﹣A的立方根．
【分析】根据算术平方根、立方根的定义分别可以得到m﹣n＝2，m﹣2n+3＝3，由此得到方程组进行求解，从而得出m、n，然后代入所求代数式即可．
【解答】解：∵是m+n+3的算术平方根，
∴m﹣n＝2，
∵是m+2n的立方根，
∴m﹣2n+3＝3，
∴联立得到方程组
解这个方程组得：m＝4，n＝2．
∴A＝3，B＝2，
所以B﹣A的立方根为﹣1．
【点评】此题主要考查了算术平方根、立方根的定义．注意：要求B﹣A的立方根，就要先算出A、B的值，要算出A、B的值，就要先求出m、n的值，这是本题的关键所在．
七．实数的运算（共9小题）
30．﹣2014＝（ ）
A．20142 B．20142﹣1 C．2015 D．20152﹣1
【分析】将算式变形为﹣2014，根据平方差公式将根号里面的算式展开，根据完全平方公式和二次根式的性质得到原式＝（2014.52﹣1.25）﹣2014，再根据完全平方公式即可求解．
【解答】解：﹣2014
＝﹣2014
＝（2014.52﹣1.25）﹣2014
＝2014.52﹣2014.5+0.25﹣1
＝（2014.5﹣0.5）2﹣1
＝20142﹣1．
故选：B．
【点评】考查了实数的运算，解决此类题目的关键是熟练掌握平方差公式、完全平方公式、二次根式等考点的运算．
31．按如图所示的程序计算，若开始输入的n值为，则最后输出的结果是（ ）
A．3+ B．15+ C．3+3 D．15+7
【分析】按所示的程序将n＝输入，结果为3+，小于15；再把3+作为n再输入，得15+7，15+7＞15，则就是输出结果．
【解答】解：当n＝时，n（n+1）＝（+1）＝3+＜15，
当n＝3+时，n（n+1）＝（3+）（4+）＝15+7＞15，
故选：D．
【点评】本题以一种新的运算程序考查了实数的运算，要注意两方面：①新的运算程序要准确；②实数运算要准确．
32．对于任意两个正数x和y，规定x y＝，例如，4 1＝﹣1＝1．请计算（5 2）﹣（5 3）＝ 2﹣5 ．
【分析】利用规定x y的运算法则分别计算5 2和5 3后，再利用实数的运算法则运算即可．
【解答】解：∵5 2＝﹣2，5 3＝3﹣，
∴（5 2）﹣（5 3）
＝（﹣2）﹣（3﹣）
＝﹣2﹣3+
＝2﹣5，
故答案为：2﹣5．
【点评】本题主要考查了实数的运算，本题是新定义型，理解新定义的规定并熟练应用是解题的关键．
33．设[x）表示大于x的最小整数，如[3）＝4，[﹣1.2）＝﹣1，
则下列结论中正确的是 ③④ ．（填写所有正确结论的序号）
①[0）＝0；
②[x）﹣x的最小值是0；
③[x）﹣x的最大值是1；
④存在实数x，使[x）﹣x＝0.5成立．
【分析】根据题意[x）表示大于x的最小整数，结合各项进行判断即可得出答案．
【解答】解：①[0）＝1，故本项错误；
②[x）﹣x＞0，但是取不到0，故本项错误；
③[x）﹣x≤1，即最大值为1，故本项正确；
④存在实数x，使[x）﹣x＝0.5成立，例如x＝0.5时，故本项正确．
故答案为③④．
【点评】此题考查了实数的运算，仔细审题，理解[x）表示大于x的最小整数是解答本题的关键，难度一般．
34．定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为a+bi（a，b为实数），a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．
例如计算：（2+i）+（3﹣4i）＝（2+3）+（i﹣4i）＝5﹣3i
（1）填空：i3＝ ﹣i ，i4＝ 1 ．
（2）填空：①（2+i）（2﹣i）＝ 5 ； ②（2+i）2＝ 3+4i ．
（3）若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下列问题：已知，（x+y）+3i＝1﹣（x﹣y）i，（x，y为实数），求x，y的值．
（4）试一试：请利用以前学习的有关知识将化简成a+bi的形式．
（5）解方程：x2﹣2x+4＝0．
【分析】（1）由i3＝i2 i、i4＝i2 i2可得答案；
（2）利用平方差公式和完全平方公式分别展开，将i2＝﹣1代入计算即可得；
（3）根据实部与虚部对应相等列出关于x、y的方程组，解之可得；
（4）将分子、分母都乘以1+i，计算可得；
（5）将原方程配方成（x﹣1）2＝﹣3，据此得出（x﹣1）2＝3i2，再两边开平方计算可得．
【解答】解：（1）i3＝i2 i＝﹣1 i＝﹣i，i4＝i2 i2＝﹣1×（﹣1）＝1，
故答案为：﹣i，1；
（2）①（2+i）（2﹣i）＝4﹣i2＝4+1＝5，
②（2+i）2＝4+4i+i2＝4+4i﹣1＝3+4i，
故答案为：5、3+4i；
（3）由题意知，
解得：；
（4）＝＝＝＝＝i；
（5）∵x2﹣2x＝﹣4，
∴x2﹣2x+1＝﹣4+1，即（x﹣1）2＝﹣3，
则（x﹣1）2＝3i2，
∴x﹣1＝i或x﹣1＝﹣i，
∴x＝1+i或x＝1﹣i．
【点评】本题主要考查实数的运算，解题的关键是熟练掌握新定义及其应用和平方差公式、完全平方公式、分母有理化、解二元一次方程组和一元二次方程的能力．
35．已知点A、B、C在数轴上表示的数a、b、c的位置如图所示，化简．
【分析】根据根式的性质化简即可解决问题；
【解答】解：由题意：a＜0，b＜0，a+b＜0，c﹣a+b＞0，
∴+﹣|a+b|﹣+
＝a﹣b+a+b﹣a﹣c+c﹣a+b
＝b．
【点评】本题考查根式的化简，解题的关键是熟练掌握基本知识，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
36．阅读材料：
我们定义：如果一个数的平方等于﹣1，记作i2＝﹣1，那么这个i就叫做虚数单位．虚数与我们学过的实数合在一起叫做复数．一个复数可以表示为a+bi（a，b均为实数）的形式，其中a叫做它的实部，b叫做它的虚部．
复数的加、减、乘的运算与我们学过的整式加、减、乘的运算类似．
例如计算：（5+i）+（3﹣4i）＝（5+3）+（i﹣4i）＝8﹣3i．
根据上述材料，解决下列问题：
（1）填空：i3＝ ﹣i ，i4＝ 1 ；
（2）计算：（2+i）2；
（3）将化为a+bi（a，b均为实数）的形式（即化为分母中不含i的形式）．
【分析】（1）根据i2＝﹣1，则i3＝i2 i，i4＝i2 i2，然后计算；
（2）根据完全平方公式计算，出现i2，化简为﹣1计算；
（3）分子分母同乘以（1+i）后，把分母化为不含i的数后计算．
【解答】解：（1）∵i2＝﹣1，
∴i3＝i2 i＝﹣1 i＝﹣i，i4＝i2 i2＝﹣1 （﹣1）＝1，
故答案为：﹣i，1；
（2）（2+i）2＝i2+4i+4＝﹣1+4i+4＝3+4i；
（3）＝＝＝＝i．
【点评】本题考查了实数的运算，以及完全平方公式的运用，能读懂题意是解此题的关键，解题步骤为：阅读理解，发现信息；提炼信息，发现规律；运用规律，联想迁移；类比推理，解答问题．
37．定义一种新运算“*”满足下列条件：
①对于任意的实数a，b，a*b总有意义；
②对于任意的实数a，均有a*a＝0；
③对于任意的实数a，b，c，均有a*（b*c）＝a*b+c．
（1）填空：1*（1*1）＝ 1 ，2*（2*2）＝ 2 ，3*0＝ 3 ；
（2）猜想a*0＝ a ，并说明理由；
（3）a*b＝ a﹣b （用含a、b的式子直接表示）．
【分析】（1）1*（1*1）＝1*1+1＝1，2*（2*2）＝2*2+2＝2，3*0＝3*（3*3）＝3*3+3＝3，即可求解；
（2）a*0＝a（a*a）＝a*a+a＝a，即可求解；
（3）a*（b*b）＝a*b+b，即a*0＝a*b+b，而a*0＝a，即可求解．
【解答】解：（1）1*（1*1）＝1*1+1＝1，
2*（2*2）＝2*2+2＝2，
3*0＝3*（3*3）＝3*3+3＝3
故答案为：1，2，3；
（2）a*0＝a（a*a）＝a*a+a＝a，
故答案为a；
（3）a*（b*b）＝a*b+b，即a*0＝a*b+b，
而a*0＝a，
故a*b＝a﹣b．
【点评】本题考查的是实数的运算，这种新定义类题目，通常按照题设的顺序逐次求解，通常比较容易．
38．化简求值：（），其中a＝2+．
【分析】原式第一项括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分后两项化简得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝[+] +＝ +＝＝，
当a＝2+时，原式＝+1．
【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。求一个数a的平方根的运算叫做开平方，a叫做被开方数。如=4，x=，4的平方根是。4叫做被开方数，+2和-2叫作4的平方根。
一般地，如果一个正数x的平方等于a，即=a那么这个正数x叫做a的算术平方根。a的算术平方根记为，读作“根号a”或“二次根号a”，a叫做被开方数。
有理数：整数和分数统称有理数。
无理数：无限不循环小数叫做无理数，例如π，0.1010010001……，等等这样三类无限不循环小数，在中学阶段比较常见。
实数：有理数和无理数统称为实数。
(1)按定义分类 (2)按性质符号分类
如果一个数的立方等于,那么这个数叫做a的立方根，用“”表示，读作“三次根号a”。中的a叫做被开方数，3叫做根指数。
①加法：
（1）同号两数相加，取原来的符号，并把它们的绝对值相加；
（2）异号两数相加，取绝对值大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。可使用加法交换律、结合律。
②减法：
减去一个数等于加上这个数的相反数。
③乘法：
（1）两数相乘，同号取正，异号取负，并把绝对值相乘。
（2）n个实数相乘，有一个因数为0，积就为0；若n个非0的实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数为奇数个时，积为负。
（3）乘法可使用乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律。
④除法：
（1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
（2）除以一个数等于乘以这个数的倒数。
（3）0除以任何非0的数都等于0。
⑤乘方与开方：
乘方与开方互为逆运算。
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第三章 实数（综合复习）
一、平方根的概念与性质
→知识点回顾：
→要点点拨：
①一个正数有2个平方根，它们互为相反数；
②负数没有平方根；
③零的平方根记作，=0；
④正数的两个平方根可以用“”表示，其中表示的正平方根（一般叫算数平方根），读作“根号”；表示的负平方根，读作“负根号”。
二、算术平方根的概念与性质：
→知识点回顾：
→要点点拨：
一个正数的算术平方根有1个；0的算术平方根是0；负数没有算术平方根。即只有非负数有算术平方根，如果有意义，那么。
1）；
2）
3）；
4）
三、实数
→知识点回顾：
→要点点拨：
①相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
（1）实数a的相反数是 -a； （2）a和b互为相反数a+b=0
②倒数：（1）实数a（a≠0）的倒数是；
（2）a和b 互为倒数；
（3）注意0没有倒数
③绝对值：
（1）一个数a 的绝对值有以下三种情况：
（2）实数的绝对值是一个非负数，从数轴上看，一个实数的绝对值，就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。
（3）去掉绝对值符号（化简）必须要对绝对值符号里面的实数进行数性（正、负）确认，再去掉绝对值符号。
四、立方根
→知识点回顾：
→要点点拨：
求一个数a的立方根的运算叫做开立方。正数的立方根是一个正数，负数的立方根是一个负数，零的立方根等于零。任意一个数都有立方根，而且只有一个立方根.也就是说：(1)，(2)。
五、实数的运算
→知识点回顾：
模块必刷题
一．平方根（共3小题）
1．若2m﹣4与3m﹣1是同一个数的平方根，则m的值是（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．﹣3或1
2．若一个正数的平方根是2a﹣1和a﹣2，则a＝ ．
3．已知3a+1的平方根是±2，2a﹣b+3的平方根是±3，求a﹣2b的值．
二．算术平方根（共9小题）
4．的平方根是（ ）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．±4
5．如果（0＜x＜150）是一个整数，那么整数x可取得的值共有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
6．在草稿纸上计算：①；②；③；④，观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出下面式子的值＝ ．
7．2022年5月10日，庆祝中国共产主义青年团成立100周年大会在北京人民大会堂隆重举行．习近平总书记指出，青春孕育无限希望，青年创造美好明天．一个民族只有寄望青春、永葆青春，才能兴旺发达．为了全面贯彻总书记的讲话精神，某市决定在一块面积为1100m 的正方形空地上建一个足球场以供全民健身．已知足球场的面积为540m2，其中长是宽的倍，足球场的四周必须留出1m宽的空地，这块空地能否成功建一个符合规定的足球场？
8．已知一个正数的两个平方根是m+3和2m﹣15．
（1）求这个正数是多少？
（2）的平方根又是多少？
9．观察下列各式及其验证过程：
验证：＝；
验证：＝＝＝；
验证：＝；
验证：＝＝＝．
（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想4的变形结果并进行验证；
（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为任意自然数，且n≥2）表示的等式，并给出证明．
10．已知实数a，b，c满足：b＝+4，c的平方根等于它本身．求的值．
11．观察与猜想：
＝＝＝2
＝＝＝3
（1）与分别等于什么？并通过计算验证你的猜想
（2）计算（n为正整数）等于什么？
12．（1）填写下表．
a 0.0001 0.01 1 100 10000
0.01 0.1 1 10 100
想一想上表中已知数a的小数点的移动与它的算术平方根的小数点移动间有何规律？
（2）利用规律计算：已知，，，用k的代数式分别表示a、b．
（3）如果，求x的值．
三．非负数的性质：算术平方根（共1小题）
13．实数a、b满足+4a2+4ab+b2＝0，则ba的值为（ ）
A．2 B． C．﹣2 D．﹣
四．实数与数轴（共3小题）
14．如图，在数轴上点A表示的数a、点B表示数b，a、b满足|a﹣30|+（b+6）2＝0．点O是数轴原点．
（1）点A表示的数为 ，点B表示的数为 ，线段AB的长为 ．
（2）若点A与点C之间的距离表示为AC，点B与点C之间的距离表示为BC，请在数轴上找一点C，使AC＝2BC，则点C在数轴上表示的数为 ．
（3）现有动点P、Q都从B点出发，点P以每秒1个单位长度的速度向终点A移动；当点P移动到O点时，点Q才从B点出发，并以每秒3个单位长度的速度向右移动，且当点P到达A点时，点Q就停止移动，设点P移动的时间为t秒，问：当t为多少时，P、Q两点相距4个单位长度？
15．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小白在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究：
操作一：
（1）折叠纸面，若使表示的点1与﹣1表示的点重合，则﹣2表示的点与 表示的点重合；
操作二：
（2）折叠纸面，若使1表示的点与﹣3表示的点重合，回答以下问题：
①表示的点与数 表示的点重合；
②若数轴上A、B两点之间距离为8（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，则A、B两点表示的数分别是 ；
操作三：
（3）在数轴上剪下9个单位长度（从﹣1到8）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）．若这三条线段的长度之比为1：1：2，则折痕处对应的点所表示的数可能是 ．
16．如图，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）填空：
①A、B两点间的距离AB＝ ，线段AB的中点表示的数为 ；
②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为 ；点Q表示的数为 ．
（2）求当t为何值时，PQ＝AB；
（3）当点P运动到点B的右侧时，PA的中点为M，N为PB的三等分点且靠近于P点，求PM﹣BN的值．
五．估算无理数的大小（共6小题）
17．试估算+5在哪两个整数之间（ ）
A．2和3 B．3和4 C．6和7 D．8和9
18．规定用符号[m]表示一个实数m的整数部分，例如：[]＝0，[3.14]＝3．按此规定[]的值为 ．
19．已知a的立方根是2，b是的整数部分，c是9的平方根，求a+b+c的算术平方根．
20．我们知道，是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分．即的整数部分是1，小数部分是﹣1，请回答以下问题：
（1）的小数部分是 ，5﹣的小数部分是 ．
（2）若a是的整数部分，b是的小数部分．求a+b﹣+1的平方根．
（3）若7+＝x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y+的值．
21．观察：因为＜＜，即2＜＜3，所以的整数部分为2，小数部分为﹣2．
请你观察上述规律后解决下面的问题：
（1）规定用符号[m]表示实数m的整数部分，例如：[]＝0，[]＝2．按此规定，那么[+1]的值为 ．
（2）若的整数部分为a，小数部分为b，|c|＝，求c（a﹣b﹣6）+12的值．
22．阅读下面文字，然后回答问题．
大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，所以的小数部分我们不可能全部写出来，由于的整数部分是1，将减去它的整数部分，差就是它的小数部分，因此的小数部分可用﹣1表示．
由此我们得到一个真命题：如果＝x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，那么x＝1，y＝﹣1．
请解答下列问题：
（1）如果＝a+b，其中a是整数，且0＜b＜1，那么a＝ ，b＝ ；
（2）如果﹣＝c+d，其中c是整数，且0＜d＜1，那么c＝ ，d＝ ；
（3）已知2+＝m+n，其中m是整数，且0＜n＜1，求|m﹣n|的值．
六．立方根（共7小题）
23．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
24．已知a的算术平方根是12.3，b的立方根是﹣45.6，x的平方根是±1.23，y的立方根是456，则x和y分别是（ ）
A．，y＝1000b B．x＝100a，
C．， D．，y＝﹣1000b
25．若＝2.938，＝6.329，则＝ ．
26．已知x﹣2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，求x2+y2的平方根．
27．我们知道a+b＝0时，a3+b3＝0也成立，若将a看成a3的立方根，b看成b3的立方根，我们能否得出这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．
（1）试举一个例子来判断上述猜测结论是否成立；
（2）若与互为相反数，求1﹣的值．
28．（1）已知2x﹣1的平方根是±6，2x+y﹣1的算术平方根是5，求2x﹣3y+11的立方根．
（2）已知x是1的平方根，求代数式（x2017﹣1）（x2018﹣712）（x2019+1）（x2020+712）+1000x的立方根．
29．已知是m+n+3的算术平方根，是m+2n的立方根，求B﹣A的立方根．
七．实数的运算（共9小题）
30．﹣2014＝（ ）
A．20142 B．20142﹣1 C．2015 D．20152﹣1
31．按如图所示的程序计算，若开始输入的n值为，则最后输出的结果是（ ）
A．3+ B．15+ C．3+3 D．15+7
32．对于任意两个正数x和y，规定x y＝，例如，4 1＝﹣1＝1．请计算（5 2）﹣（5 3）＝ ．
33．设[x）表示大于x的最小整数，如[3）＝4，[﹣1.2）＝﹣1，
则下列结论中正确的是 ．（填写所有正确结论的序号）
①[0）＝0；
②[x）﹣x的最小值是0；
③[x）﹣x的最大值是1；
④存在实数x，使[x）﹣x＝0.5成立．
34．定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为a+bi（a，b为实数），a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．
例如计算：（2+i）+（3﹣4i）＝（2+3）+（i﹣4i）＝5﹣3i
（1）填空：i3＝ ，i4＝ ．
（2）填空：①（2+i）（2﹣i）＝ ； ②（2+i）2＝ ．
（3）若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下列问题：已知，（x+y）+3i＝1﹣（x﹣y）i，（x，y为实数），求x，y的值．
（4）试一试：请利用以前学习的有关知识将化简成a+bi的形式．
（5）解方程：x2﹣2x+4＝0．
35．已知点A、B、C在数轴上表示的数a、b、c的位置如图所示，化简．
36．阅读材料：
我们定义：如果一个数的平方等于﹣1，记作i2＝﹣1，那么这个i就叫做虚数单位．虚数与我们学过的实数合在一起叫做复数．一个复数可以表示为a+bi（a，b均为实数）的形式，其中a叫做它的实部，b叫做它的虚部．
复数的加、减、乘的运算与我们学过的整式加、减、乘的运算类似．
例如计算：（5+i）+（3﹣4i）＝（5+3）+（i﹣4i）＝8﹣3i．
根据上述材料，解决下列问题：
（1）填空：i3＝ ，i4＝ ；
（2）计算：（2+i）2；
（3）将化为a+bi（a，b均为实数）的形式（即化为分母中不含i的形式）．
37．定义一种新运算“*”满足下列条件：
①对于任意的实数a，b，a*b总有意义；
②对于任意的实数a，均有a*a＝0；
③对于任意的实数a，b，c，均有a*（b*c）＝a*b+c．
（1）填空：1*（1*1）＝ ，2*（2*2）＝ ，3*0＝ ；
（2）猜想a*0＝ ，并说明理由；
（3）a*b＝ （用含a、b的式子直接表示）．
38．化简求值：（），其中a＝2+．
如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。求一个数a的平方根的运算叫做开平方，a叫做被开方数。如=4，x=，4的平方根是。4叫做被开方数，+2和-2叫作4的平方根。
一般地，如果一个正数x的平方等于a，即=a那么这个正数x叫做a的算术平方根。a的算术平方根记为，读作“根号a”或“二次根号a”，a叫做被开方数。
有理数：整数和分数统称有理数。
无理数：无限不循环小数叫做无理数，例如π，0.1010010001……，等等这样三类无限不循环小数，在中学阶段比较常见。
实数：有理数和无理数统称为实数。
(1)按定义分类 (2)按性质符号分类
如果一个数的立方等于,那么这个数叫做a的立方根，用“”表示，读作“三次根号a”。中的a叫做被开方数，3叫做根指数。
①加法：
（1）同号两数相加，取原来的符号，并把它们的绝对值相加；
（2）异号两数相加，取绝对值大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。可使用加法交换律、结合律。
②减法：
减去一个数等于加上这个数的相反数。
③乘法：
（1）两数相乘，同号取正，异号取负，并把绝对值相乘。
（2）n个实数相乘，有一个因数为0，积就为0；若n个非0的实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数为奇数个时，积为负。
（3）乘法可使用乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律。
④除法：
（1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
（2）除以一个数等于乘以这个数的倒数。
（3）0除以任何非0的数都等于0。
⑤乘方与开方：
乘方与开方互为逆运算。
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