第二章、圆的基本性质 单元测试
（难度：简单）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列语句中，正确的是（ ）
A．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等
B．三点确定一个圆
C．三角形的外心到三角形的三边距离相等
D．长度相等的两条弧是等弧
【分析】根据圆心角定理、确定圆的条件，内心和外心的概念、等弧的概念判断即可．
【解答】解：A、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，本选项说法正确，符合题意；
B、不在同一直线上的三点确定一个圆，故本选项说法错误，不符合题意；
C、三角形的内心到三角形的三边距离相等，故本选项说法错误，不符合题意；
D、能够互相重合的两条弧是等弧，长度相等的两条弧不一定是等弧，故本选项说法错误，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆心角定理、确定圆的条件，内心和外心的概念、等弧的概念是解题的关键．
2．已知点P在半径为5cm的圆内，则点P到圆心的距离可以是（ ）
A．2cm B．5cm C．6cm D．7cm
【分析】直接根据点与圆的位置关系进行判断．
【解答】解：∵点P在半径为5cm的圆内，
∴点P到圆心的距离小于5cm，
所以只有选项A符合，选项B、C、D都不符合；
故选：A．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
3．如图，在⊙O中，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于点H．若AH＝5，HB＝1，则CD的长为（ ）
A． B． C．2 D．2
【分析】连接OD，根据垂径定理求出DH＝CD，根据圆的性质及线段的和差求出OD＝OA＝3，OH＝2，根据勾股定理求出DH＝，据此即可得解．
【解答】解：连接OD，
∵AB是⊙O直径，弦CD⊥AB，
∴DH＝CD，
∵AH＝5，HB＝1，
∴AB＝AH＝HB＝6，
∴OD＝OA＝3，
∴OH＝AH﹣OA＝2，
在Rt△ODH中，DH＝＝＝，
∴CD＝2DH＝2，
故选：C．
【点评】此题考查了垂径定理，熟记垂径定理是解题的关键．
4．半径为6，圆心角为60°的弧长为（ ）
A．6 B．3π C．2π D．4π
【分析】根据弧长公式得出半径为6，圆心角为60°的弧长为，再求出答案即可．
【解答】解：半径为6，圆心角为60°的弧长为＝2π，
故选：C．
【点评】本题考查了弧长的计算，能熟记弧长公式是解此题的关键，半径为r，圆心角为n°的弧的长度是．
5．如图，△ABC内接于⊙O，CA＝CB，若∠C＝40°，则的度数为（ ）
A．70° B．100° C．140° D．160°
【分析】根据等腰三角形的性质和圆周角定理即可得到结论．
【解答】解：∵CA＝CB，∠C＝40°，
∴∠A＝∠B＝（180°﹣40°）＝70°，
∴的度数为140°，
故选：C．
【点评】本题考查了三角形外接圆与外心，等腰三角形的性质，圆周角定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
6．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，BE＝2cm，CD＝8cm，则⊙O半径为（ ）
A．2cm B．3cm C．5cm D．8cm
【分析】设⊙O半径为Rcm，则OE＝（R﹣2）cm，根据垂径定理得出CE＝DE＝4cm，根据勾股定理得出OC2＝CE2+OE2，代入求出答案即可．
【解答】解：设⊙O半径为Rcm，则OE＝（R﹣2）cm，OC＝Rcm，
∵AB⊥CD，CD＝8cm，AB过圆心O，
∴CE＝DE＝4cm，∠OEC＝90°，
由勾股定理得：OC2＝CE2+OE2，
∴R2＝42+（R﹣2）2，
解得：R＝5，
即⊙O的半径为5cm，
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理和垂径定理，能熟记垂直于弦的直径平分这条弦是解此题的关键．
7．如图是某圆弧形桥洞，水面跨径AB＝12米，小明为了计算圆弧所在圆的半径，他在左侧水面D处测得桥洞高CD＝AD＝1.5米，则圆弧所在圆的半径为（ ）
A．7.5米 B．米 C．米 D．10米
【分析】取圆心O，连接OB，OC，BC，AC，根据圆周角定理得∠O＝90°，设半径为r米，则BC＝r米，在Rt△BCD中，根据勾股定理得1.5 +10.5 ＝（r） ，解得r＝7.5，圆弧所在圆的半径7.5米．
【解答】解：如图，取圆心O，连接OB，OC，BC，AC，
∵∠ADC＝90°，AD＝CD＝1.5，
∴∠A＝45°，BD＝12﹣1.5＝10.5，
∴∠O＝2∠A＝90°，
设半径为r米，则BC＝r米，
在Rt△BCD中，根据勾股定理得，
CD2+BD2＝BC2，
即1.52+10.52＝（r）2，
解得r＝7.5，
∴圆弧所在圆的半径7.5米．
故选：A．
【点评】本题主要考查了圆周角定理以及勾股定理的应用，根据题意作出辅助线，由勾股定理得出方程是解题的关键．
8．如图，已知BC是⊙O的直径，过点B的弦BD平行于半径OA，若∠B的度数是60°，则∠C的度数是（ ）
A．50° B．40° C．30° D．20°
【分析】根据平行线的性质及圆周角定理求解即可．
【解答】解：∵BD∥OA，∠B＝60°，
∴∠AOB＝∠B＝60°，
∴∠C＝∠AOB＝30°，
故选：C．
【点评】此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．
9．如图，在半径为的⊙O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB＝75°，AB＝6，AE＝1，则CD的长是（ ）
A．2 B．2 C．2 D．4
【分析】过点O作OF⊥CD于点F，OG⊥AB于G，连接OB、OD、OE，由垂径定理得出DF＝CF，AG＝BG＝AB＝3，得出EG＝AG﹣AE＝2，由勾股定理得出OG＝＝2，证出△EOG是等腰直角三角形，得出∠OEG＝45°，OE＝OG＝2，求出∠OEF＝30°，由直角三角形的性质得出OF＝OE＝，由勾股定理得出DF＝，即可得出答案．
【解答】解：过点O作OF⊥CD于点F，OG⊥AB于G，连接OB、OD、OE，如图所示：
则DF＝CF，AG＝BG＝AB＝3，
∴EG＝AG﹣AE＝2，
在Rt△BOG中，OG＝＝＝2，
∴EG＝OG，
∴△EOG是等腰直角三角形，
∴∠OEG＝45°，OE＝OG＝2，
∵∠DEB＝75°，
∴∠OEF＝30°，
∴OF＝OE＝，
在Rt△ODF中，DF＝＝＝，
∴CD＝2DF＝2；
故选：C．
【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理以及直角三角形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
10．在△ABC中，∠C为锐角，分别以AB，AC为直径作半圆，过点B，A，C作，如图所示．若AB＝4，AC＝2，S1﹣S2＝，则S3﹣S4的值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】首先根据AB、AC的长求得S1+S3和S2+S4的值，然后两值相减即可求得结论．
【解答】解：∵AB＝4，AC＝2，
∴S1+S3＝×π×（AB2）＝×π×4＝2π，S2+S4＝×π×12＝π，
∵S1﹣S2＝，
∴（S1+S3）﹣（S2+S4）＝（S1﹣S2）+（S3﹣S4）＝π+（S3﹣S4）＝2π﹣
∴S3﹣S4＝，
故选：D．
【点评】本题考查了圆的认识，解题的关键是正确的表示出S1+S3和S2+S4的值．
二．填空题（共6小题）
11．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，分别连结AC，BC，CD，∠DOB＝150°，则∠ACD的度数为 15° ．
【分析】根据邻补角的定义求出∠AOD的度数，根据圆周角定理求出∠ACD的度数．
【解答】解：∵∠DOB＝150°，∠AOD+∠DOB＝180°，
∴∠AOD＝30°，
∴∠ACD＝∠AOD＝15°，
故答案为：15°．
【点评】本题考查的是圆周角定理，掌握一条弧所对的圆周角是这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．
12．已知扇形面积为12π，半径为6，则扇形的弧长为 4π ．
【分析】根据扇形面积的计算公式即可求出答案．
【解答】解：设扇形的弧长为l，由扇形面积公式可得，
l×6＝12π，
解得l＝4π，
故答案为：4π．
【点评】本题考查扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算公式是正确解答的关键．
13．如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD＝35°，则∠B+∠E＝ 215 °．
【分析】连接CE，根据圆内接四边形对角互补可得∠B+∠AEC＝180°，再根据同弧所对的圆周角相等可得∠CED＝∠CAD，然后求解即可．
【解答】解：如图，连接CE，
∵五边形ABCDE是圆内接五边形，
∴四边形ABCE是圆内接四边形，
∴∠B+∠AEC＝180°，
∵∠CED＝∠CAD＝35°，
∴∠B+∠E＝180°+35°＝215°．
故答案为：215．
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，同弧所对的圆周角相等的性质，熟记性质并作辅助线构造出圆内接四边形是解题的关键．
14．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是 3＜r＜5 ．
【分析】要确定点与圆的位置关系，主要根据点与圆心的距离与半径的大小关系来进行判断．当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．
【解答】解：在直角△ABD中，CD＝AB＝4，AD＝3，
则BD＝＝5．
由图可知3＜r＜5．
故答案为：3＜r＜5．
【点评】此题主要考查了点与圆的位置关系，解决本题要注意点与圆的位置关系，要熟悉勾股定理，及点与圆的位置关系．
15．如图，点A、B、C、D在⊙O上，O点在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠OAD+∠OCD＝ 60 度．
【分析】由四边形OABC为平行四边形，根据平行四边形对角相等，即可得∠B＝∠AOC，由圆周角定理，可得∠AOC＝2∠ADC，又由内接四边形的性质，可得∠B+∠ADC＝180°，即可求得∠B＝∠AOC＝120°，∠ADC＝60°，然后由三角形外角的性质，即可求得∠OAD+∠OCD的度数．
【解答】解：法一：
连接DO并延长，
∵四边形OABC为平行四边形，
∴∠B＝∠AOC，
∵∠AOC＝2∠ADC，
∴∠B＝2∠ADC，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠B+∠ADC＝180°，
∴3∠ADC＝180°，
∴∠ADC＝60°，
∴∠B＝∠AOC＝120°，
∵∠1＝∠OAD+∠ADO，∠2＝∠OCD+∠CDO，
∴∠OAD+∠OCD＝（∠1+∠2）﹣（∠ADO+∠CDO）＝∠AOC﹣∠ADC＝120°﹣60°＝60°．
故答案为：60．
法二：
连接OB
∵四边形OABC为平行四边形
∴AB＝OC＝OB＝OA＝BC
∴△OAB和△OBC都为等边三角形
∴∠OAB＝∠OCB＝60°
∵ABCD为圆的内接四边形
∴∠DAB+∠DCB＝180°
∴∠OAD+∠OCD＝180°﹣60°﹣60°＝60°
【点评】此题考查了圆周角定理、圆的内接四边形的性质、平行四边形的性质以及三角形外角的性质．此题难度适中，注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．
16．如图，在⊙O中，弦AB＝1，点C在AB上移动，连接OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为 ．
【分析】连接OD，如图，利用勾股定理得到CD，利用垂线段最短得到当OC⊥AB时，OC最小，再求出即可．
【解答】解：连接OD，如图，
∵CD⊥OC，
∴∠DCO＝90°，
∴CD＝＝，
当OC的值最小时，CD的值最大，
而OC⊥AB时，OC最小，此时D、B两点重合，
∴CD＝CB＝AB＝×1＝，
即CD的最大值为，
故答案为：．
【点评】本题考查了垂线段最短，勾股定理和垂径定理等知识点，能求出点C的位置是解此题的关键．
三．解答题（共7小题）
17．如图，点A、B、C、D在⊙O上，AC＝BD，与相等吗？为什么？
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系定理证明．
【解答】证明：相等，理由如下：
∵AC＝BD，
∴弧AC＝弧BD，
∴弧AC﹣弧BC＝弧BD﹣弧BC，
∴弧AB＝弧CD．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系定理，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
18．如图，AB是⊙O的直径，∠ACD＝25°，求∠BAD的度数．
【分析】根据直径所对的圆周角是直角，构造直角三角形ABD，再根据同弧所对的圆周角相等，求得∠B的度数，即可求得∠BAD的度数．
【解答】解：∵AB为⊙O直径
∴∠ADB＝90°
∵相同的弧所对应的圆周角相等，且∠ACD＝25°
∴∠B＝25°
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝65°．
【点评】考查了圆周角定理的推论．利用直径所对的圆周角是直角是解题关键．
19．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，5m为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB长为8m，求筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度．
【分析】过O点作半径OD⊥AB于E，如图，利用垂径定理得到AE＝BE＝4，再利用勾股定理计算出OE，然后计算出DE的长即可．
【解答】解：过O点作半径OD⊥AB于E，如图，
∴AE＝BE＝AB＝×8＝4（m），
在Rt△AEO中，OE＝＝＝3（m），
∴ED＝OD﹣OE＝5﹣3＝2（m），
答：筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2m．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
20．如图，CD是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，AB＝20，CE＝20，求DE的长．
【分析】连接OA，如图，设⊙O的半径为r，则OA＝r，OE＝20﹣r，根据垂径定理得到AE＝BE＝10，在Rt△OAE中利用勾股定理得到102+（20﹣r）2＝r2，解方程得到r＝，则可计算出OE的长，然后计算OD﹣OE即可．
【解答】解：连接OA，如图，
设⊙O的半径为r，则OA＝r，OE＝20﹣r，
∵CD⊥AB，
∴AE＝BE＝AB＝10，
在Rt△OAE中，102+（20﹣r）2＝r2，
解得r＝，
∴OE＝20﹣＝，
∴DE＝OD﹣OE＝﹣＝5．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
21．如图，已知在⊙O中，＝＝，OC与AD相交于点E．
求证：（1）AD∥BC；
（2）四边形BCDE为菱形．
【分析】（1）连接BD，根据圆周角定理可得∠ADB＝∠CBD，根据平行线的判定可得结论；
（2）证明△DEF≌△BCF，得到DE＝BC，证明四边形BCDE为平行四边形，再根据得到BC＝CD，从而证明菱形．
【解答】证明：（1）连接BD，
∵，
∴∠ADB＝∠CBD，
∴AD∥BC；
（2）连接CD，BD，设OC与BD相交于点F，
∵AD∥BC，
∴∠EDF＝∠CBF，
∵，
∴BC＝CD，BF＝DF，
又∠DFE＝∠BFC，
∴△DEF≌△BCF（ASA），
∴DE＝BC，
∴四边形BCDE是平行四边形，又BC＝CD，
∴四边形BCDE是菱形．
【点评】本题考查了垂径定理，圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，解题的关键是合理运用垂径定理得到BF＝DF．
22．如图，在⊙O中，B是⊙O上的一点，∠ABC＝120°，弦AC＝2，弦BM平分∠ABC交AC于点D，连接MA，MC．
（1）求⊙O半径的长；
（2）求证：AB+BC＝BM．
【分析】（1）连接OA、OC，过O作OH⊥AC于点H，由圆内接四边形的性质求得∠AMC，再求得∠AOC，最后解直角三角形得OA便可；
（2）在BM上截取BE＝BC，连接CE，证明BC＝BE，再证明△ACB≌△MCE，得AB＝ME，进而得结论．
【解答】解：（1）连接OA、OC，过O作OH⊥AC于点H，如图1，
∵∠ABC＝120°，
∴∠AMC＝180°﹣∠ABC＝60°，
∴∠AOC＝2∠AMC＝120°，
∴∠AOH＝∠AOC＝60°，
∵AH＝AC＝，
∴OA＝，
故⊙O的半径为2．
（2）证明：在BM上截取BE＝BC，连接CE，如图2，
∵∠ABC＝120°，BM平分∠ABC，
∴∠ABM＝∠CBM＝60°，
∵BE＝BC，
∴△EBC是等边三角形，
∴CE＝CB＝BE，∠BCE＝60°，
∴∠BCD+∠DCE＝60°，
∵∠ACM＝60°，
∴∠ECM+∠DCE＝60°，
∴∠ECM＝∠BCD，
∵∠CAM＝∠CBM＝60°，∠ACM＝∠ABM＝60°，
∴△ACM是等边三角形，
∴AC＝CM，
∴△ACB≌△MCE，
∴AB＝ME，
∵ME+EB＝BM，
∴AB+BC＝BM．
【点评】本题是圆的一个综合题，主要考查圆的圆内接四边形定理，圆周角定理，垂径定理，角平分线定义，三角形全等的性质与判定，等边三角形的性质与判定，解直角三角形，内容较多，有一定难度，第一题关键在于求∠AOC的度数，第二题的关键在于构造全等三角形．
23．如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．
（1）判断△ABC的形状： 等边三角形 ；
（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．
【分析】（1）利用圆周角定理可得∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC，而∠APC＝∠CPB＝60°，所以∠BAC＝∠ABC＝60°，从而可判断△ABC的形状；
（2）在PC上截取PD＝AP，则△APD是等边三角形，然后证明△APB≌△ADC，证明BP＝CD，即可证得；
（3）过点P作PE⊥AB，垂足为E，过点C作CF⊥AB，垂足为F，把四边形的面积转化为两个三角形的面积进行计算，当点P为的中点时，PE+CF＝PC从而得出最大面积．
【解答】证明：（1）△ABC是等边三角形．
证明如下：在⊙O中
∵∠BAC与∠CPB是所对的圆周角，∠ABC与∠APC是所对的圆周角，
∴∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC，
又∵∠APC＝∠CPB＝60°，
∴∠ABC＝∠BAC＝60°，
∴△ABC为等边三角形；
（2）在PC上截取PD＝AP，连接AD，如图1，
又∵∠APC＝60°，
∴△APD是等边三角形，
∴AD＝AP＝PD，∠ADP＝60°，即∠ADC＝120°．
又∵∠APB＝∠APC+∠BPC＝120°，
∴∠ADC＝∠APB，
在△APB和△ADC中，
，
∴△APB≌△ADC（AAS），
∴BP＝CD，
又∵PD＝AP，
∴CP＝BP+AP；
（3）当点P为的中点时，四边形APBC的面积最大．
理由如下，如图2，过点P作PE⊥AB，垂足为E．
过点C作CF⊥AB，垂足为F．
∵S△APB＝AB PE，S△ABC＝AB CF，
∴S四边形APBC＝AB （PE+CF），
当点P为的中点时，PE+CF＝PC，PC为⊙O的直径，
∴此时四边形APBC的面积最大．
又∵⊙O的半径为1，
∴其内接正三角形的边长AB＝，
∴S四边形APBC＝×2×＝．
【点评】本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定、三角形的面积公式以及三角形的全等的判定与性质，正确作出辅助线，证明△APB≌△ADC是关键．
第1页（共1页）第二章、圆的基本性质 单元测试
（难度：简单）
一．选择题（共10小题）
1．下列语句中，正确的是（ ）
A．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等
B．三点确定一个圆
C．三角形的外心到三角形的三边距离相等
D．长度相等的两条弧是等弧
2．已知点P在半径为5cm的圆内，则点P到圆心的距离可以是（ ）
A．2cm B．5cm C．6cm D．7cm
3．如图，在⊙O中，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于点H．若AH＝5，HB＝1，则CD的长为（ ）
A． B． C．2 D．2
4．半径为6，圆心角为60°的弧长为（ ）
A．6 B．3π C．2π D．4π
5．如图，△ABC内接于⊙O，CA＝CB，若∠C＝40°，则的度数为（ ）
A．70° B．100° C．140° D．160°
6．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，BE＝2cm，CD＝8cm，则⊙O半径为（ ）
A．2cm B．3cm C．5cm D．8cm
7．如图是某圆弧形桥洞，水面跨径AB＝12米，小明为了计算圆弧所在圆的半径，他在左侧水面D处测得桥洞高CD＝AD＝1.5米，则圆弧所在圆的半径为（ ）
A．7.5米 B．米 C．米 D．10米
8．如图，已知BC是⊙O的直径，过点B的弦BD平行于半径OA，若∠B的度数是60°，则∠C的度数是（ ）
A．50° B．40° C．30° D．20°
9．如图，在半径为的⊙O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB＝75°，AB＝6，AE＝1，则CD的长是（ ）
A．2 B．2 C．2 D．4
10．在△ABC中，∠C为锐角，分别以AB，AC为直径作半圆，过点B，A，C作，如图所示．若AB＝4，AC＝2，S1﹣S2＝，则S3﹣S4的值是（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共6小题）
11．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，分别连结AC，BC，CD，∠DOB＝150°，则∠ACD的度数为 ．
12．已知扇形面积为12π，半径为6，则扇形的弧长为 ．
13．如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD＝35°，则∠B+∠E＝ °．
14．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是 ．
15．如图，点A、B、C、D在⊙O上，O点在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠OAD+∠OCD＝ 度．
16．如图，在⊙O中，弦AB＝1，点C在AB上移动，连接OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为 ．
三．解答题（共7小题）
17．如图，点A、B、C、D在⊙O上，AC＝BD，与相等吗？为什么？
18．如图，AB是⊙O的直径，∠ACD＝25°，求∠BAD的度数．
19．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，5m为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB长为8m，求筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度．
20．如图，CD是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，AB＝20，CE＝20，求DE的长．
21．如图，已知在⊙O中，＝＝，OC与AD相交于点E．
求证：（1）AD∥BC；
（2）四边形BCDE为菱形．
22．如图，在⊙O中，B是⊙O上的一点，∠ABC＝120°，弦AC＝2，弦BM平分∠ABC交AC于点D，连接MA，MC．
（1）求⊙O半径的长；
（2）求证：AB+BC＝BM．
23．如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．
（1）判断△ABC的形状： ；
（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．
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