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浙教版2022-2023学年九下数学第1章 解直角三角形 培优测试卷
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，各边都扩大5倍，则tanA的值（ ）
A．不变 B．扩大5倍 C．缩小5倍 D．不能确定
2．如图，冬奥会滑雪场有一坡角为20°的滑雪道，滑雪道的长AC为100米，则BC的长为（ ）米．
A． B． C． D．
（第2题） （第3题） （第4题） （第5题）
3．如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1:2，则斜坡AB的长为（ ）米
A． B． C． D．24
4．如图所示，在边长相同的小正方形组成的网格中，两条经过格点的线段相交所成的锐角为α，则夹角α的正弦值为（ ）
A． B． C． D．1
5．鹅岭公园是重庆最早的私家园林，前身为礼园，是国家级AAA旅游景区，园内有一瞰胜楼，登上高楼能欣赏到重庆的优美景色.周末，李明同学游览鹅岭公园，如图，在点A观察到瞰胜楼楼底点C的仰角为12°，楼顶点D的仰角为13°，测得斜坡BC的坡面距离BC 510米，斜坡BC的坡度 .则瞰胜楼的高度CD是（ ）米.（参考数据：tan12°≈0.2，tan13°≈0.23）
A．30 B．32 C．34 D．36
6．若规定 ，则sin15°=（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，cosA＝，AE＝3，则tan∠DBE的值是（ ）
A． B．2 C． D．
（第7题） （第8题） （第9题） （第10题）
8．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，D为AB上一点，且AD：DB=1：3，DE⊥AC于点E，连接BE，则tan∠CBE的值等于（ ）
A． B． C． D．
9．如图，已知扇形OAB的半径为r，C是弧AB上的任一点（不与A，B重合），CM⊥OA，垂足为M，CN⊥OB，垂足为N，连接MN，若∠AOB＝ ，则MN可用 表示为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，E为AC边的中点，线段BE的垂直平分线交边BC于点D.设BD＝x，tan∠ACB＝y，则x与y满足关系式（ ）
A．x﹣y2＝3 B．2x﹣y2＝6 C．3x﹣y2＝9 D．4x﹣y2＝12
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，正方形网格中，点A，O，B，E均在格点上．⊙O过点A，E且与AB交于点C，点D是⊙O上一点，则 ．
（第11题） （第12题） （第13题） （第14题） （第15题）
12．如图，已知BD是的外接圆直径，且，，则 ．
13．如图所示，在四边形 中， ， ， ， ，若 ，则 ．
14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AM是BC边上的中线，sin∠CAM＝ ，则tan∠B＝ ．
15．如图，在5×5的正方形网格中，点A，B，C，D为格点，AB交CD于点O，则tan∠AOC＝ .
16．自行车因其便捷环保深受人们喜爱，成为日常短途代步与健身运动首选.如图1是某品牌自行车的实物图，图2是它的简化示意图.经测量，车轮的直径为 ，中轴轴心 到地面的距离 为 ，后轮中心 与中轴轴心 连线与车架中立管 所成夹角 ，后轮切地面 于点 .为了使得车座 到地面的距离 为 ，应当将车架中立管 的长设置为 .
（参考数据:
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．求下列各式的值
（1） ； （2） .
18．在一次课外活动中，某数学兴趣小组测量一棵树CD的高度.如图所示，测得斜坡BE的坡度i＝1：4（即AB：AE＝1：4），坡底AE的长为8米，在B处测得树CD顶部D的仰角为30°，在E处测得树CD顶部D的仰角为60°.（1）求AB的高；（2）求树高CD.（结果保留根号）
19．如图，将一个直角三角形形状的楔子（ ）从木桩的底端点P沿水平方向打入木桩底下，可以使木桩向上运动.如果楔子底面的斜角为 ，其高度 为 厘米，楔子沿水平方向前进一段距离（如箭头所示），留在外面的楔子长度 为 厘米.
（1）求 的长；
（2）木桩上升了多少厘米？（ ， ， ，结果精确到 厘米）
20．图①是小明在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时的情景，图②是小明锻炼时上半身由ON位置运动到与地面垂直的OM位置时的示意图．已知AC=0.66米，BD=0.26米，α=20°．（参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364）
（1）求AB的长（精确到0.01米）；
（2）若测得ON=0.8米，试计算小明头顶由N点运动到M点的路径的长度．（结果保留π）
21．图1，图2分别是某型号拉杆箱的实物图与平面示意图，具体信息如下：水平滑杆 、箱长 、拉杆 的长度都相等，即 ，点 ， 在线段 上，点 在 上，支撑点 到箱底 的距离 ， ： ： ， 于点 ， ，请根据以上信息，解决下列问题：
（1）求水平滑杆 的长度；
（2）求拉杆端点 到水平滑杆 的距离 的值 结果保留到 参考数据： ， ， .
22．如图，在等腰三角形ABC中，∠ABC＝90°，点D为AC边上的中点，过点D作DE⊥DF，交AB于点E，交BC于点F.
（1）求证：DE＝DF
（2）若AE＝4，FC＝3，求cos∠BEF 的值.
23．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，∠1=∠BCD．
（1）求证：CB∥PD；
（2）若BC=3，sin∠BPD= ，求⊙O的直径．
24．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，8），点B是x轴正半轴上一点，连接AB，过点A作AC⊥AB，交x轴于点C，点D是点C关于点A的对称点，连接BD，以AD为直径作⊙Q交BD于点E，连接并延长AE交x轴于点F，连接DF.
（1）求线段AE的长；
（2）若∠ABE＝∠FDE，求EF的值.
（3）若AB﹣BO＝4，求tan∠AFC的值.
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浙教版2022-2023学年九下数学第1章 解直角三角形 培优测试卷
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，各边都扩大5倍，则tanA的值（ ）
A．不变 B．扩大5倍 C．缩小5倍 D．不能确定
【答案】A
【解析】∵三角函数值与对应边的比值有关，
∴各边都扩大5倍后，tanA的值不变.
故答案为：A.
2．如图，冬奥会滑雪场有一坡角为20°的滑雪道，滑雪道的长AC为100米，则BC的长为（ ）米．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵∠B=90°，∠C=20°，
∴，
∴BC=AC·=100.
故答案为：B.
3．如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1:2，则斜坡AB的长为（ ）米
A． B． C． D．24
【答案】B
【解析】如图,过B作BE⊥AD于点E，
∵斜面坡度为1：2，AE=12，
∴BE=6，
在Rt△ABC中， ．
故答案为：B．
4．如图所示，在边长相同的小正方形组成的网格中，两条经过格点的线段相交所成的锐角为α，则夹角α的正弦值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【解析】如图，设AB与CD交于点E，过点C作CF∥AB，连接DF，
∵CF∥AB，
∴ ，
设小正方形的边长为1，
根据勾股定理得： ，
，
，
∴ ，DF=CF，
∴△CDF为等腰直角三角形，
∴∠C=45°，
∴ ，
∴夹角α的正弦值为 .
故答案为：B.
5．鹅岭公园是重庆最早的私家园林，前身为礼园，是国家级AAA旅游景区，园内有一瞰胜楼，登上高楼能欣赏到重庆的优美景色.周末，李明同学游览鹅岭公园，如图，在点A观察到瞰胜楼楼底点C的仰角为12°，楼顶点D的仰角为13°，测得斜坡BC的坡面距离BC 510米，斜坡BC的坡度 .则瞰胜楼的高度CD是（ ）米.（参考数据：tan12°≈0.2，tan13°≈0.23）
A．30 B．32 C．34 D．36
【答案】D
【解析】由斜坡BC的坡度
，设
、
，
在
中，
，
由
求得
，
∴ 米、
米，
在
中， （米），
在
中， （米），
则
（米）.
故答案为：D.
6．若规定 ，则sin15°=（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意得，sin15°=sin（45°-30°）
=sin45°cos30°-cos45°sin30°
故答案为：D
7．如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，cosA＝，AE＝3，则tan∠DBE的值是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】B
【解析】∵DE⊥AB，cosA＝
，AE＝3，
∴，解得：AD＝5.
∴DE＝
＝4，
∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB=5，
∴BE＝5﹣3＝2，
∴tan∠DBE＝
＝2.
故答案为：B.
8．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，D为AB上一点，且AD：DB=1：3，DE⊥AC于点E，连接BE，则tan∠CBE的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设AB=4a，
∵在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，D为AB上一点，且AD：DB=1：3，
∴BC=2a，AC=2 a，AD：AB=1：4，
∵∠C=90°，DE⊥AC，
∴∠AED=90°，
∴∠AED=∠C，
∴DE∥BC，
∴△AED∽△ACB，∴ ，∴ ，
∴AE= ，∴EC=AC﹣AE= ，
∴tan∠CBE= ，
故答案为：C．
9．如图，已知扇形OAB的半径为r，C是弧AB上的任一点（不与A，B重合），CM⊥OA，垂足为M，CN⊥OB，垂足为N，连接MN，若∠AOB＝ ，则MN可用 表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，连接OC交MN，延长OM、ON交于一点D，
∵
∵∠CMD=∠DNO=90°，
∴∠D=∠D，
∴△CMD∽△OND，
∴，即,
∵∠D=∠D，
∴△DMN∽△DCO，
∴，
∵sin∠AON=,
∴sin∠AON=,
即sin=,
∴MN= ，
故答案为：A.
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，E为AC边的中点，线段BE的垂直平分线交边BC于点D.设BD＝x，tan∠ACB＝y，则x与y满足关系式（ ）
A．x﹣y2＝3 B．2x﹣y2＝6 C．3x﹣y2＝9 D．4x﹣y2＝12
【答案】C
【解析】过A作AQ⊥BC于Q，过E作EM⊥BC于M，连接DE，
∵BE的垂直平分线交BC于D，BD=x，
∴BD=DE=x，
∵AB=AC，BC=8，tan∠ACB=y，
∴=y，BQ=CQ=4，
∴AQ=4y，
∵AQ⊥BC，EM⊥BC，
∴AQEM，
∵E为AC中点，
∴CM=QM=CQ=2，
∴EM=2y，
∴DM=8-2-x=6-x，
在Rt△EDM中，由勾股定理得：x2=（2y）2+（6-x）2，
即3x-y2=9.
故答案为：C.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，正方形网格中，点A，O，B，E均在格点上．⊙O过点A，E且与AB交于点C，点D是⊙O上一点，则 ．
【答案】
【解析】由题意可得：∠CDE＝∠EAC，
则tan∠CDE＝tan∠EAC＝．
故答案为：．
12．如图，已知BD是的外接圆直径，且，，则 ．
【答案】5
【解析】如图所示，连接
，
由图可知
（同弧所对的圆周角相等），
且
（直径所对的圆周角等于90°），
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：5．
13．如图所示，在四边形 中， ， ， ， ，若 ，则 ．
【答案】
【解析】∵ ， ，∴ ，∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ．
14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AM是BC边上的中线，sin∠CAM＝ ，则tan∠B＝ ．
【答案】
【解析】Rt△AMC中，sin∠CAM= ，
设MC=3x，AM=5x，则AC= =4x．
∵M是BC的中点，∴BC=2MC=6x．
在Rt△ABC中，tan∠B= ．
故答案为 .
15．如图，在5×5的正方形网格中，点A，B，C，D为格点，AB交CD于点O，则tan∠AOC＝ .
【答案】
【解析】如图：将线段AB向右平移至FD处，使得点B与点D重合，连接CF，
∴∠AOC＝∠FDC，
设正方形网格的边长为单位1，
根据勾股定理可得：，，
，
∵，
∴，
∴∠FCD＝90°，
∴.
故答案为：.
16．自行车因其便捷环保深受人们喜爱，成为日常短途代步与健身运动首选.如图1是某品牌自行车的实物图，图2是它的简化示意图.经测量，车轮的直径为 ，中轴轴心 到地面的距离 为 ，后轮中心 与中轴轴心 连线与车架中立管 所成夹角 ，后轮切地面 于点 .为了使得车座 到地面的距离 为 ，应当将车架中立管 的长设置为 .
（参考数据:
【答案】60
【解析】∵车轮的直径为
∴AD=33cm
∵CF=33cm
∴AC∥DF
∴EH=AD=33cm
∵BE⊥ED
∴BE⊥AC
∵BH=BE-EH=90-33=57cm
∴∠sinACB=sin72°= =0.95
∴BC=57÷0.95=60cm
故答案为60.
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．求下列各式的值
（1） ；
（2） .
【答案】（1）解：
=×+4×
=+2
=.
（2）解： .
= -2×+×-
=-1+2-
=1.
18．在一次课外活动中，某数学兴趣小组测量一棵树CD的高度.如图所示，测得斜坡BE的坡度i＝1：4（即AB：AE＝1：4），坡底AE的长为8米，在B处测得树CD顶部D的仰角为30°，在E处测得树CD顶部D的仰角为60°.
（1）求AB的高；
（2）求树高CD.（结果保留根号）
【答案】（1）解：作BF⊥CD于点F，
根据题意可得ABCF是矩形，
∴CF=AB，
∵斜坡BE的坡度i=1：4，坡底AE的长为8米，
∴AB=2（米），
（2）解：∵AB=2，
∴CF=2，
设DF=x米，
在Rt△DBF中，，
则（米），
在直角△DCE中，DC=x+CF=（2+x）米，
在直角△DCE中，
∴米.
∵BF-CE=AE，即.
解得：x=4+1，
则米.
答：CD的高度是（）米.
19．如图，将一个直角三角形形状的楔子（ ）从木桩的底端点P沿水平方向打入木桩底下，可以使木桩向上运动.如果楔子底面的斜角为 ，其高度 为 厘米，楔子沿水平方向前进一段距离（如箭头所示），留在外面的楔子长度 为 厘米.
（1）求 的长；
（2）木桩上升了多少厘米？（ ， ， ，结果精确到 厘米）
【答案】（1）解：在 中， ， ，
则 ，
，
（2）解：在 中， ， ，
则 ，
答：木桩上升了大约 厘米.
20．图①是小明在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时的情景，图②是小明锻炼时上半身由ON位置运动到与地面垂直的OM位置时的示意图．已知AC=0.66米，BD=0.26米，α=20°．（参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364）
（1）求AB的长（精确到0.01米）；
（2）若测得ON=0.8米，试计算小明头顶由N点运动到M点的路径的长度．（结果保留π）
【答案】（1）解：过B作BE⊥AC于E，则AE=AC﹣BD=0.66米﹣0.26米=0.4米，∠AEB=90°，（米）.
（2）解：∠MON=90°+20°=110°，
∴弧MN的长度是米.
21．图1，图2分别是某型号拉杆箱的实物图与平面示意图，具体信息如下：水平滑杆 、箱长 、拉杆 的长度都相等，即 ，点 ， 在线段 上，点 在 上，支撑点 到箱底 的距离 ， ： ： ， 于点 ， ，请根据以上信息，解决下列问题：
（1）求水平滑杆 的长度；
（2）求拉杆端点 到水平滑杆 的距离 的值 结果保留到 参考数据： ， ， .
【答案】（1）解： 于点 ， ，
在 中， ，
，
： ： ，
；
（2）解：如图，过A作 ，交 的延长线于G，
， ，
，
在 中， ，
.
22．如图，在等腰三角形ABC中，∠ABC＝90°，点D为AC边上的中点，过点D作DE⊥DF，交AB于点E，交BC于点F.
（1）求证：DE＝DF
（2）若AE＝4，FC＝3，求cos∠BEF 的值.
【答案】（1）证明：连接BD，
∠ABC=90°，D为AC边上的中点，
∴AD=BD=CD，∠C=∠A=∠EBD=∠FBD=45°，BD⊥AC，
∵DE⊥DF，∴∠EDF=∠BDC=90°，∴∠EDB=∠CDF=90°-∠BDF，
∴△EDB≌△FDC（ASA），
DE=DF
（2）解： △EDB≌△FDC，
CF=BE=3，
同理AE=BF=4，在Rt△EBF中，由勾股定理得：EF=5，
cos∠BEF＝.
23．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，∠1=∠BCD．
（1）求证：CB∥PD；
（2）若BC=3，sin∠BPD= ，求⊙O的直径．
【答案】（1）证明：∵∠D=∠1，∠1=∠BCD，
∴∠D=∠BCD，
∴CB∥PD；
（2）解：连接AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵CD⊥AB，
∴ = ，
∴∠BPD=∠CAB，
∴sin∠CAB=sin∠BPD= ，
即 = ，
∵BC=3，
∴AB=5，
即⊙O的直径是5．
24．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，8），点B是x轴正半轴上一点，连接AB，过点A作AC⊥AB，交x轴于点C，点D是点C关于点A的对称点，连接BD，以AD为直径作⊙Q交BD于点E，连接并延长AE交x轴于点F，连接DF.
（1）求线段AE的长；
（2）若∠ABE＝∠FDE，求EF的值.
（3）若AB﹣BO＝4，求tan∠AFC的值.
【答案】（1）解：∵点A（0，8），
∴，
∵点D是点C关于点A的对称点，
∴，
∵AC⊥AB，
∴，
∴，
∵以AD为直径作⊙Q交BD于点E，
∴，
∴在和中，
∴，
∴；
（2）解：∵∠ABE＝∠FDE，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵∠ABE＝∠FDE，，
∴，
∴，即，
解得∶；
（3）解：∵AB﹣BO＝4，即，
∵，
∴在中，，即，
解得∶，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴设，，
∴，
∴在中，，即，
解得∶，
∴，
∴.
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