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浙教版2022-2023学年九下数学第1章 解直角三角形 尖子生测试卷
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图1是一个小区入口的双翼闸机，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为8cm(如图2)，双翼的边缘AC=BD=60m，且与闸机侧立面夹角∠PCA=∠BDQ=30°。当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（ ）
A．60 +8 B．60 +8 C．64 D．68
（第1题） （第2题） （第3题） （第4题）
2．如图，的顶点均在正方形网格的格点上，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．
3．如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为2的⊙O的圆心O在格点上，则∠BDE的正切值等于（ ）
A． B． C． D．2
4．将一副三角板按如图方法摆放在一起，连接AC，则tan∠DAC值为（ ）
A．1 B． C． D．
5．在△ABC中，AB=12 ，AC=13，cosB= ，则BC的边长为（ ）
A．7 B．8 C．8或17 D．7或17
6．如图， ， ， 是正方形网格中的格点（小正方形的顶点），则 的值为（ ）
A． B． C． D．
（第6题） （第7题） （第8题） （第9题） （第10题）
7．如图，在平面直角坐标系中，点 ， 的坐标分别为 ， ，过 ， ， 三点作圆，点 在第一象限部分的圆上运动，连结 ，过点 作 的垂线交 的延长线于点 ，下列说法：① ；② ；③ 的最大值为10.其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，AD=CD，过点D作DE⊥AB于点E，连结AC交DE于点F若sin∠CAB= ，DF=5，则BC的长为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．16
9．如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上任意一点，点D是AC中点，OD交AC于点E，BD交AC于点F，若BF＝1.25DF，则tan∠ABD的值为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在 中， ， 为 上一点，连接 ，将 沿 翻折，点 恰好落在 上的点 处，连 .若 ， ，则 的长度为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，点D、E分别在AC、BC上，点F在△ABC内．若四边形CDFE是边长为2的正方形，则cos∠ABF＝ ．
（第11题） （第12题） （第15题） （第16题）
12．如图，在Rt△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC=BC，连接AC，若tanB= ，则tan∠CAD的值为 。
13．在中，，点P在直线上，点P到直线的距离为，则的长为 ．
14．如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”，在Rt△ABC中，∠C=90°，若Rt△ABC是“好玩三角形”，则tanA= ．
15．如图，抛物线y=x2+bx+c（c＞0）与y轴交于点C，顶点为A，抛物线的对称轴交x轴于点E，交BC于点D，tan∠AOE= ．直线OA与抛物线的另一个交点为B．当OC=2AD时，c的值是 ．
16．如图，在菱形ABCD中，BD为对角线，点N为BC边上一点，连接AN，交BD于点L，点R为CD边上一点，连接AR、LR，若tan∠BLN=2，∠ARL=45°，AR=10 ，CR=10，则AL= 。
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图是某学校体育看台侧面的示意图，看台AC的坡比i为1：2，看 高度BC为12米，从顶棚的D处看E处的仰角a=18°，CD距离为5米，E处到观众区底端A处的水平距离AF为3米。
(sin18°≈0.31，tan18°≈0.32，结果精确到0.1米)
（1）求AB的长；
（2）求EF的长。
18．阅读下列材料：小华遇到这样一个问题：
已知：如图1，在△ABC中，三边的长分别为AB= ，AC= ，BC=2，求∠A的正切值．
小华是这样解决问题的：
如图2所示，先在一个正方形网格（每个小正方形的边长均为1）中画出格点△ABC（△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），然后在这个正方形网格中再画一个和△ABC相似的格点△DEF，从而使问题得解．
（1）如图2，△DEF中与∠A相等的角为 ，∠A的正切值为 ．
（2）参考小华的方法请解决问题：若△LMN的三边分别为LM=2，MN=2 ，LN=2 ，求∠N的正切值．
19．为缓解交通拥堵，减少环境污染，倡导低碳出行，构建慢行交通体系，南浔中心城区正在努力建设和完善公共自行车服务系统．图1所示的是一辆自行车的实物图．图2是自行车的车架示意图．CE=30cm，DE=24cm，AD=26cm，DE⊥AC于点E，座杆CF的长为20cm，点A、E、C、F在同一直线上，且∠CAB=75°．
（1）求车架中AE的长；
（2）求车座点F到车架AB的距离．（结果精确到1cm，参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）
20．如图是某货站传送货物的平面示意图为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°，已知原传送带AB长为3 米．
（1）求新传送带AC的长度；
（2）如果需要在货物着地点C的左侧留出2.5米的通道，请判断距离B点5米的货物MNQP是否需要挪走，并说明理由．(参考数据： ≈1.4 ≈1.7)
21．在⊙O中， 的度数为120°，点P为弦AB上的一点，连结OP并延长交⊙O于点C，连结OB，AC．
（1）若P为AB中点，且PC＝1，求圆的半径．
（2）若BP：BA＝1：3，请求出tan∠OPA．
22．如图，钝角 内接于 O中，AB=AC，连结AO,BO,延长AC,BO交于点D.
（1）求证：AO是∠BAD的角平分线；
（2）若AO=5，AD= ,求 ；
（3）若 ，求 (用含 的代数式表示).
23．如图，抛物线y=﹣x2+6x与x轴交于点O，A，顶点为B，动点E在抛物线对称轴上，点F在对称轴右侧抛物线上，点C在x轴正半轴上，且EF OC，连接OE，CF得四边形OCFE．
（1）求B点坐标；
（2）当tan∠EOC= 时，显然满足条件的四边形有两个，求出相应的点F的坐标；
（3）当0＜tan∠EOC＜3时，对于每一个确定的tan∠EOC值，满足条件的四边形OCFE有两个，当这两个四边形的面积之比为1：2时，求tan∠EOC．
24．【阅读学习】
刘老师提出这样一个问题：已知α为锐角，且tanα= ，求sin2α的值．
（1）小娟是这样解决的：
如图1，在⊙O中，AB是直径，点C在⊙O上，∠BAC=α，所以∠ACB=90°，tanα= = ．
易得∠BOC=2α．设BC=x，则AC=3x，则AB= x．作CD⊥AB于D，求出CD= （用含x的式子表示），可求得sin2α= = ．
（2）【问题解决】
已知，如图2，点M、N、P为圆O上的三点，且∠P=β，tanβ= ，求sin2β的值．
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浙教版2022-2023学年九下数学第1章 解直角三角形 尖子生测试卷
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图1是一个小区入口的双翼闸机，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为8cm(如图2)，双翼的边缘AC=BD=60m，且与闸机侧立面夹角∠PCA=∠BDQ=30°。当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（ ）
A．60 +8 B．60 +8 C．64 D．68
【答案】D
【解析】过点A作AG⊥CF于点G，
∵∠PCA=30°，AC=60
∴，
∵双翼边缘的端点A与B之间的距离为8cm，
∴当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为2AG+AB=2×30+8=68.
故答案为：D.
2．如图，的顶点均在正方形网格的格点上，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【解析】如图，连接CD
∵， ，
∴
∴
∴
故答案为：C.
3．如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为2的⊙O的圆心O在格点上，则∠BDE的正切值等于（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【解析】∵∠BDE=∠BAC，
∴tan∠BDE=tan∠BAC= = = ．
故选C．
4．将一副三角板按如图方法摆放在一起，连接AC，则tan∠DAC值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【解析】如图所示，过点C作CE⊥AD于E，
设CD=a，
在Rt△BDC中，∠DBC=30°，则
BD=cot30°×CD= a，
在Rt△DBA中，AD=sin45°×BD= a，
又∵CE⊥AD，∠BDA=45°，
∴DE=CE=sin45°×a= a，
∴在Rt△CAE中，tan∠EAC= = = = ．即tan∠DAC= ．
故选：C．
5．在△ABC中，AB=12 ，AC=13，cosB= ，则BC的边长为（ ）
A．7 B．8 C．8或17 D．7或17
【答案】D
【解析】∵cosB=，∴∠B=45°，
①若△ABC为钝角三角形，如图1：
在Rt△ADB中，
∵AB=12，∠B=45°，
∴AD=BD=12，
在Rt△ADC中，
∵AC=13，AD=12，
∴CD=5，
∴BC=BD-CD=12-5=7；
②若△ABC为锐角三角形，如图2：
在Rt△ADB中，
∵AB=12，∠B=45°，
∴AD=BD=12，
在Rt△ADC中，
∵AC=13，AD=12，
∴CD=5，
∴BC=BD+CD=12+5=17；
综上所述：BC长为7或17.
故答案为：D.
6．如图， ， ， 是正方形网格中的格点（小正方形的顶点），则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设小正方形的边长为1，过点B作BD⊥AC于D，过点B作BF⊥AE于点F，
∵S△ABC=2×7- ×1×3 ×1×7 ×2×4=5，
由勾股定理可知：AC= ，
∵ AC BD=5，
∴BD= ，
由勾股定理可知：BC= ，
∴sin∠ACB= = .
故答案为：A.
7．如图，在平面直角坐标系中，点 ， 的坐标分别为 ， ，过 ， ， 三点作圆，点 在第一象限部分的圆上运动，连结 ，过点 作 的垂线交 的延长线于点 ，下列说法：① ；② ；③ 的最大值为10.其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】C
【解析】连接AB，
∵∠DOC=90°，∠BOA=90°，
∴∠BOD+∠BOC=90°，∠AOC+∠BOC =90°，
∴∠AOC=∠BOD，①正确；
∵∠DOC=90°，∠BOA=90°，
∴∠OCB+∠D=90°，∠OAB+∠OBA =90°，
∵∠OCB=∠OAB，
∴∠OBA=∠D，
∵OA=2，OB=4，AB= ，
∴sin∠D=sin∠OBA= ，②错误；
∵∠DOC=∠BOA=90°，∠OCB=∠OAB，
∴△OCD∽△OAB，
∴
∵∠BOA=90°，
∴AB为圆的直径，
∴OC取最大值等于直径AB时CD的值最大，
∴CD的最大值 ，③正确.
故答案为：C.
8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，AD=CD，过点D作DE⊥AB于点E，连结AC交DE于点F若sin∠CAB= ，DF=5，则BC的长为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．16
【答案】C
【解析】如图，连接OD、BD，OD交AC于点M，
∵AD=CD，
∵∠ACD=∠CAD，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ADE+∠BDE=∠DBE+∠BDE，
∴∠ADE=∠DBE，
∵∠DBE和∠DCA所对的弧是AD弧，
∴∠DCA=∠DBE，
∴∠ADF=∠DAC，
∴AF=DF=5，
∵sin∠CAB= ，
则AE=4，EF=3，
则DE=DF+EF=8，
∵AD=CD，
∴OD⊥AC，
∴S△AOD=OA×DE=OD×AM,
∴AM=DE=8，
∴OM=6，
∵O为AB的中点，OM∥BC，
∴BC=2OM=12.
故答案为：C.
9．如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上任意一点，点D是AC中点，OD交AC于点E，BD交AC于点F，若BF＝1.25DF，则tan∠ABD的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵ ，
∴∠DAF=∠DBA，
∵∠ADF=∠ADB，
∴△ADF∽△BDA，
∴ ，
∴AD2=DF DB，
∵BF=1.25DF，
∴可以假设DF=4m，则BF=5m，BD=9m，
∴AD2=36m2，
∵AD＞0，
∴AD=6m，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∴tan∠ABD= ，
故选A．
10．如图，在 中， ， 为 上一点，连接 ，将 沿 翻折，点 恰好落在 上的点 处，连 .若 ， ，则 的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，记 交于 过 作 于 过 作 于
中 上的高相等，
， ，
，
由对折可得：
是 的中垂线，
，
设 则
整理得：
检验：当 时， 不合题意舍去，取
故答案为：A
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，点D、E分别在AC、BC上，点F在△ABC内．若四边形CDFE是边长为2的正方形，则cos∠ABF＝ ．
【答案】
【解析】连接AF，过点F作FG⊥AB于G，
∵四边形CDFE是边长为2的正方形，
∴CD=CE=DF=EF=2，∠C=∠ADF=90°，
∵AC=6，BC=8，
∴AD=4，BE=6，
∴AB=，，，
设BG=x，
∵FG2=AF2-AG2=BF2-BG2，
∴20-（10-x）2=40-x2，
解得：x=6，
，
．
故答案为：．
12．如图，在Rt△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC=BC，连接AC，若tanB= ，则tan∠CAD的值为 。
【答案】
【解析】过点C作CE⊥AD交AD延长线于点E，如图，
在Rt△BAD中，
∵tanB==，
∴设AD=5x，AB=3x，
∵∠CDE=∠BDA，∠CED=∠BAD=90°，
∴△CED∽△BAD，
∵DC=BC，
∴BD=2CD，
∴=，
∴CE=x，DE=x，
∴AE=AD+DE=5x+x=x，
在Rt△CEA中，
∴tan∠CAD===.
故答案为：.
13．在中，，点P在直线上，点P到直线的距离为，则的长为 ．
【答案】或
【解析】如图，过点C作CD⊥AB交BA于点D，
∵BC=14， ，
∴CD= ，
∴BD= ，
∵，
∴AD= AB-BD-= ，
在Rt△ACD中，AC= ，
过P作PE⊥AB，与BA的延长线于点E，
∵点P在直线AC上，点P到直线AB的距离为 ，
∴△APE∽△ACD，
∴，
即 ，
解得 ，
∴①点P在线段AC上时，CP=AC-AP= ，
②点P在射线CA上时，CP=AC+AP= ，
综上所述，CP的长为 或 ．
故答案为： 或 ．
14．如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”，在Rt△ABC中，∠C=90°，若Rt△ABC是“好玩三角形”，则tanA= ．
【答案】 或
【解析】分两种情况：
①如图1，
BD是AC边上的中线，BD=AC．
设AD=DC=k，则BD=AC=2k．
在Rt△BCD中，∵∠C=90°，
∴BC= = k，
∴tanA= = = ；
②如图2，
AD是BC边上的中线，AD=BC．
设BD=DC=k，则AD=BC=2k．
在Rt△ACD中，∵∠C=90°，
∴AC= = k，
∴tanB= = = ，
∵∠CAB+∠B=90°，
∴tan∠CAB= = = ．
综上可知，所求值为 或 ．
故答案为 或 ．
15．如图，抛物线y=x2+bx+c（c＞0）与y轴交于点C，顶点为A，抛物线的对称轴交x轴于点E，交BC于点D，tan∠AOE= ．直线OA与抛物线的另一个交点为B．当OC=2AD时，c的值是 ．
【答案】 或
【解析】由tan∠AOE= ，可设A、B点坐标分别为（2m，3m）、（2n，3n），
∵AD∥OC，
∴∠ADB=∠OCB，∠DAB=∠COA，
∴△BAD∽△BOC．
①当点A在第一象限时，如图1所示．
∵OC=2AD，
∴D点为线段BC的平分线，
∵C（0，c），B（2n，3n），
∴D点横坐标为 =n，
由题意知A、D点均在抛物线的对称轴上，
∴n=2m，
∴B点坐标为（4m，6m），
∵A，B在抛物线上，且抛物线对称轴为x=2m，
∴有 ，
解得 ，或 ，
∵c＞0，
∴c= ；
②当点A在第四象限时，如图2所示．
∵OC=2AD，
∴B点为线段CD的三等分点，
∵C（0，c），B（2n，3n），
∴D点横坐标为2n× =3n，
由题意知A、D点均在抛物线的对称轴上，
∴3n=2m，
∴B点坐标为（ m，2m），
∵A，B在抛物线上，且抛物线对称轴为x=2m，
∴有 ，解得 ，或 ，
∵c＞0，
∴c= ．
故答案为： 或 ．
16．如图，在菱形ABCD中，BD为对角线，点N为BC边上一点，连接AN，交BD于点L，点R为CD边上一点，连接AR、LR，若tan∠BLN=2，∠ARL=45°，AR=10 ，CR=10，则AL= 。
【答案】
【解析】连接AC，CL，过点A作AG⊥RL于点G，连接CG，AG
∵∠ARG=45°，∠AGR=90°，
∴∠AGR=∠RAG=45°
∴AG=RG，
AG=ARsin∠ARG=ARsin45°=
∴AG=RG=CR=10;
∵ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠AOD=∠AGL=90°，AO=CO
∴A、O、G、L四点共圆，
∴∠AGO=∠ALE=∠BLN
取AR，AG的中点F和点K，连接KF，KO，OG，FO，延长FK，GO，交于点H，
∴KF是△ARG的中位线，
∴KF=RG=×10=5，FG=AG=5，FK∥RG，
∵AG⊥RG，
∴∠HFG=90°
∵点O是AC的中点，点K时AR的中点，
∴KO是△ARC的中位线，
∴KO=RC=×10=5=KF，
在Rt△HFG中，tan∠FGH=
解之：FH=10，
∴KH=OK=KF
∴△HFO是直角三角形，∠HOF=90°，
∴∠FOG=90°
tan∠FGO=
在Rt△FOG中，设FO=2x，则OG=x，FG=5
∴4x2+x2=25
解之：OG=x=，则FO=2x=，
∵点F是AG的中点，点O是AC的中点，
∴OF是△ACL的中位线，
∴∴CG=2OF=，OF∥CL
在Rt△CGO中
CO2=GO2+CG2
∴
在Rt△AOL中
tan∠ALD=，
解之：LO=
∴
故答案为：.
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图是某学校体育看台侧面的示意图，看台AC的坡比i为1：2，看 高度BC为12米，从顶棚的D处看E处的仰角a=18°，CD距离为5米，E处到观众区底端A处的水平距离AF为3米。
(sin18°≈0.31，tan18°≈0.32，结果精确到0.1米)
（1）求AB的长；
（2）求EF的长。
【答案】（1）解：∵AC的坡比i为1：2
∴AB=2BC=24
（2）解：过点D作DH⊥EF交EF于点H，
在Rt△EDH中
DH=BF=AB+AF=27
a=18°，
∴EH=27tan18°=27×0.32=864
EF=EH+HF=EH+DC+BC
=8.64+5+12=25.64≈25.6
18．阅读下列材料：小华遇到这样一个问题：
已知：如图1，在△ABC中，三边的长分别为AB= ，AC= ，BC=2，求∠A的正切值．
小华是这样解决问题的：
如图2所示，先在一个正方形网格（每个小正方形的边长均为1）中画出格点△ABC（△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），然后在这个正方形网格中再画一个和△ABC相似的格点△DEF，从而使问题得解．
（1）如图2，△DEF中与∠A相等的角为 ，∠A的正切值为 ．
（2）参考小华的方法请解决问题：若△LMN的三边分别为LM=2，MN=2 ，LN=2 ，求∠N的正切值．
【答案】（1）∠D；
（2）解：在图3中，作一个△RKT，使得PK= ，RT= ，KT=5，
∵LM=2，NM=2 ，LN=2 ，
∴ = ，
∴△RKT∽△MLN，
∴∠T=∠N，
∴tan∠N=tan∠T= ．
【解析】（1）由图2 可知DE=2，EF=2 ，DF=2 ，AB= ，AC= ，BC=2，
∵ ，
∴△DEF∽△ACB，
∴∠D=∠A，
∴tan∠A=tan∠D= ，
故答案分别为∠D，
19．为缓解交通拥堵，减少环境污染，倡导低碳出行，构建慢行交通体系，南浔中心城区正在努力建设和完善公共自行车服务系统．图1所示的是一辆自行车的实物图．图2是自行车的车架示意图．CE=30cm，DE=24cm，AD=26cm，DE⊥AC于点E，座杆CF的长为20cm，点A、E、C、F在同一直线上，且∠CAB=75°．
（1）求车架中AE的长；
（2）求车座点F到车架AB的距离．（结果精确到1cm，参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）
【答案】（1）解：在Rt△ADE中，由勾股定理得，
AE= = =10（cm）
（2）解：如图所示：过点F作FH⊥AB于H，
在Rt△AFH中，
sin∠FAH= ，
∵AF=AE+CE+CF=10+30+20=60（cm）．
∴FH=AF sin∠FAH=60 sin75°≈60×0.97=58.2（cm）．
答：车座点F到车架AB的距离为58.2cm．
20．如图是某货站传送货物的平面示意图为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°，已知原传送带AB长为3 米．
（1）求新传送带AC的长度；
（2）如果需要在货物着地点C的左侧留出2.5米的通道，请判断距离B点5米的货物MNQP是否需要挪走，并说明理由．(参考数据： ≈1.4 ≈1.7)
【答案】（1）解： 在Rt△ABD中，
∵∠ABD=45°，AD⊥CD，
∴BD=AD，
又∵AB=3（米），
∴BD=AD=3（米），
在Rt△ACD中，
∵∠C=30°，AD=3米，
∴AC=2AD=6（米）.
答： 新传送带AC的长度为6米.
（2）解： ∵ 距离B点5米的货物MNQP不需要挪走， 理由如下：
由（1）知：BD=AD=3米，AC=6米
在Rt△ACD中，
∴CD===3≈5.1（米），
∴CB=CD-BD≈2.1（米），
PC=PB-CB≈2.9（米），
∵2.9＞2.5，
∴距离B点5米的货物MNQP不需要挪走.
21．在⊙O中， 的度数为120°，点P为弦AB上的一点，连结OP并延长交⊙O于点C，连结OB，AC．
（1）若P为AB中点，且PC＝1，求圆的半径．
（2）若BP：BA＝1：3，请求出tan∠OPA．
【答案】（1）解：）如图1， ∵P是AB的中点， 的度数为120°，
∴OC⊥AB，
∴∠POB＝60°，∠OBP＝30°， ∴ ， ∴OP＝PC＝1，
则OC＝2
（2）解：如图2， 过点O作OD⊥AB于点D， 由（1）知∠B＝30°，AD＝BD， ∴ ，
设OD＝ x，则BD＝3x，
∵BP：BA＝1：3，
∴PD＝x，
∴tan∠DPO＝
22．如图，钝角 内接于 O中，AB=AC，连结AO,BO,延长AC,BO交于点D.
（1）求证：AO是∠BAD的角平分线；
（2）若AO=5，AD= ,求 ；
（3）若 ，求 (用含 的代数式表示).
【答案】（1）证明：连结OC，
∵AB=AC，AO=AO，BO=CO，
∴ ≌
∴∠BAO=∠CAO，
∴AO为∠BAC的角平分线
（2）解：作AE⊥AD于点E，CF⊥BD于点F，
设OD= ，
∵AO=BO，
∴∠ABO=∠BAO=∠OAC，
又∵∠ADO=∠BDA，
∴ ∽ ,
∴ ，即 ，
∴
解得 ， (舍)，即OD=10，
∴BD=OB+OD=15， ，
即 ，∴ ，
∴AB=AC= AD=CD,
又∵AE//CF，
∴CF= AE，
∴
（3）解：设OB=r，
∵ ，∴OD=kr，
由（2）可知 ∽ ,
∴ ，即 ，
∴
∵设OE=x，BE=r-x，在 和 中，
，即
解得 ，∴ =
23．如图，抛物线y=﹣x2+6x与x轴交于点O，A，顶点为B，动点E在抛物线对称轴上，点F在对称轴右侧抛物线上，点C在x轴正半轴上，且EF OC，连接OE，CF得四边形OCFE．
（1）求B点坐标；
（2）当tan∠EOC= 时，显然满足条件的四边形有两个，求出相应的点F的坐标；
（3）当0＜tan∠EOC＜3时，对于每一个确定的tan∠EOC值，满足条件的四边形OCFE有两个，当这两个四边形的面积之比为1：2时，求tan∠EOC．
【答案】（1）解：∵y=﹣x2+6x=﹣（x﹣3）2+9，
∴B（3，9）
（2）解：抛物线的对称轴为直线x=3，直线x=3交x轴于H，如图，
∵tan∠EOC= ，即tan∠EOH= ，
∴ = ，
∴EH=4，
∴E点坐标为（3，4）或（3，﹣4），
当y=4时，﹣（x﹣3）2+9=4，解得x1=3﹣ （舍去），x2=3+ ，
当y=﹣4时，﹣（x﹣3）2+9=﹣4，解得x1=3﹣ （舍去），x2=3+ ，
∴F点坐标为（3+ ）或（3+ ，﹣4）
（3）解：如图，∵平行四边形OEFC和平行四边形OE′F′C′等高，
∴这两个四边形的面积之比为1：2时，OC′=2OC，
设OC=t，则OC′=2t，
∴F点的横坐标为3+t，F′点的横坐标为3+2t，
而点F和F′的纵坐标互为相反数，
∴﹣（3+t﹣3）2+9+[﹣（3+2t﹣3）2+9]=0，解得t1= ，t2=﹣ （舍去），
∴F点坐标为（3+ ， ），
∴E（3， ），
∴tan∠EOC= = ．
24．【阅读学习】
刘老师提出这样一个问题：已知α为锐角，且tanα= ，求sin2α的值．
（1）小娟是这样解决的：
如图1，在⊙O中，AB是直径，点C在⊙O上，∠BAC=α，所以∠ACB=90°，tanα= = ．
易得∠BOC=2α．设BC=x，则AC=3x，则AB= x．作CD⊥AB于D，求出CD= （用含x的式子表示），可求得sin2α= = ．
（2）【问题解决】
已知，如图2，点M、N、P为圆O上的三点，且∠P=β，tanβ= ，求sin2β的值．
【答案】（1） x；
（2）解：如图，连接NO，并延长交⊙O于Q，连接MQ，MO，作MH⊥NO于H．
在⊙O中，∠NMQ=90°．
∵∠Q=∠P=β，OM=ON，
∴∠MON=2∠Q=2β．
∵tanβ= ，
∴设MN=k，则MQ=2k，
∴NQ= ．
∴OM= NQ= ．
∵ ，
∴ ．
∴MH= ．
在Rt△MHO中，sin2β=sin∠MON= ．
【解析】（1）∵S△ABC= AB CD= AC BC，
∴CD= = = x．
∵AB= x，
∴OC= AB= x，
∴sin2α= = = ．
故答案为 x， ；
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