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浙教版2022-2023学年九下数学第2章 直线与圆的位置关系 培优测试卷
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．若⊙O半径是2，点A在直线l上，且OA=2，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相交
2．下列关于圆的切线的说法正确的是（ ）
A．垂直于圆的半径的直线是圆的切线
B．与圆只有一个公共点的射线是圆的切线
C．经过半径的一端且垂直于半径的直线是圆的切线
D．如果圆心到一条直线的距离等于半径长，那么这条直线是圆的切线
3．如图， 中， ， ，它的周长为 若 与 ， ， 三边分别切于 ， ， 点，则 的长为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
（第3题） （第4题） （第5题） （第6题） （第7题）
4．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O外一点，过点C作的⊙O切线，切点为B，连接AC交⊙O于D，∠C=38°.点E在AB右侧的半圆上运动（不与A，B重合），则∠AED的大小是（ ）
A．19° B．32° C．38° D．76°
5．如图，AB与⊙O相切于点B，连接OA交⊙O于点C，点D为优弧BDC上一点，连接DB，DC，若∠BDC＝30°，⊙O的半径OC＝2，则AB的长为（ ）
A．4 B．2 C．2 D．1
6．如图， O为Rt△ABC内切圆， ∠C=90°， AO延长线交BC于D点，若AC＝4， CD=1， 则⊙O半径为（ ）
A． B． C． D．
7．矩形ABCD中，AB＝12，BC＝8，将矩形沿MN折叠，使点C恰好落在AD边的中点F处，以矩形对称中心O点为圆心的圆与FN相切于点G，则⊙O的半径为（ ）
A．3.6 B． C．3.5 D．
8．如图，在△ABC中，AB=5，AC=4，BC=3，经过点C且与边AB相切的动圆与CA,CB分别相交于点P、Q，则线段PQ长度的最小值是（ ）
A．2 B． C． D．
（第8题） （第9题）
9．如图，直线l1∥l2，⊙O与l1和l2分别相切于点A和点B．直线MN与l1相交于M；与l2相交于N，⊙O的半径为1，∠1=60°，直线MN从如图位置向右平移，下列结论
①l1和l2的距离为2 ②MN= ③当直线MN与⊙O相切时，∠MON=90°
④当AM+BN= 时，直线MN与⊙O相切．正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，PA是⊙O的直径，PC是⊙O的弦，过AC弧的中点H作PC的垂线交PC的延长线于点B．若HB=6cm，BC=4cm，则⊙O的直径为（ ）
A．2cm B．3cm C．13cm D．6cm
（第10题） （第13题） （第14题） （第15题） （第16题）
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．已知在等边△ABC中，AB=2，如果以点C为圆心的圆与边AB有且只有一个公共点，那么⊙C的半径是
12．已知，、之间的距离是5cm，圆心O到直线的距离是2cm，如果圆O与直线、有三个公共点，那么圆O的半径为 cm．
13．如图，⊙O的半径为4，AB为⊙O的直径，∠ABC=90°，直线CE与⊙O相切于点D，交BA的延长线于点E，A为OE的中点，则AC的长是 .
14．如图，在 ABCD中，AB为⊙O的直径，⊙O与DC相切于点E，与AD相交于点F，已知AB=12，∠C=60°，则 的长为 .
15．如图，在△ABC中，AC=2，BC=4，点O在BC上，以OB为半径的圆与AC相切于点A．D是BC边上的动点，当△ACD为直角三角形时，AD的长为
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为 .
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，AB是⊙O的弦，点C是的中点，连接BC，过点A作交⊙O于点D．连接CD，延长DA至E，连接CE，使．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若，，求AD的长．
18．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD与直径AB相交于点F．点E在⊙O外，作直线AE，且∠EAC=∠D．
（1）求证：直线AE是⊙O的切线．
（2）若∠BAC=30°，BC=4，cos∠BAD=，CF=，求BF的长．
19．如图，AB是圆O的直径，PB，PC是圆O的两条切线，切点分别为B，C．延长BA，PC相交于点D．
（1）求证：∠CPB=2∠ABC．
（2）设圆O的半径为2，sin ∠PBC= ，求PC的长．
20．如图，AB是⊙O的直径，点D，E在⊙O上，∠B＝2∠ADE，点C在BA的延长线上.
（1）若∠C＝∠DAB，求证：CE是⊙O的切线；
（2）若OF＝2，AF＝3，求EF的长.
21．如图，直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，D为AB上一点，以BD为直径作⊙O，CD与⊙O交于点E，延长AE与BC交于点F，且CF＝BF.
（1）求证：AF与⊙O相切；
（2）若AB＝8，BC＝12，求⊙O半径.
22．已知：如图，AB是 的直径，点 为 上一点，点D是 上一点，连接 并延长至点C，使 与AE交于点F．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 平分 ，求证： ．
23．如图，在⊙O中，点P为直径BA延长线上一点，直线PD切⊙O于点D，过点B作BH⊥PD，垂足为H，BH交⊙O于点C，连接BD.
（1）求证：BD平分∠ABH；
（2）如果AB＝10，BC＝6，求BD的长；
（3）在（2）的条件下，当E是弧AB中点，DE交AB于点F，求DE DF的值.
24．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，连接AD，过点D作DM⊥AC，垂足为M，AB、MD的延长线交于点N.
（1）求证：MN是⊙O的切线；
（2）求证：DN2＝BN （BN+AC）；
（3）若BC＝6，cosC＝ ，求DN的长.
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浙教版2022-2023学年九下数学第2章 直线与圆的位置关系 培优测试卷
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．若⊙O半径是2，点A在直线l上，且OA=2，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相交
【答案】D
【解析】如图，
∵OA=r=2，
∴当OA⊥l时，l和 ⊙O 相切，
当OA与l不垂直时，直线l与⊙O 相交，
故答案为：D.
2．下列关于圆的切线的说法正确的是（ ）
A．垂直于圆的半径的直线是圆的切线
B．与圆只有一个公共点的射线是圆的切线
C．经过半径的一端且垂直于半径的直线是圆的切线
D．如果圆心到一条直线的距离等于半径长，那么这条直线是圆的切线
【答案】D
【解析】A、经过半径的外端点且垂直于半径的直线是圆的切线，故原命题错误；
B、与圆只有一个公共点的直线是圆的切线，故原命题错误；
C、经过半径的外端点且垂直于半径的直线是圆的切线，故原命题错误；
D、如果圆心到一条直线的距离等于半径长，那么这条直线是圆的切线，正确．
故选D．
3．如图， 中， ， ，它的周长为 若 与 ， ， 三边分别切于 ， ， 点，则 的长为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【解析】 与 ， ， 三边分别切于 ， ， 点，
， ， ，
，
，
， ，
是等边三角形，
，
， ，
，
，
，
，
，
故答案为：A.
4．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O外一点，过点C作的⊙O切线，切点为B，连接AC交⊙O于D，∠C=38°.点E在AB右侧的半圆上运动（不与A，B重合），则∠AED的大小是（ ）
A．19° B．32° C．38° D．76°
【答案】C
【解析】如图，连接BD，
∵AB为⊙O的直径，BC是⊙O的切线，
∴∠ADB=90°，AB⊥BC，
∴∠C+∠BAC=∠BAC+∠ABD=90°，
∴∠ABD=∠C，
∵∠AED=∠ABD，∠C=38°，
∴∠AED=∠C=38°.
故答案为：C.
5．如图，AB与⊙O相切于点B，连接OA交⊙O于点C，点D为优弧BDC上一点，连接DB，DC，若∠BDC＝30°，⊙O的半径OC＝2，则AB的长为（ ）
A．4 B．2 C．2 D．1
【答案】B
【解析】如图，连接OB，
∵AB与⊙O相切于点B，
∴AB⊥OB，
∴∠ABO＝90°，
∵∠BDC＝∠BOC，且∠BDC＝30°，
∴∠BOC＝2∠BDC＝2×30°＝60°，
∴∠A＝90°﹣∠BOC＝90°﹣60°＝30°，
∵OB＝OC＝2，且OB＝OA，
∴OA＝2OB＝2×2＝4，
∴AB＝
故答案为：B.
6．如图， O为Rt△ABC内切圆， ∠C=90°， AO延长线交BC于D点，
若AC＝4， CD=1， 则⊙O半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】设圆O与AC的切点为M，圆的半径为r，
连接OM，
∵∠C=90°
∴CM=r，
∵△AOM∽△ADC，
∴OM：CD=AM：AC，
即r：1=（4-r)：4，
解得r=．
故选A．
7．矩形ABCD中，AB＝12，BC＝8，将矩形沿MN折叠，使点C恰好落在AD边的中点F处，以矩形对称中心O点为圆心的圆与FN相切于点G，则⊙O的半径为（ ）
A．3.6 B． C．3.5 D．
【答案】A
【解析】如图，连接OF、OG、ON，过点O作OH⊥DC于点H，
∵O点为矩形对称中心，AB=12，BC=8，F为AD中点，
∴OF=DH=HC=DC=6，OH=FD=AD=4，
∵圆O与FN相切于点G，
∴OG⊥FN，
由折叠性质可得：FN=NC，设FN=NC=a，则DN=12-a
在直角三角形FDN中，FN2=FD2+DN2，即a2=42+（12-a）2，
解得，a=，
∴DN=，
∴NH=DH-DN=6-=，
在直角三角形OHN中，由勾股定理得：ON2=NH2+OH2=+16，
设FG=b，则GN=-b，
在直角三角形OGF和直角三角形OGN中，由勾股定理得：OF2-FG2=OG2=ON2-GN2，
∴62-b2=+16-（-b）2，解得b=，
∴OG2=36-（）2，解得OG=3.6，即半径为3.6.
故答案为：A.
8．如图，在△ABC中，AB=5，AC=4，BC=3，经过点C且与边AB相切的动圆与CA,CB分别相交于点P、Q，则线段PQ长度的最小值是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【解析】线段PQ长度的最小值时，PQ为圆的直径，
如图，设QP的中点为F，圆F与AB的切点为D，连接FD、CF、CD，
∵圆F与AB相切，∴FD⊥AB，
∵AB=5，AC=4，BC=3，
∴∠ACB=90°，FC+FD=PQ，
∴CF+FD＞CD，且PQ为圆F的直径，
∵当点F在直角三角形ABC的斜边AB的高上CD时，PQ=CD有最小值，即CD为圆F的直径，
且S△ABC= BC CA= CD AB，
∴CD= = ．
故答案为：B．
9．如图，直线l1∥l2，⊙O与l1和l2分别相切于点A和点B．直线MN与l1相交于M；与l2相交于N，⊙O的半径为1，∠1=60°，直线MN从如图位置向右平移，下列结论
①l1和l2的距离为2 ②MN= ③当直线MN与⊙O相切时，∠MON=90°
④当AM+BN= 时，直线MN与⊙O相切．正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】如图1，
∵⊙O与l1和l2分别相切于点A和点B，
∴OA⊥l1，OB⊥l2，
∵l1∥l2，
∴点A、B、O共线，
∴l1和l2的距离=AB=2，所以①正确；
作NH⊥AM，如图1，
则四边形ABNH为矩形，
∴NH=AB=2，
在Rt△MNH中，∵∠1=60°，
∴MH= NH= ，
∴MN=2MH= ，所以②正确；
当直线MN与⊙O相切时，如图2，
∠1=∠2，∠3=∠4，
∵l1∥l2，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠MON=90°，所以③正确；
过点O作OC⊥MN于C，如图2，
∵S四边形ABNM=S△OAM+S△OMN+S△OBN，
∴ 1 AM+ 1 BN+ MN OC= （BN+AM） 2，
即 （AM+BN）+MN OC=AM+BN，
∵AM+BN= ，MN= ，
∴OC=1，
而OC⊥MN，
∴直线MN与⊙O相切，所以④正确．
故选D．
10．如图，PA是⊙O的直径，PC是⊙O的弦，过AC弧的中点H作PC的垂线交PC的延长线于点B．若HB=6cm，BC=4cm，则⊙O的直径为（ ）
A．2cm B．3cm C．13cm D．6cm
【答案】C
【解析】连接PH，OH，
∵H是的中点，
∴∠HPC=∠APH，∠AOH=∠APC，
∴OH∥BC，
即OH⊥BH，
∴HB是⊙O的切线；
∵PB是⊙O的割线，HB=6cm，BC=4cm，
∴HB2=BC BP，
∴36=4BP，
∴BP=9，
∴PH===；
∵在Rt△BPH与Rt△HPA中，∠HPC=∠APH，
∴Rt△BPH∽Rt△HPA，
∴=
∴AP===13（cm）；
故选C．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．已知在等边△ABC中，AB=2，如果以点C为圆心的圆与边AB有且只有一个公共点，那么⊙C的半径是
【答案】
【解析】△是等边三角形，由等边三角形三线合一的性质可得：
AB边上的高为，
如果以点C为圆心的圆与边AB有且只有一个公共点，那么⊙C的半径是．
故答案为：．
12．已知，、之间的距离是5cm，圆心O到直线的距离是2cm，如果圆O与直线、有三个公共点，那么圆O的半径为 cm．
【答案】3或7
【解析】设圆的半径为rcm
如图一所示，
r-5=2，得r=7cm，
如图二所示，
r+2=5，得r=3cm，
故答案为：3或7．
13．如图，⊙O的半径为4，AB为⊙O的直径，∠ABC=90°，直线CE与⊙O相切于点D，交BA的延长线于点E，A为OE的中点，则AC的长是 .
【答案】
【解析】连接OD
∵CE是切线，
∴OD⊥EC，
∴∠EDO=90°，
∵点A为OE的中点，
∴AE=OE=OB=4
∴BE=12，OE=8,
在Rt△EOD中
;
∵∠E=∠E，∠EDO=∠B=90°，
∴△EOD∽△EBC
∴
∴
解之：.
在Rt△ABC中
.
故答案为：.
14．如图，在 ABCD中，AB为⊙O的直径，⊙O与DC相切于点E，与AD相交于点F，已知AB=12，∠C=60°，则 的长为 .
【答案】π
【解析】连接OE、OF，
∵CD是⊙O的切线，
∴OE⊥CD，
∴∠OED=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠C=60°
∴∠A=∠C=60°，CD∥AB
∴∠A+∠D=180°
∴∠D=180°-60°=120°，
∵OA=OF，
∴∠A=∠OFA=60°
∴∠DFO=120°
∴∠EOF=360° ∠D ∠DFO ∠DEO=30°，
∵AB=12
∴圆的半径OA=6
的长=
故答案为：π.
15．如图，在△ABC中，AC=2，BC=4，点O在BC上，以OB为半径的圆与AC相切于点A．D是BC边上的动点，当△ACD为直角三角形时，AD的长为
【答案】 或
【解析】如图，连接OA，过点A作AD⊥BC于点D，
∵圆与AC相切于点A，
∴OA⊥AC，
①当∠CAD为90°时，此时D点与O点重合，设圆的半径=r，
∴OA=r，OC=4-r，
∴ AC=4，
在Rt△AOC中，
∵OA2+AC2=OC2，即r2+4= (4-r)2，
解得：r=，
∴AD=AO=；
②当∠ADC=90°时，
∵，
，
∵AO=，AC=2，OC=4-r=，
∴AD=，
综上所述，AD的长为 或 .
故答案为： 或 .
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为 .
【答案】
【解析】连接OE，OF，ON，OG，
在矩形ABCD中，
∵∠A＝∠B＝90°，CD＝AB＝8，
∵AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，
∴∠AEO＝∠AFO＝∠OFB＝∠BGO＝90°，
∴四边形AFOE，FBGO是正方形，
∴AF＝BF＝AE＝BG＝4，
∴DE＝6，
∵DM是⊙O的切线，
∴DN＝DE＝6，MN＝MG，
∴CM＝10﹣4﹣MN＝6﹣MN，
在Rt△DMC中，DM2＝CD2+CM2，
∴（6+NM）2＝（6﹣NM）2+82，
∴NM＝
，
∴DM＝6+
＝
.
故答案为：
.
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，AB是⊙O的弦，点C是的中点，连接BC，过点A作交⊙O于点D．连接CD，延长DA至E，连接CE，使．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若，，求AD的长．
【答案】（1）证明：连接OC，如图所示：
∵，OC过圆心，∴，
∵，∴，
∵，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，
∵OC为半径，∴CE是⊙O的切线
（2）解：连接AC，如图所示：
∵，，
∴四边形AECB是平行四边形，，
∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，
∵，∴△CDE∽△ACE，
∴，
∵，，∴，∴
18．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD与直径AB相交于点F．点E在⊙O外，作直线AE，且∠EAC=∠D．
（1）求证：直线AE是⊙O的切线．
（2）若∠BAC=30°，BC=4，cos∠BAD=，CF=，求BF的长．
【答案】（1）解：连接BD，如图，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，即∠ADC+∠CDB=90°，
∵∠EAC=∠ADC，∠CDB=∠BAC，
∴∠EAC+∠BAC=90°，即∠BAE=90°，
∴直线AE是⊙O的切线；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ACB中，∠BAC=30°，
∴AB=2BC=2×4=8，
由勾股定理得：AC=，
在Rt△ADB中，，
∴，
∴AD=6，
∴BD= =，
∵∠BDC=∠BAC，∠DFB=∠AFC，
∴△DFB∽△AFC，
∴，
∴，
∴BF=．
19．如图，AB是圆O的直径，PB，PC是圆O的两条切线，切点分别为B，C．延长BA，PC相交于点D．
（1）求证：∠CPB=2∠ABC．
（2）设圆O的半径为2，sin ∠PBC= ，求PC的长．
【答案】（1）证明：如图，连接OC
∵PB，PC 是OO的两条切线 ∴PC=PB，∠PCO =∠PBO=90°， ∴∠CPB+ㄥBOC=180° ∵∠DOC+∠BOC=180° ∴∠CPB =∠COD ∵OC=OB， ∴∠OCB=∠OBC ∴∠COD=2∠ABC ∴∠CPB=2∠ABC.
（2）解：∵PC 是圆O的切线，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD=90°，
∵圆O 的半径为2，sin∠PBC=，
∴sin∠CDO=，
∴OD=3，
∴DC=
设 PC=x，
∴BD +PB =PD ，
∴(x+ ) =x +5 ，
解得 x= ，
∴PC= .
20．如图，AB是⊙O的直径，点D，E在⊙O上，∠B＝2∠ADE，点C在BA的延长线上.
（1）若∠C＝∠DAB，求证：CE是⊙O的切线；
（2）若OF＝2，AF＝3，求EF的长.
【答案】（1）证明：连接OE，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°.
∴∠DAB+∠B＝90°，
∵∠ADE和∠AOE都对着，
∴∠AOE＝2∠ADE，
又∵∠B＝2∠ADE，
∴∠AOE＝∠B，
又∵∠C＝∠DAB，
∴∠C+∠AOE＝∠DAB+∠B＝90°.
∴∠CEO＝90°，
∴OE⊥CE，
∴CE是⊙O的切线；
（2）解：连接AE，
∵ ＝ ，
∴∠1＝∠B.
由（Ⅰ）知∠AOE＝∠B，
∴∠1＝∠AOE，
又∵∠2＝∠2，
∴△EAF∽△OAE，
∴，
即，
∴EF＝AE，AE2＝3×5＝15，
∴EF＝EA＝.
21．如图，直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，D为AB上一点，以BD为直径作⊙O，CD与⊙O交于点E，延长AE与BC交于点F，且CF＝BF.
（1）求证：AF与⊙O相切；
（2）若AB＝8，BC＝12，求⊙O半径.
【答案】（1）证明：如图，连接OE, BE，
∵BD为 ⊙O 的直径 ，
∴∠BED=90°,
∴∠BEC=90°,
∵CF=FB，
∴EF=CB=FB，
∴∠FEB=∠FBE ,
∴OE=OB，
∴∠OEB=∠OBE，
∴∠OBE+∠ FBE=∠OBF=90°，
∠OEB+∠FEB= ∠OEF=90°,
∵OE是⊙O 的半径，
∴AF与⊙O相切；
（2）解：∵AB=8 , BC=12 ,
∴EF=FB=CB=6 ,
∴AF==10，
∴AE=AF-EF=10-6=4 ,
∵OE=OB，
∴OA=AB-OB=8-OE ,
∵AE2+OE2=OA2，
∴42+OE2= ( 8-OE)2，
解得OE=3，
∴ ⊙O 半径为3.
22．已知：如图，AB是 的直径，点 为 上一点，点D是 上一点，连接 并延长至点C，使 与AE交于点F．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 平分 ，求证： ．
【答案】（1）证明： 为直径，
，
在 中， ，
又 ，
，
，即 ，
，
又 为 的直径，
是 的切线；
（2） 平分 ，
，
又 ，
，
又 ，
，
，
．
23．如图，在⊙O中，点P为直径BA延长线上一点，直线PD切⊙O于点D，过点B作BH⊥PD，垂足为H，BH交⊙O于点C，连接BD.
（1）求证：BD平分∠ABH；
（2）如果AB＝10，BC＝6，求BD的长；
（3）在（2）的条件下，当E是弧AB中点，DE交AB于点F，求DE DF的值.
【答案】（1）证明：如图连接OD.
∵PD是⊙O的切线，
∴OD⊥PD.
又∵BH⊥PD，
∴∠PDO=∠PHB=90°，
∴，
∴∠ODB=∠DBH.
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD，
∴∠OBD=∠DBH，
∴BD平分∠ABH.
（2）解：如图过点O作OG⊥BC，G为垂足，
则BG=CG=3，
在Rt△OBG中，OG=4 ∵∠ODH=∠DHG=∠HGO=90°，
∴四边形 ODHG是矩形.
∴OD=GH=5，DH=OG=4，BH=8.
在Rt△DBH中，BD=
（3）解：
连接AD，AE，则∠AED=∠ABD，∠ADB=90°.在Rt△ADB中，AD=
又∵E是弧AB的 中点，
即 ，
∴∠ADE=∠EDB，
∴△ADE∽△FDB.
DE DF=DB AD=40.
24．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，连接AD，过点D作DM⊥AC，垂足为M，AB、MD的延长线交于点N.
（1）求证：MN是⊙O的切线；
（2）求证：DN2＝BN （BN+AC）；
（3）若BC＝6，cosC＝ ，求DN的长.
【答案】（1）证明：如图，连接OD，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
又∵AB＝AC，
∴BD＝CD，∠BAD＝∠CAD，
∵AO＝BO，BD＝CD，
∴OD∥AC，
∵DM⊥AC，
∴OD⊥MN，
又∵OD是半径，
∴MN是⊙O的切线；
（2）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠ABC+∠BAD＝90°，∠ACB+∠CDM＝90°，
∴∠BAD＝∠CDM，
∵∠BDN＝∠CDM，
∴∠BAD＝∠BDN，
又∵∠N＝∠N，
∴△BDN∽△DAN，
∴ ，
∴DN2＝BN AN＝BN （BN+AB）＝BN （BN+AC）；
（3）解：∵BC＝6，BD＝CD，
∴BD＝CD＝3，
∵cosC＝ ＝ ，
∴AC＝5，
∴AB＝5，
∴AD＝ ＝ ＝4，
∵△BDN∽△DAN，
∴ ＝ ＝ ，
∴BN＝ DN，DN＝ AN，
∴BN＝ （ AN）＝ AN，
∵BN+AB＝AN，
∴ AN+5＝AN
∴AN＝ ，
∴DN＝ AN＝ .
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