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浙教版2022-2023学年九下数学第2章 直线与圆的位置关系 尖子生测试卷
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图，在 中， ， ， ，以点 为圆心，以 的长为半径作圆，则 与 的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．相切或相离
【答案】B
【解析】作CD⊥AB于点D．
∵∠B=30°，BC=4cm，
∴CD= BC=2cm，
即CD等于圆的半径．
∵CD⊥AB，
∴AB与⊙C相切．
故答案为：B．
2．下列说法中正确的是（ ）
A．垂直于半径的直线是圆的切线
B．圆的切线垂直于半径
C．经过半径的外端的直线是圆的切线
D．圆的切线垂直于过切点的半径
【答案】D
【解析】根据圆的切线的性质定理得：圆的切线垂直于经过切点的半径；
根据切线的判定定理得：经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线．
故选D．
3．如图，PA，PB切⊙O于A，B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D．若⊙O的半径为1，△PCD的周长等于2 ，则线段AB的长是（ ）
A． B．3 C．2 D．3
【答案】A
【解析】∵PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D，
∴AC=EC，DE=DB，PA=PB，
∵△PCD的周长等于3，
∴PA+PB=2 ，
∴PA=PB= ，
连接PA和AO，
∵⊙O的半径为1，
∴sin∠APO= = = ，
∴∠APO=30°，
∴∠APB=60°，
∴△APB是等边三角形，
∴AB=PA=PB= ．
故选：A．
4．如图， 为圆O的直径，点P在 的延长线上， ， 与圆O相切，切点分别为C，D，若 ， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】连结OC，OD，
∵ PC、 PD与圆O相切，
∴∠PCO=∠PDO=90°，
在Rt△PCO和Rt△PDO，
∴Rt△PCO≌Rt△PDO（HL），
∴∠COP=∠DOP= ，
∵∠COD=2∠CBD，
∴ ，
∵AB=4，
∴OA=OC=2，
在Rt△PCO中根据勾股定理 ，
∴ .
故答案为：C.
5．已知：如图，⊙O是△ABC的外接圆，⊙O的直径为10，过点C作⊙O的切线交AB延长线于点P.BC＝6，则B到CP的距离为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】C
【解析】作直径 连接 过 作 于
而
为 的切线，
即B到CP的距离为
故答案为：C.
6．如图，菱形ABCD的边长为10，面积为80，∠BAD<90°，⊙O与边AB，AD都相切，菱形的顶点A到圆心O的距离为5，则⊙O的半径长等于（ ）
A．2.5 B． C．2 D．3
【答案】B
【解析】如图，取F点，连接OF，连接BD，交AC于E点，
∵AD为切线，
∴OF⊥AF，
∵四边形ABCD为菱形，
∴BD⊥AC，
∵S菱形ABCD= AC×BD=80，
又∵DE2+AE2=AD2，即AC2+BD2=400，
∴，
解得：AC= 或 (舍去)，
∴BD= ，
∴ED= ，
∵∠AED=∠AFO=90°，∠OAF=∠EAD，
∴△AOF∽△AED，
∴，即 ，
解得：OF= .
故答案为：B.
7．在平面直角坐标系内，以原点O为圆心，1为半径作圆，点P在直线y= 上运动，过点P作该圆的一条切线，切点为A，则PA的最小值为（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】D
【解析】解: 如图，
直线y= x+2 与x轴交于点C，与y轴交于点D，作OH⊥CD于H，
当x=0时，y= x+2 =2 ，则D（0，2 ），
当y=0时， x+2 =0，解得x=﹣2，则C（﹣2，0），
∴CD= =4，
∵ OH CD= OC OD，∴OH= = ，
连接OA，如图，
∵PA为⊙O的切线，∴OA⊥PA，
∴PA= = ，
当OP的值最小时，PA的值最小，
而OP的最小值为OH的长，
∴PA的最小值为 = ．
故答案为：D．
8．如图，已知A、B、C为⊙O上三点，过C的切线MN∥弦AB，AB=2，AC= ，则⊙O的半径为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【解析】连接CO并延长交AB于D，连接OA，
∵MN是⊙O的切线，
∴MN⊥CD，
∵MN∥AB，
∴CD⊥AB，
∴AD= AB= ×2=1，
在Rt△ACD中，AC= ，
由勾股定理得：CD= =2，
设⊙O的半径为r，则OD=2﹣r，OA=r，
在Rt△AOD中，r2=12+（2﹣r）2，
r= ，
则⊙O的半径为 ；
故选B．
9．如图，在 中， ， 于D，⊙O为 的内切圆，设⊙O的半径为R，AD的长为h，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，令 分别与 的三边切于P，Q，T，连接
∴
∴
=
=
又∵
∴
又∵
∴
∴
∴
∴
故答案为：B.
10．如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作半圆⊙O与边BC交于点D，过D作半圆的切线与边AC交于点E，过E作EF∥AB，与BC交于点F．若AB=20，OF=7.5，则CD的长为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【解析】连结AD，如图，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠1+∠ADE=90°，∠2+∠C=90°，
∵DE为切线，
∴ED=EA，
∴∠ADE=∠2，
∴∠1=∠C，
∴ED=EC，
∴CE=AE，
∵EF∥AB，
∴EF为△ABC的中位线，
∴BF=CF，
而BO=AO，
∴OF为△ABC的中位线，
∴OF∥AE，
∴AE=OF=7.5，
∴AC=2AE=15，
在Rt△ACD中，BC===25，
∵∠DCA=∠ACB，
∴△CDA∽△CAB，
∴=，即=，
∴CD=9．
故选C．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，已知PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点．AC是⊙O 的直径，若∠P=80°，则∠BAC的度数为 ．
【答案】40°
【解析】∵PA、PB是⊙O的两条切线，
∴PA=PB，
∴∠PAB=∠PBA．
∵∠P=80°，
∴∠PAB=（180°-80°）÷2=50°．
∵AC是⊙O 的直径，A为切点，
∴∠PAC=90°，
∴∠BAC=90°－50°=40°．
故答案为40°．
12．如图，△ABC的内切圆与三边分别切于点D，E，F，若∠C＝90°，AD＝3，BD＝5，则△ABC的面积为 .
【答案】15
【解析】∵AD和AF为切线，
∴AF=AD=3，
同理BE=BD=5，
设EF=CE=x,
∵∠C=90°
∵AC2+BC2=AB2，
∴（x+3）2+(x+4)2=82,
整理得，x2+8x-5=0,
∴x=-4+或-4-（舍），
故AC=-1+，BC=1+，
∴S△ABC=AB×AC=15，
故答案为：15.
13．如图，在 中， ， ， ， 为 的内切圆，点D是斜边AB的中点，则 ．
【答案】2
【解析】 ， ，
，
，
连接OE、OF、OQ，
∵⊙O为△ABC的内切圆，
∴ ， ， ， ， ，
∴四边形CEOF是正方形，
∴CE=CF=OE=OF，
，
，
∴AQ=AF=6-2=4，
∵D为AB的中点，
，
∴DQ=5-4=1，
．
故答案为2．
14．如图，已知AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，连接AC，OC，若sin∠BAC= ，则tan∠BOC= 。
【答案】
【解析】∵BC与⊙O相切于点B
∴∠CBA=90°
∵sin∠BAC=
设BC=X，AC=3x
∴AB=
∴AO=OB= AB= x
∴tan∠BOC=
故答案为：
15．如图，⊙O的半径OA=2，B是⊙O上的动点(不与点A重合)，过点B作⊙O的切线BC，BC=OA，连结OC，AC.当△OAC是直角三角形时，其斜边长为 .
【答案】2 或2
【解析】如图，连接OB，
∵OA=OB，OA=BC，
∴BC=OC=2，
∵BC为切线，
∴OB⊥BC，
∴OC=，
当AC为斜边，
∠AOC=90°，
∴AC=，
当OC为斜边，
OC=2.
故答案为： 2 或2 .
16．如图，在扇形AOB中，点C，D在 上，将 沿弦CD折叠后恰好与OA，OB相切于点E，F。已知∠AOB=120°，OA=6，则 的度数为 ；折痕CD的长为 。
【答案】60°；4
【解析】如图，分别过点E作AO的垂线，过点F作OB的垂线，交于点G，连接GC、GO交CD于点H，过点F作FQ⊥GO，连接OC，
∴点G为⊙G圆心，GE=GF，
∴∠GEO=∠GFO=90°，
∵∠EOF=∠AOB=120°，
∴∠EGF=180°-∠EOF=60°，
∴的度数为60°；
∵将沿弦CD折叠后恰好与OA，OB相切于点E，F，
∴BD垂直平分GO，GC=GF，
∴GH=OH=GO，GC=CO，DH=HC=CD，
∵OA=OC=6，
∴GC=GF=6
又∵GO=OG，
∴Rt△GEO≌Rt△GFO（HL），
∴∠GOF=∠AOB=60°，∠OGF=∠EGF=30°，
∴在Rt△GQF中，QF=GF=3，GQ=QF=3，
在Rt△OQF中，OQ=QF=，
∴OG=OQ+GQ=+3=4，
∴GH=OG=2，
∴在Rt△GHC中，HC=，
∴CD=2HC=4.
故答案为：4.
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，CD与⊙O相切于点D．
（1）求证：△CAD∽△CDB；
（2）若sinC＝，BD＝6，求⊙O的半径．
【答案】（1）证明：连接OD，
∵CD与⊙O相切于点D，
，
，
，
为⊙O的直径，
，
，
，
，
，
，
，
．
（2）解：设圆的半径为r，
，
即，
∴CO=3r，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
18．如图，AB是⊙O的直径，AD平分∠BAC，点C，D在⊙O上，过点D作DE⊥AC，交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若，，求AD的长．
【答案】（1）证明：如下图，连接OD，
∵DE⊥AC，
∴∠DEA＝90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠DAB，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠EAD＝∠ADO，
∴AE∥OD，
∴∠ODE＋∠AED＝180°，
∴∠ODE＝180°－∠AED＝90°，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：如下图，连接DB，CD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠DAB＋∠B＝90°，
∵∠E＝90°，
∴∠EAD＋∠EDA＝90°，
∵∠EAD＝∠DAB，
∴∠B＝∠EDA，
∵四边形ABDC是⊙O的内接四边形，
∴∠ACD＋∠B＝180°，
∵∠ACD＋∠ECD＝180°，
∴∠B＝∠ECD，
∴∠ECD＝∠EDA，
∵∠E＝∠E，
∴△ECD∽△EDA，
∴ ，
∴，
∴，
∴
19．已知：如图，点C在以AB为直径的⊙O上，点D在AB的延长线上，且∠BCD＝∠A.
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）过点C作CE⊥AB于E.若CE＝2， ，求⊙O的半径.
【答案】（1）证明：连接CO，
∵AB是 的直径，
∴ ，
∵AO=CO，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∵OC是 的半径，
∴CD为 的切线.
（2）解：∵ 于点C，
∴ ，
∵ 于E，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
则 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的半径为 .
20．如图，与等边的边，分别交于点D，E，是直径，过点D作于点F．
（1）求证：是的切线；
（2）连接，当是的切线时，求半径r与等边边长a的比值．
【答案】（1）证明：连接OD，如图所示：
∵∠DAO=60°，OD=OA，
∴△DOA是等边三角形，
∴∠ODA=∠C=60°，
∴OD∥BC，
又∵∠DFC=90°，
∴∠ODF=90°，
∴OD⊥DF，
即DF是⊙O的切线；
（2）解：设半径为r，等边△ABC的边长为a，
由（1）可知：AD=r，则CD=a-r，BE=a-2r
在Rt△CFD中，∠C=60°，CD=a-r，
∴CF=（a r），
∴BF=a- （a r），
又∵EF是⊙O的切线，
∴△FEB是直角三角形，且∠B=60°，∠EFB=30°，
∴BF=2BE，
∴a-（a-r）=2（a-2r），
解得：a=3r，
即r=a，
∴⊙O的半径r与等边△ABC的边长a之间的数量关系为：r=a．
21．如图，以线段AB为直径的⊙O交线段AC于点E，点M是弧AE的中点，OM交AC于点D，∠BOE＝60°，∠C＝60°，BC＝2 .
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）求MD的长度.
【答案】（1）证明：在⊙O中点M是弧AE的中点，
∴ ，
∵OA=OE=半径，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴BC是⊙O的切线.
（2）解：∵ ，即圆的半径AO，BO，EO，MO均为3，
∴ ，
∴ ，
∴MD长度为 .
22．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D为BC上的一点，以AD为直径的 交AB于E，连接CE交 于G，连接DG，∠ACB=∠EGD.
（1）证明：BC与 相切；
（2）若BD=2，CD=6，求 的直径AD；
（3）在（2）的条件下，求EC.
【答案】（1）证明：∵ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ 为半径，
∴ 与 相切.
（2）解：由（1）知 ，又 ，
∴ ，
∴ ，
又 ， ，
∴ .
（3）解：由（2）知，在 中， ，
连接 ，如图，
∵ 是直径，
∴ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
在 中， .
23．如图⊙O是△ABC的外接圆，AC是⊙O的直径，过圆心O的直线PF⊥AB于D，交⊙O于E，F，PB是⊙O的切线，B为切点，连接AP，AF.
（1）求证：直线PA为⊙O的切线；
（2）求证：AC2=4OD·OP；
（3）若BC=6，，求AC的长.
【答案】（1）证明：如图，连接OB.
∵PB是⊙O的切线，∴∠PBO=90°，
∵OA=OB，∴△AOB是等腰三角形.
∵BA⊥PO于D，∴AD=BD，∠POA=∠POB.
又∵PO=PO，∴△PAO≌△PBO（SAS），
∴∠PAO=∠PBO=90°，∴OA⊥AP，
∵OA是⊙O的半径，∴直线PA为⊙O的切线.
（2）证明：∵直线PA为⊙O的切线，
∴∠PAO=90°.
∵BA⊥PO于D，∴∠PDA=∠ODA =90°，∴∠PAO=∠ODA，
∵∠AOD=∠POA，∴△OAD∽△OPA，∴.
∴OA2=OD OP.
又∵AC=2OA，
∴AC2=4OD OP；
（3）解：∵OA=OC，AD=BD，BC=6，
∴OD=BC=3.
设AD=x，
∵tan∠F==，
∴FD=2x，
∴OA=OF=FD-OD=2x-3，
在Rt△AOD中，由勾股定理，得
（2x-3）2=x2+32，
解之得，x1=4，x2=0（不合题意，舍去），
∴AD=4，OA=2x-3=5，
∵AC是⊙O的直径，
∴AC=2OA=10，
∴AC的长为10.
24．如图，AB为的直径，D为BA延长线上一点，过点D作的切线，切点为C，过点B作交DC的延长线于点E，连接BC．
（1）求证：BC平分；
（2）当时，求的值；
（3）在（2）的条件下，连接EO，交BC于点F，若，求的半径．
【答案】（1）证明：连接OC，
∵CD是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴BC平分．
（2）解：连接AC，
∵AB是直径，
∴，
∵，
∴，
∴ ，
∴，
∴
（3）解：设的半径为r，则，，
∵，
∴ ，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，（舍去），
∴的半径为5．
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浙教版2022-2023学年九下数学第2章 直线与圆的位置关系 尖子生测试卷
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图，在 中， ， ， ，以点 为圆心，以 的长为半径作圆，则 与 的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．相切或相离
（第1题） （第3题） （第4题） （第5题）
2．下列说法中正确的是（ ）
A．垂直于半径的直线是圆的切线 B．圆的切线垂直于半径
C．经过半径的外端的直线是圆的切线 D．圆的切线垂直于过切点的半径
3．如图，PA，PB切⊙O于A，B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D．若⊙O的半径为1，△PCD的周长等于2 ，则线段AB的长是（ ）
A． B．3 C．2 D．3
4．如图， 为圆O的直径，点P在 的延长线上， ， 与圆O相切，切点分别为C，D，若 ， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
5．已知：如图，⊙O是△ABC的外接圆，⊙O的直径为10，过点C作⊙O的切线交AB延长线于点P.BC＝6，则B到CP的距离为（ ）
A． B．3 C． D．
6．如图，菱形ABCD的边长为10，面积为80，∠BAD<90°，⊙O与边AB，AD都相切，菱形的顶点A到圆心O的距离为5，则⊙O的半径长等于（ ）
A．2.5 B． C．2 D．3
（第6题） （第8题） （第9题） （第10题）
7．在平面直角坐标系内，以原点O为圆心，1为半径作圆，点P在直线y= 上运动，过点P作该圆的一条切线，切点为A，则PA的最小值为（ ）
A．3 B．2 C． D．
8．如图，已知A、B、C为⊙O上三点，过C的切线MN∥弦AB，AB=2，AC= ，则⊙O的半径为（ ）
A． B． C．2 D．
9．如图，在 中， ， 于D，⊙O为 的内切圆，设⊙O的半径为R，AD的长为h，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作半圆⊙O与边BC交于点D，过D作半圆的切线与边AC交于点E，过E作EF∥AB，与BC交于点F．若AB=20，OF=7.5，则CD的长为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，已知PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点．AC是⊙O 的直径，若∠P=80°，则∠BAC的度数为 ．
（第11题） （第12题） （第13题）
12．如图，△ABC的内切圆与三边分别切于点D，E，F，若∠C＝90°，AD＝3，BD＝5，则△ABC的面积为 .
13．如图，在 中， ， ， ， 为 的内切圆，点D是斜边AB的中点，则 ．
14．如图，已知AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，连接AC，OC，若sin∠BAC= ，则tan∠BOC= 。
（第14题） （第15题） （第16题）
15．如图，⊙O的半径OA=2，B是⊙O上的动点(不与点A重合)，过点B作⊙O的切线BC，BC=OA，连结OC，AC.当△OAC是直角三角形时，其斜边长为 .
16．如图，在扇形AOB中，点C，D在 上，将 沿弦CD折叠后恰好与OA，OB相切于点E，F。已知∠AOB=120°，OA=6，则 的度数为 ；折痕CD的长为 。
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，CD与⊙O相切于点D．
（1）求证：△CAD∽△CDB；
（2）若sinC＝，BD＝6，求⊙O的半径．
18．如图，AB是⊙O的直径，AD平分∠BAC，点C，D在⊙O上，过点D作DE⊥AC，交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若，，求AD的长．
19．已知：如图，点C在以AB为直径的⊙O上，点D在AB的延长线上，且∠BCD＝∠A.
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）过点C作CE⊥AB于E.若CE＝2， ，求⊙O的半径.
20．如图，与等边的边，分别交于点D，E，是直径，过点D作于点F．
（1）求证：是的切线；
（2）连接，当是的切线时，求半径r与等边边长a的比值．
21．如图，以线段AB为直径的⊙O交线段AC于点E，点M是弧AE的中点，OM交AC于点D，∠BOE＝60°，∠C＝60°，BC＝2 .
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）求MD的长度.
22．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D为BC上的一点，以AD为直径的 交AB于E，连接CE交 于G，连接DG，∠ACB=∠EGD.
（1）证明：BC与 相切；
（2）若BD=2，CD=6，求 的直径AD；
（3）在（2）的条件下，求EC.
23．如图⊙O是△ABC的外接圆，AC是⊙O的直径，过圆心O的直线PF⊥AB于D，交⊙O于E，F，PB是⊙O的切线，B为切点，连接AP，AF.
（1）求证：直线PA为⊙O的切线；
（2）求证：AC2=4OD·OP；
（3）若BC=6，，求AC的长.
24．如图，AB为的直径，D为BA延长线上一点，过点D作的切线，切点为C，过点B作交DC的延长线于点E，连接BC．
（1）求证：BC平分；
（2）当时，求的值；
（3）在（2）的条件下，连接EO，交BC于点F，若，求的半径．
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