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浙教版2022-2023学年九上数学第4章 相似三角形 培优测试卷2
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，若AE∶AC = 3∶4，AD=6，则BD等于（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】A
【解析】∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴AD：AB=AE：AC，
而AD：AB=3：4，AE=6，
∴3：4=6：AC，
∴AC=8．
故答案为：A．
2．下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据勾股定理，AB=，BC=，
所以，夹直角的两边的比为=，
观各选项，只有B选项三角形符合，与所给图形的三角形相似．
故答案为B．
3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，P是斜边上一定点，过点P作直线与一直角边交于点Q使图中出现两个相似三角形，这样的点Q有 ( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】过点M作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形有一个公共角，只要再作一个直角就可以．
∵截得的三角形与△ABC相似，
∴过点M作AB的垂线，或作AC的垂线，或作BC的垂线，所得三角形满足题意
∴过点M作直线l共有三条，
故选C.
4．已知点C是线段AB上的一个点，且满足，则下列式子成立的是 （ ）
A．； B．； C．； D．
【答案】B
【解析】把AB当作已知数求出AC，求出BC，再分别求出各个比值，根据结果判断即可．
AC2=BC AB，
AC2-BC AB=0，
AC2-（AB-AC）AB=0，
AC2+AB AC-AB2=0，
AC=，
∵边长为正值，
∴AC=AB，BC=AB-AC=，
∴
,
即选项A、C、D错误，只有选项B正确；
故选B．
5．如图，如图，A、B、C、P、Q、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，如果△RPQ∽△ABC，那么点R应是甲、乙、丙、丁四点中的（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】B
【解析】解答：∵△RPQ∽△ABC
∴
即
∴△RPQ的高为6．
所以点R应是甲、乙、丙、丁四点中的乙处．
故选：B．
6．如图，在平行四边形ABCD中，E是BC延长线上一点，AE交CD于点F，且CE=BC，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BE，CD∥AB，
∴△ADF∽△ECF△ECF∽△EAB，
∴△ADF∽△EBA，
∵CE=BC，
BE=CE+BC=CE+AD=3CE，
∴AD：BE=2：3，
∴=，
故选D．
7．数学兴趣小组的小明想测量教学楼前的一棵树的高度．下午课外活动时他测得一根长为1m的竹竿的影长是0.8m．但当他马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图）．他先测得留在墙壁上的树影高为1.2m，又测得地面的影长为2.6m，请你帮他算一下，下列哪个数字最接近树高（ ）m．
A．3.04 B．4.45 C．4.75 D．3.8
【答案】B
【解析】解答：∵留在墙壁上的树影高为1.2m，
∴这段影子在地面上的长为：1.2×0.8=0.96（m），
∴这棵树全落在地面上时的影子的长为：2.6+0.96=3.56（m），
∴设这棵树的高度为xm,则 ，解得x=3.56÷0.8=4.45，
∴设这棵树的高度为4.45m．
故选：B．
8．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB=AC，D是直线BC上一点，直线AD交⊙O于点E，AE=9，DE=3，则AB的长等于（ ）
A．7 B． C． D．
【答案】D
【解析】由AB=AC，根据等边对等角的性质，即可得∠ABC=∠C，又由同弧对的圆周角相等，即可证得：∠ABC=∠E；由∠ABC=∠E，∠BAE=∠DAB（公共角），根据有两角对应相等的三角形相似，即可得△ABD∽△AEB，根据相似三角形的对应边成比例，易证得AB2=AE AD，把相应数值代入即可求出AB=3．
故选D.
9．直角三角形中，，三个正方形如图放置，边长分别为，，，已知，，则的值为（ ）
A．4 B． C．5 D．6
【答案】C
【解析】解：如图，先标注顶点，直角三角形ABC中，∠C=90°，放置边长分别为a，b，c的正方形，且a=2，b=3，
∴△CEF∽△OME∽△PFN，
∴，
∵MO=2，PN=3，EF=c，
∴OE=c-2，PF=C-3，
∴，
解得：c=5或0，经检验0不符合题意舍去，
∴c=5，
故答案为：C．
10．如图，P是 ABCD内一点，连接P与 ABCD各顶点， EFGH各顶点分别在边AP、BP、CP、DP上，且AE＝2EP，EF∥AB．若△PEF与△PGH的面积和为1．则 ABCD的面积为（ ）
A．4 B．6 C．12 D．18
【答案】D
【解析】解：∵AE＝2EP，
∴，
∵四边形ABCD与四边形EFGH是平行四边形，
∴EF=HG，AB=CD，GH∥CD，
∵EF∥AB，
∴，
∴，
∴，
∵∠DPA＝∠HPE，
∴△PEH∽△PAD，
∴，
同理，
∴ S ABCD=.
故答案为：D.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．已知，若，则 ．
【答案】12
【解析】解：，
由等比性质，得，
所以．
故答案为：12.
12．如图，将△ABC沿直线AD翻折，使点B与AC边上的点E重合，若AB=AD=4，AC=6，则DC= .
【答案】
【解析】解：由折叠性质得：∠BAD=∠DAE，∠ADB-∠ADE，AB=AE=4，
∵AB=AD=4，
∴∠B=∠ADB，
设∠B=∠ADB=x，
在△ABD中，∠BAD=180°-2x，
∵∠EDC=180°-∠ADB-∠ADE=180°-2x，
∴∠BAD=∠EDC，
∵∠BAD=∠DAE，
∴∠DAE=∠EDC，
∵∠C=∠C，
∴△DCE∽△ACD，
∴ ，
所以DC=2
.
故答案为：2
.
13．如图，在⊙O中， ＝ ，AB＝10，BC＝12，D是 上一点，CD＝5，则AD的长为 .
【答案】3＋2
【解析】解：过A作AE⊥BC于E，过C作CF⊥AD于F，则∠AEB=∠CFD=90°，
∵ ＝ ， AB＝10，
∴∠ACB=∠B=∠D，AB=AC=10，
∵AE⊥BC，BC=12，
∴BE=CE=6，
∴ ，
∵∠B=∠D，∠AEB=∠CFD=90°，
∴△ABE∽△CDF，
∴ ，
∵AB=10，CD=5，BE=6，AE=8，
∴ ，
解得：DF=3，CF=4，
在Rt△AFC中，∠AFC=90°，AC=10，CF=4，
则 ，
∴AD=DF+AF=3＋2 .
故答案为：3＋2 .
14．如图，在 ABCD中，AB=6，AD=8，∠ADC的平分线交BC于点F，交AB的延长线于点G，过点C作CE⊥DG，垂足为E，CE=2，则△BFG的周长为 ．
【答案】
【解析】解：∵是∠ADC的平分线
∴
四边形是平行四边形
在中
，
的周长为
的周长为
故答案为：
15．如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，DF过EC的中点G并与BC的延长线交于点F，BE与DF交于点O.若△ADE的面积为4，则四边形BOGC的面积= .
【答案】7
【解析】解：∵点D、E分别是边AB、AC的中点，
∴DE∥BC，DE= BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ，
∵△ADE的面积为4，
∴S△ABC=16，
∵DE∥BC，
∴△ODE∽△OFB，∠EDG=∠F，∠DEG=∠GCF，
∴ ，
又EG=CG，
∴△DEG≌△FCG（AAS），
∴DE=CF，
∴BF=3DE，
∴ ，
∵AD=BD，
∴S△BDE=S△ADE=S，
∵AE=CE=2EG，
∴S△DEG= S△ADE=2，
∵ ，
∴S△ODE= S△BDE=1，
∴S△OEG=S△DEG-S△ODE=1，
∵S四边形DBCE=S△ABC-S△ADE=12，
∴S四边形OBCG=S四边形DBCE-S△BDE-S△OEG=12-4-1=7.
故答案为：7.
16．如图1，一张矩形纸片，点、分别在，上，点，分别在、上，现将该纸片沿，，剪开，拼成如图2所示的矩形，已知：：，，则的长是 ．
【答案】10
【解析】解：如图，设，依题意得，，
在图2中，
∽
，
，
，，
拼成如图2所示的矩形面积，
在图1中
，
原矩形面积
解得
故答案为：10.
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，AD是△ABC的中线，且∠DAC＝∠B，E为AD上一点，CD＝CE．
（1）求证：△ACE∽△BAD：
（2）若AB＝10，BC＝6，试求线段AD的长．
【答案】（1）证明：∵CD＝CE，
∴∠CDE＝∠CED，
∴∠AEC＝∠BDA，
又∵∠DAC＝∠B，
∴△ACE∽△BAD.
（2）解：∵AD是△ABC的中线，
∴CD＝BD＝CE＝ BC＝3，
∵∠DAC＝∠B，
∴∠ACD＝∠BCA，
∴△ACD∽△BCA，
∴ ，
即 ，
∴AC＝3 ，
∵△ACE∽△BAD，
∴ ，即 ，
∴AD＝5 ．
18．已知：如图，在△ABC
中，D在边AB上．
（1）若∠ACD =∠ABC
，求证：AC2 = AD· AB；
（2）若E为CD 中点，∠ACD
=∠ABE，AB
= 3，AC=2，求BD的长．
【答案】（1）证明: 在 和 中，
，∠A=∠A，
∴ ∽ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解: 过C作CF∥BE交AB的延长线于F，
由于E为 中点，
∴BF=BD，∠F=∠ABE，
∵ ，
∴ ，∠A=∠A，
∴ ∽ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，则 ， ，
∴ ，
解得：BD= ．
19．请阅读以下材料，并完成相应的问题：
角平分线分线段成比例定理，如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，则．
下面是这个定理的部分证明过程．
证明：如图2，过点C作．交BA的延长线于点E．…
（1）任务：
请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分；
（2）如图3，已知Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，求△ABD的周长．
【答案】（1）证明：如图2，过C作．交BA的延长线于E，
∵，∴，∠2＝∠ACE，∠1＝∠E，
∵∠1＝∠2，
∴∠ACE＝∠E，∴AE＝AC，
∴．
（2）解：如图3，∵AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，
∴，
∵AD平分∠BAC，
∴，即，
∴，
∴，
∴△ABD的周长．
20．网格中每个小正方形的边长都是1.
（1）将图①中的格点三角形ABC平移，使点A平移至点A`，画出平移后的三角形；
（2）在图②中画一个格点三角形DEF，使△DEF∽△ABC，且相似比为2∶1；
（3）在图③中画一个格点三角形PQR，使△PQR∽△ABC，且相似比为 ∶1.
【答案】（1）解：如图
（2）解：如图（3）解：如图
21．如图， 和 是两个全等的等腰直角三角形， ，E为边 的中点，将 绕点E旋转，旋转过程中，边 与边 相交于点P，边 与边 延长线相交于点Q.
（1）求证： .
（2）若 ， ，求 的长.
【答案】（1）证明： 和 是两个全等的等腰直角三角形，
，
， ，
，
；
（2）解： ，
，
， ， ，
，
，
.
22．如图在锐角 中， ，高 ，两动点 、 分别在 、 上滑动（不包含端点），且 ，以 为边长向下作正方形 ，设 ，正方形 与 公共部分的面积为 ．
（1）如图（1），当正方形 的边 恰好落在 边上时，求 的值．
（2）如图（2），当 落 外部时，求出 与 的函数关系式（写出 的取值范围）并求出 为何值时 最大，最大是多少？
【答案】（1）解：设 与 相交于点 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得， ，
当 时正方形 的边 恰好落在 边上；
（2）解：设 、 分别与 相交于点 、 ，
设 ，则 ，
由∴ ，即 ，
解得， ，
∵矩形 的面积 ，
∴
∴当 时， 最大 .
23．如图1，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O为原点，AB=8，BC=10，E为AB上一点，把△CBE沿CE折叠，使点B恰好落在边上的点D处，
（1）求AE的长；
（2）如图2，将∠CDE绕着点D逆时针旋转一定的角度，使角的一边DE刚好经过点B，另一边与y轴交于点F，求点F的坐标；
（3）在（2）的条件下，在平面内是否存在一点P，使以点C、D、F、P为顶点的四边形是平行四边形．若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请通过计算说明理由．
【答案】（1）由折叠的性质可知CD=CB=10，
∵矩形OABC中，CO=AB=8 ∠AOC=90° ，AO=BC=10，
∴OD=6，
∴AD=10-6=4，
设AE=x，则DE=BE=8-x
∴
∴x=3
∴AE=3
（2）∵∠FDB=90°，
∴∠1+∠2=90°
∵∠OAB=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
∵∠FOD=∠DAB=90°
∵△ODF∽△ABD
∴
∴
∴OF=3
∴F（0，3）；
（3）由题意可得：F（0，3），D（6，0），C（0，8），
如图3，若CF和DF为邻边时，
∵CF∥PD，CF=PD，
∴P（6，5）；
如图4，若DF和CP为对角线，
则CF∥PD，CF=PD，
∴P（6，-5）；
如图5，若CF和DP为对角线，
则DF∥CP，DF=CP，
∴P（-6，11）
综上：点P的坐标为： ， ， .
24．如图，在平面直角坐标系中，以直线x=1为对称轴的抛物线与直线交于A(4，1)，B两点，与y轴交于C(0，－1)，直线与抛物线对称轴l交于点D．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）若AD：BD=3：5，求直线AB的关系式；
（3）在（2）的条件下，在直线AB下方的抛物线上求点P的坐标，使△ABP的面积等于4；
（4）在（2）的条件下，在对称轴上求点Q，使得△ABQ是直角三角形．
【答案】（1）解：由题意列方程组
解得：，，
∴抛物线的函数关系式为
（2）解：作AE⊥l于点E，BF⊥l于点F
由题意，AE＝4－1＝3
∵AD：BD＝3：5
∴AE：BF＝3：5
∴BF＝5
∴点B的横坐标为1－5＝－4
把x＝－4代入，得y＝5
∴B(－4，5)
将A(4，1)，B(－4，5)代入得
解得，m＝3
∴直线AB的关系式为…
（3）解：设P(x，)
作PM∥y轴交直线AB于点M，则M(x，)
∴PM＝
△ABP的面积＝
＝＝4
解得，，
将，分别代入，
解得，
∴(，)，(，)…
（4）解：设
第一种情况：当，过点B作y轴的平行线，过点Q、点A作x轴平行线，分别相交于点G、点N如下图：
易知
∴，即
解得：
∴
第二种情况：当，过点A作y轴的平行线，过点B、点Q作x轴平行线，分别相交于点G、点N，如下图：
∵
∴，即
解得：
∴
第三种情况：当时，过点Q作x轴平行线，过点B、点A作y轴平行线，分别相交于点G、点N，如下图：
∵
∴，即
化简得：
解得：，
∴，．
综上，满足题意的Q点坐标有4个，分别是：，，，．
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1 / 1中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版2022-2023学年九上数学第4章 相似三角形 培优测试卷2
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，若AE∶AC = 3∶4，AD=6，则BD等于（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
（第1题） （第2题） （第3题） （第5题） （第6题）
2．下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，P是斜边上一定点，过点P作直线与一直角边交于点Q使图中出现两个相似三角形，这样的点Q有 ( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．已知点C是线段AB上的一个点，且满足，则下列式子成立的是 （ ）
A．； B．； C．； D．
5．如图，如图，A、B、C、P、Q、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，如果△RPQ∽△ABC，那么点R应是甲、乙、丙、丁四点中的（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．如图，在平行四边形ABCD中，E是BC延长线上一点，AE交CD于点F，且CE=BC，则=（ ）
A． B． C． D．
7．数学兴趣小组的小明想测量教学楼前的一棵树的高度．下午课外活动时他测得一根长为1m的竹竿的影长是0.8m．但当他马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图）．他先测得留在墙壁上的树影高为1.2m，又测得地面的影长为2.6m，请你帮他算一下，下列哪个数字最接近树高（ ）m．
A．3.04 B．4.45 C．4.75 D．3.8
（第7题） （第8题） （第9题） （第10题）
8．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB=AC，D是直线BC上一点，直线AD交⊙O于点E，AE=9，DE=3，则AB的长等于（ ）
A．7 B． C． D．
9．直角三角形中，，三个正方形如图放置，边长分别为，，，已知，，则的值为（ ）
A．4 B． C．5 D．6
10．如图，P是 ABCD内一点，连接P与 ABCD各顶点， EFGH各顶点分别在边AP、BP、CP、DP上，且AE＝2EP，EF∥AB．若△PEF与△PGH的面积和为1．则 ABCD的面积为（ ）
A．4 B．6 C．12 D．18
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．已知，若，则 ．
12．如图，将△ABC沿直线AD翻折，使点B与AC边上的点E重合，若AB=AD=4，AC=6，则DC= .
（第12题） （第13题） （第14题） （第15题）
13．如图，在⊙O中， ＝ ，AB＝10，BC＝12，D是 上一点，CD＝5，则AD的长为 .
14．如图，在 ABCD中，AB=6，AD=8，∠ADC的平分线交BC于点F，交AB的延长线于点G，过点C作CE⊥DG，垂足为E，CE=2，则△BFG的周长为 ．
15．如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，DF过EC的中点G并与BC的延长线交于点F，BE与DF交于点O.若△ADE的面积为4，则四边形BOGC的面积= .
16．如图1，一张矩形纸片，点、分别在，上，点，分别在、上，现将该纸片沿，，剪开，拼成如图2所示的矩形，已知：：，，则的长是 ．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，AD是△ABC的中线，且∠DAC＝∠B，E为AD上一点，CD＝CE．
（1）求证：△ACE∽△BAD：
（2）若AB＝10，BC＝6，试求线段AD的长．
18．已知：如图，在△ABC
中，D在边AB上．
（1）若∠ACD =∠ABC
，求证：AC2 = AD· AB；
（2）若E为CD 中点，∠ACD
=∠ABE，AB
= 3，AC=2，求BD的长．
19．请阅读以下材料，并完成相应的问题：
角平分线分线段成比例定理，如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，则．
下面是这个定理的部分证明过程．
证明：如图2，过点C作．交BA的延长线于点E．…
（1）任务：
请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分；
（2）如图3，已知Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，求△ABD的周长．
20．网格中每个小正方形的边长都是1.
（1）将图①中的格点三角形ABC平移，使点A平移至点A`，画出平移后的三角形；
（2）在图②中画一个格点三角形DEF，使△DEF∽△ABC，且相似比为2∶1；
（3）在图③中画一个格点三角形PQR，使△PQR∽△ABC，且相似比为 ∶1.
21．如图， 和 是两个全等的等腰直角三角形， ，E为边 的中点，将 绕点E旋转，旋转过程中，边 与边 相交于点P，边 与边 延长线相交于点Q.
（1）求证： .
（2）若 ， ，求 的长.
22．如图在锐角 中， ，高 ，两动点 、 分别在 、 上滑动（不包含端点），且 ，以 为边长向下作正方形 ，设 ，正方形 与 公共部分的面积为 ．
（1）如图（1），当正方形 的边 恰好落在 边上时，求 的值．
（2）如图（2），当 落 外部时，求出 与 的函数关系式（写出 的取值范围）并求出 为何值时 最大，最大是多少？
23．如图1，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O为原点，AB=8，BC=10，E为AB上一点，把△CBE沿CE折叠，使点B恰好落在边上的点D处，
（1）求AE的长；
（2）如图2，将∠CDE绕着点D逆时针旋转一定的角度，使角的一边DE刚好经过点B，另一边与y轴交于点F，求点F的坐标；
（3）在（2）的条件下，在平面内是否存在一点P，使以点C、D、F、P为顶点的四边形是平行四边形．若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请通过计算说明理由．
24．如图，在平面直角坐标系中，以直线x=1为对称轴的抛物线与直线交于A(4，1)，B两点，与y轴交于C(0，－1)，直线与抛物线对称轴l交于点D．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）若AD：BD=3：5，求直线AB的关系式；
（3）在（2）的条件下，在直线AB下方的抛物线上求点P的坐标，使△ABP的面积等于4；
（4）在（2）的条件下，在对称轴上求点Q，使得△ABQ是直角三角形．
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