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浙教版2022-2023学年九上数学第4章 相似三角形 尖子生测试卷2
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．-
【答案】A
【解析】∵
∴
∴
故答案为：A.
【分析】根据比例的性质求出比值即可.
2．下列四组线段中，不构成比例线段的一组是 ( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】A、1：2=3：6，即1cm，2cm，3cm，6cm成比例；
B、2：3=4：6，即2cm，3cm，4cm，6cm成比例；
C、，即成比例；
D、四条线段中，任意两条的比都不相等，因而不成比例．
故选D．
3．某一时刻，身高1.6m的小明在阳光下的影长是0.4m.同一时刻同一地点，测得某旗杆的影长是5m，则该旗杆的高度是 （ ）
A．1.25m B．10m C．20m D．8m
【答案】C
【解析】设该旗杆的高度为xm，根据题意得，1.6：0.4=x：5，
解得x=20（m)．
即该旗杆的高度是20m．
故选C．
4．如图，在针孔成像问题中，根据图形尺寸可知像 的长是物AB长的（ ）
A．3倍 B．不知AB的长度，无法计算 C． D．
【答案】C
【解析】解答：如图，作OM⊥AB，ON⊥ ，
∵AB∥ ，∴△OAB∽△ ，∴ ，即 ，∴ = AB．
故选：C．
5．如图，△ABC中，∠B=90°，AB=5，BC=12，将△ABC沿DE折叠，使点C落在AB边上的处，并且，则CD的长是（ ）.
A． B．6 C． D．
【答案】A
【解析】根据题意可知，四边形ECDC’是菱形．先设CD=x，再根据比例线段可求出CD的长．
∵将△ABC沿DE折叠，使点C落在AB上的C’处，
∴△DC’E≌△DCE，
∴∠C’ED=∠CED，∠C’DE=∠CDE，
∵C’D∥BC，
∴∠DEC=∠C’DE，
∴∠C’ED=∠CED=∠C’DE=∠CDE，
∴DC’=EC’=EC=CD，
∴四边形C’ECD是菱形，
又∵C’D∥BC，
∴，
∵
设CD=x，
∴
∴
故选A.
6．如图，取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a、b应满足的条件是（ ）
A．a=b B．a=2b C．a=2b D．a=4b
【答案】B
【解析】对折两次后的小长方形的长为b，宽为a，
∵小长方形与原长方形相似，
∴a:b=b:a，
∴a=2b．
故选B．
7．如图，AB∥CD∥EF，AC与BD相交于点E，若CE=5，CF=4，AE=BC，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解答：设AE=x，则BC=x，
∵EF∥AB，
∴ ，即 ，解得x=20，
即AE=20，
∵CD∥AB，
∴△ECD∽△EAB，
∴ ．
故选D．
8．如图，一天晚上，小颖由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，当她继续往前走到D处时，测得此时影子DE的长刚好是自己的身高，已知小颖的身高为1.5米，那么路灯A的高度AB为（ ）
A．3米 B．4.5米 C．6米 D．8米
【答案】B
【解析】如图：
∵当她继续往前走到D处时，测得此时影子DE的长刚好是自己的身高，
∴DF=DE=1.5m，
∴∠E=∠EAB=45°，
∴AB=BE，
∵MC∥AB，
∴△DCE∽△DBA，
∴，
设AB=x，则BD=x-1.5，
∴，
解得：x=4.5．
∴路灯A的高度AB为4.5m．
故选：B．
9．如图，AD∥BC，∠D＝900，AD＝2，BC＝5，DC＝8.若在边DC上有点P，使△PAD与△PBC相似，则这样的点P有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】∵AD∥BC，∠D=90°∴∠C=∠D=90°∵DC=8，AD=2，BC=5
设PD=x，则PC=8-x；
① 若PD：PC=AD：BC，则△PAD∽△PBC∴，解得：PD=
② 若PD：BC=AD：PC，则△PAD∽△CBP∴，解得：PD=
∴这样的点P存在的个数有3个．故选C．
10．由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示，过点作GD的垂线交AB于点，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：过点I作IM⊥BG于点M，
∵由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD，
∴设AF=BG=CH=DE=a，BF=CG=DH=AE=b，
∴EH=HG=DE-DH=a-b，
∵DG⊥IG，
∴∠HGD+∠HGI=90°，
∵∠HGI+∠IGM=90°，
∴∠IGM=∠HGD，
∵∠IMG=∠DHG=90°，
∴△IMG∽△DHG，
∴
∵
∴，
∴，
∵IM∥AF，
∴△BMI∽△BFA，
∴即
解之：a=2b；
∴AB2=AD2=AF2+BF2=a2+b2=4b2+b2=5b2，
∴，
EH=a-b=2b-b=b
∴.
故答案为：C
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，在△ABC中，点D是边AB上的一点，∠ACD＝∠B，AD＝2，BD＝6，则边AC的长为 ．
【答案】4
【解析】解：∵AD＝2，BD＝6，
∴AB＝8，
∵∠A＝∠A，∠ACD＝∠B，
∴△ADC∽△ACB，
∴＝，
∴AC2＝AD AB＝2×8＝16，
∵AC＞0，
∴AC＝4，
故答案为：4．
12．如图，在中，，，D是的中点，过D点的直线交于点Q，若使与相似，则的长度为 ．
【答案】2或4.5
【解析】解：∵AB=6，D是AB的中点，
∴AD=AB=3，
①若△ADQ∽△ABC，则AD：AB=AQ：AC，
即3：6=AQ：4，
解得：AQ=2；
②若△ADQ∽△ACB，则AD：AC=AQ：AB
即3：4=AQ：6，
解得：AQ=4.5；
∴AQ的长为2或4.5.
故答案为：2或4.5.
13．如图，M是AC的中点，AB＝8，AC＝10，当AN＝ 时，△ABC∽△AMN.
【答案】
【解析】解：
，
，
是
的中点，
，
，
，
，
解得
.
故答案为：
.
14．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，AF平分∠BAC，交DE于点G，交BC于点F．若∠AED＝∠B，且AG：GF＝3：2，则DE：BC＝ ．
【答案】3：5
【解析】解：∵∠DAE＝∠CAB，∠AED＝∠B，
∴△ADE∽△ACB，
∵GA，FA分别是△ADE，△ABC的角平分线，
∴＝（相似三角形的对应角平分线的比等于相似比），
AG：FG＝3：2，
∴AG：AF＝3：5，
∴DE：BC＝3：5.
故答案为：3：5.
15．如图，正方形的边长为10，内部有6个全等的正方形，小正方形的顶点、、、分别落在边、、、上，则的长为 ．
【答案】
【解析】解：如图所示：
正方形ABCD边长为10，
，，
过点G作GP⊥AD，垂足为P，则，
四边形APGB是矩形，
，，
六个大小完全一样的小正方形如图放置在大正方形中，
，
，
∽，
，
，
．
．
同理．
．
，
小正方形的边长为，
．
故答案为：.
16．如图，在△ABC中，4AB=5AC，AD为△ABC的角平分线，点E在BC的延长线上，EF⊥AD于点F，点G在AF上，FG=FD，连接EG交AC于点H.若点H是AC的中点，则 的值为 .
【答案】
【解析】解：已知AD为角平分线，则点D到AB、AC的距离相等，设为h.
∵ ，
∴BD= CD.
如下图，延长AC，在AC的延长线上截取AM=AB，则有AC=4CM.连接DM.
在△ABD与△AMD中，
∴△ABD≌△AMD（SAS），
∴MD=BD=5m.
过点M作MN∥AD，交EG于点N，交DE于点K.
∵MN∥AD，
∴ ，
∴CK= CD，
∴KD= CD.
∴MD=KD，即△DMK为等腰三角形，
∴∠DMK=∠DKM.
由题意，易知△EDG为等腰三角形，且∠1=∠2；
∵MN∥AD，∴∠3=∠4=∠1=∠2，
又∵∠DKM=∠3（对顶角）
∴∠DMK=∠4，
∴DM∥GN，
∴四边形DMNG为平行四边形，
∴MN=DG=2FD.
∵点H为AC中点，AC=4CM，
∴ .
∵MN∥AD，
∴ ，即 ，
∴ .
故答案为： .
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，中，厘米，厘米，点从出发，以每秒2厘米的速度向运动，点从同时出发，以每秒厘米的速度向运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，设运动的时间为．
（1）用含的代数式表示： ， ．
（2）当以，，为顶点的三角形与相似时，求运动时间是多少？
【答案】（1）2t厘米；(16-3t)厘米
（2）解：，
当时，∽，即，解得；
当时，∽，即，解得．
运动时间为秒或4秒．
【解析】解：（1）根据路程＝速度乘以时间得厘米，CQ=3t厘米，则厘米，
故答案为：2t厘米，(16-3t)厘米；
18．小明利用灯光下自己的影子长度来测量路灯的高度．如图，CD和EF是两等高的路灯，相距27m，身高1.5m的小明（AB）站在两路灯之间（D、B、F共线），被两路灯同时照射留在地面的影长BQ=4m，BP=5m．
（1）小明距离路灯多远？
（2）求路灯高度．
【答案】（1）解答：设DB=xm，∵AB∥CD，∴∠QBA=∠QDC，∠QAB=∠QCD，
∴△QAB∽△QCD∴同理可得
∵CD=EF∴∴
∴x=12
即小明距离路灯12m．
（2）由 得
∴CD=6
即路灯高6m．
19．如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC.
（1）求证ΔADE∽ΔABC；
（2）若AD=3，AB=5，求 的值.
【答案】（1）证明：在ΔABC中，
∵AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F
∴∠AFE=∠AGC=90°
∵∠EAF=∠GAC
∴∠AED=∠C
在ΔADE和ΔABC中，
∵∠AED=∠C，∠EAD=∠CAB
∴ΔADE∽ΔABC
（2）解：在ΔAEF和ΔACG中，
∵∠AFE=∠AGC，∠EAF=∠GAC
∴ΔAEF∽ΔAGC
由（1）知ΔADE∽ΔABC
∴
又ΔAEF∽ΔAGC
∴
20．如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上，若AD⊥BC，BC＝30，AD＝20，EF＝ EH．
（1）求证：△AEH∽△ABC；
（2）求矩形EFGH的面积．
【答案】（1）∵四边形EFGH是矩形，
∴EH∥BC，
∴△AEH∽△ABC，
（2）如图，AD交EH于点M，
∵四边形EFGH是矩形，
∴EH∥BC，
∵AD⊥BC，EF＝ EH,
∴AM⊥EH，MD＝EF＝ EH
∵△AEH∽△ABC，
∴ ，即 ，
解得EH＝15，
∴EF＝ EH＝10
所以矩形EFGH的面积＝EH×EF＝15×10＝150．
21．如图，点C、D在线段AB上，且△PCD是等边三角形．∠APB＝120°．
（1）求证：△ACP∽△PDB；
（2）当AC＝4，BD＝9时，试求CD的值．
【答案】（1）证明：∵△PCD为等边三角形，
∴∠PCD＝∠PDC＝60°．
∴∠ACP＝∠PDB＝120°．
∵∠APB＝120°，
∴∠A+∠B＝60°．
∵∠PDB＝120°，
∴∠DPB+∠B＝60°．
∴∠A＝∠DPB．
∴△ACP∽△PDB．
（2）解：由（1）得△ACP∽△PDB，
∴ ，
∵△PCD是等边三角形，
∴PC＝PD＝CD，
∴ ，
∴CD2＝AC BD．
∵AC＝4，BD＝9，
∴CD＝6．
22．如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝2，点D是BC边上的一个动点（不与B、C重合），在AC上取一点E，使∠ADE＝30°．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）设BD＝x，AE＝y，求y关于x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；
（3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．
【答案】（1）证明：∵△ABC是等腰三角形，且∠BAC＝120°，
∴∠ABD＝∠ACB＝30°，
∴∠ABD＝∠ADE＝30°，
∵∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝∠ABD+∠DAB，
∴∠EDC＝∠DAB，
∴△ABD∽△DCE；
（2）解：如图1，∵AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，
过A作AF⊥BC于F，
∴∠AFB＝90°，
∵AB＝2，∠ABF＝30°，
∴AF＝ AB＝1，
∴BF＝ ，
∴BC＝2BF＝2 ，则DC＝2 ﹣x，EC＝2﹣y．
∵△ABD∽△DCE，
∴ ，
∴ ，
化简得：y＝ x+2（0＜x＜2 ）；
（3）解：当AD＝DE时，如图2，
由（1）可知：此时△ABD≌△DCE，则AB＝CD，即2＝2 ﹣x，
将x＝2 ﹣2，代入y＝ x+2．解得：y＝4﹣2 ，即AE＝4﹣2 ，
当AE＝ED时，如图3，
∠EAD＝∠EDA＝30°，∠AED＝120°，∴∠DEC＝60°，∠EDC＝90°，
则ED＝ EC，即y＝ （2﹣y），
解得：y＝ ，即AE＝ ，
当AD＝AE时，∠AED＝∠EDA＝30°，∠EAD＝120°，
此时点D与点B重合，不符合题意，此情况不存在，
∴当△ADE是等腰三角形时，AE＝4﹣2 或 ．
23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD⊥AB于点D．点P从点D 出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止．设运动时间为t秒．
（1）求线段CD的长；
（2）当t为何值时，△CPQ是直角三角形？
（3）是否存在某一时刻，使得PQ分△ACD的面积为1：11？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：在Rt△ABC中，根据勾股定理得，AB＝
∵S△ABC＝ AC BC＝ AB CD，
∴CD＝
（2）解：由（1）知，CD＝ ，
由运动知，CQ＝t，DP＝t，
∴CP＝CD DP＝ t，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＋∠BCD＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠B＋∠BCD＝90°，
∴∠ACD＝∠B，
∵△CPQ与△ABC相似，
①当∠CPQ＝90°时，△CPQ∽△BCA，
∴ ，
∴
∴t＝3
②当∠CQP＝90°时，△CPQ∽△BAC，
∴ ，
∴
∴t＝ ，
即：t为3秒或 秒时，△CPQ与△ABC相似．
（3）解：假设存在，如图所示，
Rt△ACD中，根据勾股定理得，AD＝ ，
过点Q作CE⊥CD于E，
∴QE∥AD，
∴△CEQ∽△CDA，
∴ ，
∴
∴QE＝
∵S△CPQ＝ CP QE＝ （ ）
∴S△ACD＝ AD CD＝ × × ，
∵PQ分△ACD的面积为1：11，
∴①当S△CPQ＝ S△ACD时，
∴ （ t） ＝ × × × ，
∴5t2 24t＋16＝0，
∴t＝ 或4．
②当S△CPD＝ S△ACD时，
∴ （ t） ＝ × × × ，
∴5t2 24t＋176＝0，而△242 4×5×176＝576 3520＜0，
此方程无解，即：此种情况不存在，
综上所述，当t＝ 或4时，PQ分△ACD的面积为1：11．
24．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝8cm，直线EF从点A出发沿AD方向匀速运动，速度是2cm/s，运动过程中始终保持EF∥AC，F交AD于E，交DC于点F，同时，点P从点C出发沿CB方向匀速运动，速度是1cm/s，连接PE、PF，设运动时间t（s）（0＜t＜4）．
（1）求t为何值时，四边形EPCD为矩形；
（2）设△PEF的面积为S（cm2），求出面积S关于时间t的表达式；
（3）在运动过程中，是否存在某一时刻使S△PCF：S矩形ABCD＝1：16？若存在，求出t的值；
（4）是否存在某一时刻，使P在EF的垂直平分线上，若存在，求出t的值：若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：由题意知AE＝2tcm，CP＝tcm，
则DE＝（8﹣2t）cm，
∵四边形EPCD是矩形，
∴DE＝CP，即8﹣2t＝t，
解得t＝，
故当t＝时，四边形EPCD为矩形；
（2）解：∵EF∥AC，
∴△DEF∽△DAC，
∴＝，即＝，
解得：DF＝6﹣t，
则CF＝CD﹣DF＝6﹣（6﹣t）＝tcm，
则△PEF的面积＝S梯形DEPC﹣S△DEF﹣S△PCF＝×（8﹣2t+t）×6﹣×（8﹣2t）×（6﹣t）﹣×t×t＝﹣t2+9t，
即S＝﹣t2+9t（0＜t＜4）；
（3）解：存在，
∵矩形ABCD面积＝6×8＝48（cm2），
∴△PCF的面积＝×48＝3（cm2），
由（2）得，S△PCF＝×t×t
∴t2＝3，
解得：t＝2或-2（舍去），
∴当t＝2时，S△PCF：S矩形ABCD＝1：16．
（4）解：不存在．
理由：当P在EF的垂直平分线上时，PE＝PF，
则有（8﹣2t﹣t）2+62＝（t）2+t2，
解得，t＝4或，
∵0＜t＜4
∴不存在．
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浙教版2022-2023学年九上数学第4章 相似三角形 尖子生测试卷2
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．-
2．下列四组线段中，不构成比例线段的一组是 ( )
A． B． C． D．
3．某一时刻，身高1.6m的小明在阳光下的影长是0.4m.同一时刻同一地点，测得某旗杆的影长是5m，则该旗杆的高度是 （ ）
A．1.25m B．10m C．20m D．8m
4．如图，在针孔成像问题中，根据图形尺寸可知像 的长是物AB长的（ ）
A．3倍 B．不知AB的长度，无法计算 C． D．
（第4题） （第5题） （第6题）
5．如图，△ABC中，∠B=90°，AB=5，BC=12，将△ABC沿DE折叠，使点C落在AB边上的处，并且，则CD的长是（ ）.
A． B．6 C． D．
6．如图，取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a、b应满足的条件是（ ）
A．a=b B．a=2b C．a=2b D．a=4b
7．如图，AB∥CD∥EF，AC与BD相交于点E，若CE=5，CF=4，AE=BC，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
（第7题） （第8题） （第9题） （第10题）
8．如图，一天晚上，小颖由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，当她继续往前走到D处时，测得此时影子DE的长刚好是自己的身高，已知小颖的身高为1.5米，那么路灯A的高度AB为（ ）
A．3米 B．4.5米 C．6米 D．8米
9．如图，AD∥BC，∠D＝900，AD＝2，BC＝5，DC＝8.若在边DC上有点P，使△PAD与△PBC相似，则这样的点P有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示，过点作GD的垂线交AB于点，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，在△ABC中，点D是边AB上的一点，∠ACD＝∠B，AD＝2，BD＝6，则边AC的长为 ．
（第11题） （第12题） （第13题）
12．如图，在中，，，D是的中点，过D点的直线交于点Q，若使与相似，则的长度为 ．
13．如图，M是AC的中点，AB＝8，AC＝10，当AN＝ 时，△ABC∽△AMN.
14．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，AF平分∠BAC，交DE于点G，交BC于点F．若∠AED＝∠B，且AG：GF＝3：2，则DE：BC＝ ．
（第14题） （第15题） （第16题）
15．如图，正方形的边长为10，内部有6个全等的正方形，小正方形的顶点、、、分别落在边、、、上，则的长为 ．
16．如图，在△ABC中，4AB=5AC，AD为△ABC的角平分线，点E在BC的延长线上，EF⊥AD于点F，点G在AF上，FG=FD，连接EG交AC于点H.若点H是AC的中点，则 的值为 .
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，中，厘米，厘米，点从出发，以每秒2厘米的速度向运动，点从同时出发，以每秒厘米的速度向运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，设运动的时间为．
（1）用含的代数式表示： ， ．
（2）当以，，为顶点的三角形与相似时，求运动时间是多少？
18．小明利用灯光下自己的影子长度来测量路灯的高度．如图，CD和EF是两等高的路灯，相距27m，身高1.5m的小明（AB）站在两路灯之间（D、B、F共线），被两路灯同时照射留在地面的影长BQ=4m，BP=5m．
（1）小明距离路灯多远？
（2）求路灯高度．
19．如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC.
（1）求证ΔADE∽ΔABC；
（2）若AD=3，AB=5，求 的值.
20．如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上，若AD⊥BC，BC＝30，AD＝20，EF＝ EH．
（1）求证：△AEH∽△ABC；
（2）求矩形EFGH的面积．
21．如图，点C、D在线段AB上，且△PCD是等边三角形．∠APB＝120°．
（1）求证：△ACP∽△PDB；
（2）当AC＝4，BD＝9时，试求CD的值．
22．如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝2，点D是BC边上的一个动点（不与B、C重合），在AC上取一点E，使∠ADE＝30°．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）设BD＝x，AE＝y，求y关于x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；
（3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．
23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD⊥AB于点D．点P从点D 出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止．设运动时间为t秒．
（1）求线段CD的长；
（2）当t为何值时，△CPQ是直角三角形？
（3）是否存在某一时刻，使得PQ分△ACD的面积为1：11？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由．
24．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝8cm，直线EF从点A出发沿AD方向匀速运动，速度是2cm/s，运动过程中始终保持EF∥AC，F交AD于E，交DC于点F，同时，点P从点C出发沿CB方向匀速运动，速度是1cm/s，连接PE、PF，设运动时间t（s）（0＜t＜4）．
（1）求t为何值时，四边形EPCD为矩形；
（2）设△PEF的面积为S（cm2），求出面积S关于时间t的表达式；
（3）在运动过程中，是否存在某一时刻使S△PCF：S矩形ABCD＝1：16？若存在，求出t的值；
（4）是否存在某一时刻，使P在EF的垂直平分线上，若存在，求出t的值：若不存在，请说明理由．
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