2018-2019学年初中数学浙教版八年级下册第四章平行四边形 章末检测
一、选择题
1．下列四种图案中，不是中心对称图形的为（ ）
A． 中国移动 B． 中国联通
C． 中国网通 D． 中国电信
【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是中心对称图形，故A不符合题意；
B、是中心对称图形，故B不符合题意；
C、是中心对称图形，故C不符合题意；
D、不是中心对称图形，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】把一个图形绕着某一点旋转180°后能与其自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可一一判断得出答案。
2．（2018九上·青岛期中）利用反证法证明“直角三角形至少有一个锐角不小于45°”，应先假设（ ）
A．直角三角形的每个锐角都小于45°
B．直角三角形有一个锐角大于45°
C．直角三角形的每个锐角都大于45°
D．直角三角形有一个锐角小于45°
【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不小于45°”时，应先假设直角三角形的每个锐角都小于45°．
故选：A．
【分析】熟记反证法的步骤，从命题的反面出发假设出结论，直接得出答案即可．
3．如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥AB，E为垂足．如果∠A＝118°，则∠BCE＝（ ）
A．28° B．38° C．62° D．72°
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝180°﹣∠A＝180°﹣118°＝62°，
∵CE⊥AB，
∴∠BCE＝90°﹣∠B＝28°．
故答案为：A．
【分析】根据平行四边形的邻角互补，由∠B＝180°﹣∠A得出∠B的度数，然后根据直角三角形的两锐角互余即可算出 ∠BCE 的度数。
4．如图，∠1，∠2，∠3是五边形ABCDE的3个外角，若∠A+∠B＝220°，则∠1+∠2+∠3＝（ ）
A．140° B．180° C．220° D．320°
【答案】C
【知识点】多边形内角与外角；邻补角
【解析】【解答】解：根据∠A+∠B＝220°，可知∠A的一个邻补角与∠B的一个邻补角的和为360°﹣220°＝140°．
根据多边形外角和为360°，可知∠1+∠2+∠3＝360°﹣140°＝220°．
故答案为：C．
【分析】根据邻补角的性质及∠A+∠B＝220°，可知∠A的一个邻补角与∠B的一个邻补角的和为360°﹣220°＝140°，然后根据任何多边形的外角和都是360°，从而由∠1+∠2+∠3＝360°﹣140即可算出答案。
5．一个多边形的边数增加1，则内角和与外角和增加的度数之和是（ ）
A．60° B．90° C．180° D．360°
【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：由多边形的内角和公式可知：一个多边形边数增加1，则这个多边形内角增加180°；
由任意多边形的外角和是360°可知，外角和增加0°，
则内角和与外角和增加的度数之和是180°．
故答案为：C．
【分析】多边形的内角和随多边形的边数的增加而增大，边数每增加一条，则其内角和就增加180°，而多边形的外角和不会随边数的增加而变化，任何多边形的外角和都是360°，从而得出 一个多边形的边数增加1，则内角和与外角和增加的度数之和 。
6．（2017七上·吉林期末）从六边形的一个顶点出发，可以画出m条对角线，它们将六边形分成n个三角形．则m、n的值分别为（ ）
A．4，3 B．3，3 C．3，4 D．4，4
【答案】C
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】对角线的数量=6﹣3=3条；分成的三角形的数量为n﹣2=4个．故选C．
【分析】从一个n边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数是n﹣3，分成的三角形数是n﹣2．
7．如图，在四边形ABCD中，∠C＝90°，E，F分别为AB，AD的中点，BC＝2，CD＝ ，则EF的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接BD，
∵BC＝2，CD＝ ，∠C＝90°，
∴BD＝ ＝ ，
∵E、F分别为AB、AD的中点，
∴BD＝ EF＝ ，
故答案为：D．
【分析】连接BD，根据勾股定理算出BD的长，然后根据三角形的中位线等于第三边的一半得出答案。
8．已知四边形ABCD，对角线AC与BD交于点O，从下列条件中：①AB∥CD；②AD＝BC；③∠ABC＝∠ADC；④OA＝OC，任取其中两个，以下组合能够判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．①④
【答案】D
【知识点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定
【解析】【解答】解：如图，
以①④作为条件，能够判定四边形ABCD是平行四边形．
理由：∵AB∥CD，
∴∠OAB＝∠OCD，
在△AOB和△COD中，
，
∴△AOB≌△COD（ASA），
∴OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
故答案为：D．
【分析】以①④作为条件，能够判定四边形ABCD是平行四边形,理由如下：根据二直线平行，内错角相等得出∠OAB＝∠OCD，然后利用ASA判断出△AOB≌△COD，根据全等三角形对应边相等得出OB＝OD，然后根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可得出结论：四边形ABCD是平行四边形．
9． ABCD中，AD＝8，∠BAD的平分线交BC于E，∠ADC的平分线交BC于F，且EF＝2，则AB的长是（ ）
A．5 B．3 C．3或5 D．2或3
【答案】C
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：①如图1，
在 ABCD中，∵BC＝AD＝8，BC∥AD，CD＝AB，
∴∠DAE＝∠AEB，∠ADF＝∠DFC，
∵AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，
∴∠BAE＝∠DAE，∠ADF＝∠CDF，
∴∠BAE＝∠AEB，∠CFD＝∠CDF，
∴AB＝BE，CF＝CD，
∵EF＝2，
∴BC＝BE+CF﹣EF＝2AB﹣EF＝8，
∴AB＝5；
②在 ABCD中，
∵BC＝AD＝8，BC∥AD，CD＝AB，
∴∠DAE＝∠AEB，∠ADF＝∠DFC，
∵AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，
∴∠BAE＝∠DAE，∠ADF＝∠CDF，
∴∠BAE＝∠AEB，∠CFD＝∠CDF，
∴AB＝BE，CF＝CD，
∵EF＝2，
∴BC＝BE+CF＝2AB+EF＝8，
∴AB＝3；
综上所述：AB的长为3或5．
故答案为：C．
【分析】 ①如图1，根据平行四边形的对边平行且相等得出BC＝AD＝8，BC∥AD，CD＝AB，根据二直线平行，内错角相等得出∠DAE＝∠AEB，∠ADF＝∠DFC，根据角平分线的定义得出∠BAE＝∠DAE，∠ADF＝∠CDF，故∠BAE＝∠AEB，∠CFD＝∠CDF，根据等角对等边得出AB＝BE，CF＝CD，然后根据BC＝BE+CF﹣EF＝2AB﹣EF列出方程求解算出AB；②根据平行四边形的对边平行且相等得出BC＝AD＝8，BC∥AD，CD＝AB，根据二直线平行，内错角相等得出∠DAE＝∠AEB，∠ADF＝∠DFC，根据角平分线的定义得出∠BAE＝∠DAE，∠ADF＝∠CDF，故∠BAE＝∠AEB，∠CFD＝∠CDF，根据等角对等边得出AB＝BE，CF＝CD，然后根据BC＝BE+CF＝2AB+EF建立方程，求解得出AB的长，综上所述即可得出答案。
10．如图，在 ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若AE＝2，AF＝3， ABCD的周长为20，则 ABCD的面积为（ ）
A．24 B．16 C．8 D．12
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：设BC＝x，
∵ ABCD的周长为20，
∴CD＝10﹣x，
∵ ABCD的面积＝BC AE＝CD AF，
∴2x＝3（10﹣x），
解得x＝6，
∴ ABCD的面积＝BC AE＝2×6＝12．
故答案为：D．
【分析】设BC＝x，根据平行四边形周长的计算方法得出CD＝10﹣x，然后根据平行四边形的面积等于底乘以高，由 ABCD的面积＝BC AE＝CD AF，建立方程，求解得出x的值，进而即可算出答案。
二、填空题
11．如图所示，在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC交BC于E，AF⊥DE，垂足为F，已知∠DAF＝50°，则∠C的度数是 ．
【答案】100°
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵AF⊥DE，
∴∠AFD＝90°，
∵∠DAF＝50°，
∴∠ADF＝90°﹣50°＝40°，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADC＝2∠ADF＝80°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠C+∠ADC＝180°，
∴∠C＝100°
故答案为100°
【分析】根据三角形的内角和得出∠ADF的度数，根据角平分线的定义得出∠ADC＝2∠ADF＝80°，根据平行四边形的对边平行得出AD∥BC，根据二直线平行同旁内角互补得出∠C+∠ADC＝180°，从而即可算出答案。
12．△ABC与 DEFG按如图方式放置，点D、G分别在边AB、AC上，点E、F分别在边BC上，若BE＝DE，CF＝FG，则∠A的大小为 度．
【答案】90
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵BE＝DE，CF＝FG，
∴∠B＝∠BDE，∠C＝∠CGF，
∠DEF＝∠B+∠BDE＝2∠B，同理∠EFG＝2∠C，
∵四边形DEFG是平行四边形，
∴∠DEF+∠EFG＝180°，
∴ （∠DEF+∠EFG）＝∠B+∠C＝90°，
∴∠A＝90°．
故答案为：90．
【分析】根据等边对等角得出∠B＝∠BDE，∠C＝∠CGF，根据三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和，得出∠DEF＝∠B+∠BDE＝2∠B，同理∠EFG＝2∠C，根据平行四边形的邻角互补得出∠DEF+∠EFG＝180°，进而得出∠B+∠C＝90°，根据三角形的内角和即可算出∠A的度数。
13．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝8，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG＝3，则AE的边长为 ．
【答案】
【知识点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵AE为∠DAB的平分线，
∴∠DAE＝∠BAE，
∵DC∥AB，
∴∠BAE＝∠DFA，
∴∠DAE＝∠DFA，
∴AD＝FD，
又F为DC的中点，
∴DF＝CF，
∴AD＝DF＝ DC＝ AB＝4，
在Rt△ADG中，根据勾股定理得：AG＝ ，
则AF＝2AG＝2 ，
∵平行四边形ABCD中，
∴AD∥BC，
∴∠DAF＝∠E，∠ADF＝∠ECF，
在△ADF和△ECF中， ，
∴△ADF≌△ECF（AAS），
∴AF＝EF，
则AE＝2AF＝2×2 ＝4 ，
故答案为：4
【分析】根据角平分线的定义得出∠DAE＝∠BAE，根据平行四边形的对边平行得出DC∥AB，根据二直线平行内错角相等得出∠BAE＝∠DFA，故∠DAE＝∠DFA，根据等角对等边得出AD＝FD，根据线段中点的定义得出DF＝CF=4，故AD=4，在Rt△ADG中，根据勾股定理算出AG的长，根据等腰三角形的三线合一得出AF=2AG，从而得出AG的长度，然后利用AAS判断出△ADF≌△ECF，根据全等三角形对应边相等得出AF＝EF，由AE=2AF即可算出答案。
14．如图，△ABC中，AB＝7cm，BC＝6cm，AC＝5cm，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，则四边形ADEF的周长等于 cm．
【答案】12
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D，E分别是AB，BC的中点，
∴DE∥AC，DE＝ AC＝2.5cm，
同理，EF∥AB，EF＝ AB＝3.5cm，
∴四边形ADEF是平行四边形，
∴四边形ADEF的周长＝2×（2.5+3.5）＝12（cm），
故答案为：12．
【分析】根据三角形的中位线，平行于第三边并且等于第三边的一半得出DE∥AC，DE＝ AC＝2.5cm，EF∥AB，EF＝ AB＝3.5cm，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形得出四边形ADEF是平行四边形，然后根据平行四边形的周长计算方法即可算出答案。
15．如图，点O是 ABCD的对称中心，AD＞AB，点E、F在边AB上，且AB＝2EF，点G、H在边BC边上，且BC＝3GH，则△EOF和△GOH的面积比为 ．
【答案】3:2
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：连接AC、BD，
∵点O是 ABCD的对称中心，
∴AC、BD交于点O，
∴S△AOB＝S△BOC，
∵AB＝2EF，
∴S△EOF＝ S△AOB，
∵BC＝3GH，
∴S△GOH＝S△BOC，
∴S△EOF：S△GOH＝3：2，
故答案为：3：2．
【分析】连接AC、BD，根据平行四边形的对角线互相平分及等底同高的三角形的面积相等得出S△AOB＝S△BOC，再根据同高的三角形的面积之比等于底之比得出S△EOF＝ S△AOB，S△GOH＝S△BOC，故S△EOF：S△GOH＝3：2。
16．如图是由相同的花盆按一定的规律组成的正多边形图案，其中第1个图形一共有6个花盆，第2个图形一共有12个花盆，第3个图形一共有20个花盆，…，则第n个图形中花盆的个数为 ．
【答案】（n+1）（n+2）
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】解：∵第一个图形：三角形每条边上有3盆花，共计32﹣3盆花，
第二个图形：正四边形每条边上有4盆花，共计42﹣4盆花，
第三个图形：正五边形每条边上有5盆花，共计52﹣5盆花，
…
第n个图形：正n边形每条边上有n盆花，共计（n+2）2﹣（n+2）＝（n+1）（n+2）盆花，
故答案为：（n+1）（n+2）．
【分析】探索图形规律的题，通过观察发现，三角形每条边上有3盆花，但三个顶点的三盆花都重复计算了一次，故第一个图案共有（32﹣3）盆花；正四边形每条边上有4盆花，但四个顶点的四盆花都重复计算了一次，故第二个图案共有（42﹣4）盆花；正五边形每条边上有5盆花，但五个顶点的五盆花都重复计算了一次，故第二个图案共有（52﹣5）盆花；…利用发现的规律即可得出通用公式：第n个图形：正n边形每条边上有n盆花，共计（n+2）2﹣（n+2）＝（n+1）（n+2）盆花，从而得出答案。
17．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝8cm，BC＝12cm，M是BC上一点，且BM＝9cm，点E从点A出发以1cm/s的速度向点D运动，点F从点C出发，以3cm/s的速度向点B运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为t，则当以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，t＝ ．
【答案】 或
【知识点】平行四边形的判定；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：①当点F在线段BM上，AE＝FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
则有t＝9+3t﹣12，解得t＝ ，
②当F在线段CM上，AE＝FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
则有t＝12﹣9﹣3t，解得t＝ ，
综上所述，t＝ 或 s时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形．
故答案为： 或
【分析】①当点F在线段BM上，根据路程等于速度乘以时间得出：AE=t，CF=3t，故FM=CF-CM=3t-3,由于AD∥BC,故AE＝FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，从而列出方程，求解即可算出t的值；②当F在线段CM上，根据路程等于速度乘以时间得出：AE=t，CF=3t，故FM=MC-CF=3-3t,由于AD∥BC，故AE＝FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，从而列出方程，求解即可算出t的值,综上锁所述即可得出答案。
18．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，G，H为BC上的点连接DH，EG．若AB＝5cm，BC＝6cm，GH＝3cm，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】6cm2
【知识点】等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接DE，作AF⊥BC于F，
∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE＝ BC＝3，DE∥BC，
∵AB＝AC，AF⊥BC，
∴BF＝ BC＝3，
在Rt△ABF中，AF＝ ＝4，
∴从而可以△ABC的面积＝ ×6×4＝12，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴△ADE的面积＝12× ＝3，
∴四边形DBCE的面积＝12﹣3＝9，
△DOE的面积+△HOG的面积＝ ×3×2＝3，
∴图中阴影部分的面积＝9﹣3＝6（cm2），
故答案为：6cm2．
【分析】连接DE，作AF⊥BC于F，根据三角形中位线定理得出DE＝ BC＝3，DE∥BC，根据等腰三角形的三线合一得出BF＝ BC＝3，在Rt△ABF中，利用勾股定理算出AF的长，从而可以算出△ABC的面积，根据平行于三角形一边的直线，截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得出△ADE∽△ABC，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方得出△ADE的面积，进而算出四边形DBCE的面积，△DOE的面积+△HOG的面积，从而得出阴影部分的面积。
三、解答题
19．用反证法证明（填空）：
两条直线被第三条直线所截．如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．
已知：如图，直线l1，l2被l3所截，∠1+∠2＝180°．
求证：l1∥l2
证明：假设l1 l2，即l1与l2交与相交于一点P．
则∠1+∠2+∠P 180°
所以∠1+∠2 180°，这与 矛盾，故 不成立．
所以 ．
【答案】不平行；＝；＜；∠1+∠2＝180°；假设；结论成立．
【知识点】反证法
【解析】【解答】证明：假设l1不平行l2，即l1与l2交与相交于一点P．则∠1+∠2+∠P＝180°（三角形内角和定理），所以∠1+∠2＜180°，这与∠1+∠2＝180°矛盾，故假设不成立．所以结论l1∥l2成立。
【分析】用反证法证明一个命题，首先假设原命题的结论不成立，从假设出发，经过推理得出和假设矛盾，或与性质，定义，公理，定理矛盾，从而得出假设命题不成立是错误的，即所求证明题成立；故该题首先假设“设l1不平行l2，即l1与l2交与相交于一点P”，那么根据三角形的内角和定理得出“∠1+∠2+∠P＝180°”，故“∠1+∠2＜180°”从而与题设“∠1+∠2=180°”相矛盾，故假设不成立，所以结论“l1∥l2．”成立。
20．如图，以BC为底边的等腰△ABC，点D，E，G分别在BC，AB，AC上，且EG∥BC，DE∥AC，延长GE至点F，使得BE＝BF．
（1）求证：四边形BDEF为平行四边形；
（2）当∠C＝45°，BD＝2时，求D，F两点间的距离．
【答案】（1）证明：∵△ABC是等腰三角形，
∴∠ABC＝∠C，
∵EG∥BC，DE∥AC，
∴∠AEG＝∠ABC＝∠C，四边形CDEG是平行四边形，
∴∠DEG＝∠C，
∵BE＝BF，
∴∠BFE＝∠BEF＝∠AEG＝∠ABC，
∴∠F＝∠DEG，
∴BF∥DE，
∴四边形BDEF为平行四边形
（2）解：∵∠C＝45°，
∴∠ABC＝∠BFE＝∠BEF＝45°，
∴△BDE、△BEF是等腰直角三角形，
∴BF＝BE＝ BD＝ ，
作FM⊥BD于M，连接DF，如图所示：
则△BFM是等腰直角三角形，
∴FM＝BM＝ BF＝1，
∴DM＝3，
在Rt△DFM中，由勾股定理得：DF＝ ＝ ，
即D，F两点间的距离为 ．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）根据等边对等角得出 ∠ABC＝∠C， 根据二直线平行，同位角相等及等量代换得出 ∠AEG＝∠ABC＝∠C，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形得出：四边形CDEG是平行四边形， 根据平行四边形的对角得出 ∠DEG＝∠C， 根据等边对等角及对顶角相等得出 ∠BFE＝∠BEF＝∠AEG＝∠ABC， 故 ∠F＝∠DEG， 根据同位角相等两直线平行得出 BF∥DE， 根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形得出： 四边形BDEF为平行四边形 ；
（2） 首先根据等量代换得出∠ABC＝∠BFE＝∠BEF＝45°， 根据三角形的内角和及等角对等边得出 △BDE、△BEF是等腰直角三角形， 根据等腰直角三角形的性质得出 BF＝BE＝ BD＝ ， 作FM⊥BD于M，连接DF，如图所示： 则△BFM是等腰直角三角形， 根据等腰直角三角形的性质得出 FM＝BM＝ BF＝1， 从而得出DM的长， 在Rt△DFM中 ，根据勾股定理即可算出DF的长，从而得出答案。
21．知识背景：过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将其分成全等的两个部分．
（1）如图①，直线m经过平行四边形ABCD对角线的交点O，则S四边形AEFB S四边形DEFC（填“＞”“＜”“＝”）；
（2）如图②，两个正方形如图所示摆放，O为小正方形对角线的交点，求作过点O的直线将整个图形分成面积相等的两部分；
（3）八个大小相同的正方形如图③所示摆放，求作直线将整个图形分成面积相等的两部分（用三种方法分分割）．
【答案】（1）＝
（2）解，如图，
（3）解：如图，
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：（1）如图①，直线m经过平行四边形ABCD对角线的交点O，则S四边形AEFB＝S四边形DEFC
【分析】（1）根据平行四边形的性质可知：其对角线的交点是其对称中心，根据知识背景 ：过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将其分成全等的两个部分 即可直接得出答案；
（2）再连接下边正方形两对角线，过图形中两正方形对角线交点作直线，根据知识背景，该直线即可将整个图形分成面积相等的两部分 ；
（3）①把左边两个小正方形组合在一起，看成一个矩形，右边的六个小正方形组合在一起看成一个矩形，分别连接两矩形的对角线，过两矩形对角线的交点作直线；②把左上角补上一个小正方形，整个图形就是一个大正方形，过大正方形补的顶点作一条对角线；③把上边两个小正方形组合在一起，看成一个矩形，下边的六个小正方形组合在一起看成一个矩形，分别连接两矩形的对角线，过两矩形对角线的交点作直线。
22．已知：如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在AC上，点G，H在BD上，且AE＝CF，BG＝DH．
（1）若AC＝6，BD＝8，试求AD的取值范围；
（2）若AC＝AD，∠CAD＝50°，试求∠ABC的度数；
（3）求证：四边形EHFG是平行四边形．
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝ AC＝3，OD＝ BD＝4，
∴1＜AD＜7．
（2）解：∵CA＝AD，∠CAD＝50°，
∴∠ADC＝∠ACD＝ （180°﹣50°）＝65°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC＝65°
（3）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∴AE＝CF，BG＝DH，
∴OE＝OF，OG＝OH，
∴四边形EHFG是平行四边形．
【知识点】三角形三边关系；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的对角线互相平分得出OA,OD的长度，然后根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边即可求出AD的取值范围；
（2）根据等边对等角及三角形的内角和得出 ∠ADC＝∠ACD＝ （180°﹣50°）＝65°， 然后根据平行四边形的对角相等得出 ∠ABC 的度数；
（3）根据平行四边形的对角线互相平分得出 OA＝OC，OB＝OD， 然后根据等量减去等量差相等得出 OE＝OF，OG＝OH， 再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可得出结论： 四边形EHFG是平行四边形．
23．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是ts（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．
（1）求证：四边形AEFD是平行四边形；
（2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．
【答案】（1）证明：∵∠B＝90°，∠A＝60°，
∴∠C＝30°，
∴AB＝ AC＝30，
由题意得，CD＝4t，AE＝2t，
∵DF⊥BC，∠C＝30°，
∴DF＝ CD＝2t，
∴DF＝AE，
∵DF∥AE，DF＝AE，
∴四边形AEFD是平行四边形
（2）解：当∠EDF＝90°时，如图①，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠C＝30°，
∴AD＝2AE，即60﹣4t＝2t×2，
解得，t＝ ，
当∠DEF＝90°时，如图②，
∵AD∥EF，
∴DE⊥AC，
∴AE＝2AD，即2t＝2×（60﹣4t），
解得，t＝12，
综上所述，当t＝ 或12时，△DEF为直角三角形．
【知识点】平行线的判定；平行四边形的判定与性质；三角形-动点问题
【解析】【分析】（1） 根据路程等于速度乘以时间得出 CD＝4t，AE＝2t， 根据三角形的内角和得出 ∠C＝30°， 根据含30°的直角三角形的边之间的关系得出 AB＝ AC＝30， DF＝ CD＝2t， 故 DF＝AE， 根据同一平面内垂直同一直线的两条直线互相平行得出 DF∥AE ，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出结论： 四边形AEFD是平行四边形 ；
（2） 根据路程等于速度乘以时间得出 CD＝4t，AE＝2t，则AD=60-4t，分类讨论：① 当∠EDF＝90°时，如图①， △DEF为直角三角形 ，根据二直线平行同位角相等得出 ∠ADE＝∠C＝30°， 根据含30°的直角三角形的边之间的关系得出 AD＝2AE ，从而列出方程，求解即可得出t的值； ② 当∠DEF＝90°时，如图②， △DEF为直角三角形 ，根据平行线的性质得出 DE⊥AC， 根据含30°的直角三角形的边之间的关系得出 AE＝2AD ，从而列出方程，求解即可得出t的值，综上所述即可得出答案。
24．小明家准备装修厨房，打算铺设如图1的正方形地砖，该地砖既是轴对称图形也是中心对称图形，铺设效果如图2所示．经测量图1发现，砖面上四个小正方形的边长都是4cm，AB＝JN＝2cm，中间的多边形CDEFGHIK是正八边形．
（1）求MA的长度；
（2）求正八边形CDEFGHIK的面积；
（3）已知小明家厨房的地面是边长为3.14米的正方形，用该地砖铺设完毕后，最多形成多少个正八边形？（地砖间缝隙的宽度忽略不计）
【答案】（1）解：连接BK和NC，两线的交点为O，
∵四边形BCKN是正方形，
∴∠NOB＝90°，OB＝ON，
∵BN＝4cm，
∴由勾股定理得：BO＝ON＝2 cm，
∵JN＝2cm，
∴AM＝JO＝（2+2 ）cm
（2）解：如图，作小正方形的对角线，组成正方形ORZQ，
则正方形的边长为（2 +4+2 ）cm，即为（4 +4）cm，
所以正八边形CDEFGHIK的面积为S正方形OQZR﹣4S△BOC＝（4 +4）2﹣4× ×2 ×2 ＝（32+32 ）cm2
（3） 解：正方形地砖的边长为：2×（2+2 ）cm+（4 +4）cm＝（8+8 ）cm，
∵3.14米＝314cm，
∴3142÷（8+8 ）2≈264（块）．
∵152＜264＜162
∴沿一条边铺地砖需要地砖15块整砖，加半块砖，
∵每块砖上有一个正八边形，每两块砖之间又形成一个正八边形，
∴这一排可以形成正八边形30个，∴一共可以形成正八边形的总数为302=900。
答：用该地砖铺设完毕后，最多形成900个正八边形．
【知识点】勾股定理；正方形的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1） 连接BK和NC，两线的交点为O， 根据正方形的对角线互相垂直平分得出 ∠NOB＝90°，OB＝ON， 由勾股定理得BO＝ON＝2 cm， 然后根据正方形的对边相等及线段的和差即可算出AM的长度；
（2） 如图，作小正方形的对角线，组成正方形ORZQ， 根据线段的和差得出 正方形ORZQ 的边长，然后根据 正八边形CDEFGHIK的面积为S正方形OQZR﹣4S△BOC 即可算出答案；
（3）首先算出 正方形地砖的边长 ，然后用小明家厨房的地面的面积除以一块地砖的面积即可得出所用地砖的块数，进而算出沿一条边铺地砖需要地砖15块整砖，加半块砖，由于每块砖上有一个正八边形，每两块砖之间又形成一个正八边形，故这一排可以形成正八边形30个，从而得出一共可以形成正八边形的总数。
25．在平行四边形ABCD中，∠ABE＝45°，点E在对角线AC上，BE的延长线交CD于点F，交AD的延长线于点G，过点C作CH⊥AB于点H，交BF于点M．
（1）若BE＝3 ，AE＝ ，求△ABE的面积；
（2）若∠ABC＝3∠EBC．CA＝CB，求证：CM＝FG．
【答案】（1）解：过E作EN⊥AB于N，
∵∠ABE＝45°，
∴△BEN是等腰直角三角形，
∴BN＝EN＝ BE＝3，
∵AE＝ ，
∴AN＝ ＝1，
∴AB＝4，
∴△ABE的面积＝ ×4×3＝6
（2）解：∵∠ABE＝45°，∠ABC＝3∠EBC，
∴∠ABC＝67.5°，
∵CA＝CB，CH⊥AB，
∴∠CAB＝∠CBA＝67.5°，∠BCH＝∠ACH＝22.5°，
∴∠CME＝∠BMH＝∠MBH＝45°，
∴∠CEM＝112.5°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠FDG＝∠BAD＝112.5°，∠GFD＝∠EBA＝45°，
∴∠GFD＝∠CME，∠FDG＝∠MEC，
∵∠BCM＝∠CBM＝22.5°，
∴CM＝BM，
∵∠BEA＝∠EAB＝67.5°，
∴BE＝AB，
∴BE＝CD，
在等腰直角三角形CMF中，
∵∠CMF＝∠AFM＝45°，
∴CM＝CF，
∴BM＝CF，
∴EM＝DF，
在△MEC与△FDG中， ，
∴△MEC≌△FDG（ASA），
∴CM＝FG．
【知识点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理；平行四边形的性质；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1） 过E作EN⊥AB于N， 首先判断出 △BEN是等腰直角三角形， 根据等腰直角三角形的性质得出 BN＝EN＝ BE＝3，根据勾股定理算出AN的长度，进而根据线段的和差算出AB的长，从而利用三角形面积的计算方法即可算出△ABE的面积 ；
（2）首先找出 ∠ABC＝67.5°，根据等边对等角得出 ∠CAB＝∠CBA＝67.5°，根据等腰三角形的三线合一得出∠BCH＝∠ACH＝22.5°， 根据等腰直角三角形的性质及对顶角相等得出 ∠CME＝∠BMH＝∠MBH＝45°，根据三角形的内角和得出 ∠CEM＝112.5° ，根据平行四边形的对边平行得出 CD∥AB， 根据二直线平行，同位角相等得出 ∠FDG＝∠BAD＝112.5°，∠GFD＝∠EBA＝45°， 故 ∠GFD＝∠CME，∠FDG＝∠MEC， 根据等角对等边得出 CM＝BM， BE＝AB， 故 BE＝CD， 在等腰直角三角形CMF中， CM＝CF， 故 BM＝CF， EM＝DF， 从而利用ASA判断出 △MEC≌△FDG ，根据全等三角形对应边相等得出 CM＝FG．
1 / 12018-2019学年初中数学浙教版八年级下册第四章平行四边形 章末检测
一、选择题
1．下列四种图案中，不是中心对称图形的为（ ）
A． 中国移动 B． 中国联通
C． 中国网通 D． 中国电信
2．（2018九上·青岛期中）利用反证法证明“直角三角形至少有一个锐角不小于45°”，应先假设（ ）
A．直角三角形的每个锐角都小于45°
B．直角三角形有一个锐角大于45°
C．直角三角形的每个锐角都大于45°
D．直角三角形有一个锐角小于45°
3．如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥AB，E为垂足．如果∠A＝118°，则∠BCE＝（ ）
A．28° B．38° C．62° D．72°
4．如图，∠1，∠2，∠3是五边形ABCDE的3个外角，若∠A+∠B＝220°，则∠1+∠2+∠3＝（ ）
A．140° B．180° C．220° D．320°
5．一个多边形的边数增加1，则内角和与外角和增加的度数之和是（ ）
A．60° B．90° C．180° D．360°
6．（2017七上·吉林期末）从六边形的一个顶点出发，可以画出m条对角线，它们将六边形分成n个三角形．则m、n的值分别为（ ）
A．4，3 B．3，3 C．3，4 D．4，4
7．如图，在四边形ABCD中，∠C＝90°，E，F分别为AB，AD的中点，BC＝2，CD＝ ，则EF的长为（ ）
A． B． C． D．
8．已知四边形ABCD，对角线AC与BD交于点O，从下列条件中：①AB∥CD；②AD＝BC；③∠ABC＝∠ADC；④OA＝OC，任取其中两个，以下组合能够判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．①④
9． ABCD中，AD＝8，∠BAD的平分线交BC于E，∠ADC的平分线交BC于F，且EF＝2，则AB的长是（ ）
A．5 B．3 C．3或5 D．2或3
10．如图，在 ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若AE＝2，AF＝3， ABCD的周长为20，则 ABCD的面积为（ ）
A．24 B．16 C．8 D．12
二、填空题
11．如图所示，在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC交BC于E，AF⊥DE，垂足为F，已知∠DAF＝50°，则∠C的度数是 ．
12．△ABC与 DEFG按如图方式放置，点D、G分别在边AB、AC上，点E、F分别在边BC上，若BE＝DE，CF＝FG，则∠A的大小为 度．
13．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝8，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG＝3，则AE的边长为 ．
14．如图，△ABC中，AB＝7cm，BC＝6cm，AC＝5cm，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，则四边形ADEF的周长等于 cm．
15．如图，点O是 ABCD的对称中心，AD＞AB，点E、F在边AB上，且AB＝2EF，点G、H在边BC边上，且BC＝3GH，则△EOF和△GOH的面积比为 ．
16．如图是由相同的花盆按一定的规律组成的正多边形图案，其中第1个图形一共有6个花盆，第2个图形一共有12个花盆，第3个图形一共有20个花盆，…，则第n个图形中花盆的个数为 ．
17．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝8cm，BC＝12cm，M是BC上一点，且BM＝9cm，点E从点A出发以1cm/s的速度向点D运动，点F从点C出发，以3cm/s的速度向点B运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为t，则当以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，t＝ ．
18．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，G，H为BC上的点连接DH，EG．若AB＝5cm，BC＝6cm，GH＝3cm，则图中阴影部分的面积为 ．
三、解答题
19．用反证法证明（填空）：
两条直线被第三条直线所截．如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．
已知：如图，直线l1，l2被l3所截，∠1+∠2＝180°．
求证：l1∥l2
证明：假设l1 l2，即l1与l2交与相交于一点P．
则∠1+∠2+∠P 180°
所以∠1+∠2 180°，这与 矛盾，故 不成立．
所以 ．
20．如图，以BC为底边的等腰△ABC，点D，E，G分别在BC，AB，AC上，且EG∥BC，DE∥AC，延长GE至点F，使得BE＝BF．
（1）求证：四边形BDEF为平行四边形；
（2）当∠C＝45°，BD＝2时，求D，F两点间的距离．
21．知识背景：过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将其分成全等的两个部分．
（1）如图①，直线m经过平行四边形ABCD对角线的交点O，则S四边形AEFB S四边形DEFC（填“＞”“＜”“＝”）；
（2）如图②，两个正方形如图所示摆放，O为小正方形对角线的交点，求作过点O的直线将整个图形分成面积相等的两部分；
（3）八个大小相同的正方形如图③所示摆放，求作直线将整个图形分成面积相等的两部分（用三种方法分分割）．
22．已知：如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在AC上，点G，H在BD上，且AE＝CF，BG＝DH．
（1）若AC＝6，BD＝8，试求AD的取值范围；
（2）若AC＝AD，∠CAD＝50°，试求∠ABC的度数；
（3）求证：四边形EHFG是平行四边形．
23．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是ts（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．
（1）求证：四边形AEFD是平行四边形；
（2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．
24．小明家准备装修厨房，打算铺设如图1的正方形地砖，该地砖既是轴对称图形也是中心对称图形，铺设效果如图2所示．经测量图1发现，砖面上四个小正方形的边长都是4cm，AB＝JN＝2cm，中间的多边形CDEFGHIK是正八边形．
（1）求MA的长度；
（2）求正八边形CDEFGHIK的面积；
（3）已知小明家厨房的地面是边长为3.14米的正方形，用该地砖铺设完毕后，最多形成多少个正八边形？（地砖间缝隙的宽度忽略不计）
25．在平行四边形ABCD中，∠ABE＝45°，点E在对角线AC上，BE的延长线交CD于点F，交AD的延长线于点G，过点C作CH⊥AB于点H，交BF于点M．
（1）若BE＝3 ，AE＝ ，求△ABE的面积；
（2）若∠ABC＝3∠EBC．CA＝CB，求证：CM＝FG．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是中心对称图形，故A不符合题意；
B、是中心对称图形，故B不符合题意；
C、是中心对称图形，故C不符合题意；
D、不是中心对称图形，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】把一个图形绕着某一点旋转180°后能与其自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可一一判断得出答案。
2．【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不小于45°”时，应先假设直角三角形的每个锐角都小于45°．
故选：A．
【分析】熟记反证法的步骤，从命题的反面出发假设出结论，直接得出答案即可．
3．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝180°﹣∠A＝180°﹣118°＝62°，
∵CE⊥AB，
∴∠BCE＝90°﹣∠B＝28°．
故答案为：A．
【分析】根据平行四边形的邻角互补，由∠B＝180°﹣∠A得出∠B的度数，然后根据直角三角形的两锐角互余即可算出 ∠BCE 的度数。
4．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角；邻补角
【解析】【解答】解：根据∠A+∠B＝220°，可知∠A的一个邻补角与∠B的一个邻补角的和为360°﹣220°＝140°．
根据多边形外角和为360°，可知∠1+∠2+∠3＝360°﹣140°＝220°．
故答案为：C．
【分析】根据邻补角的性质及∠A+∠B＝220°，可知∠A的一个邻补角与∠B的一个邻补角的和为360°﹣220°＝140°，然后根据任何多边形的外角和都是360°，从而由∠1+∠2+∠3＝360°﹣140即可算出答案。
5．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：由多边形的内角和公式可知：一个多边形边数增加1，则这个多边形内角增加180°；
由任意多边形的外角和是360°可知，外角和增加0°，
则内角和与外角和增加的度数之和是180°．
故答案为：C．
【分析】多边形的内角和随多边形的边数的增加而增大，边数每增加一条，则其内角和就增加180°，而多边形的外角和不会随边数的增加而变化，任何多边形的外角和都是360°，从而得出 一个多边形的边数增加1，则内角和与外角和增加的度数之和 。
6．【答案】C
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】对角线的数量=6﹣3=3条；分成的三角形的数量为n﹣2=4个．故选C．
【分析】从一个n边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数是n﹣3，分成的三角形数是n﹣2．
7．【答案】D
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接BD，
∵BC＝2，CD＝ ，∠C＝90°，
∴BD＝ ＝ ，
∵E、F分别为AB、AD的中点，
∴BD＝ EF＝ ，
故答案为：D．
【分析】连接BD，根据勾股定理算出BD的长，然后根据三角形的中位线等于第三边的一半得出答案。
8．【答案】D
【知识点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定
【解析】【解答】解：如图，
以①④作为条件，能够判定四边形ABCD是平行四边形．
理由：∵AB∥CD，
∴∠OAB＝∠OCD，
在△AOB和△COD中，
，
∴△AOB≌△COD（ASA），
∴OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
故答案为：D．
【分析】以①④作为条件，能够判定四边形ABCD是平行四边形,理由如下：根据二直线平行，内错角相等得出∠OAB＝∠OCD，然后利用ASA判断出△AOB≌△COD，根据全等三角形对应边相等得出OB＝OD，然后根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可得出结论：四边形ABCD是平行四边形．
9．【答案】C
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：①如图1，
在 ABCD中，∵BC＝AD＝8，BC∥AD，CD＝AB，
∴∠DAE＝∠AEB，∠ADF＝∠DFC，
∵AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，
∴∠BAE＝∠DAE，∠ADF＝∠CDF，
∴∠BAE＝∠AEB，∠CFD＝∠CDF，
∴AB＝BE，CF＝CD，
∵EF＝2，
∴BC＝BE+CF﹣EF＝2AB﹣EF＝8，
∴AB＝5；
②在 ABCD中，
∵BC＝AD＝8，BC∥AD，CD＝AB，
∴∠DAE＝∠AEB，∠ADF＝∠DFC，
∵AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，
∴∠BAE＝∠DAE，∠ADF＝∠CDF，
∴∠BAE＝∠AEB，∠CFD＝∠CDF，
∴AB＝BE，CF＝CD，
∵EF＝2，
∴BC＝BE+CF＝2AB+EF＝8，
∴AB＝3；
综上所述：AB的长为3或5．
故答案为：C．
【分析】 ①如图1，根据平行四边形的对边平行且相等得出BC＝AD＝8，BC∥AD，CD＝AB，根据二直线平行，内错角相等得出∠DAE＝∠AEB，∠ADF＝∠DFC，根据角平分线的定义得出∠BAE＝∠DAE，∠ADF＝∠CDF，故∠BAE＝∠AEB，∠CFD＝∠CDF，根据等角对等边得出AB＝BE，CF＝CD，然后根据BC＝BE+CF﹣EF＝2AB﹣EF列出方程求解算出AB；②根据平行四边形的对边平行且相等得出BC＝AD＝8，BC∥AD，CD＝AB，根据二直线平行，内错角相等得出∠DAE＝∠AEB，∠ADF＝∠DFC，根据角平分线的定义得出∠BAE＝∠DAE，∠ADF＝∠CDF，故∠BAE＝∠AEB，∠CFD＝∠CDF，根据等角对等边得出AB＝BE，CF＝CD，然后根据BC＝BE+CF＝2AB+EF建立方程，求解得出AB的长，综上所述即可得出答案。
10．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：设BC＝x，
∵ ABCD的周长为20，
∴CD＝10﹣x，
∵ ABCD的面积＝BC AE＝CD AF，
∴2x＝3（10﹣x），
解得x＝6，
∴ ABCD的面积＝BC AE＝2×6＝12．
故答案为：D．
【分析】设BC＝x，根据平行四边形周长的计算方法得出CD＝10﹣x，然后根据平行四边形的面积等于底乘以高，由 ABCD的面积＝BC AE＝CD AF，建立方程，求解得出x的值，进而即可算出答案。
11．【答案】100°
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵AF⊥DE，
∴∠AFD＝90°，
∵∠DAF＝50°，
∴∠ADF＝90°﹣50°＝40°，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADC＝2∠ADF＝80°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠C+∠ADC＝180°，
∴∠C＝100°
故答案为100°
【分析】根据三角形的内角和得出∠ADF的度数，根据角平分线的定义得出∠ADC＝2∠ADF＝80°，根据平行四边形的对边平行得出AD∥BC，根据二直线平行同旁内角互补得出∠C+∠ADC＝180°，从而即可算出答案。
12．【答案】90
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵BE＝DE，CF＝FG，
∴∠B＝∠BDE，∠C＝∠CGF，
∠DEF＝∠B+∠BDE＝2∠B，同理∠EFG＝2∠C，
∵四边形DEFG是平行四边形，
∴∠DEF+∠EFG＝180°，
∴ （∠DEF+∠EFG）＝∠B+∠C＝90°，
∴∠A＝90°．
故答案为：90．
【分析】根据等边对等角得出∠B＝∠BDE，∠C＝∠CGF，根据三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和，得出∠DEF＝∠B+∠BDE＝2∠B，同理∠EFG＝2∠C，根据平行四边形的邻角互补得出∠DEF+∠EFG＝180°，进而得出∠B+∠C＝90°，根据三角形的内角和即可算出∠A的度数。
13．【答案】
【知识点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵AE为∠DAB的平分线，
∴∠DAE＝∠BAE，
∵DC∥AB，
∴∠BAE＝∠DFA，
∴∠DAE＝∠DFA，
∴AD＝FD，
又F为DC的中点，
∴DF＝CF，
∴AD＝DF＝ DC＝ AB＝4，
在Rt△ADG中，根据勾股定理得：AG＝ ，
则AF＝2AG＝2 ，
∵平行四边形ABCD中，
∴AD∥BC，
∴∠DAF＝∠E，∠ADF＝∠ECF，
在△ADF和△ECF中， ，
∴△ADF≌△ECF（AAS），
∴AF＝EF，
则AE＝2AF＝2×2 ＝4 ，
故答案为：4
【分析】根据角平分线的定义得出∠DAE＝∠BAE，根据平行四边形的对边平行得出DC∥AB，根据二直线平行内错角相等得出∠BAE＝∠DFA，故∠DAE＝∠DFA，根据等角对等边得出AD＝FD，根据线段中点的定义得出DF＝CF=4，故AD=4，在Rt△ADG中，根据勾股定理算出AG的长，根据等腰三角形的三线合一得出AF=2AG，从而得出AG的长度，然后利用AAS判断出△ADF≌△ECF，根据全等三角形对应边相等得出AF＝EF，由AE=2AF即可算出答案。
14．【答案】12
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D，E分别是AB，BC的中点，
∴DE∥AC，DE＝ AC＝2.5cm，
同理，EF∥AB，EF＝ AB＝3.5cm，
∴四边形ADEF是平行四边形，
∴四边形ADEF的周长＝2×（2.5+3.5）＝12（cm），
故答案为：12．
【分析】根据三角形的中位线，平行于第三边并且等于第三边的一半得出DE∥AC，DE＝ AC＝2.5cm，EF∥AB，EF＝ AB＝3.5cm，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形得出四边形ADEF是平行四边形，然后根据平行四边形的周长计算方法即可算出答案。
15．【答案】3:2
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：连接AC、BD，
∵点O是 ABCD的对称中心，
∴AC、BD交于点O，
∴S△AOB＝S△BOC，
∵AB＝2EF，
∴S△EOF＝ S△AOB，
∵BC＝3GH，
∴S△GOH＝S△BOC，
∴S△EOF：S△GOH＝3：2，
故答案为：3：2．
【分析】连接AC、BD，根据平行四边形的对角线互相平分及等底同高的三角形的面积相等得出S△AOB＝S△BOC，再根据同高的三角形的面积之比等于底之比得出S△EOF＝ S△AOB，S△GOH＝S△BOC，故S△EOF：S△GOH＝3：2。
16．【答案】（n+1）（n+2）
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】解：∵第一个图形：三角形每条边上有3盆花，共计32﹣3盆花，
第二个图形：正四边形每条边上有4盆花，共计42﹣4盆花，
第三个图形：正五边形每条边上有5盆花，共计52﹣5盆花，
…
第n个图形：正n边形每条边上有n盆花，共计（n+2）2﹣（n+2）＝（n+1）（n+2）盆花，
故答案为：（n+1）（n+2）．
【分析】探索图形规律的题，通过观察发现，三角形每条边上有3盆花，但三个顶点的三盆花都重复计算了一次，故第一个图案共有（32﹣3）盆花；正四边形每条边上有4盆花，但四个顶点的四盆花都重复计算了一次，故第二个图案共有（42﹣4）盆花；正五边形每条边上有5盆花，但五个顶点的五盆花都重复计算了一次，故第二个图案共有（52﹣5）盆花；…利用发现的规律即可得出通用公式：第n个图形：正n边形每条边上有n盆花，共计（n+2）2﹣（n+2）＝（n+1）（n+2）盆花，从而得出答案。
17．【答案】 或
【知识点】平行四边形的判定；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：①当点F在线段BM上，AE＝FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
则有t＝9+3t﹣12，解得t＝ ，
②当F在线段CM上，AE＝FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
则有t＝12﹣9﹣3t，解得t＝ ，
综上所述，t＝ 或 s时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形．
故答案为： 或
【分析】①当点F在线段BM上，根据路程等于速度乘以时间得出：AE=t，CF=3t，故FM=CF-CM=3t-3,由于AD∥BC,故AE＝FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，从而列出方程，求解即可算出t的值；②当F在线段CM上，根据路程等于速度乘以时间得出：AE=t，CF=3t，故FM=MC-CF=3-3t,由于AD∥BC，故AE＝FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，从而列出方程，求解即可算出t的值,综上锁所述即可得出答案。
18．【答案】6cm2
【知识点】等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接DE，作AF⊥BC于F，
∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE＝ BC＝3，DE∥BC，
∵AB＝AC，AF⊥BC，
∴BF＝ BC＝3，
在Rt△ABF中，AF＝ ＝4，
∴从而可以△ABC的面积＝ ×6×4＝12，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴△ADE的面积＝12× ＝3，
∴四边形DBCE的面积＝12﹣3＝9，
△DOE的面积+△HOG的面积＝ ×3×2＝3，
∴图中阴影部分的面积＝9﹣3＝6（cm2），
故答案为：6cm2．
【分析】连接DE，作AF⊥BC于F，根据三角形中位线定理得出DE＝ BC＝3，DE∥BC，根据等腰三角形的三线合一得出BF＝ BC＝3，在Rt△ABF中，利用勾股定理算出AF的长，从而可以算出△ABC的面积，根据平行于三角形一边的直线，截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得出△ADE∽△ABC，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方得出△ADE的面积，进而算出四边形DBCE的面积，△DOE的面积+△HOG的面积，从而得出阴影部分的面积。
19．【答案】不平行；＝；＜；∠1+∠2＝180°；假设；结论成立．
【知识点】反证法
【解析】【解答】证明：假设l1不平行l2，即l1与l2交与相交于一点P．则∠1+∠2+∠P＝180°（三角形内角和定理），所以∠1+∠2＜180°，这与∠1+∠2＝180°矛盾，故假设不成立．所以结论l1∥l2成立。
【分析】用反证法证明一个命题，首先假设原命题的结论不成立，从假设出发，经过推理得出和假设矛盾，或与性质，定义，公理，定理矛盾，从而得出假设命题不成立是错误的，即所求证明题成立；故该题首先假设“设l1不平行l2，即l1与l2交与相交于一点P”，那么根据三角形的内角和定理得出“∠1+∠2+∠P＝180°”，故“∠1+∠2＜180°”从而与题设“∠1+∠2=180°”相矛盾，故假设不成立，所以结论“l1∥l2．”成立。
20．【答案】（1）证明：∵△ABC是等腰三角形，
∴∠ABC＝∠C，
∵EG∥BC，DE∥AC，
∴∠AEG＝∠ABC＝∠C，四边形CDEG是平行四边形，
∴∠DEG＝∠C，
∵BE＝BF，
∴∠BFE＝∠BEF＝∠AEG＝∠ABC，
∴∠F＝∠DEG，
∴BF∥DE，
∴四边形BDEF为平行四边形
（2）解：∵∠C＝45°，
∴∠ABC＝∠BFE＝∠BEF＝45°，
∴△BDE、△BEF是等腰直角三角形，
∴BF＝BE＝ BD＝ ，
作FM⊥BD于M，连接DF，如图所示：
则△BFM是等腰直角三角形，
∴FM＝BM＝ BF＝1，
∴DM＝3，
在Rt△DFM中，由勾股定理得：DF＝ ＝ ，
即D，F两点间的距离为 ．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）根据等边对等角得出 ∠ABC＝∠C， 根据二直线平行，同位角相等及等量代换得出 ∠AEG＝∠ABC＝∠C，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形得出：四边形CDEG是平行四边形， 根据平行四边形的对角得出 ∠DEG＝∠C， 根据等边对等角及对顶角相等得出 ∠BFE＝∠BEF＝∠AEG＝∠ABC， 故 ∠F＝∠DEG， 根据同位角相等两直线平行得出 BF∥DE， 根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形得出： 四边形BDEF为平行四边形 ；
（2） 首先根据等量代换得出∠ABC＝∠BFE＝∠BEF＝45°， 根据三角形的内角和及等角对等边得出 △BDE、△BEF是等腰直角三角形， 根据等腰直角三角形的性质得出 BF＝BE＝ BD＝ ， 作FM⊥BD于M，连接DF，如图所示： 则△BFM是等腰直角三角形， 根据等腰直角三角形的性质得出 FM＝BM＝ BF＝1， 从而得出DM的长， 在Rt△DFM中 ，根据勾股定理即可算出DF的长，从而得出答案。
21．【答案】（1）＝
（2）解，如图，
（3）解：如图，
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：（1）如图①，直线m经过平行四边形ABCD对角线的交点O，则S四边形AEFB＝S四边形DEFC
【分析】（1）根据平行四边形的性质可知：其对角线的交点是其对称中心，根据知识背景 ：过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将其分成全等的两个部分 即可直接得出答案；
（2）再连接下边正方形两对角线，过图形中两正方形对角线交点作直线，根据知识背景，该直线即可将整个图形分成面积相等的两部分 ；
（3）①把左边两个小正方形组合在一起，看成一个矩形，右边的六个小正方形组合在一起看成一个矩形，分别连接两矩形的对角线，过两矩形对角线的交点作直线；②把左上角补上一个小正方形，整个图形就是一个大正方形，过大正方形补的顶点作一条对角线；③把上边两个小正方形组合在一起，看成一个矩形，下边的六个小正方形组合在一起看成一个矩形，分别连接两矩形的对角线，过两矩形对角线的交点作直线。
22．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝ AC＝3，OD＝ BD＝4，
∴1＜AD＜7．
（2）解：∵CA＝AD，∠CAD＝50°，
∴∠ADC＝∠ACD＝ （180°﹣50°）＝65°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC＝65°
（3）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∴AE＝CF，BG＝DH，
∴OE＝OF，OG＝OH，
∴四边形EHFG是平行四边形．
【知识点】三角形三边关系；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的对角线互相平分得出OA,OD的长度，然后根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边即可求出AD的取值范围；
（2）根据等边对等角及三角形的内角和得出 ∠ADC＝∠ACD＝ （180°﹣50°）＝65°， 然后根据平行四边形的对角相等得出 ∠ABC 的度数；
（3）根据平行四边形的对角线互相平分得出 OA＝OC，OB＝OD， 然后根据等量减去等量差相等得出 OE＝OF，OG＝OH， 再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可得出结论： 四边形EHFG是平行四边形．
23．【答案】（1）证明：∵∠B＝90°，∠A＝60°，
∴∠C＝30°，
∴AB＝ AC＝30，
由题意得，CD＝4t，AE＝2t，
∵DF⊥BC，∠C＝30°，
∴DF＝ CD＝2t，
∴DF＝AE，
∵DF∥AE，DF＝AE，
∴四边形AEFD是平行四边形
（2）解：当∠EDF＝90°时，如图①，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠C＝30°，
∴AD＝2AE，即60﹣4t＝2t×2，
解得，t＝ ，
当∠DEF＝90°时，如图②，
∵AD∥EF，
∴DE⊥AC，
∴AE＝2AD，即2t＝2×（60﹣4t），
解得，t＝12，
综上所述，当t＝ 或12时，△DEF为直角三角形．
【知识点】平行线的判定；平行四边形的判定与性质；三角形-动点问题
【解析】【分析】（1） 根据路程等于速度乘以时间得出 CD＝4t，AE＝2t， 根据三角形的内角和得出 ∠C＝30°， 根据含30°的直角三角形的边之间的关系得出 AB＝ AC＝30， DF＝ CD＝2t， 故 DF＝AE， 根据同一平面内垂直同一直线的两条直线互相平行得出 DF∥AE ，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出结论： 四边形AEFD是平行四边形 ；
（2） 根据路程等于速度乘以时间得出 CD＝4t，AE＝2t，则AD=60-4t，分类讨论：① 当∠EDF＝90°时，如图①， △DEF为直角三角形 ，根据二直线平行同位角相等得出 ∠ADE＝∠C＝30°， 根据含30°的直角三角形的边之间的关系得出 AD＝2AE ，从而列出方程，求解即可得出t的值； ② 当∠DEF＝90°时，如图②， △DEF为直角三角形 ，根据平行线的性质得出 DE⊥AC， 根据含30°的直角三角形的边之间的关系得出 AE＝2AD ，从而列出方程，求解即可得出t的值，综上所述即可得出答案。
24．【答案】（1）解：连接BK和NC，两线的交点为O，
∵四边形BCKN是正方形，
∴∠NOB＝90°，OB＝ON，
∵BN＝4cm，
∴由勾股定理得：BO＝ON＝2 cm，
∵JN＝2cm，
∴AM＝JO＝（2+2 ）cm
（2）解：如图，作小正方形的对角线，组成正方形ORZQ，
则正方形的边长为（2 +4+2 ）cm，即为（4 +4）cm，
所以正八边形CDEFGHIK的面积为S正方形OQZR﹣4S△BOC＝（4 +4）2﹣4× ×2 ×2 ＝（32+32 ）cm2
（3） 解：正方形地砖的边长为：2×（2+2 ）cm+（4 +4）cm＝（8+8 ）cm，
∵3.14米＝314cm，
∴3142÷（8+8 ）2≈264（块）．
∵152＜264＜162
∴沿一条边铺地砖需要地砖15块整砖，加半块砖，
∵每块砖上有一个正八边形，每两块砖之间又形成一个正八边形，
∴这一排可以形成正八边形30个，∴一共可以形成正八边形的总数为302=900。
答：用该地砖铺设完毕后，最多形成900个正八边形．
【知识点】勾股定理；正方形的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1） 连接BK和NC，两线的交点为O， 根据正方形的对角线互相垂直平分得出 ∠NOB＝90°，OB＝ON， 由勾股定理得BO＝ON＝2 cm， 然后根据正方形的对边相等及线段的和差即可算出AM的长度；
（2） 如图，作小正方形的对角线，组成正方形ORZQ， 根据线段的和差得出 正方形ORZQ 的边长，然后根据 正八边形CDEFGHIK的面积为S正方形OQZR﹣4S△BOC 即可算出答案；
（3）首先算出 正方形地砖的边长 ，然后用小明家厨房的地面的面积除以一块地砖的面积即可得出所用地砖的块数，进而算出沿一条边铺地砖需要地砖15块整砖，加半块砖，由于每块砖上有一个正八边形，每两块砖之间又形成一个正八边形，故这一排可以形成正八边形30个，从而得出一共可以形成正八边形的总数。
25．【答案】（1）解：过E作EN⊥AB于N，
∵∠ABE＝45°，
∴△BEN是等腰直角三角形，
∴BN＝EN＝ BE＝3，
∵AE＝ ，
∴AN＝ ＝1，
∴AB＝4，
∴△ABE的面积＝ ×4×3＝6
（2）解：∵∠ABE＝45°，∠ABC＝3∠EBC，
∴∠ABC＝67.5°，
∵CA＝CB，CH⊥AB，
∴∠CAB＝∠CBA＝67.5°，∠BCH＝∠ACH＝22.5°，
∴∠CME＝∠BMH＝∠MBH＝45°，
∴∠CEM＝112.5°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠FDG＝∠BAD＝112.5°，∠GFD＝∠EBA＝45°，
∴∠GFD＝∠CME，∠FDG＝∠MEC，
∵∠BCM＝∠CBM＝22.5°，
∴CM＝BM，
∵∠BEA＝∠EAB＝67.5°，
∴BE＝AB，
∴BE＝CD，
在等腰直角三角形CMF中，
∵∠CMF＝∠AFM＝45°，
∴CM＝CF，
∴BM＝CF，
∴EM＝DF，
在△MEC与△FDG中， ，
∴△MEC≌△FDG（ASA），
∴CM＝FG．
【知识点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理；平行四边形的性质；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1） 过E作EN⊥AB于N， 首先判断出 △BEN是等腰直角三角形， 根据等腰直角三角形的性质得出 BN＝EN＝ BE＝3，根据勾股定理算出AN的长度，进而根据线段的和差算出AB的长，从而利用三角形面积的计算方法即可算出△ABE的面积 ；
（2）首先找出 ∠ABC＝67.5°，根据等边对等角得出 ∠CAB＝∠CBA＝67.5°，根据等腰三角形的三线合一得出∠BCH＝∠ACH＝22.5°， 根据等腰直角三角形的性质及对顶角相等得出 ∠CME＝∠BMH＝∠MBH＝45°，根据三角形的内角和得出 ∠CEM＝112.5° ，根据平行四边形的对边平行得出 CD∥AB， 根据二直线平行，同位角相等得出 ∠FDG＝∠BAD＝112.5°，∠GFD＝∠EBA＝45°， 故 ∠GFD＝∠CME，∠FDG＝∠MEC， 根据等角对等边得出 CM＝BM， BE＝AB， 故 BE＝CD， 在等腰直角三角形CMF中， CM＝CF， 故 BM＝CF， EM＝DF， 从而利用ASA判断出 △MEC≌△FDG ，根据全等三角形对应边相等得出 CM＝FG．
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