2017-2018学年数学浙教版九年级下册1.1.3 锐角三角函数—特殊角的三角函数值的计算 同步练习
一、2017-2018学年数学浙教版九年级下册1.1.3锐角三角函数—特殊角的三角函数值的计算同步练习
1．sin30°的值是（ ）
A． B． C． D．1
2．cos60° 的值等于（ ）
A． B． C． D．
3．计算6tan45° -2sin30°的结果是（ ）
A．4 B．4 C．5 D．5
4．在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，则sin A的值等于（ ）
A． B． C． D．1
5．点M(-sin 60°，cos 60°)关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
6．计算sin245°+cos30°·tan60°，其结果是（ ）
A．2 B．1 C． D．
7．如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC= AB,则sinB= .
8．在Rt△ABC中，∠C=90°，若sin A= ，则∠B的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
9．在Rt△ABC中，2sin (α+20°)= ，则锐角α的度数是（ ）
A．60° B．80° C．40° D．以上都不对
10．若 tan(α+10°)=1，则锐角α的度数是（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
11．在△ABC中，若 +(1-tanB)2=0，则∠C的度数是（ ）
A．45° B．60° C．75° D．105°
12．如图,在△ABC中,AC=1,AB=2,∠BAC=60°,求BC的长.
13．若α为锐角，化简 + .
14．计算下面各题：
（1）cos 60°-tan 45°+sin 30°;
（2） -tan245°.
15．根据已知条件，判断△ABC的形状：
（1）在△ABC中,若 + =0,判断△ABC的形状;
（2）已知a=3,且(4tan45°-b)2+ =0,判断以a,b,c为边组成的三角形的形状.
16．先化简,再求值:
÷ ,其中x=2(tan45°-cos30°).
17．计算:|- |+ sin 45°+tan 60°- - +(π-3)0.
18．根据要求，解答下列问题：
（1）已知直线l1的函数表达式为y=x，请直接写出过原点且与l1垂直的直线l2的函数表达式.
（2）如图所示，过原点的直线l3向上的方向与x轴的正方向所成的角为30°.
①求直线l3的函数表达式；
②把直线l3绕原点O按逆时针方向旋转90°得到直线l4，求直线l4的函数表达式.
（3）分别观察(1)(2)中的两个函数表达式，请猜想：当两直线垂直时，它们的函数表达式中自变量的系数之间有何关系 请根据猜想结论直接写出过原点且与直线y=- x垂直的直线l5的函数表达式.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：sin30°=．
故答案为：A．
【分析】直接根据特殊角的三角函数值进行计算即可．
2．【答案】A
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：cos60°=
故答案为：A．
【分析】直接根据特殊角的三角函数值进行计算即可．
3．【答案】D
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：6tan45° -2sin30°=6×1-2×=5.
故答案为：D。
【分析】根据特殊角的三角函数值代入进行计算即可。
4．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：在△ABC中，∵∠C=90°，AC=BC，
∴∠A=∠B=45°，
∴sin A=sin 45°=
故答案为：B。
【分析】由在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，可知△ABC是等腰直角三角形，则容易推得∠A=∠B=45°，再根据特殊角的三角函数值即可得出答案。
5．【答案】B
【知识点】点的坐标；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：因为点M的横坐标：-sin 60°=-<0，
点M的纵坐标：cos 60°=>0，
所以点M（-，）在第二象限。
故答案为：B。
【分析】根据特殊角的三角函数值，写出点M的坐标，再依据每个象限的横坐标和纵坐标的特点，判断点M在哪个象限即可。
6．【答案】A
【知识点】实数的运算；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：sin245°+cos30°·tan60°=+=
故答案为：A。
【分析】根据特殊角的三角形函数值代入求值即可。
7．【答案】
【知识点】特殊角的三角函数值；解直角三角形
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中,∠C=90°,BC= AB,
所以sin A=,
则∠A=30°,
所以∠B=90°-∠A=90°-30°=60°。
则
故答案为：
【分析】在直角三角形中，根据三角函数的正弦值的定义可得sinA的值为，由特殊角的三角函数的值可推得∠A的度数；再根据直角三角形的两个锐角互补可知∠B的度数，从而解出答案。
8．【答案】C
【知识点】特殊角的三角函数值；解直角三角形
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，若sin A=，则∠A=30°，
所以∠B=90°-∠A=90°-30°=60°。
故答案为：C。
【分析】根据特殊角的三角函数值即可求得∠A=30°，再由∠B=90°-∠A即可求得。
9．【答案】C
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，2sin (α+20°)= ，
则sin (α+20°)=，
所以α+20°=60°，
即α=40°。
故答案为：C。
【分析】由2sin (α+20°)= ，sin (α+20°)=，根据特殊角的三角函数值，即可得到α+20°=60°，从而求出α的值。
10．【答案】A
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：因为 tan(α+10°)=1，
所以tan(α+10°)=，
所以α+10°=30°，
则α=20°。
故答案为：A。
【分析】由 tan(α+10°)=1，可得tan(α+10°)=，再根据30度角的对应的正切值是，则可得α=20°。
11．【答案】C
【知识点】特殊角的三角函数值；非负数之和为0
【解析】【解答】解：∵若 | cosA-| +(1-tanB)2=0，
∴cosA-=0，1-tanB=0，
∴cosA=，tanB=1
∴∠A=60°，∠B=45°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-60°-45°=75°.
故答案为：C。
【分析】根据绝对值和平方数的非负性，则cosA-=0，1-tanB=0，从而可求得∠A，∠B的度数；由∠C=180°-∠A-∠B即可求得∠C的度数。
12．【答案】解：过点C作CD⊥AB于D,在Rt△ADC中,AD=AC·cosA=1×cos60°= ,CD=AC·sinA=1×sin60°= ,在Rt△BDC中,BD=AB-AD=2- = ,∴BC= = = = .
【知识点】特殊角的三角函数值；解直角三角形
【解析】【分析】因为题中并没有给出“△ABC是直角三角形”这个条件，所以可以构造直角三角形，过C作CD⊥AB于D,在Rt△ADC中,AC已知，∠BAC=60°,从而可求得AD，CD；在Rt△BDC中,BD=AB-AD，由勾股定理即可求出BC的长度。
13．【答案】解：原式= + =(1-sinα)+sinα=1.
【知识点】同角三角函数的关系；算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【分析】化简二次根式，需要将二次根式内的代数式化成完全平方公式，去根号后，先加绝对值符号，根据算术平方根的非负性化简即可；其中，。
14．【答案】（1）解:原式= -1+ =0
（2）解:原式= -12=1-1=0.
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值代入即可解答。
15．【答案】（1）解:∵ + =0,∴sinA= ,cosB= .∴∠A=30°,∠B=60°.∴∠C=180°-30°-60°=90°,∴△ABC是直角三角形.
（2）解：∵(4tan45°-b)2+ =0,∴4tan45°-b=0,3+ b-c=0.∴b=4,c=5.又∵a2+b2=9+16=25=c2,∴以a,b,c为边组成的三角形是直角三角形.
【知识点】勾股定理的逆定理；特殊角的三角函数值；偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【分析】（1）根据绝对值和平方数的非负性，可得sinA和cosB的值，从而求得∠A与∠B的度数，可由∠C=180°-∠A-∠B，求得∠C，再判断△ABC的形状。
（2）根据平方数和算术平方根的非负性，可得b，c的值，由边的长度，根据勾股定理的逆定理，判断△ABC是否是直角三角形。
16．【答案】解:∵x=2(tan45°-cos30°)=2 =2- ,
∴原式= · =- =- = = .
【知识点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据45°的正切值和30°的余弦值，求得x的值；由分式的运算化简分式，并将x的代入即可出得答案。
17．【答案】解:原式= + × + -(-3)-2 +1= +1+ +3-2 +1=5.
【知识点】实数的运算；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】比较典型的计算题，考查特殊角的三角函数值，实数的绝对值，负整数指数幂，0指数幂。
18．【答案】（1）解：根据题意得y=-x
（2）解：①设直线l3的函数表达式为y=k1x(k1≠0)，∵过原点的直线l3向上的方向与x轴的正方向所成的角为30°，且直线过一、三象限，∴k1=tan30°= ，∴直线l3的函数表达式为y= x.
②∵l3与l4的夹角是90°，∴l4与x轴的夹角是60°，设l4的函数表达式为y=k2x(k2≠0)，由题意知直线l4过二、四象限，∴k2=-tan60°=- ，∴直线l4的函数表达式为y=- x.
（3）解：通过观察(1)(2)中的两个函数表达式，可知当两直线互相垂直时，它们的函数表达式中自变量的系数互为负倒数关系，∴过原点且与直线y=- x垂直的直线l5的函数表达式为y=5x.
【知识点】正比例函数的图象和性质；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）因为直线y=x是第一象限和第三象限的角平分线，则与直线y=x垂直的直线必定是第二象限和第三象限的角平分线，所以答案为y=-x；
（2）①可设直线l3的函数表达式为y=k1x，直线上取一点（x，y），因为点（x，y）在第一、三象限，则xy>0，容易得到k1==tan30°，从而求得k1的值；
②与①同理，在直线l4上取一点（x，y），因为点（x，y）在第二、四象限，则xy<0，容易得到k2=-=tan60°，从而求得k2的值；
（3）根据（1）和（2）的解答过程，可得互相垂直的两条直线的正比例系数的乘积为-1，如（1）中的1×（-1）=-1，（2）中的，
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一、2017-2018学年数学浙教版九年级下册1.1.3锐角三角函数—特殊角的三角函数值的计算同步练习
1．sin30°的值是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：sin30°=．
故答案为：A．
【分析】直接根据特殊角的三角函数值进行计算即可．
2．cos60° 的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：cos60°=
故答案为：A．
【分析】直接根据特殊角的三角函数值进行计算即可．
3．计算6tan45° -2sin30°的结果是（ ）
A．4 B．4 C．5 D．5
【答案】D
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：6tan45° -2sin30°=6×1-2×=5.
故答案为：D。
【分析】根据特殊角的三角函数值代入进行计算即可。
4．在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，则sin A的值等于（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：在△ABC中，∵∠C=90°，AC=BC，
∴∠A=∠B=45°，
∴sin A=sin 45°=
故答案为：B。
【分析】由在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，可知△ABC是等腰直角三角形，则容易推得∠A=∠B=45°，再根据特殊角的三角函数值即可得出答案。
5．点M(-sin 60°，cos 60°)关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】点的坐标；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：因为点M的横坐标：-sin 60°=-<0，
点M的纵坐标：cos 60°=>0，
所以点M（-，）在第二象限。
故答案为：B。
【分析】根据特殊角的三角函数值，写出点M的坐标，再依据每个象限的横坐标和纵坐标的特点，判断点M在哪个象限即可。
6．计算sin245°+cos30°·tan60°，其结果是（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】A
【知识点】实数的运算；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：sin245°+cos30°·tan60°=+=
故答案为：A。
【分析】根据特殊角的三角形函数值代入求值即可。
7．如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC= AB,则sinB= .
【答案】
【知识点】特殊角的三角函数值；解直角三角形
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中,∠C=90°,BC= AB,
所以sin A=,
则∠A=30°,
所以∠B=90°-∠A=90°-30°=60°。
则
故答案为：
【分析】在直角三角形中，根据三角函数的正弦值的定义可得sinA的值为，由特殊角的三角函数的值可推得∠A的度数；再根据直角三角形的两个锐角互补可知∠B的度数，从而解出答案。
8．在Rt△ABC中，∠C=90°，若sin A= ，则∠B的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】C
【知识点】特殊角的三角函数值；解直角三角形
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，若sin A=，则∠A=30°，
所以∠B=90°-∠A=90°-30°=60°。
故答案为：C。
【分析】根据特殊角的三角函数值即可求得∠A=30°，再由∠B=90°-∠A即可求得。
9．在Rt△ABC中，2sin (α+20°)= ，则锐角α的度数是（ ）
A．60° B．80° C．40° D．以上都不对
【答案】C
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，2sin (α+20°)= ，
则sin (α+20°)=，
所以α+20°=60°，
即α=40°。
故答案为：C。
【分析】由2sin (α+20°)= ，sin (α+20°)=，根据特殊角的三角函数值，即可得到α+20°=60°，从而求出α的值。
10．若 tan(α+10°)=1，则锐角α的度数是（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
【答案】A
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：因为 tan(α+10°)=1，
所以tan(α+10°)=，
所以α+10°=30°，
则α=20°。
故答案为：A。
【分析】由 tan(α+10°)=1，可得tan(α+10°)=，再根据30度角的对应的正切值是，则可得α=20°。
11．在△ABC中，若 +(1-tanB)2=0，则∠C的度数是（ ）
A．45° B．60° C．75° D．105°
【答案】C
【知识点】特殊角的三角函数值；非负数之和为0
【解析】【解答】解：∵若 | cosA-| +(1-tanB)2=0，
∴cosA-=0，1-tanB=0，
∴cosA=，tanB=1
∴∠A=60°，∠B=45°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-60°-45°=75°.
故答案为：C。
【分析】根据绝对值和平方数的非负性，则cosA-=0，1-tanB=0，从而可求得∠A，∠B的度数；由∠C=180°-∠A-∠B即可求得∠C的度数。
12．如图,在△ABC中,AC=1,AB=2,∠BAC=60°,求BC的长.
【答案】解：过点C作CD⊥AB于D,在Rt△ADC中,AD=AC·cosA=1×cos60°= ,CD=AC·sinA=1×sin60°= ,在Rt△BDC中,BD=AB-AD=2- = ,∴BC= = = = .
【知识点】特殊角的三角函数值；解直角三角形
【解析】【分析】因为题中并没有给出“△ABC是直角三角形”这个条件，所以可以构造直角三角形，过C作CD⊥AB于D,在Rt△ADC中,AC已知，∠BAC=60°,从而可求得AD，CD；在Rt△BDC中,BD=AB-AD，由勾股定理即可求出BC的长度。
13．若α为锐角，化简 + .
【答案】解：原式= + =(1-sinα)+sinα=1.
【知识点】同角三角函数的关系；算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【分析】化简二次根式，需要将二次根式内的代数式化成完全平方公式，去根号后，先加绝对值符号，根据算术平方根的非负性化简即可；其中，。
14．计算下面各题：
（1）cos 60°-tan 45°+sin 30°;
（2） -tan245°.
【答案】（1）解:原式= -1+ =0
（2）解:原式= -12=1-1=0.
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值代入即可解答。
15．根据已知条件，判断△ABC的形状：
（1）在△ABC中,若 + =0,判断△ABC的形状;
（2）已知a=3,且(4tan45°-b)2+ =0,判断以a,b,c为边组成的三角形的形状.
【答案】（1）解:∵ + =0,∴sinA= ,cosB= .∴∠A=30°,∠B=60°.∴∠C=180°-30°-60°=90°,∴△ABC是直角三角形.
（2）解：∵(4tan45°-b)2+ =0,∴4tan45°-b=0,3+ b-c=0.∴b=4,c=5.又∵a2+b2=9+16=25=c2,∴以a,b,c为边组成的三角形是直角三角形.
【知识点】勾股定理的逆定理；特殊角的三角函数值；偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【分析】（1）根据绝对值和平方数的非负性，可得sinA和cosB的值，从而求得∠A与∠B的度数，可由∠C=180°-∠A-∠B，求得∠C，再判断△ABC的形状。
（2）根据平方数和算术平方根的非负性，可得b，c的值，由边的长度，根据勾股定理的逆定理，判断△ABC是否是直角三角形。
16．先化简,再求值:
÷ ,其中x=2(tan45°-cos30°).
【答案】解:∵x=2(tan45°-cos30°)=2 =2- ,
∴原式= · =- =- = = .
【知识点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据45°的正切值和30°的余弦值，求得x的值；由分式的运算化简分式，并将x的代入即可出得答案。
17．计算:|- |+ sin 45°+tan 60°- - +(π-3)0.
【答案】解:原式= + × + -(-3)-2 +1= +1+ +3-2 +1=5.
【知识点】实数的运算；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】比较典型的计算题，考查特殊角的三角函数值，实数的绝对值，负整数指数幂，0指数幂。
18．根据要求，解答下列问题：
（1）已知直线l1的函数表达式为y=x，请直接写出过原点且与l1垂直的直线l2的函数表达式.
（2）如图所示，过原点的直线l3向上的方向与x轴的正方向所成的角为30°.
①求直线l3的函数表达式；
②把直线l3绕原点O按逆时针方向旋转90°得到直线l4，求直线l4的函数表达式.
（3）分别观察(1)(2)中的两个函数表达式，请猜想：当两直线垂直时，它们的函数表达式中自变量的系数之间有何关系 请根据猜想结论直接写出过原点且与直线y=- x垂直的直线l5的函数表达式.
【答案】（1）解：根据题意得y=-x
（2）解：①设直线l3的函数表达式为y=k1x(k1≠0)，∵过原点的直线l3向上的方向与x轴的正方向所成的角为30°，且直线过一、三象限，∴k1=tan30°= ，∴直线l3的函数表达式为y= x.
②∵l3与l4的夹角是90°，∴l4与x轴的夹角是60°，设l4的函数表达式为y=k2x(k2≠0)，由题意知直线l4过二、四象限，∴k2=-tan60°=- ，∴直线l4的函数表达式为y=- x.
（3）解：通过观察(1)(2)中的两个函数表达式，可知当两直线互相垂直时，它们的函数表达式中自变量的系数互为负倒数关系，∴过原点且与直线y=- x垂直的直线l5的函数表达式为y=5x.
【知识点】正比例函数的图象和性质；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）因为直线y=x是第一象限和第三象限的角平分线，则与直线y=x垂直的直线必定是第二象限和第三象限的角平分线，所以答案为y=-x；
（2）①可设直线l3的函数表达式为y=k1x，直线上取一点（x，y），因为点（x，y）在第一、三象限，则xy>0，容易得到k1==tan30°，从而求得k1的值；
②与①同理，在直线l4上取一点（x，y），因为点（x，y）在第二、四象限，则xy<0，容易得到k2=-=tan60°，从而求得k2的值；
（3）根据（1）和（2）的解答过程，可得互相垂直的两条直线的正比例系数的乘积为-1，如（1）中的1×（-1）=-1，（2）中的，
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