【精品解析】2018-2019学年数学浙教版九年级上册3.5 圆周角(2) 同步练习

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名称 【精品解析】2018-2019学年数学浙教版九年级上册3.5 圆周角(2) 同步练习
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科目 数学
更新时间 2018-10-22 09:29:29

文档简介

2018-2019学年数学浙教版九年级上册3.5 圆周角(2) 同步练习
一、选择题
1.(2017·绿园模拟)如图,BD是⊙O的直径,∠CBD=30°,则∠A的度数为(  )
A.30° B.45° C.60° D.75°
2.如图,在⊙O中,直径CD⊥弦AB,若∠C=30°,则∠BOD的度数是(  )
A.30° B.40° C.50° D.60°
3.如图,AB是⊙O的直径,点C,D在⊙O上,若∠DCB=110°,则∠AED的度数为(  )
A.15° B.20° C.25° D.30°
4.如图,AB是⊙O的直径,C,D是⊙O上位于AB异侧的两点.下列四个角中,一定与∠ACD互余的角是(  )
A.∠ADC B.∠ABD C.∠BAC D.∠BAD
5.如图,OA,OC是⊙O的半径,点B在⊙O上,若AB∥OC,∠BCO=21°,则∠AOC的度数是(  )
A.42° B.21° C.84° D.60°
6.如图,AB是⊙O的直径,CD是弦,且AB∥CD,若AB=8,∠ABC=30°,则弦AD的长为(  )
A. B. C. D.8
7.如图,半径为5的⊙A中,弦BC,ED所对的圆心角分别是∠BAC,∠EAD,已知DE=6,∠BAC+∠EAD=180°,则弦BC的长等于(  )
A. B. C.8 D.6
8.(2018·遵义模拟)如图,A,B,C,D是⊙O上的四个点,B是弧AC的中点,M是半径OD上任意一点.若∠BDC=40°,则∠AMB的度数不可能是(  )
A.45° B.60° C.75° D.85°
二、填空题
9.如图,点A,B,C,D分别在⊙O上, ,若∠AOB=40°,则∠ADC的大小是   度.
10.如图,AB为△ADC的外接圆⊙O的直径,若∠BAD=50°,则∠ACD=   °.
11.如图,点A、B、C都在⊙O上,OC⊥OB,点A在劣弧BC上,且OA=AB,则∠ABC=   .
12.如图,已知AB是⊙O的直径,∠D=42°,则∠CAB的度数为   .
13.⊙O是等边三角形ABC的外接圆,点D是⊙O上一点,则∠BDC =   ;
14.如图,BC为⊙O的弦,OA⊥BC交⊙O于点A,∠AOB=70°,则∠ADC=   .
15.如图,⊙O是△ABC的外接圆,AO⊥BC于点F,D为 的中点,且 的度数为70°则∠BAF=   度
三、解答题
16.如图,点A、B、C、D、E都在⊙O上,AC平分∠BAD,且AB∥CE,求证:AD=CE.
17.如图,CD为⊙O直径,以C点为圆心,CO为半径作弧,交⊙O于A、B两点,求证:AD=BD=BA.
18.如图,在⊙O中, ,∠ACB=60°,
求证∠AOB=∠BOC=∠COA.
19.如图,△ABC中,AB=AC,以AB为直径作⊙O,交BC于点D,交CA的延长线于点E,连接AD,DE.
(1)求证:D是BC的中点;
(2)若DE=3,BD-AD=2,求⊙O的半径.
20.如图,点B,C为⊙O上一动点,过点B作BE∥AC,交⊙O于点E,点D为射线BC上一动点,且AC平分∠BAD,连接CE.
(1)求证:AD∥EC;
(2)连接EA,若BC=6,则当CD=   时,四边形EBCA是矩形.
21.已知:如图,在△ABC中,BC=AC=6,以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D,DE⊥AC,垂足为点E.
(1)求证:点D是AB的中点;
(2)求点O到直线DE的距离.
22.如图,已知ED为☉O的直径且ED=4,点A(不与点E,D重合)为☉O上一个动点,线段AB经过点E,且EA=EB,F为☉O上一点,∠FEB=90°,BF的延长线交AD的延长线于点C.
(1)求证:△EFB≌△ADE;
(2)当点A在☉O上移动时,直接回答四边形FCDE的最大面积为多少.
答案解析部分
1.【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解:∵BD是⊙O的直径,∠CBD=30°,
∴∠BCD=90°,
∴∠D=90°﹣30°=60°,
∴∠A=∠D=60°.
故选C.
【分析】先求出∠D的度数,再由圆周角定理即可得出结论.
2.【答案】D
【知识点】垂径定理;圆周角定理
【解析】【解答】如图,连接AO,
∵∠C=30°,
∴∠AOD=60°,
∵直径CD⊥弦AB,
∴ ,
∴∠BOD=∠AOD =60°,
故答案为:D
【分析】如图,连接AO,根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出∠AOD=60°,根据吹经定理得出弧AD=弧BD,根据等弧所对的圆心角相等得出∠BOD=∠AOD =60°。
3.【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】连接AC,如图,
∵AB为直径,
∴∠ACB=90°,


故答案为:B.
【分析】连接AC,如图,根据直径所对的圆周角是直角得出∠ACB=90°,根据角的和差,由 ∠ACD=∠DCB ∠ACB算出 ∠ACD的度数,再根据同弧所对的圆周角相等得出∠AED=∠ACD=20° 。
4.【答案】D
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解:连接BC,如图所示:
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=90°,
∵∠BCD=∠BAD,
∴∠ACD+∠BAD=90°,
答案为:D.
【分析】由圆周角定理及其推论得∠ACB=∠ACD+∠BCD=90°,∠BCD=∠BAD,进而∠ACD+∠BAD=90°.
5.【答案】A
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】详解:∵AB∥OC,
∴∠ABC=∠BCO=21°,
∵∠ABC与∠AOC是同弧所对的圆周角与圆心角,
∴∠AOC=2∠ABC=42°.
故答案为:A
【分析】根据二直线平行内错角相等得出∠ABC=∠BCO=21°,根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半得出∠AOC=2∠ABC=42°.
6.【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】连接BD,
∵AB∥CD,
∴∠BAD=∠ADC,
∵∠ADC=∠ABC,∠ABC=30°,
∴∠ADC=30°,
∴∠BAD=30°,
∵AB是⊙O的直径,AB=8,
∴∠ADB=90°,∴BD= AB=4,
∴ AD= =4 ,
故答案为:B.
【分析】连接BD,根据二直线平行,内错角相等得出∠BAD=∠ADC,根据同弧所对的圆周角相等得出∠ADC=∠ABC=30 ,故∠BAD=30°,根据直径所对的圆周角是直角得出∠ADB=90°,根据含30 直角三角形的边之间的关系得出BD的长,然后根据勾股定理即可算出AD的长。
7.【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】延长CA,交⊙A于点F,并连接BF,
∵∠BAC+∠BAF=180°,∠BAC+∠EAD=180°,
∴∠BAF=∠DAE,
∴BF=DE=6,
∵CF是直径,
∴∠ABF=90°,CF=2×5=10,
∴BC= .
故答案为:C.
【分析】延长CA,交⊙A于点F,并连接BF,根据同角的补角相等得出∠BAF=∠DAE,根据同圆中相等的圆心角所对的弦相等得出BF=DE=6,根据直径所对的圆周角是直角得出∠ABF=90°,根据勾股定理即可算出答案。
8.【答案】D
【知识点】三角形的外角性质;圆周角定理
【解析】【解答】解:如图,连接OA,OB
∵B是弧AC的中点,∴∠AOB=2∠BDC=80°.又∵M是OD上一点,∴∠AMB≤∠AOB=80°.则不符合条件的只有85°.故答案为:D.
【分析】连接OA,OB,根据等弧所对的圆周角与圆心角之间的关系得出∠AOB=2∠BDC=80°根据三角形外角的定理可以得出∠AMB≤∠AOB=80°,从而得出判断。
9.【答案】20
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】详解:∵ = ,∴∠ADC= ∠AOB= ×40°=20°.
故答案为:20
【分析】根据等弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可直接得出答案。
10.【答案】40
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】连接BD,如图,
∵AB为△ADC的外接圆⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,
∴∠ABD=90°﹣∠BAD=90°﹣50°=40°,
∴∠ACD=∠ABD=40°,
故答案为:40
【分析】连接BD,如图,根据直径所对的圆周角是直角得出∠ADB=90°,根据三角形的内角和得出∠ABD的度数,根据同弧所对的圆周角相等得出∠ACD的度数。
11.【答案】15°
【知识点】等边三角形的判定与性质;圆周角定理
【解析】【解答】解:∵OA=OB,OA=AB,
∴OA=OB=AB,
即△OAB是等边三角形,
∴∠AOB=60°,
∵OC⊥OB,
∴∠COB=90°,
∴∠COA=90°-60°=30°,
∴∠ABC=15°,
故答案为:15°
【分析】根据三边相等的三角形是等边三角形得出△OAB是等边三角形,根据等边三角形的每一个内角都是60 得出∠AOB=60°,根据垂直的定义及角的和差得出∠COA的度数,再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出∠ABC的度数。
12.【答案】48°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解:∵AB是⊙O的直径,∠D=42°,
∴∠B=∠D=42°,∠ACB=90°,
∴∠CAB=90°-42°=48°.
故答案为:48°
【分析】根据直径所对的圆周角是直角得出∠ACB=90°,根据同弧所对的圆周角相等得出∠B=∠D=42°,根据三角形的内角和得出∠CAB的度数。
13.【答案】60°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】∵⊙O是等边三角形ABC的外接圆,∴∠A=∠ABC=∠ACB=60°,∴∠BDC=∠A=60°.故答案为:60°
【分析】根据等边三角形的性质得出∠A=60 ,根据同弧所对的圆周角相等得出∠BDC=∠A=60°。
14.【答案】35°
【知识点】垂径定理;圆周角定理
【解析】【解答】∵A、B、C、D是⊙O上的四点,OA⊥BC,
∴弧AC=弧AB (垂径定理),
∴∠ADC= (等弧所对的圆周角是圆心角的一半);
又∠AOB=70°,
∴∠ADC=35°.
故答案为:35°
【分析】根据吹经定理得出弧AC=弧AB ,根据等弧所对的圆周角是圆心角的一半得出∠ADC= ∠AOB=35°。
15.【答案】20
【知识点】圆心角、弧、弦的关系;圆周角定理
【解析】【解答】连结OC,如图,
∵D为 的中点,
∴ = ,
∵ 的度数为70°,
∴ 的度数为140°,
∴∠AOC=140°,
∴∠ABC= ∠AOC=70°,
∵AO⊥BC,
∴∠AFB=90°,
∴∠BAF=90° 70°=20°,
故答案为:20°
【分析】连结OC,如图,根据弧的中点的定义得出弧AD=弧CD,进而得出弧AC的度数,根据弧的度数等于其所对的圆心角的度数得出∠AOC=140°,根据同弧所对的圆周角是该弧所对的圆心角的一半得出:∠ABC= ∠AOC=70°,然后根据三角形的内角和即可算出答案。
16.【答案】解:如图,∵AB∥CE,∴∠ACE=∠BAC.又∵AC平分∠BAD,∴∠BAC=∠DAC,∴∠C=∠CAD,∴ ,∴ ,∴ ,∴AD=CE.
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】根据二直线平行,同位角相等得出∠ACE=∠BAC.根据角平分线的定义得出∠BAC=∠DAC,故∠C=∠CAD,根据同圆中相等的圆周角所对的弧相等得出弧AE=弧CD,根据等式的性质得出弧AD=弧CE,根据等弧所对的弦相等得出AD=CE.
17.【答案】证明:∵CA=CB=CO,∴OB=BC=OC=OA=AC,∴△OBC和△OAC都是等边三角形,∴∠BCO=∠ACO=60°,∠BOC=∠AOC=60°,∴∠AOB=120°,∴∠ADB=60°,∴∠ACD=∠BCD=∠ADB,∴ ,∴AD=BD=BA
【知识点】等边三角形的判定与性质;圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】根据同圆的半径相等及等量代换得出OB=BC=OC=OA=AC,根据三边相等的三角形是等边三角形得出△OBC和△OAC都是等边三角形,根据等边三角形的每一个内角都是60°得出∠BCO=∠ACO=60°,∠BOC=∠AOC=60°,根据角的和差得出∠AOB=120°,根据圆周角定理得出∠ADB=60°,故∠ACD=∠BCD=∠ADB,根据在同圆中,相等的圆周角所对的相等得出AD=BD=BA。
18.【答案】证明:∵ ,∴AB=AC,△ABC为等腰三角形(相等的弧所对的弦相等)∵∠ACB=60°∴△ABC为等边三角形,AB=BC=CA∴∠AOB=∠BOC=∠COA(相等的弦所对的圆心角相等)
【知识点】等边三角形的判定与性质;圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】根据等弧所对的先相等得出AB=AC,又∠ACB=60°,根据含有60°角的等腰三角形是等边三角形得出:△ABC为等边三角形,根据等边三角形的三边相等得出AB=BC=CA,根据同圆中相等的弦所对的圆心角相等得出∠AOB=∠BOC=∠COA。
19.【答案】(1)证明:∵AB是圆O的直径,∴AD⊥BC,∵AB=AC,
∴BD=DC
(2)解:∵AB=AC,∠B=∠C,
∵∠B=∠E,
∴∠E=∠C,
∴BD=DC=DE=3,
∵BD-AD=2,∴AD=1,在Rt△ABD中,AB= ,∴⊙O的半径为
【知识点】等腰三角形的性质;圆周角定理
【解析】【分析】(1)根据直径所对的圆周角是直角得出AD⊥BC,根据等腰三角形的三线合一得出BD=DC;
(2)根据等边对等角得出∠B=∠C,根据同弧所对的圆周角相等得出∠B=∠E,故∠E=∠C,根据等角对等边及等量代换得出BD=DC=DE=3,进而得出AD的长,根据勾股定理计算出AB的长,从而得出答案。
20.【答案】(1)证明:∵AC平分∠BAD,∴∠BAC=∠DAC,
∵∠E=∠BAC,
∴∠E=∠DAC
∵BE∥AC,
∴∠E=∠ACE,
∴∠ACE=∠DAC,
∴AD∥EC
(2)6
【知识点】平行线的判定与性质;等腰三角形的性质;圆周角定理
【解析】【解答】当四边形ACBE是矩形时,∠ACB=90°,
∴∠ACB=∠ACD=90°,
∵∠BAC=∠DAC,
∴∠ABD=∠D,
∴AB=AD,
∴BC=CD=6,
故答案为6
【分析】(1)根据角平分线的定义得出∠BAC=∠DAC,根据同弧所对的圆周角相等得出∠E=∠BAC,故∠E=∠DAC,根据二直线平行内错角相等得出∠E=∠ACE,故∠ACE=∠DAC,根据内错角相等两直线平行得出AD∥EC;
(2)根据矩形的性质得出∠ACB=∠ACD=90°,又∠BAC=∠DAC,根据三角形的内角和得出∠ABD=∠D,根据等角对等边得出AB=AD,根据等腰三角形的三线合一得出BC=CD=6。
21.【答案】(1)证明:如图,连接CD,∵BC是⊙O的直径,∴∠BDC=90°.
∴CD⊥AB,
又∵AC=BC,
∴AD=BD,即点D是AB的中点
(2)如图,连接OD,∵AD=BD,OB=OC,∴DO是△ABC的中位线.∴DO∥AC,OD= AC=3.
又∵DE⊥AC,
∴DE⊥DO.
∴点O到直线DE的距离为3
【知识点】等腰三角形的性质;圆周角定理;三角形的中位线定理
【解析】【分析】(1)如图,连接CD,根据直径所对的圆周角是直角得出∠BDC=90°,即CD⊥AB,然后根据等腰三角形的三线合一即可得出AD=BD,即点D是AB的中点;
(2)连接OD,连接三角形两边中点的线段是三角形的中位线,根据三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半得出DO∥AC,OD= AC=3,又DE⊥AC,根据平行线的性质得出DE⊥DO.从而得出答案。
22.【答案】(1)证明:连接FA,
∵∠FEB=90°,
∴EF⊥AB,
∵BE=AE,
∴BF=AF,
∵∠FEA=∠FEB=90°,
∴AF是☉O的直径,
∴AF=DE,
∴BF=ED,
在Rt△EFB与Rt△ADE中,
∴Rt△EFB≌Rt△ADE.
(2)∵Rt△EFB≌Rt△ADE,
∴∠B=∠AED,
∴DE∥BC,
∵ED为☉O的直径,
AC⊥AB,
∵EF⊥AB,
∴EF∥CD,
∴四边形FCDE是平行四边形,
∴E到BC的距离最大时,四边形FCDE的面积最大,即点A到DE的距离最大,
∴当A为 的中点时,点A到DE的距离最大是2,
∴四边形FCDE的最大面积=4×2=8
【知识点】全等三角形的判定与性质;平行四边形的判定与性质;圆周角定理
【解析】【分析】(1)连接FA,根据中垂线上的点到线段两个端点的距离相等得出BF=AF,根据90°的圆周角所对的弦是直径得出AF是☉O的直径,进而根据同圆的直径线段及等量代换得出BF=ED,然后利用HL判断出Rt△EFB≌Rt△ADE;
(2)根据全等三角形的对应角相等得出∠B=∠AED,根据同位角相等两直线平行得出DE∥BC,根据同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得出EF∥CD,根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形得出:四边形FCDE是平行四边形,故E到BC的距离最大时,四边形FCDE的面积最大,即点A到DE的距离最大,从而得出当A为弧ED的中点时,点A到DE的距离最大是2,根据矩形的面积计算公式即可算出答案。
1 / 12018-2019学年数学浙教版九年级上册3.5 圆周角(2) 同步练习
一、选择题
1.(2017·绿园模拟)如图,BD是⊙O的直径,∠CBD=30°,则∠A的度数为(  )
A.30° B.45° C.60° D.75°
【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解:∵BD是⊙O的直径,∠CBD=30°,
∴∠BCD=90°,
∴∠D=90°﹣30°=60°,
∴∠A=∠D=60°.
故选C.
【分析】先求出∠D的度数,再由圆周角定理即可得出结论.
2.如图,在⊙O中,直径CD⊥弦AB,若∠C=30°,则∠BOD的度数是(  )
A.30° B.40° C.50° D.60°
【答案】D
【知识点】垂径定理;圆周角定理
【解析】【解答】如图,连接AO,
∵∠C=30°,
∴∠AOD=60°,
∵直径CD⊥弦AB,
∴ ,
∴∠BOD=∠AOD =60°,
故答案为:D
【分析】如图,连接AO,根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出∠AOD=60°,根据吹经定理得出弧AD=弧BD,根据等弧所对的圆心角相等得出∠BOD=∠AOD =60°。
3.如图,AB是⊙O的直径,点C,D在⊙O上,若∠DCB=110°,则∠AED的度数为(  )
A.15° B.20° C.25° D.30°
【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】连接AC,如图,
∵AB为直径,
∴∠ACB=90°,


故答案为:B.
【分析】连接AC,如图,根据直径所对的圆周角是直角得出∠ACB=90°,根据角的和差,由 ∠ACD=∠DCB ∠ACB算出 ∠ACD的度数,再根据同弧所对的圆周角相等得出∠AED=∠ACD=20° 。
4.如图,AB是⊙O的直径,C,D是⊙O上位于AB异侧的两点.下列四个角中,一定与∠ACD互余的角是(  )
A.∠ADC B.∠ABD C.∠BAC D.∠BAD
【答案】D
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解:连接BC,如图所示:
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=90°,
∵∠BCD=∠BAD,
∴∠ACD+∠BAD=90°,
答案为:D.
【分析】由圆周角定理及其推论得∠ACB=∠ACD+∠BCD=90°,∠BCD=∠BAD,进而∠ACD+∠BAD=90°.
5.如图,OA,OC是⊙O的半径,点B在⊙O上,若AB∥OC,∠BCO=21°,则∠AOC的度数是(  )
A.42° B.21° C.84° D.60°
【答案】A
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】详解:∵AB∥OC,
∴∠ABC=∠BCO=21°,
∵∠ABC与∠AOC是同弧所对的圆周角与圆心角,
∴∠AOC=2∠ABC=42°.
故答案为:A
【分析】根据二直线平行内错角相等得出∠ABC=∠BCO=21°,根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半得出∠AOC=2∠ABC=42°.
6.如图,AB是⊙O的直径,CD是弦,且AB∥CD,若AB=8,∠ABC=30°,则弦AD的长为(  )
A. B. C. D.8
【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】连接BD,
∵AB∥CD,
∴∠BAD=∠ADC,
∵∠ADC=∠ABC,∠ABC=30°,
∴∠ADC=30°,
∴∠BAD=30°,
∵AB是⊙O的直径,AB=8,
∴∠ADB=90°,∴BD= AB=4,
∴ AD= =4 ,
故答案为:B.
【分析】连接BD,根据二直线平行,内错角相等得出∠BAD=∠ADC,根据同弧所对的圆周角相等得出∠ADC=∠ABC=30 ,故∠BAD=30°,根据直径所对的圆周角是直角得出∠ADB=90°,根据含30 直角三角形的边之间的关系得出BD的长,然后根据勾股定理即可算出AD的长。
7.如图,半径为5的⊙A中,弦BC,ED所对的圆心角分别是∠BAC,∠EAD,已知DE=6,∠BAC+∠EAD=180°,则弦BC的长等于(  )
A. B. C.8 D.6
【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】延长CA,交⊙A于点F,并连接BF,
∵∠BAC+∠BAF=180°,∠BAC+∠EAD=180°,
∴∠BAF=∠DAE,
∴BF=DE=6,
∵CF是直径,
∴∠ABF=90°,CF=2×5=10,
∴BC= .
故答案为:C.
【分析】延长CA,交⊙A于点F,并连接BF,根据同角的补角相等得出∠BAF=∠DAE,根据同圆中相等的圆心角所对的弦相等得出BF=DE=6,根据直径所对的圆周角是直角得出∠ABF=90°,根据勾股定理即可算出答案。
8.(2018·遵义模拟)如图,A,B,C,D是⊙O上的四个点,B是弧AC的中点,M是半径OD上任意一点.若∠BDC=40°,则∠AMB的度数不可能是(  )
A.45° B.60° C.75° D.85°
【答案】D
【知识点】三角形的外角性质;圆周角定理
【解析】【解答】解:如图,连接OA,OB
∵B是弧AC的中点,∴∠AOB=2∠BDC=80°.又∵M是OD上一点,∴∠AMB≤∠AOB=80°.则不符合条件的只有85°.故答案为:D.
【分析】连接OA,OB,根据等弧所对的圆周角与圆心角之间的关系得出∠AOB=2∠BDC=80°根据三角形外角的定理可以得出∠AMB≤∠AOB=80°,从而得出判断。
二、填空题
9.如图,点A,B,C,D分别在⊙O上, ,若∠AOB=40°,则∠ADC的大小是   度.
【答案】20
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】详解:∵ = ,∴∠ADC= ∠AOB= ×40°=20°.
故答案为:20
【分析】根据等弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可直接得出答案。
10.如图,AB为△ADC的外接圆⊙O的直径,若∠BAD=50°,则∠ACD=   °.
【答案】40
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】连接BD,如图,
∵AB为△ADC的外接圆⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,
∴∠ABD=90°﹣∠BAD=90°﹣50°=40°,
∴∠ACD=∠ABD=40°,
故答案为:40
【分析】连接BD,如图,根据直径所对的圆周角是直角得出∠ADB=90°,根据三角形的内角和得出∠ABD的度数,根据同弧所对的圆周角相等得出∠ACD的度数。
11.如图,点A、B、C都在⊙O上,OC⊥OB,点A在劣弧BC上,且OA=AB,则∠ABC=   .
【答案】15°
【知识点】等边三角形的判定与性质;圆周角定理
【解析】【解答】解:∵OA=OB,OA=AB,
∴OA=OB=AB,
即△OAB是等边三角形,
∴∠AOB=60°,
∵OC⊥OB,
∴∠COB=90°,
∴∠COA=90°-60°=30°,
∴∠ABC=15°,
故答案为:15°
【分析】根据三边相等的三角形是等边三角形得出△OAB是等边三角形,根据等边三角形的每一个内角都是60 得出∠AOB=60°,根据垂直的定义及角的和差得出∠COA的度数,再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出∠ABC的度数。
12.如图,已知AB是⊙O的直径,∠D=42°,则∠CAB的度数为   .
【答案】48°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解:∵AB是⊙O的直径,∠D=42°,
∴∠B=∠D=42°,∠ACB=90°,
∴∠CAB=90°-42°=48°.
故答案为:48°
【分析】根据直径所对的圆周角是直角得出∠ACB=90°,根据同弧所对的圆周角相等得出∠B=∠D=42°,根据三角形的内角和得出∠CAB的度数。
13.⊙O是等边三角形ABC的外接圆,点D是⊙O上一点,则∠BDC =   ;
【答案】60°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】∵⊙O是等边三角形ABC的外接圆,∴∠A=∠ABC=∠ACB=60°,∴∠BDC=∠A=60°.故答案为:60°
【分析】根据等边三角形的性质得出∠A=60 ,根据同弧所对的圆周角相等得出∠BDC=∠A=60°。
14.如图,BC为⊙O的弦,OA⊥BC交⊙O于点A,∠AOB=70°,则∠ADC=   .
【答案】35°
【知识点】垂径定理;圆周角定理
【解析】【解答】∵A、B、C、D是⊙O上的四点,OA⊥BC,
∴弧AC=弧AB (垂径定理),
∴∠ADC= (等弧所对的圆周角是圆心角的一半);
又∠AOB=70°,
∴∠ADC=35°.
故答案为:35°
【分析】根据吹经定理得出弧AC=弧AB ,根据等弧所对的圆周角是圆心角的一半得出∠ADC= ∠AOB=35°。
15.如图,⊙O是△ABC的外接圆,AO⊥BC于点F,D为 的中点,且 的度数为70°则∠BAF=   度
【答案】20
【知识点】圆心角、弧、弦的关系;圆周角定理
【解析】【解答】连结OC,如图,
∵D为 的中点,
∴ = ,
∵ 的度数为70°,
∴ 的度数为140°,
∴∠AOC=140°,
∴∠ABC= ∠AOC=70°,
∵AO⊥BC,
∴∠AFB=90°,
∴∠BAF=90° 70°=20°,
故答案为:20°
【分析】连结OC,如图,根据弧的中点的定义得出弧AD=弧CD,进而得出弧AC的度数,根据弧的度数等于其所对的圆心角的度数得出∠AOC=140°,根据同弧所对的圆周角是该弧所对的圆心角的一半得出:∠ABC= ∠AOC=70°,然后根据三角形的内角和即可算出答案。
三、解答题
16.如图,点A、B、C、D、E都在⊙O上,AC平分∠BAD,且AB∥CE,求证:AD=CE.
【答案】解:如图,∵AB∥CE,∴∠ACE=∠BAC.又∵AC平分∠BAD,∴∠BAC=∠DAC,∴∠C=∠CAD,∴ ,∴ ,∴ ,∴AD=CE.
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】根据二直线平行,同位角相等得出∠ACE=∠BAC.根据角平分线的定义得出∠BAC=∠DAC,故∠C=∠CAD,根据同圆中相等的圆周角所对的弧相等得出弧AE=弧CD,根据等式的性质得出弧AD=弧CE,根据等弧所对的弦相等得出AD=CE.
17.如图,CD为⊙O直径,以C点为圆心,CO为半径作弧,交⊙O于A、B两点,求证:AD=BD=BA.
【答案】证明:∵CA=CB=CO,∴OB=BC=OC=OA=AC,∴△OBC和△OAC都是等边三角形,∴∠BCO=∠ACO=60°,∠BOC=∠AOC=60°,∴∠AOB=120°,∴∠ADB=60°,∴∠ACD=∠BCD=∠ADB,∴ ,∴AD=BD=BA
【知识点】等边三角形的判定与性质;圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】根据同圆的半径相等及等量代换得出OB=BC=OC=OA=AC,根据三边相等的三角形是等边三角形得出△OBC和△OAC都是等边三角形,根据等边三角形的每一个内角都是60°得出∠BCO=∠ACO=60°,∠BOC=∠AOC=60°,根据角的和差得出∠AOB=120°,根据圆周角定理得出∠ADB=60°,故∠ACD=∠BCD=∠ADB,根据在同圆中,相等的圆周角所对的相等得出AD=BD=BA。
18.如图,在⊙O中, ,∠ACB=60°,
求证∠AOB=∠BOC=∠COA.
【答案】证明:∵ ,∴AB=AC,△ABC为等腰三角形(相等的弧所对的弦相等)∵∠ACB=60°∴△ABC为等边三角形,AB=BC=CA∴∠AOB=∠BOC=∠COA(相等的弦所对的圆心角相等)
【知识点】等边三角形的判定与性质;圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】根据等弧所对的先相等得出AB=AC,又∠ACB=60°,根据含有60°角的等腰三角形是等边三角形得出:△ABC为等边三角形,根据等边三角形的三边相等得出AB=BC=CA,根据同圆中相等的弦所对的圆心角相等得出∠AOB=∠BOC=∠COA。
19.如图,△ABC中,AB=AC,以AB为直径作⊙O,交BC于点D,交CA的延长线于点E,连接AD,DE.
(1)求证:D是BC的中点;
(2)若DE=3,BD-AD=2,求⊙O的半径.
【答案】(1)证明:∵AB是圆O的直径,∴AD⊥BC,∵AB=AC,
∴BD=DC
(2)解:∵AB=AC,∠B=∠C,
∵∠B=∠E,
∴∠E=∠C,
∴BD=DC=DE=3,
∵BD-AD=2,∴AD=1,在Rt△ABD中,AB= ,∴⊙O的半径为
【知识点】等腰三角形的性质;圆周角定理
【解析】【分析】(1)根据直径所对的圆周角是直角得出AD⊥BC,根据等腰三角形的三线合一得出BD=DC;
(2)根据等边对等角得出∠B=∠C,根据同弧所对的圆周角相等得出∠B=∠E,故∠E=∠C,根据等角对等边及等量代换得出BD=DC=DE=3,进而得出AD的长,根据勾股定理计算出AB的长,从而得出答案。
20.如图,点B,C为⊙O上一动点,过点B作BE∥AC,交⊙O于点E,点D为射线BC上一动点,且AC平分∠BAD,连接CE.
(1)求证:AD∥EC;
(2)连接EA,若BC=6,则当CD=   时,四边形EBCA是矩形.
【答案】(1)证明:∵AC平分∠BAD,∴∠BAC=∠DAC,
∵∠E=∠BAC,
∴∠E=∠DAC
∵BE∥AC,
∴∠E=∠ACE,
∴∠ACE=∠DAC,
∴AD∥EC
(2)6
【知识点】平行线的判定与性质;等腰三角形的性质;圆周角定理
【解析】【解答】当四边形ACBE是矩形时,∠ACB=90°,
∴∠ACB=∠ACD=90°,
∵∠BAC=∠DAC,
∴∠ABD=∠D,
∴AB=AD,
∴BC=CD=6,
故答案为6
【分析】(1)根据角平分线的定义得出∠BAC=∠DAC,根据同弧所对的圆周角相等得出∠E=∠BAC,故∠E=∠DAC,根据二直线平行内错角相等得出∠E=∠ACE,故∠ACE=∠DAC,根据内错角相等两直线平行得出AD∥EC;
(2)根据矩形的性质得出∠ACB=∠ACD=90°,又∠BAC=∠DAC,根据三角形的内角和得出∠ABD=∠D,根据等角对等边得出AB=AD,根据等腰三角形的三线合一得出BC=CD=6。
21.已知:如图,在△ABC中,BC=AC=6,以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D,DE⊥AC,垂足为点E.
(1)求证:点D是AB的中点;
(2)求点O到直线DE的距离.
【答案】(1)证明:如图,连接CD,∵BC是⊙O的直径,∴∠BDC=90°.
∴CD⊥AB,
又∵AC=BC,
∴AD=BD,即点D是AB的中点
(2)如图,连接OD,∵AD=BD,OB=OC,∴DO是△ABC的中位线.∴DO∥AC,OD= AC=3.
又∵DE⊥AC,
∴DE⊥DO.
∴点O到直线DE的距离为3
【知识点】等腰三角形的性质;圆周角定理;三角形的中位线定理
【解析】【分析】(1)如图,连接CD,根据直径所对的圆周角是直角得出∠BDC=90°,即CD⊥AB,然后根据等腰三角形的三线合一即可得出AD=BD,即点D是AB的中点;
(2)连接OD,连接三角形两边中点的线段是三角形的中位线,根据三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半得出DO∥AC,OD= AC=3,又DE⊥AC,根据平行线的性质得出DE⊥DO.从而得出答案。
22.如图,已知ED为☉O的直径且ED=4,点A(不与点E,D重合)为☉O上一个动点,线段AB经过点E,且EA=EB,F为☉O上一点,∠FEB=90°,BF的延长线交AD的延长线于点C.
(1)求证:△EFB≌△ADE;
(2)当点A在☉O上移动时,直接回答四边形FCDE的最大面积为多少.
【答案】(1)证明:连接FA,
∵∠FEB=90°,
∴EF⊥AB,
∵BE=AE,
∴BF=AF,
∵∠FEA=∠FEB=90°,
∴AF是☉O的直径,
∴AF=DE,
∴BF=ED,
在Rt△EFB与Rt△ADE中,
∴Rt△EFB≌Rt△ADE.
(2)∵Rt△EFB≌Rt△ADE,
∴∠B=∠AED,
∴DE∥BC,
∵ED为☉O的直径,
AC⊥AB,
∵EF⊥AB,
∴EF∥CD,
∴四边形FCDE是平行四边形,
∴E到BC的距离最大时,四边形FCDE的面积最大,即点A到DE的距离最大,
∴当A为 的中点时,点A到DE的距离最大是2,
∴四边形FCDE的最大面积=4×2=8
【知识点】全等三角形的判定与性质;平行四边形的判定与性质;圆周角定理
【解析】【分析】(1)连接FA,根据中垂线上的点到线段两个端点的距离相等得出BF=AF,根据90°的圆周角所对的弦是直径得出AF是☉O的直径,进而根据同圆的直径线段及等量代换得出BF=ED,然后利用HL判断出Rt△EFB≌Rt△ADE;
(2)根据全等三角形的对应角相等得出∠B=∠AED,根据同位角相等两直线平行得出DE∥BC,根据同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得出EF∥CD,根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形得出:四边形FCDE是平行四边形,故E到BC的距离最大时,四边形FCDE的面积最大,即点A到DE的距离最大,从而得出当A为弧ED的中点时,点A到DE的距离最大是2,根据矩形的面积计算公式即可算出答案。
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